2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵
高二数学上 9.1《矩阵的概念》(沪教版)
k
k
8)单位方阵：主对角线上全为1的对角方阵，记作
1
E
1
1
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三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
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思考题
矩阵与行列式的有何区别?
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定义:
0 1 0 1
0 0 1 0
1 1
1 0
0 0
0 0
这就是 矩阵
由 mn个数 a i j i 1 , 2 , ,m ; j 1 , 2 , ,n
排成的m行 n列的数表
a11 a 21
a12 a 22
a1n a2n
a n1 a n 2 a nn
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称为一个m行 n列矩阵或 m n 矩阵. 记为 A ij 或
第二章 矩阵
•2.1 矩阵的概念
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一、矩阵的概念
在实际问题里，经常用矩阵描述事物的状态和事物
之间的联系 ，例如
a,b,c,d四个城市之间的火车交通情况如下图(图中 单箭头代表只有单向车，双箭头表示有双向车)。
a
d
b
c
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常用表格来表示:
到站
ab c d a
发 站
b
c
d
其中 表示有火车直达。 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表:
例如
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
2) 行矩阵: 只有一行的矩阵。a1,a2, ,an
线性代数 矩阵及其运算
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
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27
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ： AA*A*A(detA)E
矩阵运算举例
例 例 1 8 设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
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例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
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18
例5 设
A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 3 0 1 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行
a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
... ...
cij
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14
例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
2 5 22 15
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15
例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
线性代数2.1矩阵定义
这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线(叫 做(主)对角线)上的元素都是1，其他元素都是0 .
即单位阵E的(i, j)元为
ij
1，当i 0，当i
j， j， (i,
j
1，2， ，n)
y1 1 x1,
又如
线性变
换
y2 2 x2
,
yn n xn
对应n阶方阵
1 0
A
0
2
0 0,
0 1 1 1
n 阶矩阵 A也记作An .
例如
1 0
0 1
0 0
00是 4阶方阵.
1 0 1 0
(2) 只有一行的矩阵 A (a1,a2 , ,an ),称为行矩阵，
又称行向量.
a1
(3)
只有一列的矩
阵
B
a2 ,
称
为列矩
阵,又称列向量.
an
(4) 两个矩阵的行数相等,列数也相等时,就称它们是
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
(2)
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2 , , xn 到变量 y1, y2 , , ym的 线性变换，其中aij为常数.
线性变换(2)的系数 aij 构成矩阵A (aij )mn .
元素是实数的矩阵是实矩 阵，
例如 1 0 3 5, 是一个 2 4实矩阵. 9 6 4 3
元素是复数的矩阵称为复矩阵，
例如
13 2i
6 2
2i 2 , 是一个 3 3 复矩阵.
2 2i 2
这里 的矩阵除特别说明者外, 都指实矩阵.
常用的特殊矩阵
(1) 行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵(方阵).
线性代数课件第2章矩阵
于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则
2.1 矩阵的概念
与另外 m 个变量
P29 例3
之间存在如下的线性关系：
线性变换的系数可构成矩阵
A ( a ij ) m n .
线性变换和矩阵之间存在着一一对应关系.
16
§2.1 矩阵的概念 第 附：图像举例 二 章 矩 阵
30 33 37 40 48 58 53 52 65 64 71 69 62 68 76 67 74 86 88 70 58 48 37 33
a a 0 (?) aI a n n
0
11
§2.1 矩阵的概念 第 三、几种特殊的矩阵 二 章 3. 方阵 (1) 单位矩阵 矩 (2) 数量矩阵 阵 (3) 对角矩阵
1
2
0
0
记为 Λ diag ( 1 , 2 , , n ) . n n n
a11 a12 a 21 a 22 (A b) am1 am 2 a1 n a2 n am n b1 b2 bm
称为方程组的增广矩阵. 15
§2.1 矩阵的概念 第 例 二 章 矩 阵 线性变换是指 n 个变量
数表内部 进行操作
4
§2.1 矩阵的概念 第 二、矩阵的定义与一些基本概念 二 1. 矩阵的定义 章 定义 由 m×n 个数 ai j 排成的 m 行 n 列的数表 矩 阵 P26
定义 2.1 记为
A 或者
Am n
称为 m×n 阶矩阵，简记为 A
(a i j )mn
或
(a i j ) .
