奥林匹克数学的技巧(中)
二年级奥数必学知识点总结
二年级奥数必学知识点总结奥数，即奥林匹克数学竞赛，是指面向小学生（或中学生）的数学竞赛活动，它旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
而对于二年级的学生来说，奥数竞赛对于他们的数学学习和发展起着至关重要的作用。
因此，二年级的奥数必学知识点也是非常关键的，下面就来总结一下。
首先，二年级的奥数必学知识点主要包括以下几个方面：1. 加减法2. 数学逻辑3. 计算技巧4. 实际问题解决能力5. 数学思维下面我将针对这几个方面依次进行详细的总结和分析。
一、加减法对于二年级的学生来说，加减法是数学学习的基础。
因此，他们必须掌握好加减法的基本原理和运算规则。
对于加减法的学习和掌握，可以通过以下几个方面来提高：1. 认识数字：学生首先要认识数字，掌握数字的读写和大小关系。
2. 计算规则：学生要掌握加减法的运算规则，包括进位、退位等。
3. 口算练习：通过大量的口算练习，提高学生的计算能力。
4. 实际问题：通过实际问题的练习，让学生了解如何运用加减法解决实际生活中的问题。
二、数学逻辑数学逻辑是数学学习中非常重要的一部分。
对于二年级的学生来说，他们需要通过数学逻辑的学习，培养自己的逻辑思维能力和解决问题的能力。
数学逻辑的学习可以通过以下几个方面来提高：1. 排序比较：让学生通过排序比较的练习，提高他们的比较和分类能力。
2. 推理判断：通过推理判断的练习，让学生培养自己的逻辑思维能力。
3. 逻辑运算：让学生学习逻辑运算，提高他们的逻辑思维能力。
三、计算技巧计算技巧是数学学习中非常重要的一部分。
对于二年级的学生来说，他们需要通过计算技巧的学习，提高自己的计算能力和解决问题的能力。
计算技巧的学习可以通过以下几个方面来提高：1. 快速计算：让学生通过快速计算的练习，提高他们的计算速度和准确性。
2. 算式转换：让学生学习算式转换的方法，提高他们的计算能力。
3. 计算方法：让学生学习不同的计算方法，提高他们的解决问题的能力。
奥林匹克数学中的组合问题
奥林匹克数学中的组合问题奥林匹克数学中的组合问题是指在给定的一组对象中选择其中几个对象，形成一个由这些对象组成的集合。
组合问题是数学中的一个重要分支，也是奥林匹克数学竞赛的难点之一。
在奥林匹克数学竞赛中，组合问题要求考生具备逻辑思维和抽象思维能力，有时还需要一定的想象力和创造力。
以下是奥林匹克数学中组合问题的基本步骤：第一步：明确问题组合问题的第一步是要明确问题，即明确给定的对象和要求选择的集合的性质。
例如，问题可能要求在5个仪器中选择3个仪器，并且这3个仪器能够组成一组能够实现某种功能的仪器组合。
第二步：计算对象总数组合问题中需要计算对象的总数，这是问题的基本数据。
例如，如果给定了5个仪器，则对象总数为5。
第三步：确定选择的对象数组合问题需要确定要从给定的对象中选择多少个对象。
例如，如果要从给定的5个仪器中选择3个仪器，则选择的对象数为3。
第四步：计算组合数组合问题需要计算可以选择的方案数，即选择若干对象形成的集合的总数。
组合数可以用下列公式计算：$$C_n^m=\frac{n!}{m! (n-m)!}$$其中，$C_n^m$表示从n个不同对象中选择m个对象的方案数，称为“从n个不同的对象中选出m个对象的组合数”。
例如，选择3个对象的组合数可以计算如下：$$C_5^3=\frac{5!}{3! (5-3)!}=\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=10$$即从5个对象中选出3个对象的方案数为10。
第五步：求解问题组合问题需要根据题目要求，结合计算出的组合数，得出具体的方案。
例如，如果要求从5个仪器中选择3个仪器，并且这3个仪器能够组成一组能够实现某种功能的仪器组合，则需要在10个可能的方案中找到满足条件的方案。
