一阶常微分方程解法总结
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。
二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。
对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。
设y = vx，其中v是未知函数。
将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。
将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。
将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。
进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。
三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。
设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。
对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。
左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。
对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。
四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。
例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。
然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。
最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法一阶常微分方程是微积分中的一种基础概念。
它描述了一个未知函数及其导数之间的关系。
求解一阶常微分方程是微积分研究的重要内容之一，它在科学、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍几种解一阶常微分方程的常用方法。
1. 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最常用的方法之一。
通过将未知函数的变量和导数分离到方程的两侧，然后进行变量的求解即可得到问题的解。
例如，对于形式为dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，可以将dy/g(y) =f(x)dx进行变量的分离，然后对两侧进行积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx，进一步求解得到y的表达式。
2. 齐次方程法齐次方程是指形如dy/dx = f(y/x)的一阶常微分方程。
对于这种类型的微分方程，可以通过变量的代换来将其转化为分离变量法适用的形式。
例如，令u = y/x，对原方程进行偏导数变换，可得du/dx = (dy/dx - u)/x，进而得到线性微分方程du/dx + u/x = f(u)。
对该线性微分方程应用分离变量法即可求解得到u(x)的表达式，再将u(x)代回原来的变量即可获得y(x)的解析表达式。
3. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的微分方程。
其中P(x)和Q(x)是已知函数。
对于这种类型的微分方程，可以通过一阶线性微分方程的解析公式进行求解。
一阶线性微分方程的解析公式为y = e^(-∫P(x)dx)∫[e^(∫P(x)dx)Q(x)]dx + Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
4. 变量可分离线性微分方程法变量可分离线性微分方程是指形如dy/dx = f(x)/g(y)的微分方程。
对于这种类型的微分方程，可以通过变量的移项和对两侧的积分进行求解。
例如，对于形如dy/dx = x/y的微分方程，可以将其转化为xydy = y^2dx，然后进行两侧的积分，得到∫xydy = ∫y^2dx，进一步求解即可得到y的表达式。
一阶常微分方程的求解
一阶常微分方程的求解微积分是数学中非常重要的一个分支，它研究的是函数的极限、导数、积分以及微分方程等。
在微分方程的研究中，一阶常微分方程是最基本也是最常见的类型。
本文将介绍一阶常微分方程的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是一种常用的求解一阶常微分方程的方法。
其思想是将微分方程中的变量分开，然后分别对两边进行积分，最终得到解析解。
例如，考虑一阶常微分方程形式为dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)分别是关于x和y的函数，我们希望求解y的表达式。
首先，我们将方程重新排列为dy/g(y)=f(x)dx，然后对两边同时进行积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。
