高等数学考研辅导练习题4-6 不定积分定积分及常微分方程
考研数学高等数学强化习题-不定积分
模块五 不定积分Ⅰ经典习题一．原函数与不定积分1、设,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，1sin ,0()0,0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩下述命题成立的是（ ） （A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数 （B ）(0)g '存在 （C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数 （D ）1()()xF x f t dt -=⎰，则(0)F '存在2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( ) (A) 1sin x + (B) 1sin x -\(C) 1cos x + (D) 1cos x -3、在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A)()()df x dx f x dx=⎰ (B) ()()f x dx f x '=⎰ (C) ()()df x f x =⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()--=⎰xx ef e dx _____.二．有理函数积分5、计算下列不定积分（1）32211++-⎰x x dx x （2）()()222311x dx x x +-+⎰ ;（3）25613x dx x x +-+⎰ （4）2100(1)-⎰x dx x （5）21(21)(1)++⎰dx x x （6）21(1)-⎰dx x x（7）()7711x dx x x -+⎰ （8）226114(1)-+-⎰x x dx x x （9）()()22121---⎰dx xx x （10）()()3222412+++++⎰x x xdx xx x（11）241x dx x -⎰ （12）()2311x dx x x +-⎰ （13）33156x dx x x ++-⎰ （14）421dxx x ++⎰三．可化为有理函数的积分1．三角有理式（6、计算下列不定积分 （1）()1sin sin 1cos ++⎰xdx x x （2）3sin cos ⎰dx x x（3）3sin 2cos +⎰x dx x （4）211cos +⎰dx x（5）sin 1sin +⎰x dx x （6）22221sin cos +⎰dx a x b x（7）()()210sin cos ≠+⎰dx ab a x b x （8）()12cos sin dx x x+⎰（9）64tan cos sin ⎰x x dx x（10）41sin ⎰dx x 2．指数有理式的积分7、计算下列不定积分.（1）311++⎰x xe dx e （2）211+⎰xdx e （3）1x x dx e e --⎰ （4）()211x dx e +⎰四．根式的处理8、计算下列不定积分 （1）⎰（2）（3）3（4）⎰（5）（6）⎰（7） （8）,9、计算下列不定积分（1）()0>⎰a（2）（3）（4）（5）⎰（6）五．分部积分法的使用10、计算下列不定积分 （1）2ln sin sin ⎰x dx x （2）()2ln 1-⎰xdx x（3）2sin ⎰x xdx （4）22arctan 1+⎰x xdx x 》（5）()2ln 1+-⎰x x dx x （6）2arctan ⎰xxe dx e （7）()2arcsin ⎰x dx （8）2ln 1-⎰x dx x11、计算下列不定积分（1）(2lnx dx ⎰（2）2xdx（3）⎰（4） （5）()22arctan 1x xdx x +⎰（6）arcsin⎰ （7）2cos sin cos xx xe dx x+⎰ （8）22sec tan x x x dx x -⎰ 12、若()f x 的一个原函数为2ln x ，则()'=⎰xf x dx （ ）|(A) 2ln ln -+x x C (B) 22ln ln ++x x C(C) 22ln ln -+x x C (D) 2ln ln ++x x C13、已知sin xx是()f x 的原函数，求()3'⎰x f x dx . 14、已知曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,求()f x .15、求积分()sin ln ⎰x dx .16、已知()f x 有二阶连续导数，证明：()()()121212124x xf x dx f x f x C '''-=---+⎰. 六．其他考查形式17、设231,0()1,012,1x f x x x x x <⎧⎪=+<≤⎨⎪>⎩求 ()f x dx ⎰.18、设22(sin )cos 2tan (01),f x x x x '=+<<则()___f x =Ⅱ参考答案一．原函数与不定积分1、【答案】：（C ）【解析】：()g x 在[1,1]-上连续，故存在原函数（A ）不正确，()f x 在点0x =处具有跳跃间断点，故在包含此点的区间内不存在原函数 2、【答案】：(B) ^【解析】：由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+⎰⎰, 其中C 为任意常数.所以()f x 的原函数12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++⎰⎰,其中12,C C 为任意常数.令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 3、【答案】:(A)【解析】:由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰！()()()f x dx df x f x C '==+⎰⎰,C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(A). 4、【答案】:()--+xF eC【解析】:因为()F x 是()f x 的一个原函数，故()()'=F x f x .令-=xu e，则()()()()()-----=-=-=-+=-+⎰⎰⎰x x x x x e f e dx f e de f u du F u C F e C . 二．