5
补
数表
线性代数讲义2
第二章 矩阵矩阵是线性代数的重要组成部分，也是以后各章中计算的重要工具.在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用.我们在这一章里，将要介绍矩阵的基本概念及其运算.§2.1 矩阵的定义一、矩阵的定义首先看几个例子.例1 设有线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++--=--+7739183332154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个矩形阵列如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------77391111833312111151这个阵列决定着给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题.因此对这个阵列的研究很有必要.例2 某企业生产5种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表2-1.表2-1这个排成4行5列的产值阵列⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7680827088809090759076848570986478755880具体描述了这家企业各种产品各季度的产值，同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况.例3 生产m 种产品需用n 种材料，如果以ij a 表示生产第i 种产品（m i ，，Λ2,1=）耗用第j 种材料（n j ，，Λ2,1=）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表表示，如表2-2.表2-2这个由m 行n 列构成的消耗定额阵列⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系.类似这样的数表，我们在自然科学、工程技术和经济管理等不同领域中经常遇到.这种数表在数学上就叫做矩阵.下面我们给出矩阵的定义.定义 由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==排成m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 (2-1-1) 叫做m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵.这n m ⨯个数叫做矩阵A 的元素，ij a 叫做矩阵A 的第i 行第j 列元素.一般情形下，用大写字母A ，B ，C ，…表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ，可用n m A ⨯表示，或记作()nm ija ⨯.二、几种特殊的矩阵1．n 阶方阵当n m =时，即A =()nn ija ⨯时，A 称为n 阶方阵.2．对角矩阵主对角线以外的元素都为零的方阵称为对角矩阵，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n OO A λλλO21 3．单位矩阵主对角线上的元素都是1的n 阶对角矩阵称为单位矩阵，记为E ，如⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111O O OE 4．三角矩阵主对角线一侧所有元素都为零的方阵称为三角矩阵，如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a aa a a ΛM O M M ΛΛ00022211211 或 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a a a aa ΛM O M M ΛΛ21222111000 5．零矩阵所有元素都为零的矩阵称为零矩阵.记作n m O ⨯，简记O . 6．行矩阵、列矩阵m =1时的矩阵，即()n a a a A Λ21=称为行矩阵；n =1时的矩阵，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A M 21称为列矩阵.7．对称矩阵在矩阵n n ij a A ⨯=)(中，若),,2,1,(n j i a a jiij Λ==则矩阵A 称为对称矩阵，如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡410781086076258051§2.2 矩阵的运算矩阵的意义不仅在于将一些数据排成数表形式，而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，从而使它成为进行理论研究或解决实际问题的有力工具.一、矩阵的加法、减法首先给出矩阵相等的概念. 定义1 在矩阵()nm ija A ⨯=和()nm ijb B ⨯=中，若它们的对应元素相等，即),,2,1;,,2,1(n j m i b a ijij ΛΛ===则称矩阵A 与B 相等,记为A=B .定义2 设()nm ija A ⨯=，()nm ijb B ⨯=，矩阵()nm ijij b a ⨯±称为矩阵A 与矩阵B 的和或差，记作A +B 或A -B ，即n m ij ij b a B A ⨯±=±)(注意，只有当两个矩阵的行数相同且列数也相同时，这两个矩阵才能进行加法、减法运算.例1 有两种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=846075120231321034022753B A则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+11670109142984834261007354102202273513 846075120231321034022753B A矩阵加法满足以下运算规律：（1）A B B A +=+（2）)()(C B A C B A ++=++（3）A O A =+ 矩阵()nm ija ⨯-称为矩阵()nm ija A ⨯=的负矩阵，记为()nm ija A ⨯-=-.显然，有（4）O A A =-+)(二、数与矩阵的乘法定义3 以数k 乘矩阵A 的每一个元素所得到的矩阵，称为数k 与矩阵A 的积，记作kA .如果()nm ija A ⨯=，那么()()n m ij n m ij ka a k kA ⨯⨯==不难证明，数与矩阵乘法满足以下运算规律： (1) kB kA B A k +=+)( (2) lA kA A l k +=+)( (3) )()(lA k A kl =(4) A A A A -=-=⋅)1(1， (5) O O k =⋅ (O 为零矩阵) 例2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=052110351234230412301321B A求3A -2B .解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-----+-+----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-61941016151055011061094021223066910023496683052110351234223412301321323B A 例3 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=612379154257864297510213B A且B X A =+2,求X ..解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-=1271211122223227212244446421)(21A B X 三、矩阵与矩阵的乘法先看一个例子.例4 某工厂有321,,A A A 三个车间，某月各种原材料的消耗量如表2-3.