接下来，我们可以通过求解这两个积分来得到问题的解析解。
二、常数变易法当一阶常微分方程形式为dy/dx=f(x,y)时，常数变易法是一种常用的求解方法。
其基本思想是假设y的解可表示为y=uv，其中u和v都是关于x的函数。
通过对y=uv进行求导，将其代入原微分方程，可以得到一个新的方程，其中v和其导数可以互相约去。
然后，我们可以求解新方程得到v的表达式，再将其代入y=uv中，即可得到问题的解析解。
三、齐次微分方程法齐次微分方程是指方程右端项为0的一阶常微分方程。
对于形如dy/dx=f(y/x)的齐次微分方程，我们可以引入一个新的变量v=y/x，通过对v进行求导，将其代入原微分方程，可以得到一个只含有v的方程。
然后，我们可以通过对新方程进行积分求解v的表达式，再将其代入v=y/x中，即可得到问题的解析解。
四、一阶线性微分方程法一阶线性微分方程是指方程可以写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。
对于这种类型的微分方程，我们可以使用一阶线性微分方程的解法来求解。
具体来说，我们可以通过乘以一个积分因子，将其变为一个恰当微分方程，然后再进行求解。
综上所述，一阶常微分方程的求解可以通过分离变量法、常数变易法、齐次微分方程法和一阶线性微分方程法等方法进行。
一阶常系数微分方程的通解
一阶常系数微分方程的通解
一阶常系数微分方程是一类重要的微分方程，它受到了许多数学家、工程师和物理学家的广泛关注。
一阶常系数微分方程的形式如下：
dy/dx+py= q (1)
其中p, q 是常数，y 是函数，x 是变量。
解一阶常系数微分方程的通解可表示为：
y（x）=e^(px)+∫qe^(px)dx
首先，我们可以用微积分法将等式 (1) 变换为：
dy/e^(px)= qdx
因此，可以用积分法求出通解中一部分的积分式：
∫qe^(px)dx=q/(p+0)∫e^(px)dx=q/p∫e^(px)dx
再将上一步的结果代入积分式中，我们就可以求出原通解如下：
y（x）=Ce^(px)+q/p∫e^(px)dx
其中C为任意常数。
从上面的结果可以看出，一阶常系数微分方程的通解是由一个指数形式和一个积分式组成的。
一阶常系数微分方程广泛应用于物理学、工程学和数学中。
例如，它用于描述物质、波动等许多变化的情况，帮助我们精确理解物理现象，解决实际问题，非常实用。
总而言之，一阶常系数微分方程的通解是一种更精确的方法来描述变化，并且它可以用于解决具体的问题。
它的通用解表示为一个指数形式加上一个积分式，给出一种更精确的理解视角。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法微积分是数学的重要分支之一，常微分方程是微积分中的重要内容。
在微积分中，我们经常遇到一阶常微分方程的求解问题。
本文将介绍一阶常微分方程的解法及其应用。
1. 分离变量法一阶常微分方程常常可以通过分离变量的方法求解。
具体步骤如下：（1）将方程中的未知函数和其导数分离到方程的两侧；（2）对方程两边同时积分，得到未知函数的通解；（3）根据方程的边界条件，确定通解中的常数。
例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x^2。
我们可以将方程重写为 dy = x^2dx，并对其两边同时积分。
通过求不定积分，我们得到 y = x^3/3+ C，其中 C 是常数。
这样我们就求得了方程的通解。
2. 齐次方程的解法对于一些特殊的一阶常微分方程，我们可以使用齐次方程的解法。
如果方程可以重写为 dy/dx = f(y/x)，其中 f 是一个只与 y/x 相关的函数，那么我们可以通过变量代换 y = vx，化简方程并求解得到原方程的解。
例如，考虑一阶常微分方程 y' = y/x。
我们可以通过变量代换 y = vx，其中 v 是关于 x 的函数。
将代换后的方程进行化简，得到 xdv/dx + v = v，整理后得到xdv/dx = 0。
显然，这是一个齐次方程，其解为v = C1，其中 C1 是常数。
将 v 代回原方程中，得到 y = C1x，即为方程的解。
3. 一阶线性方程的解法一阶线性方程是一种常见的一阶常微分方程形式，可以写作 dy/dx+ P(x)y = Q(x)，其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
一阶线性方程的解法如下：（1）求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx)；（2）将方程两侧同时乘以积分因子μ(x)；（3）对方程两侧同时积分，得到y = (∫Q(x)μ(x)dx + C)/μ(x)，其中C 是常数。
例如，考虑一阶线性方程 dy/dx + 2xy = x。
首先，我们求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫2xdx) = e^(x^2)。
一阶常微分方程解法总结
一阶常微分方程解法总结1.可分离变量法：可分离变量法适用于能够将微分方程分离成自变量和因变量的乘积形式的情况。
具体步骤如下：（1）将方程两边分离变量；（2）对分离后的变量进行积分，得到两边的原函数；（3）解得的原函数通常包含一个未知常数c；（4）如果已知初始条件，代入原函数求解常数c。