有理函数积分5、（1）【答案】：()3211ln221-++++x xx C x|【解析】：()()322223212131111221111ln 221+++⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥---+⎣⎦⎝⎭-=++++⎰⎰⎰x x x x dx x dx x dx x x x x x x x Cx（2）【答案】： ()21513ln 1ln 1ln +1arctan 4422x x x x C -++---+（3）【解析】：通过变换，将积分转化为常见积分，即222538613613613x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+-+⎰⎰⎰2221(613)82613(34d x x dx x x x -+=+-+-+⎰⎰） 223(1ln(613)432(1x d x x x -=-++-+⎰）2）2213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++ }（4）【解析】：原式=1001111()()()x x dx x +-+-⎰99100111()()x dxdx x x +=+--⎰⎰ 98991002111()()()dx dx dxx x x =++---⎰⎰⎰979899111974999()()()x x x C ------=---+ （5）【解析】：设221(21)(1)211+=+++++A Bx C x x x x ，计算得421;;555==-=A B C . ()()2222224211211211555(21)(1)2115215151211ln 21ln 1arctan 555⎛⎫-++ ⎪+=+=-+ ⎪+++++++ ⎪⎝⎭=+-+++⎰⎰⎰⎰⎰x d x d x dx dx dx x x x x x x x x x x C（6）【解析】：22221111111(1)(1)(1)(1)1(1)--=-=-+=-+------x x x x x x x x x x x x22221111111ln (1)(1)(1)1(1)11⎡⎤--==-=-+=-+⎢⎥-------⎣⎦⎰⎰x x x dx dx C x x x x x x x x x x x （7）【解析】：72ln ln 17x x C -++ （（8）【解析】：2226114421(1)1(1)-+=+----x x x x x x x222611442114ln 2ln 1(1)1(1)1⎛⎫-+=+-=+-++ ⎪----⎝⎭⎰⎰x x dx dx x x C x x x x x x （9）【解析】：()()()()()()222211211212111==+++-+-----+--A B C Dx x x xx x x x x x 其中1111;;;31242==-=-=-A B C D . 故()()()()()22222111111312422112121111111ln 2ln 1ln 1312421⎛⎫--- ⎪==+++ ⎪-+-------- ⎪⎝⎭=--+--++-⎰⎰dx dx x x x x x x x x x x x x x C x （10）【解析】：()()()322222421122+++=+++++++++x x xA B Cx Dx x x xx x x #其中1;2;0;1====-A B C D .()()()3222222412121ln 22121122⎛⎫++=+-=+-- ⎪ ⎪++++++++++⎝⎭⎰⎰⎰x x xdx dx x dx x x x x x x x x x x222112112⎛⎫+⎪⎝⎭==+++⎛⎫++⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰d xdx Cx xx，故()()322242ln2212++=+--++++⎰x x x dx x Cxx x x（11）【解析】：111ln arctan412xx Cx+-+-（12）【解析】：()221ln ln1ln136x x x x C-+-++++（13）【答案】：【解析】：（14）【答案】：2211ln41x xCx x++++-+|【解析】：()()42222222111122221111111ln41x xdx dxdxx x x x x xx x x xx xCx x⎡⎤+-⎢⎥==-⎢⎥++++-+++-+⎢⎥⎣⎦++=+-+⎰⎰⎰()2211ln86xx Cx x-++++333222111117544215656161211123422411114ln1428231231224⎛⎫+⎪+-⎛⎫=+=+-⎪⎪+-+--++⎝⎭ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⋅++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=+----⋅⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰xx xdx dx x dxx x x x x x xxdd xx x dxx x()222111ln86+-=++++⎰dxxx Cx x6、（1）【解析】：利用万能公式：22212cos ,sin ,(tan )112t t xx x t t t -===++，令2arctan x t =，则221=+dx dt t()22222222211sin 1111112ln sin 1cos 2422111111tan ln tan tan 42222⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫⎝⎭==++=+++ ⎪+⎛⎫-⎝⎭+ ⎪++⎝⎭=+++⎰⎰⎰t x t t dx dt t dt t t t C x x t t t t t x x xC （2）【答案】：21tan ln tan 2x x C ++ 【解析】：先作恒等变形，凑微分得2241tan 1tan tan ln tan tan cos tan 2dx x I d x x x C x x x +===++⎰⎰ （3）【解析】：()231cos sin cos 2cos 2cos -=-++⎰⎰x x dx d x x x，令cos =t x ，故。
考研数学高等数学强化习题-不定积分
考研数学高等数学强化习题-不定积分-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN模块五 不定积分Ⅰ经典习题一．原函数与不定积分1、设,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，1sin ,0()0,0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩下述命题成立的是（ ） （A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数 （B ）(0)g '存在（C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数 （D ）1()()xF x f t dt -=⎰，则(0)F '存在2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( )(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) ()()df x dx f x dx =⎰ (B) ()()f x dx f x '=⎰(C) ()()df x f x =⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰ 4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()--=⎰x x e f e dx _____.