又各种原材料每吨价格和加工费如表2-4.求各车间某月支出原料费及加工费各为多少元？解我们可以直接计算出各车间支出的原料费用和加工费用为A车间的原料费=21×12+15×14+16×8+10×20=790（元）1A车间的原料费=53×12+0×14+13×8+4×20=820（元）2A车间的原料费=24×12+32×14+10×8+0×20=816（元）3A车间的加工费=21×5+15×4+16×2.5+10×3=235（元）1A车间的加工费=53×5+0×4+13×2.5+4×3=309.5（元）2A车间的加工费=24×5+32×4+10×2.5+0×3=273（元）3上述结果列成表2-5如果用矩阵来表示，则表2-3、表2-4、表2-5分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2738165.309820235790,3205.28414512,010322441305310161521C B A 从上述分析可以看出，矩阵A 、B 与C 之间的关系是：C 中第i 行第j 列)2,1;3,2,1(==j i 元素恰好等于A 的第i 行各元素分别和矩阵B 第j 列对应元素的乘积之和.因此，我们将矩阵C 定义为矩阵A 与矩阵B 的乘积，记为C =AB , 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==2738165.3098202357903205.28414512010322441305310161521AB C 我们将上面例题中矩阵之间的这种关系定义为矩阵的乘法. 定义4 设矩阵()l m ik a A ⨯=的列数与矩阵()nl kjb B ⨯=的行数相同，则由元素),,2,1;,,2,1(12211n j m i b a b a b a b a c lk kjik lj il j i j i ij ΛΛΛ===+++=∑=构成的m 行n 列矩阵n m lk kj ik n m ij b a c C ⨯=⨯∑==)()(1称为矩阵A 与矩阵B 的积，记为C =A ·B 或AB .这个定义说明，如果矩阵A 的列数等于矩阵B 的行数，则A 与B 的乘积C 中第i 行第j 列的元素，等于矩阵A 的第i 行元素与矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和.并且矩阵C 的行数等于矩阵A 的行数，矩阵C 的列数等于矩阵B 的列数.例5 若,012321,132132⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=B A 求AB . 解⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012321132132AB⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+-⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯-+-⨯-⨯-+-⨯⨯-+⨯⨯+-⨯-⨯+-⨯⨯+⨯=97530367801)3(3)1(1)2(321130)2()3(1)1()2()2(12)2(1103)3(2)1(3)2(22312我们还可以求一下BA .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+-⨯-+⨯⨯+⨯-+⨯⨯-+-⨯-+⨯⨯-+⨯-+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=834910)2()1(32301)1(221)3()2()2(313)3(1)2(21132132012321BA显然,BA AB ≠.例6 若()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==530412,013B A ,求AB . 解()()()32500113)3(0)4(123530412013=⨯+⨯+⨯-⨯+-⨯+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ABBA 没有意义，因为B 的列数不等于A 的行数，BA 不可进行运算.例7 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=6342,2142B A ，求AB 及BA .解⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=168321663422142AB .000021426342BA AB BA ≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=由例5，例6，例7可以看到矩阵的乘法一般不满足交换律.由例6可以看到AB 有意义，BA 不一定有意义.由例5、例7可以看到，即使AB 、BA 都有意义，AB 与BA 也不一定相等.但并不是任何两矩阵相乘都不可以交换，如下面的例8，两矩阵相乘可以交换，但作为统一的运算法则，矩阵乘法交换律是不成立的.由例7还可得出：两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而不能从AB =O 必然推出A =O 或B =O .例8 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021,1011B A ，求AB 与BA . 解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=103110211011AB⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=103110111021BA 显见，AB=BA .如果两矩阵A 与B 相乘，有AB=BA ，则称矩阵A 与矩阵B 可交换. 矩阵相乘时必须注意顺序，AX 称为用X 右乘A ，XA 称为用X 左乘A . 矩阵乘法具有下列性质：（1）（AB ）C=A （BC ）（2）k （AB ）=（kA ）B=A （kB ） （其中k 为数值）（3）A （B+C ）=AB+AC （4）（B+C ）A=BA+CA 设A 是n 阶方阵，规定：,,,,,1210A A A AA A A A E A k k ⋅====+Λ其中k 为正整数，k A 称为A 的k 次幂.例9 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4321A ，求E A A 5322+-. 解E A A 5322+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001543213432122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6127181650051296344181214四、矩阵的转置定义5 把矩阵A 的所有行换成相应的列所得到的矩阵，称为矩阵A 的转置矩阵，记为TA ，即若()nm ija A ⨯=，则()mn jiT a A ⨯=.例10 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=52134071A ，则 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=54201731T A 可见，若A 是对称矩阵，则有TA A =. 矩阵的转置具有下列性质： （1）A A TT=)(（2）TTTB A B A +=+)( （3）T TA A λλ=)(（4）TT T A B AB =)(五、方阵的行列式定义6 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵A 的行列式，记作A .应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是2n 个数按一定方式排列成的数表，而n 阶行列式是这些数（也就是数表A ）按一定运算法则所确定的一个数.