2.齐次方程法：齐次方程法适用于能够将微分方程转化成齐次方程的情况。
具体步骤如下：（1）将方程化为齐次形式，即将自变量和因变量分别除以一些函数；（2）引入新的未知函数y/x=u，并对其求导；（3）将方程转化为u的微分方程，通常是可分离变量方程；（4）解出u的方程后，再回代u，得到原方程的解。
3.线性方程法：线性方程法适用于形如y'+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程，其中p(x)和q(x)是已知函数。
具体步骤如下：（1）确定常系数线性微分方程形式，即观察到y'+p(x)y=q(x)形式的方程；（2）找到方程的积分因子，通常是乘以一个指数函数，使得方程变得可积分；（3）将方程两边乘以积分因子，并利用乘积法则进行变换；（4）对两边进行积分，并解出原方程的解。
4.变量代换法：变量代换法是通过引入新的未知函数来将微分方程转化为更简单的形式。
具体步骤如下：（1）通过变量代换，将微分方程转化为新的未知函数和新的自变量；（2）求出新的微分方程的解；（3）将新的解代回原来的未知函数和自变量，得到原方程的解。
5.恰当微分方程法：恰当微分方程法适用于能够通过乘以适当的积分因子使得微分方程成为恰当微分方程的情况。
具体步骤如下：（1）判断初始微分方程是否是恰当微分方程；（2）计算方程的积分因子；（3）乘方程的积分因子，并判断是否为恰当微分方程；（4）解恰当微分方程。
以上是一阶常微分方程解法的五种常用方法的总结。
对于不同类型的微分方程，选择合适的解法可以更好地求解方程，但也需要多加练习和实践，熟练掌握方程的转化和求解技巧。
一阶常微分方程解法总结doc
一阶常微分方程解法总结.doc 一阶常微分方程是微分学的基础，也是实际问题中经常遇到的一类方程。
理解并掌握一阶常微分方程的解法对于学习微分学和解决实际问题都具有重要的意义。
本文将总结一阶常微分方程的解法，并举例说明。
一、一阶常微分方程的解法1.变量可分离的微分方程形如dy/dt=f(t)g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。
这类方程的特点是变量可以分离，通过将方程两边积分，得到y的解。
例：dy/dt=e^(t^2)解：分离变量得：ydt=e^(t^2)dt，积分得：y=0.5e^(t^2)+C。
2.齐次微分方程形如dy/dx=f(y/x)的微分方程称为齐次微分方程。
这类方程的特点是可以通过变量替换化为可分离变量的微分方程，从而求解。
例：dy/dx=(y/x)+1解：令y/x=u，则原方程化为：du/dx=u+1，分离变量得：u dx=dx，积分得：u=x+C，即y=x^2+Cx。
3.一阶线性微分方程形如dy/dt=f(t)g(y)的微分方程称为一阶线性微分方程。
这类方程的特点是可以化为标准形式，通过求解标准形式的解，得到原方程的解。
例：dy/dt=te^(t)解：化为标准形式得：y/dt=te^(t)，令z=y/t，则z’=(y’)t−y/t^2=e^t，积分得：z=e^t+C，即y=t(e^t+C)。
二、总结一阶常微分方程根据其形式和特点，有多种解法。
其中，变量可分离的微分方程可以直接通过分离变量进行求解；齐次微分方程可以通过变量替换化为可分离变量的微分方程进行求解；一阶线性微分方程可以化为标准形式，通过求解标准形式的解得到原方程的解。
这些方法在解决实际问题中具有广泛的应用价值。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据选择合适的解法，并对求解结果进行合理的分析和解释。
同时，还需要掌握各种解法的适用范围和局限性，以便在实际应用中做出正确的选择。
一阶常微分方程的解法是微分学的基础知识之一，也是解决实际问题中经常遇到的一类问题。
一阶常微分方程解法总结
章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如d^ = f (x)g(y) dx当g(y) =o 时，得到 型f(x)dx ，两边积分即可得到结果;g(y)当g( °) = °时，则y(x)二o 也是方程的解。
例 1.1、巴=xydxdy解：当y = 0时，有xdx ，两边积分得到 yy =0显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为y 二Ge^ (G 为常数)②、形如 M (x)N(y)dx P(x)Q(y)dy =0当 P(x)N(y)= 0 dy ，两边积分可得结果；P(x) N(y)当N(y °) = 0时，y 二y °为原方程的解，当 P(x °) = 0时，x = x °为原方程的解。
2 2例「2、x(y -1)dx y(x -1)dy=0解：当 (x 2 -1)(y 2-1) =0时，有Jdy =¥ dx 两边积分得到 1 - y x -1o222Inx —1+1 ny —1=1 nC (C^O)，所以有(x -1)(y -1) =C (C^0)；当(x - 1)(y -0 =0时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为(x 2-1)( y 2-1) =C (C 为常数)。
⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如dy = g (―)dx x(C 为常数)所以y ^C j e 2(C i 为非零常数且G = _e C)解法：令u=‘ ，则dy=xduudx，代入得到为变量可分离方程，得到x dx解：令u = x - y -2，贝U dy = dx -du ，代入得到1一 史二口，有 udu=-7dx dx u所以齐—7x ・C (C 为常数)，把 u代入得到2"x 一 y -2) Tx=C (C 为常例 2.2、dydx 2x - y 1 x _2y 1解：由丿 2x—y+"0得到、x_2y +1 =01 x =3 1 y =- -3，令 u = x +1 3，有」1v = y 一一dy = dv y ，代入得到 dx =du dv 2u-vdu u-2v 1 _2 v u dt dv 二t d u u d t ，代入得到 t u一 du口，化简得到，1 -2tduu 2 - 2t 2t2d(1 -t t )22(1 -t t )2有 lnu= — I +t)+c (C 为常数)，所 以有f(u,x,C) =0 (C 为常数)再把u 代入得到fd,x,C)=0 (C 为常数)。
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第 一 章 一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如)()(y g x f dxdy= 当0)(≠y g 时，得到dx x f y g dy)()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。
例1.1、xy dxdy= 解：当0≠y 时，有xdx ydy=，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y +=所以)(11212C x e C C eC y ±==为非零常数且0=y 显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为)(1212为常数C eC y x =②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）x P 时，0x x =为原方程的解。
例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x xdy y y 1122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C Cy x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C Cy x ；当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。
⑵可化为变量可分离方程的方程：①、形如)(xy g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dxdux =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x xyf =。
②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G badx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。
③、形如)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211=b a b a ，转化为)(by ax G dxdy+=，下同①； 02、02211≠b a b a ，⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令⎩⎨⎧-=-=00y y v x x u 得到，)()()(22112211u v g uv b a u vb a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()(xy v xy f dx dy x ==),(222),(xy w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++以上都可以化为变量可分离方程。
例2.1、25--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到uu dx du 71+=-，有dx udu 7-= 所以)(722为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(7222为常数）（C Cx y x =+--。