二．有理函数积分5、计算下列不定积分（1）32211++-⎰x x dx x （2）()()222311x dx x x +-+⎰ （3）25613x dx x x +-+⎰ （4）2100(1)-⎰x dx x （5）21(21)(1)++⎰dx x x （6）21(1)-⎰dx x x（7）()7711x dx x x -+⎰ （8）226114(1)-+-⎰x x dx x x （9）()()22121---⎰dx xx x （10）()()3222412+++++⎰x x xdx xx x（11）241x dx x -⎰ （12）()2311x dx x x +-⎰ （13）33156x dx x x ++-⎰ （14）421dxx x ++⎰三．可化为有理函数的积分1．三角有理式6、计算下列不定积分 （1）()1sin sin 1cos ++⎰xdx x x （2）3sin cos ⎰dx x x（3）3sin 2cos +⎰x dx x （4）211cos +⎰dx x （5）sin 1sin +⎰x dx x （6）22221sin cos +⎰dx a x b x（7）()()210sin cos ≠+⎰dx ab a x b x （8）()12cos sin dx x x+⎰（9）64tan cos sin ⎰x x dx x（10）41sin ⎰dx x 2．指数有理式的积分7、计算下列不定积分（1）311++⎰x xe dx e （2）211+⎰x dx e （3）1x x dx e e --⎰（4）()211x dx e +⎰ 四．根式的处理8、计算下列不定积分 （1） （2）（3）3（4）⎰（5） （6）dx x⎰（7） （8）9、计算下列不定积分（1）()0>a （2）（3）（4）dx （5） （6）五．分部积分法的使用10、计算下列不定积分 （1）2ln sin sin ⎰x dx x （2）()2ln 1-⎰xdx x （3）2sin ⎰x xdx （4）22arctan 1+⎰x xdx x （5）()2ln 1+-⎰x x dx x （6）2arctan ⎰xxe dx e （7）()2arcsin ⎰x dx （8）2ln 1-⎰x dx x11、计算下列不定积分（1）(2ln x dx⎰ （2）2xdx（3）⎰（4）（5）()22arctan 1x xdx x +⎰（6）⎰ （7）2cos sin cos xx xedx x +⎰ （8）22sec tan x x x dx x -⎰ 12、若()f x 的一个原函数为2ln x ，则()'=⎰xf x dx （ ） (A) 2ln ln -+x x C (B) 22ln ln ++x x C (C) 22ln ln -+x x C (D) 2ln ln ++x x C13、已知sin xx是()f x 的原函数，求()3'⎰x f x dx . 14、已知曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,求()f x .15、求积分()sin ln ⎰x dx .16、已知()f x 有二阶连续导数，证明：()()()121212124x xf x dx f x f x C '''-=---+⎰. 六．其他考查形式17、设231,0()1,012,1x f x x x x x <⎧⎪=+<≤⎨⎪>⎩求 ()f x dx ⎰.18、设22(sin )cos 2tan (01),f x x x x '=+<<则()___f x =Ⅱ参考答案一．原函数与不定积分1、【答案】：（C ）【解析】：()g x 在[1,1]-上连续，故存在原函数（A ）不正确，()f x 在点0x =处具有跳跃间断点，故在包含此点的区间内不存在原函数2、【答案】：(B)【解析】：由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+⎰⎰, 其中C 为任意常数.所以()f x 的原函数12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++⎰⎰,其中12,C C 为任意常数.令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 3、【答案】:(A)【解析】:由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C '==+⎰⎰,C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(A).4、【答案】:()--+x F e C【解析】:因为()F x 是()f x 的一个原函数，故()()'=F x f x .令-=x u e ，则()()()()()-----=-=-=-+=-+⎰⎰⎰x x x x x e f e dx f e de f u du F u C F e C . 二．有理函数积分5、（1）【答案】：()3211ln221-++++x x x C x【解析】：()()322223212131111221111ln 221+++⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥---+⎣⎦⎝⎭-=++++⎰⎰⎰x x x x dx x dx x dx x x x x x x x Cx（2）【答案】： ()21513ln 1ln 1ln +1arctan 4422x x x x C -++---+（3）【解析】：通过变换，将积分转化为常见积分，即222538613613613x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+-+⎰⎰⎰2221(613)82613(34d x x dx x x x -+=+-+-+⎰⎰） 223(1ln(613)432(1x d x x x -=-++-+⎰）2）2213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++（4）【解析】：原式=1001111()()()x x dx x +-+-⎰99100111()()x dxdx x x +=+--⎰⎰ 98991002111()()()dx dx dxx x x =++---⎰⎰⎰979899111974999()()()x x x C ------=---+ （5）【解析】：设221(21)(1)211+=+++++A Bx Cx x x x ，计算得421;;555==-=A B C .