《近世代数》模拟试卷

合集下载

《近世代数》模拟试题及答案

近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C. －1D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。

G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C. －1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（）。

A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕg a是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪-⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解： e 是R 的单位元。

近世代数期末考试模拟试卷和答案

近世代数期末考试模拟试卷及答案班别_________ 姓名___________ 成绩_____________要求：1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。

2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。

3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。

4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。

5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。

否则，视为为作弊。

6、不可以使用普通计算器等计算工具。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------。

3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

《近世代数》模拟试题1及答案.pdf

A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕ是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪−⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解：e 是R 的单位元。

近世代数模拟试题及答案

近世代数模拟试题一、单项选择题每题5分,共25分1、在整数加群Z,＋中,下列那个是单位元;A 0B 1C －1D 1/n,n是整数2、下列说法不正确的是;A G只包含一个元g,乘法是gg＝g;G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是;A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是;A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类;5、下列哪个不是3A 1B 123,132,23C 123,132D 12,13,23二、计算题每题10分,共30分S的正规化子和中心化子;1.求S＝{12,13}在三次对称群32.设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶;3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,求出其右零因子;三、证明题每小题15分,共45分1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子;2、设Z 是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3;证明：Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元;3、证明由整数集Z和普通加法构成的Z,＋是无限阶循环群;近世代数模拟试题答案一、单项选择题每题5分,共25分1． A2． D3． C4． D5． B二、计算题每题10分,共30分1．解：正规化子NS ＝{1,23};;;;;;;;;;;;6分中心化子CS ＝{1};;;;;;;;;;;;;;;;;;4分2．解：群G 中的单位元是1;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分1的阶是1,－1的阶是2,i 和－i 的阶是4;;;;4×2分3．解：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;3分因为x 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分因此右零因子为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分三、证明题每小题15分共45分 1．证明：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;5分因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;8分同理设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;12分因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;14分因此零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分2．明：首先该代数运算封闭;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分其次我们有：a ·b ·c ＝a ＋b －3·c ＝a ＋b －3＋c －3＝a ＋b ＋c －3－3＝a ·b ·c,结合律成立;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;6分令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元;;;;7分对任意元素a,6－a 是其逆元,因为a ·6－a ＝3;;;8分因此,Z 对该运算作成一个群;显然,单位元是e ＝3;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分3．证明：首先证明Z,＋是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0是运算+的单位元又由于： ()()0=+-=-+x x x x所以 ,1x x -=-从而Z,＋为群;;;;;;;;;2分由于+满足交换律,所以Z,＋是交换群;;;;4分Z,＋的单位元为0,对于1Z ∈,由于 1+-1=0,所以111-=-,;;;5分于是对任意Z k ∈,若0=k ,则：010=；若0>k ,则k k =+++=1111 ;;;;;;;;;;;8分若0<k ,则()()()k k k k ------===111111)1()1()1(---++-+-=个k))(1(k --= k = ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分综上,有k k =1,对任意的Z k ∈. 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而Z,＋是无限阶循环群;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分。

《近世代数》模拟试题1及答案

A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕ是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪-⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解： e 是R 的单位元。

《近世代数》模拟试卷(三)

《近世代数》模拟试卷（三）一、填空题（每空2分，共20分）1、设ϕ是集合A 到A 的满射，则==)(Im A ϕϕ 。

2、设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类[]=a ｛｝。

3、设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ，（右边的乘法是普通乘法），则仅就结合律、交换律而言，适合如下运算律：。

4、设G =()a 是10阶循环群，则G 的生成元是。

5、写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集。

6、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha 。

7、设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是。

8、设F 是一含有4个元的域，则F 的特征是。

9、设G =()a 是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是。

10、实数域R 的全部理想是。

二、简答题（先说出结论，后简述理由）（每小题6分，共30分）1、设A 是实数集，规定A 的元间的一个关系如下：0,,≥⇔∈∀ab aRb A b a 。

问R 是不是A 的元间的等价关系？2、群的同态是否具有对称性？3、设N 是G 的不变子群，N n G a ∈∈∀,，是否一定存在N n ∈1使1an na =？4、模47的剩余类47Z 有没有零因子？5、设G 是一个循环群，N 是G 的子群，N G 是循环群吗？三、选择题（每小题2分，共10分）1、指出下列那些运算是二元运算（）①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ；③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

2、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。

那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（）①0和x -； ②1和0； ③k 和k x 2-； ④k -和)2(k x +-。

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题一 .单项选择题 ( 每题 5 分，共 25 分)1、在整数加群（ Z，＋）中，以下那个是单位元（） .A. 0B.1C.－ 1D. 1/n， n 是整数2、以下说法不正确的选项是（） .A . G只包括一个元 g，乘法是 gg＝ g。

G对这个乘法来说作成一个群 ;B . G是全体整数的会合，G对一般加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的会合，G对一般加法来说作成一个群;D. G 是全体自然数的会合，G对一般加法来说作成一个群 .3.假如会合 M的一个关系是等价关系，则不必定具备的是 ( ).A .反身性 B.对称性 C.传达性 D.关闭性4. 对整数加群Z 来说，以下不正确的选项是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C.－ 1 是其生成元 .D.Z 是无穷循环群 .5.以下表达正确的选项是（）。

