9.3 全微分宋1103
《高数全微分》课件
全微分的概念
全微分是多变量函 数的变化率，通过 定义、计算方法和 与偏微分的区别， 理解全微分的概念。
练习题选讲
1
练习题1
通过一个实际的计算例子来帮助学生巩固微分和导数的应用。
2
练习题2
挑选一道复杂且具有挑战性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
3
练习题3
提供一道综合性的练习题，结合了微分、导数和全微分的内容，以检验学生的综 合能力。
讲解内容
什么是微分
微分是基础概念， 具有多种定义方式。 通过物理解释和常 见定义使学生理解 微分的概念和意义。
导数的定义
导数是描述函数变 化率的工具，包括 导数的概念、计算 方法以及其在函数 极值中的应用。
微分的定义
微分作为导数的无 穷小变化量，给出 了函数在某一点上 的局部变化情况和 计算方法。
总结回顾
1 本节知识点回顾 2 知识点扩展
概述了微分、导数和 全微分的概念和定义， 强调了它们在数学中 的重要性。
引导学生进一步学习 微分和导数的应用领 域，如物理学和经济 学等。
3 下节课预告
展示下节课将会涉及 的主题和学习目标， 激发学生的兴趣和期 待。
《高数全微分》PPT课件
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知识点概述
什么是微分
微分是一个数学概念，用于描述函数值的 变化率。它是微积分的基础。
微分的定义
微分是函数值的无穷小变化。它描述了函 数在某一点上的局部变化。
导数的定义
导数是函数在某一点上的变化率，可以解 释为函数在该点的切线斜率。
全微分的概念
全微分是多变量函数在某一点上的变化率， 它包括所有变量的微分。
第三节 全微分
t
t
z z x s x s
z z x z dy t x t y dt
注意 设 z f (u, x, y) ,u ( x, y) z f [ ( x, y), x, y]
x
链式图
x
z
y y
u
链式法则 z z u f
x u x
第三节
全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1.一元函数的微分： 2.全微分的定义 若函数 z f ( x, y) 在点( x, y )的某一邻域内偏导数
z z 在该点可微,且称 x dx y dy 为函数 z f ( x, y)
z x
z z f ( x, y) 、 y 存在,且在这一点它们都连续，则
z z u z v y u y v y
u x
z
v
y
例1 设 z e sin v
u
z ,而 u xy , v x y ,求 x
u x
,
z y
解
z z u z v x u x v x
u u
z
e sin v y e cosv 1
dz z du z dv dt u dx v dt
情形3：复合函数的中间变量既有一元函数，又有 多元函数的情形,设 z f x, y , x s, t , y t
z f s, t , t
z
y
s
x
链式图
链式法则
v ( x, y)在点( x, y )处有偏导数, 函数 z f (u, v) 在对应点
(u , v) 处有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)]
全微分方程的物理背景与格林(Green)公式
全微分方程的物理背景与格林（Green ）公式专题摘要：给出全微分方程的定义和格林公式，以力场为例给出了全微分方程的物理背景，利用曲线积分与路径无关的两个充要条件，得到一阶微分方程是全微分方程的充要条件。
一个一阶微分方程写成0),(),(=+dy y x Q dx y x P ， （1）的形式，如果它的左端恰为某一二元函数),(y x u 的全微分dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=， （2）那么，微分方程式（1）称为全微分方程。
全微分方程有很具体的物理背景，假设在xoy 平面有一力场F ，j i F ),(),(y x Q y x P +=现在求这样一条曲线l ，使该曲线与力场处处垂直。
设曲线的方程为)(x f y =，则应有),(),(y x Q y x P dx dy -=， （3） 或0),(),(=+dy y x Q dx y x P ， （4）于是问题化为求微分方程（1）的解的问题。
如果在力场中存在标量函数),(y x u ，使得),(),,(y x Q yu y x P x u =∂∂=∂∂ 因此，（4）式是全微分方程，它的解为C y x u =),(， （5）由（5）式确定的曲线是力场F 的等值线。