例2.2、1212+-+-=y x y x dx dy解：由⎩⎨⎧=+-=+-012012y x y x 得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=3131y x ，令⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y v x u ，有⎩⎨⎧==du dx dv dy ，代入得到 uvu v v u v u du dv 21222--=--=，令u v t =，有udt tdu dv +=，代入得到t t du dt u t 212--=+，化简得到，)1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--=，有)(2)1ln(ln 2为常数C C t t u ++--=，所以有)(1121C e C tt C u ±=+-=，，故代入得到)0(,31313131131121≠⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--=+C x y x y C x（3）、一阶线性微分方程： 一般形式：)()()01x h y x a dxdyx a =+（ 标准形式：)()(x Q y x P dxdy=+ 解法：1、直接带公式：))(()()()()()()(⎰⎰+⎰⎰=⎰⎰+⎰=---C dx x Q e e dx x Q e e Ce y dx x P dx x P dx x P dx x P dx x P 2、积分因子法：])()([)(1)(⎰+=C dx x Q x x x y μμ，⎰=dx x P e x )()(μ 3、IVP ：)()(x Q y x P dxdy=+，00)(y x y = ⎰⎰⎰+⎰=+⎰⎰=--xx dss P dss P xx dss P ds s P dt et Q ey y dt et Q ey tx tx xx xx 000000)()(00)()()())((例3、1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 解：化简方程为：n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，则;)1()(,1)(n x x e x Q x n x P +=+-= 代入公式得到n dxx ndxx P x ee x -1)()1()(+=⎰=⎰=+-μ所以，)()()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y xnnxnn++=++++=⎰-(4)、恰当方程：形如dy y x N dx y x M dG t s y x G dy y x N dx y x M ),(),(..),,(,0),(),(+=∃=+ 解法：先判断是否是恰当方程：如果有x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 ),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G ts y x G =∂∂=∂∂, 有)(,),(为常数C C y x G =；例4、0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x解：由题意得到，322246),(,63),(y y x y x N xy x y x M +=+= 由xNxy y M ∂∂==∂∂12得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G ts y x G =∂∂=∂∂ 由2263),(),(xy x y X M xy x G +==∂∂得)(3),(223y y x x y x G ϕ++=，两边对y 求偏导得到32246)(6y y x y y x yG+='+=∂∂ϕ，得到34)(y y ='ϕ，有4)(y y =ϕ， 故42233),(y y x x y x G ++=，由0=dG ，得到)(,34223为常数C C y y x x =++(5)、积分因子法：方程是一个恰当方程0..),,(,0),(),(=+∃=+Ndy Mdx t s y x dy y x N dx y x M μμμ，那么称),(y x μ是原方程的积分因子；积分因子不唯一。
①当且仅当)(x NxNy M ϕ=∂∂-∂∂，原方程有只与x 有关的积分因子，且为⎰=dx x e y x )(),(ϕμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同(4)。
②当且仅当)(y MxNy M φ=-∂∂-∂∂，原方程有只与y 有关的积分因子，且为⎰=dy y e y x )(),(φμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同(4)。
例5.1、02)3(2=++xydy dx y e x解：由xy y x N y e y x M x2),(,3),(2=+=得y y y xNy M 426=-=∂∂-∂∂，且有x x N x Ny M 2)(==∂∂-∂∂ϕ，有22),(x ey x dxx =⎰=μ，原方程两边同乘2x ，得到,02)3(322=++ydy x dx y e x x 化为0))22((232=++-y x e x x d x ，得到解为)(,)22(232为常数C C y x e x x x =++-例5.2、0)(3=+-dy y x ydx解:由题意得到，)(),(,),(3y x y x N y y x M +-==，有2)1(1=--=∂∂-∂∂xNy M 有yy M xNy M 2)(-==-∂∂-∂∂φ，有22)(),(--=⎰=⎰=y e e y x dy y dy y φμ，原方程两边同乘2-y ，得到0)2()(22=-=--+y y x d dy y y x y dx ，得到原方程的解为： )(,22为常数C C y y x =- (6)、贝努力方程： 形如n y x Q y x P dxdy)()(=+, 解法：令ny u -=1，有dy y n du n--=)1(，代入得到)()1()()1(x Q n u x P n dxdu-=-+，下同（3） 例6、26xy xydx dy -=解：令1-=y u ，有dy y du 2--=，代入得到x u x dx du =+6，则x x Q xx P ==)(,6)(， 有6)()(x e x dx x P =⎰=μ，)(,8][)(6266为常数C x C x C xdx x x x u +=+⋅=⎰-，把u 代入得到)(,8162为常数C x Cx y +=. (7)、一阶隐式微分方程：一般形式：0),,(='y y x F ，解不出y '的称为一阶隐式微分方程。