()()2222224211211211555(21)(1)2115215151211ln 21ln 1arctan 555⎛⎫-++ ⎪+=+=-+ ⎪+++++++ ⎪⎝⎭=+-+++⎰⎰⎰⎰⎰x d x d x dx dx dx x x x x x x x x x x C（6）【解析】：22221111111(1)(1)(1)(1)1(1)--=-=-+=-+------x x x x x x x x x x x x22221111111ln (1)(1)(1)1(1)11⎡⎤--==-=-+=-+⎢⎥-------⎣⎦⎰⎰x x x dx dx C x x x x x x x x x x x （7）【解析】：72ln ln 17x x C -++（8）【解析】：2226114421(1)1(1)-+=+----x x x x x x x222611442114ln 2ln 1(1)1(1)1⎛⎫-+=+-=+-++ ⎪----⎝⎭⎰⎰x x dx dx x x C x x x x x x （9）【解析】：()()()()()()222211211212111==+++-+-----+--A B C Dx x x xx x x x x x 其中1111;;;31242==-=-=-A B C D .故()()()()()22222111111312422112121111111ln 2ln 1ln 1312421⎛⎫--- ⎪==+++ ⎪-+-------- ⎪⎝⎭=--+--++-⎰⎰dx dx x x x x x x x x x x x x x C x （10）【解析】：()()()322222421122+++=+++++++++x x xA B Cx Dx x x xx x x 其中1;2;0;1====-A B C D .()()()3222222412121ln 22121122⎛⎫++=+-=+-- ⎪ ⎪++++++++++⎝⎭⎰⎰⎰x x xdx dx x dx x x x x x x x x xx 2221121122⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+++⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰d x dx C x x x ， 故()()322242ln 2212++=+-++++⎰x x xdx x C x x x x （11）【解析】：111lnarctan 412x x C x +-+-（12）【解析】：()221ln ln 1ln 136x x x x C -+-++++（13）【答案】：【解析】：（14）【答案】：2211ln 41x x C x x ++++-+ 【解析】：()()42222222111122221111111ln 41x x dx dx dx x x x x x x x x x x x x C x x ⎡⎤+-⎢⎥==-⎢⎥++++-+++-+⎢⎥⎣⎦++=+-+⎰⎰⎰6、（1）【解析】：利用万能公式：22212cos ,sin ,(tan )112t t xx x t t t -===++，令2arctan x t =，则221=+dx dt t()2211ln 86x x C x x -++++333222111117544215656161211123422411114ln 14282321231224⎛⎫+ ⎪+-⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪+-+--++⎝⎭ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=+----⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰x x x dx dx x dx x x x x x x x x dd x x x dx x x ()222111ln 86+-=++++⎰dx x x C x x()22222222211sin 1111112ln sin 1cos 2422111111tan ln tan tan 42222⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫⎝⎭==++=+++ ⎪+⎛⎫-⎝⎭+ ⎪++⎝⎭=+++⎰⎰⎰t x t t dx dt t dt t t t C x x t t t t t x x x C （2）【答案】：21tan ln tan 2x x C ++【解析】：先作恒等变形，凑微分得2241tan 1tan tan ln tan tan cos tan 2dx x I d x x x C x x x +===++⎰⎰ （3）【解析】：()231cos sin cos 2cos 2cos -=-++⎰⎰x x dx d x x x，令cos =t x ，故322222sin 1143322cos 22221123ln 2cos 2cos 3ln cos 222---+⎛⎫=-===-+ ⎪+++++⎝⎭=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰x t t t dx dt dt dt t dt x t t t t t t t C x x x C（4）【解析】：()222211tan 1cos 2tan cos 1sec ===++++⎰⎰⎰d x dx dx C x x x x （5）【解析】：()()2222sin 1sin sin sin tan tan sec sec 11sin cos cos sec tan -==-=--+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x dx dx dx xdx x xdx x dx x x x x x x C （6）【解析】：()22222222222tan 1sec 11arctan tan sin cos tan tan ⎛⎫===+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰d a x x a dx dx x C a x b x a x b a a x b abb（7）【解析】：()()()()22222tan 1sec 111tan sin cos tan tan cos sin cos +===-⋅+++++=-++⎰⎰⎰d a x b xdx dx C a a a x ba xb x a x b a x b xC a x ab x（8）【解析】：()()()231cos 2cos 1ln 61cos -+++x x C x （()()()111ln 2cos ln 1cos ln 1cos 326+-++-+x x x C ） （9）【解析】：()22654331sin tan cos cos sin sin sin sin -==⎰⎰⎰x x x xdx dx d x xx x 令sin =t x 则原式为()226243321tan cos 21112ln sin 22-⎛⎫==-+=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰t x xdx dt t dt t t C x t t t t即662442tan cos tan cos 11sin 2ln sin sin sin 22sin ==--+⎰⎰x x x x dx dx x x C x x x（10）【解析】：()22222224431sin cos csc 1cot csc csc cot sin sin 1cot cot 3+==+=+=--+⎰⎰⎰⎰⎰x x dx dx x x dx xdx x xdx x x x x C 7、（1）【解析】： 方法一：()()333221*********ln ln 22=+++⎛⎫===+-⎪+++⎝⎭=+-+=+-+⎰⎰⎰⎰xx x t e xx x x x x x e e t dx de dt t dt e t t t e e t t t C e e e C方法二：令1=+x t e ，则()11,ln 1,1=-=-=-x e t x t dx t . 