由A 确定的A 的这个运算满足下述运算规律（设A ，B 为n 阶方阵，k 为数值）： （1）A A T = （2）A k kA n= （3）B A AB =由（3）可知，对于n 阶方阵A 、B ，一般说来BA AB ≠，但总有BA AB =例11 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=43522231B A ，，求AB . 解法1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22171143522231AB所以 56221711=-=AB解法256)7(843522231=-⨯-=⋅-==B A AB习题2.21． 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=150421321,111111111B A ，求 （1）3AB-2A （2）B A T2．已知011311232021132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎥⎦⎤⎢⎣⎡--X ，求X .3．计算下列乘积.（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-127075321134 （2）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123321 （3）()132211-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--131201********* （5）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11212221211211y x c b b b a a b a a y x 4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=321431422,531531531,431541532C B A证明：（1）AB=BA=0 （2）AC=A ，CA=C （3）ACB=CBA5．证明矩阵下列运算性质.（1）)()(C B A C B A ++=++ （2）TTTB A B A +=+)( （3）A A nλλ= （4）AE =EA =A 6．求下列矩阵的幂. （1）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101λA ，求kA A A ，，，Λ32 （2）求nO O⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλOO7．若矩阵AB =BA ，则称B 与A 可交换，设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵.§2.3 逆矩阵一、逆矩阵的定义矩阵与数相类似，有加、减、乘三种运算.于是，自然会提出矩阵的乘法是否也和数一样存在逆运算呢？解一元线性方程ax=b ，当0≠a 时，存在一个数1-a ，使b a x 1-=为方程组的解.那么在解矩阵方程AX =B 时，是否也存在一个矩阵，使这个矩阵乘以B 等于X .这就是我们要讨论的逆矩阵的问题.逆矩阵在矩阵理论和应用中都起着重要的作用.定义1 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB =BA=E那么矩阵A 称为可逆矩阵，而B 称为A 的逆矩阵. 如果A 可逆，A 的逆矩阵是唯一的.因为如果B 和1B 都是A 的逆矩阵,则有E A B AB E BA AB ====11,那么 1111)()(B EB B BA AB B BE B ===== 即 1B B =所以逆矩阵是唯一的.我们把矩阵A 唯一的逆矩阵记作1-A .定义2 若n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，则称A 为非奇异的. 为了讨论逆矩阵存在的条件和逆矩阵的求法，先引进伴随矩阵的概念. 定义3 设ij A 是矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 的行列式A 中的元素ij a 代数余子式，那么矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n A A A A A A A A A A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111*称为矩阵A 的伴随矩阵.定理1 矩阵A 存在逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即A 为非奇异矩阵时才有逆矩阵存在.证 必要性：因为A 可逆，则有1-A使E A A AA==--11.因此，01111≠====---E A A A A AA ，即0≠A .充分性：若0≠A ，作矩阵*1A AB =由§1.2定理1和定理2，可得E A A AA AA =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00*O ， 即得AB=E .同理，可证，BA=E .故*11A AA B ==- 二、逆矩阵的性质逆矩阵具有下列性质： （1）A A =--11)( （2）111)(---=A B AB（3）11)()(--=TTA A （4）AA11=- （5）111)(--=A kkA 下面仅证明性质2，其它性质请读者自己证明. 证（2） 因为E AA AEA A BB A A B AB ====------111111)())((， E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以 111)(---=A B AB证毕 由定理1,可得由矩阵A 的伴随矩阵*A 求逆矩阵1-A 的计算方法，求出矩阵A 的所有元素的代数余子式；写出伴随矩阵*A ；由*11A AA=-便得1-A .这种方法常用于三阶以下的方阵求逆矩阵的问题. 例1 求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4312A 的逆矩阵. 解 因为011≠=A ，所以1-A 存在.由于213422211211=-===A A A A因此 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2314*A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-11211311111423141111*1A A A 例2 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=631321222A 的逆矩阵. 解 因为,02≠=A 所以1-A 存在，由于 131213613136332131211==-=-===A A A ,4312210612266322232221-=-===-=-=A A A221224312223222333231=-=-=-===A A A因此⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-122125231323241410326321211332313322212312111*1A A A A A A A A A A A A 例3 试用逆矩阵求解线性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=--353042231321321x x x x x x x x 解 令,302,,503411112321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=B x x x X A 于是原方程组可写成AX=B （2-3-1）因为 ,0653411112≠=--=A 故1-A 存在，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-3339137355611*1A A A对（2-3-1）式两侧左乘1-A ，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-63613613131613023339137355611B A X即线性方程组的解为21,613,61321=-==x x x .习题2.31． 验证矩阵B 是矩阵A 的逆矩阵.（1）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2123124321B A （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1012015120110141101510075504321B A 2．写出下列初等方阵的逆矩阵。