总之，奥林匹克数学中的组合问题是一个需要逻辑思维和抽象思维能力的问题，需要根据题目要求明确问题，计算对象总数和选择的对象数，计算组合数，然后结合题目要求求解问题。
小学生如何学好奥数？
小学生如何学好奥数？
奥数是奥林匹克数学竞赛的简称，学习奥数可以锻炼孩子的思维能力和逻辑推理能力，对孩子的数学学习和未来发展都有一定的帮助。
以下是一些小学生学好奥数的建议：
1.培养兴趣：奥数的学习需要一定的耐心和毅力，因此首先要培养孩子对奥数的兴趣，可以通过一些有趣的数学游戏、数学故事等方式，让孩子感受到数学的乐趣。
2.掌握基础知识：奥数的学习需要建立在扎实的数学基础之上，因此要让孩子掌握好数学的基础知识，如加减乘除、分数、小数、几何等。
3.多做练习：奥数的学习需要不断地练习，只有通过大量的练习，才能真正掌握奥数的解题方法和技巧。
可以让孩子多做一些奥数练习题，提高解题能力。
4.学习方法：奥数的学习需要掌握一定的方法和技巧，可以让孩子学习一些奥数的解题方法和技巧，如分类讨论、归纳法、反证法等。
5.参加奥数培训班：如果孩子对奥数有浓厚的兴趣和天赋，可以考虑让孩子参加奥数培训班，由专业的老师进行指导和培训。
需要注意的是，奥数的学习应该是在孩子自愿和感兴趣的基础上进行的，不要给孩子太大的压力和负担。
同时，家长也要给予孩子足够的支持和鼓励，让孩子在学习奥数的过程中感受到成就感和自信心。
1。
奥数的各种知识点归纳总结
奥数的各种知识点归纳总结奥数的各种知识点归纳总结奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项全球性的数学竞赛活动，对培养学生的逻辑思维和问题解决能力起着重要的作用。
参加奥数竞赛不仅要掌握基本的数学知识和技巧，还需要具备扎实的数学基础和灵活的思维方式。
在这篇文章中，我们将对奥数竞赛中常见的知识点进行归纳总结，以便帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 数论数论是奥数竞赛中常见的一个知识点，它涉及整数的性质和规律。
在数论中，常见的问题包括质数与合数、最大公因数和最小公倍数、同余关系、整数的奇偶性等。
掌握数论的基本原理和定理，能够帮助我们解决一些有关整数的问题。
2. 代数代数是奥数竞赛中的另一个重要知识点，它涉及方程、不等式、函数等数学概念和运算。
在代数中，我们需要掌握解方程的方法和技巧，包括一元二次方程的求根公式、因式分解、配方法等。
此外，还需要熟悉函数的性质和图像，了解函数的定义域、值域以及奇偶性等概念。
3. 几何几何是奥数竞赛中不可或缺的一部分，它涉及图形的性质、定理和推理。
在几何中，我们需要熟悉各种图形的定义和重要性质，如圆的周长和面积、三角形的内角和、平行线的性质等。
此外，还需要掌握解几何问题的方法，包括相似三角形的性质、三角形的面积公式、共线定理等。
4. 组合数学组合数学是奥数竞赛中的一门重要学科，它涉及选择和排列问题的计数方法和技巧。
在组合数学中，我们需要了解排列、组合和二项式系数的概念和计算方法，掌握计数问题的基本原理和技巧，如乘法原理、加法原理、排列组合的计算公式等。
5. 不等式不等式是奥数竞赛中常见的一个考点，它涉及数值大小关系的描述和推理。
在不等式中，我们需要掌握不等式的性质和运算规则，理解不等式的图像性质和解不等式的方法。
熟练掌握不等式的性质和解题技巧，能够在解决实际问题时提供有力的数学工具。
6. 极限与无穷极限与无穷是奥数竞赛中的一部分，它涉及函数值的趋于某一值或趋于无穷的性质和推导。
在极限与无穷中，我们需要理解极限的概念和性质，掌握常用的极限运算法则和计算方法。
3年级奥数解题方法大全
3年级奥数解题方法大全【原创版6篇】目录（篇1）1.奥数的概念和意义2.3 年级奥数的主要内容3.3 年级奥数的解题方法4.如何提高 3 年级奥数解题能力正文（篇1）【奥数的概念和意义】奥数，全称为奥林匹克数学竞赛，是一项针对中小学生的数学竞赛活动。