沿等值线，力场不作功。
怎样判断一个微分方程是否为全微分方程呢？结论1 当函数),(),,(y x Q y x P 在闭区域D 上具有连续的一阶偏导数时，则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂LD Qdy Pdx dxdy y P x Q )(， （6） 其中L 是区域D 内取正向的分段光滑闭曲线。
（6）式称为格林（Green ）公式。
结论2在单连通区域G 内的曲线积分与路径无关的充要条件是区域G 内的任意闭路径积分为零。
结论3 由格林公式（6）知，曲线积分⎰+L Qdy Pdx 与路径无关的充要条件是在区域G 内恒有 yP x Q ∂∂=∂∂， （7） 结论4 根据曲线积分⎰+L Qdy Pdx 与路径无关的充要条件得，在单连通区域G 内具有连续一阶偏导数的函数),(),,(y x Q y x P 构成的一阶微分方程（4）是某一函数),(y x u 全微分的充要条件是（7）式成立。
大一高数下全微分课件
乘积法则
总结词
乘积法则用于计算两个函数的乘积的 全微分。
详细描述
乘积法则是全微分的另一个重要法则， 它指出如果z是两个函数u和v的乘积， 那么dz=u*du+v*dv。具体来说，如果 z=u*v，那么全微分 dz=d(u*v)/du*du+d(u*v)/dv*dv=u*d u+v*dv。
商的法则
大一高数下全微分课件
• 全微分的定义 • 全微分的基本公式和法则 • 全微分的应用 • 常见函数的微分 • 微分中值定理与导数的应用 • 习题与解答
01
全微分的定义
全微分的概念
全微分是指在函数定义域内 某一点处，将函数在该点的 值与自变量在该点的值分别 进行微小变化，函数值变化
量的线性部分。
全微分是函数在一点处对所 有自变量偏导数的加权和， 权因子是偏导数与自变量变
答案2
dz = cos(x + y) * (cos/sin)(π/4) * (cos/sin)(π/6) = -√3/3
解析2
函数z = sin(x + y)在点(π/4, π/6)的 全微分为dz = cos(x + y) * cos(π/4) * cos(π/6) = -√3/3。
答案3
dz = e^(x + y) * (e^1) * (e^0) = e^(1+0) = e
高阶导数与高阶全微分
高阶导数可以用于计算高阶全微分， 高阶全微分可以用于研究函数的更高 阶的几何特性。
02
全微分的基本公式和法则
链式法则
总结词
链式法则描述了复合函数的全微分计算方法。
详细描述
链式法则是全微分的重要法则之一，它指出如果z是由y和x通过复合函数f(g(y)) 得到的，那么全微分dz=d(f(g(y)))/dz * dy。具体来说，如果u=g(y)且z=f(u) ，那么dz=d(f(u))/du * du=d(f(u))/du * d(g(y))/dy * dy。
高等数学课件--D9_3全微分
x x
z x z y
lim xz x
x 0
x
A
Ax o ( x )
同样可证
2012-10-12
B , 因此有
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
xy
反例: 函数 f ( x, y )
x y
2
2
,
x y 0
2 2
0,
x y 0
2 2
易知 f x (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y ]
x y ( x) ( y )
2
x y ( x) ( y )
[ f ( x x, y y ) f ( x, y y )] [ f ( x, y y ) f ( x, y )]
f x ( x 1 x, y y ) x f y ( x, y 2 y ) y ( 0 1 , 2 1 ) [ f x ( x, y ) ] x [ f y ( x, y ) ] y
S a
δ
a
S b
δ b
S C
δC
1
2 2 2 a 12.5, b 8.3 , C 30, δ a δ b 0.01, δ C
b sin C δ a
1
a sin C δ b
1
ab cos C δ π
C
故绝对误差约为 又
1 2
1800
12.5 8.3 sin 30 25.94
全微分方程的解法
例：求方程ydx xdy 0的通解。
解：因为d( xy) ydx xdy,所以ydx xdy 0为恰当方程， 且通解为xy C.
问题: （1）如何判断全微分方程？ （2）如何求解全微分方程？ （3）如何转化为全微分方程？
定理1 设函数
和
在一个矩形区域
解 1.公式法:
1 (P Q y
Q ) x
2 , x
m ( x)
e
2 x
dx
1 x2
.