则原式为()332111133111-++-+=⋅=+--⎰⎰⎰x x t e t t dx dt dt e t t t （2）【解析】：()()()()222222*********ln ln 1ln 122=-⎛⎫===+⎪++++⎝⎭=-++=-++⎰⎰⎰⎰xxt e x x x x e t dx dx dt dt e t t e e t t t t C x e C（3）【解析】：11ln 21x xe C e -++（4）【解析】：()1ln 11x xx e C e+-+++ 四．根式的处理8、（1）【解析】：)4ln 1C +（2）【解析】：=⎰令4=t ()324414,11-==--t x dx dt t t .()()324242244144111211111ln2arctan 2arctan 1-⎛⎫=--⋅⋅=-=- ⎪--+⎝⎭-+=-+=--⎰⎰⎰t t t dt dt dt t t t t t tt C Ct（3）【解析】：令12=t 1211,12==x t dx t dt.()6411141283513315139412421121224244424451335133--=⋅=--=--+=--+⎰⎰t t t dt t t t dt t t t t C x x x C（4）【答案】：)1C+【解析】：令21,2t t x dx tdt +===于是 t t t te dt te e dt ==-⎰⎰⎰())11.t t e C C =-+=+（5）【答案】：C -+【解析】：⎰1x t=21dt t ⎫-=-⎪⎭ln1t C C=-=--++=-+（6）33arccos Cx+（7）()3223113x Cx++（8）C9、（1）【答案】：1(ln arcsin)2++xCa【解析】：令tax sin=，则原式1cos sin1cos sin2sin cos2sin cost t t tdt dtt t t t-+=+++⎰⎰111ln sin cos(ln arcsin)222=+++=++xt t t C Ca（2）=令12secθ-=x，则2sec tanθθθ=dx d，原式为()2sec tan sec2sec12tan2sec12cosθθθθθθθθθθ====+++⎰⎰⎰d d d利用万能公式：22212cos,sin,(tan)112t t xx x tt t-===++222cos3θθ==+++⎰⎰ddt Ct再将变量还原即可。
考研数学微积分试题及答案
考研数学微积分试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) = -f(x)的是（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)2. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是（）。
A. 0B. 1C. eD. e^03. 定积分∫₀^(π/2) sin(x) dx的值是（）。
A. 1B. 2C. π/2D. π4. 已知函数f(x) = 2x - 1，g(x) = x^2 + 3x + 2，这两个函数的和f(x) + g(x)是（）。
A. x^2 + 5x + 1B. x^2 + x + 1C. x^2 + 5x + 3D. x^2 + 4x - 15. 设函数f(x)在区间(a, b)上连续，若∫(a, b) f(x) dx = 2，则∫(a, b) x f(x) dx是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 无法确定6. 微分方程dy/dx = x^2 - y^2的解是（）。
A. y = x^2B. y = x - 1/xC. y = x + 1/xD. y = e^x7. 若函数f(x)在点x=c处可导，则函数f(x)在点x=c处一定（）。
A. 连续B. 有定义C. 可积D. 有极限8. 函数F(x) = ∫(1, x) e^t dt + 2的主要性质是（）。
A. 单调递增B. 单调递减C. 有界D. 无界9. 设f(x)在区间[a, b]上二阶可导，且f''(x) ≥ 0，则f(x)在[a,b]上是（）。
A. 单调递增B. 单调递减C. 凸函数D. 凹函数10. 利用分部积分法计算定积分∫(0, e) sin(t) dt的结果是（）。
A. 1 - cos(e)B. cos(e) - 1C. e - sin(e)D. sin(e) - e二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^3在区间[-1, 2]上的最大值为_________。
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
定积分（历年考研真题）
定积分（历年考研真题）第六章定积分（历年考研真题）1、222d 2x x x x-+=+?。
2、设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x >，则⽅程1()d d 0()x x abf t t t f t +=?在开区间(,)a b 内的根有（）(A)0个. (B)1个. (C)2个. (D)⽆穷多个. 3、设函数()f x 有导数，且1(0)0,()()d x n n nf F x tf x t t -==-?。
证明：20()1lim(0)2nx F x f xn→'=。
4、已知曲线(0)y a =>与曲线lny =00(,)x y 处有公切线，求（1）常数a 及切点00(,)x y ；（2）两曲线与x 轴围成的平⾯图形的⾯积。
5、设1lim d ax a tx x te t x -∞→∞+??，则常数a = 。
6、下列⼴义积分发散的是（） (A)111d sin x x-?. (B)1x -?. (C)2ed xx +∞-?. (D)221d ln x x x+∞?.7、设(),()f x g x 在区间[,](0)a a a ->上连续，且()f x 满⾜条件()()f x f x A +-=（A 为常数），()g x 为偶函数。
（1）证明0()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=?；（2）利⽤（1）的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-8、计算2ed (1e )x xx x -+∞-+?。