它旨在选拔和培养优秀的数学人才，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养。
对于 3 年级的学生来说，奥数可以锻炼他们的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，为以后的学习打下坚实的基础。
【3 年级奥数的主要内容】3 年级奥数的主要内容包括：四则运算、几何图形、逻辑推理、数论、组合等。
这些内容都是奥数的基础，学生需要掌握基本的概念和方法，才能在奥数竞赛中取得好成绩。
【3 年级奥数的解题方法】1.画图法：通过画图，将问题形象化，便于理解和解决问题。
2.列表法：将问题中的条件和要求列成表格，便于分析和找出规律。
3.逆推法：从问题的结果出发，逆向推导出问题的解答。
4.代换法：用一个变量代替问题中的某个量，简化问题。
5.分类讨论法：将问题分成若干种情况，分别讨论，得出结论。
【如何提高 3 年级奥数解题能力】1.培养数学兴趣：让学生在解决数学问题的过程中体验到成就感和乐趣，激发他们对数学的热爱。
2.扎实掌握基础知识：学生需要熟练掌握 3 年级奥数的基本概念和方法，才能在解题时游刃有余。
3.多做练习：通过大量的练习，提高学生的解题速度和准确率。
4.学会总结和反思：在做题过程中，学生要学会总结解题方法，反思自己的错误，不断进步。
5.参加培训和比赛：参加奥数培训班和比赛，可以让学生了解自己的水平，提高应试能力。
目录（篇2）1.奥数的概念和意义2.3 年级奥数的特点和要求3.解题方法一：逻辑推理法4.解题方法二：数学归纳法5.解题方法三：逆向思维法6.解题方法四：画图辅助法7.总结与建议正文（篇2）一、奥数的概念和意义奥数，全称奥林匹克数学竞赛，是一项针对青少年的数学竞赛活动。
奥数学习方法经验总结6篇
奥数学习方法经验总结6篇第1篇示例：一、建立扎实的数学基础想要在奥数竞赛中脱颖而出，首先要有扎实的数学基础。
奥数竞赛考察的不仅是学生的计算能力，更重要的是数学的逻辑思维和解题能力。
建立扎实的数学基础是非常重要的。
在学习奥数之前，可以先系统地复习数学基础知识，如四则运算、分数、百分数、小数等，确保自己在这些基础知识上有很好的掌握。
二、培养逻辑思维能力奥数竞赛注重逻辑思维和解题能力，因此在学习奥数的过程中，学生要多进行逻辑思考，培养自己的逻辑思维能力。
可以通过解题、理解题意、总结规律等方式来提升自己的逻辑思维能力。
还可以通过做逻辑推理题、思维训练题等方式来锻炼自己的逻辑思维能力。
三、多做奥数题在学习奥数的过程中，要多做奥数题，这样可以帮助学生熟悉奥数竞赛题型和解题思路，提高自己的解题速度和准确性。
可以从奥数专题书籍、题库、历年真题等方面找到适合自己的练习题，多做题、多总结，掌握解题技巧和规律。
四、有针对性地学习不同阶段的学生在学习奥数时要有针对性地学习。
对于初学者来说，可以从基础知识开始，循序渐进地学习奥数知识。
对于已经有一定基础的学生来说，可以选择适合自己水平的难度进行学习，不断挑战自己，提高自己的解题能力。
五、及时总结与复习在学习奥数的过程中，及时总结与复习是非常重要的。
学生不仅要在学习中逐步掌握知识，还要在学习结束后及时对所学知识进行总结与复习，巩固所学知识，确保自己能够牢固掌握。
这样不仅可以提高解题速度和准确性，还能够帮助学生更好地应对竞赛压力。
六、保持耐心和积极性学习奥数是一个长期的过程，需要学生有足够的耐心和积极性。
在学习的过程中，不可急躁，要保持耐心、坚持不懈，逐步提高自己的解题能力。
学生要保持积极的学习态度，对待奥数学习要有热情和信心，相信自己一定能够取得好成绩。
学习奥数需要付出辛苦和努力，但只要坚持不懈、掌握正确的学习方法，相信每个学生都能在奥数竞赛中取得优异的成绩。