下面介绍四种类型：),()1(y x f y '= ),()2(y y f x '= 0),()3(='y x F 0),()4(='y y F①、形如),(dxdy x f y =， 一般解法：令dxdyp =，代入得到),(p x f y =，两边对x 求导得到dx dp p f x f p ∂∂+∂∂=，这是关于x ，p 的一阶线性微分方程，仿照(3)，1、得出解为为常数C C x p ),,(ϕ=，那么原方程的通解为为常数C C x x f y )),,(,(ϕ=2、得出解为为常数C C p x ),,(φ=，那么原方程的通解为为常数C p C p f y C p x ,)),,((),(⎩⎨⎧==φφ 3、得出解为为常数C C p x ,0),,(=Φ，那么原方程的通解为为常数C p x f y C p x ,),(0),,(⎩⎨⎧==Φ ②、形如),(dxdy y f x = 一般解法：令dxdyp =，代入有),(p y f x =，两边对y 求导，得到dy dp p f y f p ∂∂+∂∂=1，此方程是一阶微分方程，可以按照以上(1)—(5)求出通解为常数C C p y ,0),,(=Φ，那么原方程的通解为为常数C p y f x C p y ,),(0),,(⎩⎨⎧==Φ ③、形如0),(='y x F一般解法：设)(,)()(为参数t t y t x ⎩⎨⎧='=φϕ，dt t t dx y dy )()(ϕφ'='=，两边积分得到⎰+'=为常数C C dt t t y ,)()(ϕφ，于是有原方程的通解为为常数C t x Cdt t t y ,)()()(⎩⎨⎧=+'=⎰ϕϕφ ④、形如0),(='y y F一般解法：设)(,)()(为参数t t y t y ⎩⎨⎧='=φϕ，由关系式dx y dy '=得dx t dt t )()(φϕ='，有dt t t dx )()(φϕ'=，两边积分得到⎰+'=为常数，C C dt t t x )()(φϕ，于是有⎪⎩⎪⎨⎧=+'=⎰为常数，C t y C dt t t x )()()(ϕφϕ 例7.1 y y x '+='13解：令y p '=，得到31p p x +=，两边对y 求导，得到dydpp p p p ))1(31(143+-=， 有dp p p dy )32(32--=，得到为常数C C p p y ,2322++=，于是通解为 为常数，C C p p y p p x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=232321 例7.2 y e y y ''=2解：令y p '=，得到p e p y 2=，两边对x 求导，得到dxdpe p p p p)2(2+=，有 dp e p dx p )2(+=，两边积分得到为常数C C e p x p ,)1(++=，于是通解为为常数C e p y Ce p x pp ,)1(2⎩⎨⎧=++= 例7.3 122='+y x解：设,sin cos ⎩⎨⎧='=t y t x 有dt t dt t t dx y dy 212cos )sin (sin -=-⋅='=，所以 为常数C C tt y ,242sin +-=于是通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=为常数C t x Ct t y ,cos 242sin 例7.4 1)1(22='-y y解：设,cos 1sin ⎪⎩⎪⎨⎧=='t y t y 有)tan (cos sin 1cos sin 22t d t dt dt t t t y dy dx -=-=-='=，所以 为常数C C t x ,tan +-=于是通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=为常数C t y C t x ,cos 1tan (8)、里卡蒂方程： 一般形式：)()()(2x R y x Q y x P dxdy++= 一般解法：先找出一个特解)(0x y ，那么令z y y 10+=，有dxdz z dx dy dx dy 201-=，代入原方程得到 )()1)(()1)((102020x R z y x Q z y x P dx dz z dx dy ++++=-，化简得到 0)())()(2(0=+++x P z x Q y x P dxdz，为一阶线性微分方程，解出为常数C C x x z ),,()(ϕ=那么原方程的通解为为常数C C x y y ,),(10ϕ+=例8 0)2(22=-+'xy y x解：我们可以找到一个特解xy 10=，验证：201x y -='，代入满足原方程。