9、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()d ()b af x x f b b a=-?。
求证：在(,)a b 内⾄少存在⼀点ξ，使()0f ξ'=。
10、设1321()()d 1f x xf x x x=++?，则1()d f x x =? 。
11、设(),()f x x ?在点0x =的某邻域内连续，且当0x →时，()f x 是()x ?的⾼阶⽆穷⼩。
定积分不定积考研题库
定积分不定积考研题库定积分是数学分析中的一个重要概念，它在物理学、工程学、经济学等多个领域都有着广泛的应用。
不定积分则是求定积分的逆过程，即求原函数的过程。
以下是一些关于定积分和不定积分的考研题目，供同学们练习和参考。
# 定积分与不定积分考研题库一、基础概念题1. 定义理解：请解释什么是定积分，并给出其数学表达式。
2. 原函数：描述不定积分与原函数之间的关系，并给出一个具体函数的不定积分。
二、计算题1. 简单函数的不定积分：- 求函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \( [1, 2] \) 上的定积分。
- 求函数 \( g(x) = 3x - 2 \) 的不定积分。
2. 三角函数的积分：- 计算 \( \int \sin(x) \, dx \) 和 \( \int \cos(x) \, dx \)。
3. 指数和对数函数的积分：- 求 \( \int e^x \, dx \) 和 \( \int \ln(x) \, dx \)。
4. 有理函数的积分：- 计算 \( \int \frac{1}{x} \, dx \) 和 \( \int\frac{x}{x^2 + 1} \, dx \)。
三、应用题1. 面积问题：求由曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4 \) 以及\( x \) 轴所围成的图形的面积。
2. 物理问题：如果一个物体的位移函数是 \( s(t) = 2t^3 - 3t^2 \)，求在 \( t \in [0, 2] \) 内物体的平均速度。
四、综合题1. 变换技巧：使用换元积分法和分部积分法解决以下问题：- 求 \( \int x^2 e^x \, dx \) 和 \( \int e^x \sin(x) \, dx \)。
2. 参数方程的积分：如果曲线由参数方程 \( x = t^2 \) 和 \( y = t^3 \) 确定，求在 \( t \in [1, 2] \) 内曲线下的面积。
考研微分方程试题及答案
考研微分方程试题及答案1. 已知微分方程 \( y'' - 4y = 0 \)，求通解。
答案：通解为 \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \)，其中\( C_1 \) 和 \( C_2 \) 为任意常数。
2. 解微分方程 \( y' + 2xy = 0 \)。
答案：首先分离变量，得到 \( \frac{dy}{dx} = -2xy \)，然后两边同时积分，得到 \( \ln|y| = -x^2 + C \)，即 \( y = Ce^{-x^2} \)。
3. 求解微分方程 \( y'' + 3y' + 2y = e^{-x} \)。
答案：首先求齐次方程的通解 \( y_h = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} \)，然后求特解。
设特解为 \( y_p = Axe^{-x} \)，代入原方程得到 \( A = 1 \)，所以特解为 \( y_p = e^{-x} \)。
因此，通解为\( y = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} + e^{-x} \)。
4. 已知 \( y'' - 2y' + y = \sin(x) \)，求微分方程的特解。
答案：特解可设为 \( y_p = A\cos(x) + B\sin(x) \)，代入原方程得到 \( A = \frac{1}{2} \)，\( B = 0 \)，所以特解为\( y_p = \frac{1}{2}\cos(x) \)。
5. 求解微分方程 \( y'' - 6y' + 9y = 0 \)。
答案：这是一个特征方程 \( r^2 - 6r + 9 = 0 \) 的齐次方程，解得 \( r = 3 \)（重根），所以通解为 \( y = (C_1 + C_2x)e^{3x} \)。
6. 已知 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \)，求其通解。
考研数学二(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b 的取值范围是( )A．[0，+∞)．B．(一∞，0]．C．(一∞，4]．D．(一∞，+∞)．正确答案：A解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．知识模块：常微分方程2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．y’’’一y’’一y’+y=0．B．y’’’+y’’一y’一y=0．C．y’’’一6y’’+11y’一6y=0．D．y’’’一2y’’一y’+2y=0．正确答案：B解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r —1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B．知识模块：常微分方程3．函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )A．y’’一y’一2y=3xex．B．y’’一y’一2y=3ex．C．y’’+y’一2y=3xex．D．y’’+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2．因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0．又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为f(x)=Cex(C为常数)．比较四个选项，应选D．知识模块：常微分方程4．设是微分方程的解，则的表达式为( )A．1B．1C．1D．1正确答案：A解析：1 知识模块：常微分方程5．微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为( )A．xy2=4．B．xy=4．C．x2y=4．D．一xy=4．正确答案：C解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4．应选C．知识模块：常微分方程6．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )A．