希望以上经验总结能够对学生在学习奥数过程中有所帮助，助力他们取得更好的成绩。
奥数必胜策略逻辑思维
《奥数必胜策略逻辑思维》篇一奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项国际性的数学竞赛，旨在发掘和培养学生在数学方面的才华和兴趣。
参加奥数竞赛不仅可以锻炼学生的数学思维能力，还能提高他们的解题技巧和逻辑推理能力。
以下是一些奥数必胜策略和逻辑思维的指导：一、基础知识的重要性在奥数竞赛中，扎实的数学基础是取得好成绩的关键。
学生需要熟练掌握基础数学概念、公式和定理，如数论、代数、几何、概率和统计等。
只有当基础知识牢固时，才能在遇到难题时找到突破口。
二、培养逻辑思维能力逻辑思维是解决奥数问题的核心。
学生需要学会分析问题，找出关键信息，并根据已知条件进行推理。
这包括理解问题的本质、识别问题的模式和关系、以及运用逻辑规则进行推断。
通过日常的逻辑游戏和练习，可以有效提高逻辑思维能力。
三、掌握解题技巧奥数题目往往具有一定的难度和复杂性，掌握一些解题技巧可以帮助学生更快地找到答案。
例如，排除法、代入法、图示法、归纳法和演绎法等。
这些技巧不仅在奥数中适用，也对其他学科的学习和解决实际问题大有裨益。
四、培养创新思维奥数题目往往需要学生从多个角度思考问题，寻找新颖的解决方案。
因此，培养创新思维至关重要。
学生可以通过学习数学史上的经典问题和解决方案，以及参加数学兴趣小组和讨论会来激发创新思维。
五、练习与实战再多的理论知识也不如实际的练习和比赛经验。
学生应该通过大量的练习题和模拟考试来提高解题速度和准确性。
同时，参加各种级别的奥数竞赛可以积累宝贵的实战经验，提高心理素质和应变能力。
六、时间管理在奥数竞赛中，时间管理是另一个关键因素。
学生需要学会合理分配时间，避免在难题上浪费太多时间，同时确保有足够的时间来检查答案。
这需要通过平时的训练来养成良好的做题习惯。
七、团队合作与交流虽然奥数是一项个人竞赛，但团队合作和交流同样重要。
学生可以与其他参赛者交流解题心得，共同探讨难题，这不仅有助于提高解题能力，还能拓宽视野，增进友谊。
八、持续学习与自我提升奥数竞赛是一个不断学习和进步的过程。
奥数难题高三必考知识点
奥数难题高三必考知识点奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项全球性的数学竞赛活动，旨在培养学生的数学思维、逻辑推理和问题解决能力。
作为高中生，面对奥数难题，我们需要掌握一些必考的知识点。
本文将介绍一些在高三奥数考试中经常出现的知识点，帮助同学们更好地备战。
一、基础知识点在解答奥数难题之前，我们首先需要掌握一些基础的数学知识，包括但不限于：1. 数与代数：熟练掌握数的性质、代数运算法则以及数列等基础概念，如等差数列、等比数列等。
2. 几何与三角：了解各种图形的性质，熟练掌握平面几何和立体几何的基本概念和定理，如勾股定理、相似三角形定理等。
3. 概率与统计：理解概率和统计的基本概念，熟练掌握排列组合、概率计算等技巧。
4. 函数与方程：掌握函数的基本性质、方程的解法，特别是一次函数、二次函数和不等式等。
二、常见考点在高三奥数考试中，有一些经典的难题类型是我们必须要掌握的。
以下是几个常见的考点：1. 数论问题：包括质数、因数、最大公约数和最小公倍数等，掌握一些常用的定理和性质，如费马小定理、欧几里得算法等。
2. 组合数学：掌握排列组合的基本原理，能够解决包括猴子选大王、位置不相邻、球和盒子等问题。
3. 不等式问题：理解不等式的性质和解法，特别是一元二次不等式、绝对值不等式和三角不等式等。
4. 几何证明：熟练运用几何知识进行证明，如证明等腰三角形、证明平行四边形等。
5. 函数问题：掌握函数的性质和变换技巧，能够解决函数的最值、单调性和图像等问题。