A.群 G是指一个会合 .B.环 R 是指一个会合 .C.群 G是指一个非空会合和一个代数运算，知足联合律，而且单位元，逆元存在 .D.环R 是指一个非空会合和一个代数运算，知足联合律，而且单位元，逆元存在 .二. 计算题 ( 每题 10 分，共 30 分)1.设 G是由有理数域上全体 2 阶满秩方阵对方阵一般乘法作成1213的群，试求中 G中以下各个元素 c, d0,cd ，011的阶 .2.试求出三次对称群S3(1),(12),(13),(23),(123),(132)的全部子群 .3.若 e 是环R的唯一左单位元，那么 e 是R的单位元吗假如，请赐予证明 .三. 证明题(第 1小题 10分，第 2小题 15分，第 3小题 20分，共 45 分).1.证明 : 在群中只有单位元知足方程x2 x.2．设G是正有理数乘群，G是整数加群.证明：n b: 2 g a n是群 G 到G的一个满同态，此中a, b 是整数，而 (ab,2) 1 .3．设S是环R的一个子环.证明:假如R与S都有单位元，但不相等，则 S 的单位元必为 R 的一个零因子 .近世代数模拟试题答案2008 年 11 月一、单项选择题 ( 每题 5 分，共 25分 )1.A2. D3.D 4 . A 5 . C二.计算题(每题10分，共30分)1.解：易知 c的阶无穷，(3分 )d 的阶为 2.（3分）可是11cd,（2分）01的阶有限，是 2.（2分）2.解： S3的以下六个子集H1(1) , H 2(1),(12) , H 3(1),(13) ,H 4(1),(23) , H 5(1),(123),(132) ,H6 S3（7 分）对置换乘法都是关闭的，所以都是S3的子集.（3 分）3. 解： e 是 R 的单位元。

【近世代数】模拟试题(卷)2与答案解析

近世代数模拟试题一、单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。

A 0B 1C －1D 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）。

A G只包含一个元g，乘法是gg＝g。

G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是（）。

A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( )。

A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类( )。

5、下列哪个不是3A （1）B （123），（132），（23）C （123），（132）D （12），（13），（23）二、计算题(每题10分，共30分)S的正规化子和中心化子。

1.求S＝{（12），（13）}在三次对称群32.设G ＝{1，－1，i ，－i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。

3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x （x ，y 是有理数）方阵作成的环，求出其右零因子。

三、证明题(每小题15分，共45分)1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x （x ，y 是有理数）方阵作成的环，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子。

2、设Z是整数集，规定a·b＝a＋b－3。

证明：Z对此代数运算作成一个群，并指出其单位元。

3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，＋）是无限阶循环群。

近世代数模拟试题答案一、单项选择题(每题5分，共25分)1．A2．D3． C4． D5． B二、计算题(每题10分，共30分)1．解：正规化子N （S ）＝{（1），（23）}。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一、（16分）叙述概念或命题
1．正规子群；
2．唯一分解环；
3．代数数；
4．鲁非尼-阿贝尔定理
二、（12分）填空题
1．设有限域F 的阶为81，则的特征=p 。

2．已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于。

3．一个有单位元的无零因子称为整环。

4．如果710002601a 是一个国际标准书号，那么=a 。

三、（10分）设G 是群。

证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。

四、（10分）证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

五、（15分）设}R ,,,|{H ∈+++=d c b a dk cj bi a 是四元数体，对H 中任意元
dk cj bi a x +++=，
定义其共轭
dk cj bi a x ---=。

1．证明：x x x x =是一个非负实数；
2．对k j i x 221-+-=，k j i y -+-=22，求xy ，yx 和1-x 。

六、（15分）设)6(1=I ，)15(2=I 是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。

1．21I I +；
2．21I I ⋂；
3．21I I ⋅
七、（10分）设有置换)1245)(1345
(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。

1．求στ和στ-1；
2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。

八、（12分）求剩余类加群Z 12中每个元素的阶。

一、1．若H 是群G 的子群，且对每个G a ∈，有Ha aH =，那么H 称为是G 的正规子群。

2．设R 是个整环，若对于R 中每个非零非单位的元都有唯一分解，则称R 为唯一分解环。

3．有理数域上的代数元称为代数数。

4．如果5≥n （特征为0），那么n 次的一般方程没有根式解。

二、1．3
2．25
3．交换环
4．6
三、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）。

四、设A 是任意方阵，令)(21A A B '+=，)(2
1A A C '-=，则B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且C B A +=。

若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一。

五、1．02222≥+++==d c b a x x x x
2．k j i xy 8424-+--=，k j i yx 2484-+--=，)221(10
11k i i x +-+=
- 六、1．)3(21=+I I ；
2．)30(21=⋂I I ；
3．)90(21=⋅I I
七、1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-； 2．两个都是偶置换。

八、。