则原方程成为
(3x
y x2
)dx
(2 y
1 )dy x
0,
3xdx 2ydy ydx xdy x2
d(3 x2 y2 y)
2
x
原方程的通解为
3 x2 y2 y C
Q(x, y) Q(x0, y) (y)
y
因此 (y) Q(x0, y) ，则 ( y) y0 Q(x0, y)dy C
因此可以取
x
y
(x, y)
P(x, y)dx
x0
y0 Q(x0, y)dy
此时 d(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
(2) 偏积分法
P(x, y), Q(x, y)
x
y
第一个等式对 x 积分 (x, y) P(x, y)dx (y)
代入第二个等式求 ( y) ，即可得 (x, y)
(3)凑微分法
直接凑微分得 (x, y)
例2：验证方程
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于
全微分定义公式
全微分定义公式如果函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在 ( x , y ) (x, y) (x,y)处的全增量Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Deltaz=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)可以表示为Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z=A\Deltax+B\Delta y+o(ρ) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)其中A、B不依赖于Δ x Δx Δx，Δ y Δy Δy，仅与 x x x，y y y有关，ρ ρ ρ趋近于0( ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2ρ=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2 )，此时称函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处可微分，A Δ x + B Δ y AΔx+BΔy AΔx+BΔy称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x, y) (x,y)处的全微分，记为 d z dz dz即d z = A Δ x + B Δ y dz=A\Delta x +B\Delta y dz=AΔx+BΔy该表达式称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在 ( x , y ) (x, y) (x,y)处(关于Δ x Δx Δx, Δ y Δy Δy)的全微分。
定理定理1若函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 p 0 ( x 0 , y 0 ) p_0(x_0,y_0) p0(x0,y0)处可微，则 z = f ( x , y ) z=f(x,y)z=f(x,y)在 p 0 ( x 0 , y 0 ) p_0(x_0,y_0) p0(x0,y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = A f'_x(x_0,y_0)=A fx′(x0,y0)=A，f y ′ ( x 0 , y 0 ) = B f'_y(x_0,y_0)=B fy′(x0,y0)=B。
高等数学下9.3全微分
x y 0
2 2
在点( 0,0)处有
.
f x (0,0) f y (0,0) 0
lim
0
x y 0
2 2
可微
z z z x y x y
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
( x ) 2 ( y ) 2
增量 x , y 的 全增量， 记为 z ， 即
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
一、全微分的定义
由一元函数可微的定义 如果函数
y Ax o( x ), 可微：
微分：dy Ax f ( x)dx.
定义
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
z =AN ：
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B z z0
曲面立标的增量
dz
A
.
dz=AB : 切面立标的增量
x
0
x
P
y
y
Q
二、全微分存在的必要条件和充分条件 如果函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y )的全增量
f ( x x , y y ) f ( x , y )
x y x x 2 2 lim lim ( x ) ( y ) 2 2 0 ( x ) 2 ( x ) 2 0 ( x ) ( y ) lim 0
xy 2 2 x y f ( x, y) 0
可偏导 可微
z z dz x y 的全微分 x y z f ( x , y )在点 ( x , y ) 可微分 z z x z y o( ) x y
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y
δ
R
R 0.8 = 0.032 ( 欧 )
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内容小结
1. 微分定义:
z
o (r)
r (x) 2 (y ) 2
d z = f x ( x, y )d x f y ( x, y ) d y
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
z =Ax + By + o(r),
z f ( x x, y y) f ( x, y) 函数在该点连续
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结束
问题：
1 函数f ( x, y)在( x, y)连续，是否有f ( x, y)在( x, y)可微分？
2 f ( x, y)在点( x, y)可微分，是否有在( x, y)偏导数存在？
定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .
U 24 解: 由欧姆定律可知 R 4 ( 欧) I 6
所以 R 的相对误差约为
dz
δ R δU δ I 0.3 + 0.5 = 0.8 R U I
R 的绝对误差约为
f y ( x, y ) f x ( x, y ) dx d z f ( x, y ) f (x, y )
其中 f x ( x, y ) y x y 1 , f y ( x, y ) x y ln x 则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
f (1, 2) f x (1, 2) x f y (1, 2) y
1 2 0.04 0 0.02 1.08
令 y 0 ,
得到对 x 的偏增量 x z f (x x , y ) f (x , y ) Ax o ( x )
z lim x z A 所以 x x 0 x
z 同样可证 B , 因此有 y
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
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2. 误差估计
利用 z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y
令d x , d y , d z 分别表示x , y , z 的绝对误差界, 则
z 的绝对误差界约为
d z f x ( x , y ) d x f y ( x, y ) d y
z 的相对误差界约为
dz
f y ( x, y ) f x ( x, y ) dx d z f ( x, y ) f ( x, y )
y
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例5.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,相对误差为
0.3; 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 , 求用欧姆
z e2 , x (2,1)
z 2e 2 y (2,1)
例2. 计算函数 解: d u 1 dx
1 cos y (2 2
的全微分.
y z ) d y y e y z d z. ze
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结束
*二、全微分在数值计算中的应用
1. 近似计算 由全微分定义
u dx du x
u dz z
记作 d x u
dz u
d x u , d y u , d z u 称为偏微分. 故有下述叠加原理
d u d x u d y u d z u.