三、解题技巧与方法除了掌握基础知识和常见考点外，我们还需要一些解题的技巧和方法来更好地解决难题。
1. 理清思路：在解题之前，要先有一个清晰的思路和解题方向，可以通过画图、列式子和分类讨论等方式来帮助思考。
2. 拓展思维：难题往往需要我们拓宽思维，运用多种方法进行解决。
可以借鉴其他数学分支的知识，如数列的方法解决代数问题，或者运用递推关系求解几何问题等。
3. 参考范例：在做难题时，可以先参考一些范例，通过了解解题思路和方法，为自己解决问题提供一些建议。
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奥林匹克数学的技巧（中篇）2-7-8 配对配对的形式是多样的，有数字的凑整配对或共轭配对，有解析式的对称配对对或整体配对，有子集与其补集的配对，也有集合间象与原象的配对。
凡此种种，都体现了数学和谐美的追求与力量，小高斯求和（1+2+…+99+100）首创了配对，163IMO -也用到了配对。
例2-143 求5020305[]503n n=∑之值。
解 作配对处理 502251251011305305305(503)304503[]([][])30425176304503503503503n n n n n n ===-⨯=+==⨯=∑∑∑ 例2-144 求和 122k nn n n n na C C kC nC =+++++…… 解一 由k n k n n C C -=把n a 倒排，有012012k n n n n n n n a C C C kC nC =++++++…… 1(1)()0n n n k nn n n n n a nC n C n k C C --=+-++-++…… 相加 012()2nn n n n n a n C C C n =+++∙…得 12n n a n -=∙解二 设集合{}1,2,,S n =…，注意到 ,,1,2,,kn A S A kk C A k n ⊂===∑… 有n A Sa A ⊂=∑为了求得A SA ⊂∑把每一A S ⊂，让它与补集A 配对，共有12n -对，且每对中均有A A n +=于是12n n A Sa A n n n n -⊂==++=∙∑…这两种解法形式上虽有不同，但本质上是完全一样的，还有一个解法见例2-149。
例2-145 设12,,,n x x x …是给定的实数，证明存在实数x 使得{}{}{}1212n n x x x x x x --+-++-≤… 这里的{}y 表示y 的小数部分。
证明 有 {}{}1,0,y Zy y y Z⎧∈⎪+-=⎨∈⎪⎩ 知{}{}1y y +-≤下面利用这一配对式的结论。
设{}{}{}112i i i n f x x x x x x =-+-++-{}{}2111(1)()12ni i j j i n i i j ni j nn n f x x x x C =≤≤≤≤≤≤-=-+-≤==∑∑∑据抽屉原理①知，必存在(1)k k n ≤≤，使2112k n n f C n -≤= 取k x x =，由上式得{}{}{}1212n n x x x x x x --+-++-≤… 2-7-9 特殊化特殊化体现了以退求进的思想：从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况、退到最小独立完全系的情况，先解决特殊性，再归纳、联想、发现一般性。
华罗庚先生说，解题时先足够地退到我们最易看清楚问题的地方，认透了、钻深了，然后再上去。
特殊化既是寻找解题方法的方法，又是直接解题的一种方法。
例2-146 已知恒等式 8824(21)()()x a x b x c x d --+=++ 求实数,,,a b c d ，其中0a >。