y=Cy1(x)．B．y=Cy2(x)．C．y=C1y1(x)+C2y2(x)．D．y=C(y1(x)一y2(x))．正确答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解．知识模块：常微分方程7．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ) A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．正确答案：D解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D．知识模块：常微分方程8．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )A．y=C1x+C2x2+ex．B．y=C1x2+C2ex+x．C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．正确答案：C解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x 一x2)+C2(x一ex)+x，故选C．知识模块：常微分方程填空题9．微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为____________．正确答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex解析：对应的特征方程为r2一2r+2=0，解得其特征根为r1,2=1±i．由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Ae2，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1exeosx+C2exsinx+ex．知识模块：常微分方程10．二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______________．正确答案：y=C1ex+C2e3x－2e2x解析：特征方程为r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．则对应齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．设非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x 的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=-2．故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．知识模块：常微分方程11．微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是___________．正确答案：x=y2+y解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．知识模块：常微分方程12．微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．正确答案：(x+C)cosx，C是任意常数解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知知识模块：常微分方程13．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_____________．正确答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数解析：显然y1一y3=e3x和y2－y2=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解．且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解．由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2e一xe2x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程14．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____________.正确答案：y’’-2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．故，所求微分方程为y’’一2y’+2y=0．知识模块：常微分方程15．微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_____________.正确答案：xe1-x解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有，所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x．知识模块：常微分方程16．微分方程xy’’+3y’=0的通解为_______________．正确答案：解析：令p=y’，则原方程化为，其通解为p=Cx-3．因此，知识模块：常微分方程17．微分方程的通解是____________．正确答案：y=Cxe-x(x≠0)解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1．取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x ≠0)．知识模块：常微分方程18．微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________．正确答案：解析：将已知微分方程变形整理得，知识模块：常微分方程19．微分方程的通解为____________．正确答案：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为知识模块：常微分方程20．微分方程满足y｜x=1=1的特解为_____________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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《高等数学》考研辅导练习4 不定积分
1． 求()x
f x e
-=在R 上的一个原函数。
2． 已知222(sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。
3． 设
2
()f x dx x
C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ 。
4．
计算
3。
5。
计算⎰。
6． 计算
71(2)dx x x +⎰。