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例1. 计算函数 z ye x y , 解: x
在点 (2,1) 处的全微分. z xe x y y
3 是否任意函数都可微分？
如果不是，函数可微分的条件如何？
4 f ( x, y)在点( x, y)可微分，则A ？B ？
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定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 必存在,且有
z z dz x y. x y 证: 由函数可微，得
结束
一、全微分的定义
定义: 若函数z= f (x, y)在点(x, y)的某邻域内有定义， 且在(x, y)处的全增量
可表示成 z =Ax + By + o(r),
其中A、B不依赖于 x、 y , 仅与 x、y 有关， 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， Ax By 称为函数 f (x, y)在 点(x, y) 的全微分, 记作 dz = df = Ax + By .
偏导数存在、可微分、连续三者联系 偏导数连续
函数可微分
偏导数存在
函数连续
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推广: 讨论三元及三元以上函数的可微性.
例如，三元函数u = f (x, y, z)的全微分
u u u y z x du z y x
习惯上把自变量的增量用微分表示, 即x→dx…
z z x z z f ( x x, y ) f ( x, y ) x dx x x
记作 d x z
z z y z z f ( x, y y) f ( x, y) y dy y y
记作 d y z
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当 (x) 2 (y ) 2 0 时是无穷小量 ; z f x ( x, y )x f y ( x, y )y
( D)
(x) 2 (y ) 2
当 (x) (y ) 0 时是无穷小量 .
2 2
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偏导数连续
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3. 微分应用
• 近似计算
z d z f x ( x, y ) x f y (x , y ) y
f ( x x, y y) f ( x, y ) f x ( x, y ) x f y ( x , y ) y
第三节
第九章
全微分
y Ax o( x)
一元函数 y = f (x) 的微分
d y f ( x)x
本节内容:
应用
近似计算 估计误差
一、全微分的定义
*二、全微分在数值计算中的应用
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函数f ( x, y),固定y不动，给x以增量x，考查函数的增量 z f ( x x, y ) f ( x, y )
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思考与练习
1. P76 题5 ；P129 题 1.
2. 选择题 函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
( A) f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续 ;
( B) f x ( x, y), f y ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在 ; (C ) z f x ( x, y )x f y ( x, y )y
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xy
例: 函数
f ( x, y )
x2 y2
, x2 y2 0
0,
x2 y2 0
易知在(0, 0)处有 f x (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但 ?o(r) z [ f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y ]
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y o ( r )
dz
可知当 及 较小时, 有近似等式:
z d z f x ( x, y ) x f y ( x , y ) y
(可用于近似计算; 误差分析)
f ( x x, y y) f ( x, y ) f x ( x, y ) x f y ( x , y ) y
偏导数存在，函数不一定可微 !
问题：
z z z z 偏导数存在，即 , 存在，从而有 dx dy存在， x y x y 为什么函数可能不可微分？
z z 函数可微分，则z （ dx dy） o( r ), 仅有偏导数存在， x y z z 不能保证z （ dx dy）是无穷小。故函数可能不可微分. x y
x y
( x) 2 ( y ) 2
x y r ( x) 2 ( y ) 2
0
o( r ) 因此, 函数在点 (0,0) 不可微 .
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定理2 (充分条件) 若函数
z z 的偏导数 , x y
在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分.
(可用于近似计算)
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例4.计算
的近似值.
解: 设f (x, y) = x y，则要求f (1.04, 2.02) = ?
取x = 1, y = 2, x = 0.04, y = 0.02, 利用
f ( x x, y y) f ( x, y) f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y
若函数在区域 D 内各点都可微,则称此函数在D 内可微.
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由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( r ) 0
x 0 y 0
y 0
r 0
得 lim f ( x x, y y ) f ( x, y ) dz = df = Ax + By . x 0 即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微