解 对x 取特殊值，当12x =时，有841()()0242a cb d -+=++≥ 故有02a b +=（1） 1042cd ++=（2）又取0x =（即比较常数项系数），有 841b d -=（3） 比较8x 的系数（考虑特殊位置），有8821a -=（4）由④得a == 代入（1），得b =代入原式左边，有888811(21)256()255()22x x x --=--- 82411()()24x x x =-=-+ 故知11,4c d =-=。
也可以将,a b 的值代入（3）、（2）求,d c ，但要检验排除增根。
例2-147 已知a 为常数，x R ∈，且()1()()1f x f x a f x -+=+求证 ()f x 是周期函数。
分析 作特殊化探索。
求解的困难在于不知道周期，先特殊化，取一个满足条件的特殊函数()f x ctgx =且4a π=，有1()41ctgx ctg x ctgx π-+=+但ctgx 的周期为444T a ππ==⨯=。
猜想：4T a =是周期。
证明 由已知有()11()11()1(2)()1()1()1()1f x f x a f x f x a f x f x a f x f x --+--++===-++++据此，有11(4)()1(2)()f x a f x f x a f x +=-=-=+-得证()f x 为周期函数，且4T a =为一个周期。
例2-148 在平面上给定一直线，半径为n 厘米（n 是整数）的圆以及在圆内的4n 条长为1厘米的线段。
试证在给定的圆内可以作一条和给定直线平行或垂直的弦，它至少与两条给定的线段相交。
分析 特殊化，令1n =，作一个半径为1的圆，在圆内作四条1厘米长的线段，再作一条与已知直线L 垂直的直线L ’（图2-63）现从结论入手，设AB ∥L 并与两条弦相交，则交点在L ’上的投影重合，反之，如果四条线段在L 或L ’上的投影有重合点，则从重合点出发作垂线即可。
由特殊化探索出一个等价命题：将给定的线段向已知直线L 或L 的垂线作投影时，至少有两个投影点重合。
这可以通过长度计算来证实。
证明 设已知直线为L ，作L ’⊥L ，又设4n 条线段为124,,,n d d d …，每一条i d 在L ，L ’上的投影长为,(14)i i a b i n ≤≤，有0,1i i a b ≥≥=。
由1i i a b +==得444111()4nnniiiii i i a b a b n ===+=+≥∑∑∑从而，两个加项4411,n niii i a b ==∑∑中必有一个不小于2n 厘米，但圆的直径为2n 厘米，故124,,,nd d d …在L 或L ’的投影中，至少有两条线段的投影相交，过重迭点作L 或L ’的垂线即为所求。
（将,i i a b 表示为三角函数运算更方便）.275IMO -（例2-51）的求解过程，实质上是对表达式(())()()f xf y f y f x y ∙=+中函数的三个表达式(),(),(())f y f x y f xy y +分别取值为(2)0f =2-7-10 一般化推进到一般，就是把维数较低或抽象程度较弱的有关问题转化为维数较高、抽象程度较强的问题，通过整体性质或本质关系的考虑，而使问题获得解决，离散的问题可以一般化用连续手段处理，有限的问题可以一般化用数学归纳法处理，由于特殊情况往往涉及一些无关宏旨的细节而掩盖了问题的关键，一般情况则更明确地表达了问题的本质。
波利亚说：“这看起来矛盾，但当从一个问题过渡到另一个，我们常常看到，新的雄心大的问题比原问题更容易掌握，较多的问题可能比只有一个问题更容易回答，较复杂的定理可能更容易证明，较普遍的问题可能更容易解决。
”希尔伯特还说：在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的只不够是一连串有关问题的一个环节。