7。
计算⎰。
8． 计算
21
13sin dx x +⎰。
9。
计算172
2
1sin cos dx x x
⎰。
10． 计算
()
2
2
sin cos x dx x x x +⎰。
11． 计算
()()2
ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++⎰。
12． 设()arcsin xf x dx x C =+⎰，则
1
()
dx f x =⎰。
13． 设2
2
2(1)ln 2
x f x x -=-，且(())ln f x x ϕ=，求()x dx ϕ⎰。
14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +⎰。
15．
计算x
dx 。
16． 计算
1sin 22sin dx x x +⎰。
17． 计算ln t tdt α
⎰。
18． 计算()ln n x dx ⎰。
《高等数学》考研辅导练习5 定积分
1．设02
()2
l kx x f x l c x l ⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩，求0
()()x x f t dt Φ=⎰。
2． 设1
()2()f x x f x dx =+⎰
，则()f x = 。
3． 计算
{}2
23
min 2,x dx -⎰。
4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则
2
2cos 1()x
dx f x π
π-+⎰＝ 。
5． 计算
101020
sin cos 4sin cos x x dx x x
π
---⎰
，并求20sin cos sin cos m m
n n x x
dx a x x π---⎰，这里的a 为任意的常数，
,m n 为正整数。
6．
计算
2
⎰。
7． 计算2
(sin )
(cos )(sin )
f x dx f x f x π
+⎰。
8． 计算2008
2
200820080sin sin cos x
dx x x
π
+⎰。
9． 计算20ln tan tdt π⎰。
10． 计算
2cos cos 33
()x
x
e
e
dx ππ
--
-⎰。
11． 计算131
1
x x
dx e e +∞
+-+⎰。
12． 已知()()f x g x '=，()g x 连续，()(0)2f f π==，求
()20
()()11g x f x dx x x π
⎛⎫
- ⎪ ⎪++⎝⎭
⎰。
13． 由
2(1)
()x x f t dt x +=⎰
，求连续函数()f x 在2x =处的值。
14． 设2
2
()x t F x e dt -=⎰
，则3
22
()x F x dx -'=⎰ 。
15． 求定积分
2
2
sin arctan x x e dx π
π
-
⎰的值。
16． 计算2
sin 1cos x x
dx x
π
+⎰。
17． 设()22
32102()011x x x x x f x xe x e ⎧+-≤<⎪⎪
=⎨≤≤⎪⎪+⎩
，求1
()()x x f t dt -Φ=⎰。
18． 已知()f x
满足方程1
20
()3()f x x f x dx =，求()f x 。
19． 设函数()f x 连续，满足()0
3()1()2x
f t dt f x +=+⎰，求(0)f '。
20． 计算
()
2
21x
dx x +∞
+⎰。
21．
4
20
32x x dx -+=⎰。
22． 设函数()f x 连续，证明
()
()()()x u
x
f t dt du x u f u du =-⎰⎰
⎰。
23． 计算
2
(1)f x dx -⎰
，1
01
()101x x x f x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩。
24． 由
2
2
1y
x t e dt +=⎰
⎰
，确定y 为x 的函数，求y '。
25． 已知11()1()(0)x
f x f t dt x x
=+>⎰，求()f x 。
26． 设()f x 连续，0
()1cos x
tf x t dt x -=-⎰
，求20()f x dx π
⎰的值。
27． 证明：（1）10
()()(())b
a f x dx
b a f a b a x dx =-+-⎰
⎰；
（2）
220
(cos )4(cos )f x dx f x dx π
π
=⎰
⎰；
（3）22
00
1
cos sin cos 2
n
n
n n
x xdx xdx ππ
=⎰⎰
，n 为正整数。
《高等数学》考研辅导练习6 常微分方程
1． 三个线性无关函数123(),(),()y x y x y x 均为方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则方程的通解可表示为： 。
2． 方程()()y p x y Q x '+=有两个解12(),()y x y x ，则方程的通解为： 。
3． 212x x x y C e C e xe -=++是二阶常系数线性微分方程 的通解。
4． 求21sin y y x x ''+=++的特解的估计表示形式可写为 。
5． ()y y x =由方程2
0()()ln(1)t x x t y y t u du =⎧
⎪
⎨==+⎪⎩
⎰确定，()x x t =是初值问题 020
|0
x
t dx te dt
x -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解，求22d y dx 。
6． 求微分方程2
6(9)1y y a y ''''''+++=的通解(0)a >。
7． 已知0
()sin ()()x
f x x x t f t dt =-
-⎰
，求()f x 。
8． 求323x y y y e -'''+-=的通解。
9． f 具有二阶连续的导数，(0)1,(0)0f f '==，且
()()2()()()0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=
为一全微分方程，求()f x ，并求此方程的通解。
10． 求
3
1
dy dx x yx =+的通解。
11． 求微分方程2()0yy y '''+=满足初始条件001
|1,|2
x x y y =='==的特解。
12． 有一个平底容器，其内侧壁是由曲线()
(0)x y y ϕ=≥绕y 轴旋转而成的旋转曲面。
容器的底面半径为2米，根据设计要求，当以每分3立方米的数率想容器内注入液体时，液面的面积将以每分π平方米的数率均匀扩大（假设注入液体前容器内无液体）
（1） 根据t 时刻液面的面积写出t 与()y ϕ之间的关系式； （2） 求曲线()
(0)x y y ϕ=≥的方程。
13．22
2420(0)d y dy
x x y x dx dx
++=>的通解为 。
14． 解方程1
sin x y y xe x x
'''=
+。
15． 解方程2
12y y y
'+''=。
16． 解方程22ln yy y y y '''-=。