例2-149 求和（例2-144） 122k nn n n n na C C kC nC =+++++…… 解 引进恒等式 0(1)nnkk nk x Cx =+=∑对x 求导 111(1)nn k k n k n x kC x --=+=∑ 令1x =，得112nk n nk kCn -==∑。
这实质是将所面临的问题，放到一个更加波澜壮阔的背景上去考察，当中既有一般化、又有特殊化。
例2-150 1985个点分布在一个圆的圆周上，每个点标上+1或-1，一个点称为“好点”，如果从这点开始，依任一方向绕圆周前进到任何一点时，所经过的各数的和都是正的。
证明：如果标有-1的点数少于662时，圆周上至少有一个好点。
证明 这里662与1985的关系是不清楚的，一般化的过程其实也就是揭示它们内在联系的过程，可以证明更一般性的结论：在32n +个点中有n 个-1时，“好点”一定存在。
（1）1n =时，如图2-64，A 、B 、C 、D 标上+1，则B 、C 均为好点。
（2）假设命题当n k =时成立，即32k +个点中有k 个-1时，必有好点。
对1n k =+，可任取一个-1，并找出两边距离它最近的两个+1，将这3个点一齐去掉，在剩下的32k +个点中有k 个-1，因而一定有好点，记为P 。
现将取出的3个点放回原处，因为P 不是离所取出的-1最近的点，因而从P 出发依圆周两方前进时，必先遇到添回的+1，然后再遇到添回的-1，故P 仍是好点，这说明，1n k =+时命题成立。
由数学归纳法得证一般性命题成立，取661n =即得本例成立。
这里一般化的好处是：第一，可以使用数学归纳法这个有力工具；第二归纳假设提供了一个好点，使得顺利过渡到1n k =+。
一般说来，更强的命题提供更强的归纳假设。
例2-151 设,m n N ∈，求证22[(1)]()k k nnkk k S m m ===-∑∑是整数。
证明 考虑更一般性的整系数多项式 0()[()]()n nkkk k f x x x===-∑∑由 ()()f x f x -= 知()f x 是偶函数，从而()f x 只含x 的偶次项，得()f x 是含2x 的整系数多项式，特别地，取2x 为正整数即2m x =，得22((1))()kk nnkk k S f m m ====-∑∑为整数。
这里，把常数m 一般化为变数之后，函数性质便成为解决问题的锐利武器。
2-7-11 数字化数字化的好处是：将实际问题转化为数学问题的同时，还将抽象的推理转化为具体的计算。
这在例2-33中已见过。
例2-152 今有男女各2n 人，围成内外两圈跳舞，每圈各2n 人，有男有女，外圈的人面向内，内圈的人面向外，跳舞规则如下：每当音乐一起，如面对面者为一男一女，则男的邀请女的跳舞，如果均为男的或均为女的，则鼓掌助兴，曲终时，外圈的人均向左横移一步，如此继续下去，直至外圈的人移动一周。
证明：在整个跳舞过程中至少有一次跳舞的人不少于n 对。
解 将男人记为+1，女人记为-1，外圈的2n 个数122,,,n a a a …与内圈的2n 个数122,,,n b b b …中有2n 个1，2n 个-1，因此，和1221220n n a a a b b b +++++++=……从而2122122122()()()0n n n a a a b b b b b b ++++++=-+++≤……… ①另一方面，当1a 与i b 面对面时， 12121,,,i i n i a b a b a b +-…中的-1的个数表示这时跳舞的对数，如果在整个过程中，每次跳舞的人数均少于n 队，那么恒有121210(1,2,,2i i n i a b a b a b i n +-+++>=……） 从而总和21212112212210()()()nii n i n n i a b a ba b a a a b b b +-=<+++=++++++∑……… ②由①与②矛盾知，至少有一次跳舞的人数不少于n 对。