矩阵多项式
一、 矩阵的概念 数域的概念:如果数集 F 包含 0 和 1,并且 F 中任何
两个数的和,差,积,商(除数不为零)仍在 F 中,那么, 就称 F 是一个数域.. 例如,全体有理数之集 Q, 全体实数之集 R, 全体复数 之集 C 都是数域.分别称为有理数域, 实数域和复数 域.
a11, a22 , , ann 叫做 A 的主对角线元素.
几种特殊的 n 阶方阵:
(1)上(下)三角形矩阵: 主对角线下(上)方
元素全部为零的 n 阶方阵.
1
例如，
A
0
0
2 3 0
0 4 8
;
B
1 2 3 4
0 5 6 3
0 0 2 5
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
；
0
8
A 为上三角形矩阵，B 为下三角形矩阵
ann
, ann )
例如，
1 0 0
A
0
3
0
diag
(1,
3,
8);
0 0 8
1 0 0 0
B
0
0
0
0
diag
(1,
0,
2,
8) ;
0 0 2 0
0
0
0
8
1 0
C
0
2
diag
(1,
2)
均为对角形矩阵.
(3) n 阶单位阵:主对角线外的元素全部为零且 主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶方阵( 即主对 角线上的元素全部为 1 的 n 阶对角形矩阵) 称为 n 阶单位阵,记作 En 或 In 或 E.
自考04184线性代数(经管类)讲义第二章 矩 阵
第二章矩阵2.1矩阵的概念定义2.1.1由m×n个数a ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。
矩阵的含义是：这m×n个数排成一个矩形阵列。
其中a ij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i称为行标，j称为列标。
第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。
通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。
有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为A=（a ij）m×n或（a ij）m×n或A m×n当m=n时，称A=（a ij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。
n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。
只有一阶方阵才是一个数。
一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。
n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，a nn，称为此方阵的对角元。
在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。
元素全为零的矩阵称为零矩阵。
用O m×n或者O（大写字）表示。
特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，a n）为n维行向量。
它是1×n矩阵。
当n=1时，称为m维列向量。
它是m×1矩阵。
向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。
例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。
几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵形如或简写为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。
2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元n阶数量矩阵素都相同时，称它为数量矩阵。
有如下形式：或。
（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的）特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。
n阶单位矩阵记为E n或I n，即或在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。
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一、基本概念
定义 由 m n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1,
2,… , n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a21
a12 a22
a1n
a2 n
am1 am2 amn
称为m行n 列矩阵，简称m n 矩阵. 记作
记为 A = B .
与
a b c d e f
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当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
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三、几种特殊的矩阵
1 .零矩阵
若一个矩阵的所有元素都为零, 则称这个矩阵为 零矩阵, m n 零矩阵记为 Ｏm n , 在不会引起
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4 .两个矩阵相等 定义 两个同型矩阵 A = ( aij )m×n 与B = ( bij )m×n ,
如果对应元素相等, 即 aij = bij , i = 1,2, … , m , j = 1, 2, … , n , 则称矩阵 A 和矩阵 B 相等, 例如
3 1 4 2 5 6
n× n 矩阵
A 称为 n n 方阵, 常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵, 简记为 A= ( aij )n 或
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An
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2 .行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
如 A = ( a11 , a12 , … , a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量). 如
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a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
(1)
这 m n 个数叫做矩阵的元素, 数aij 位于矩阵 A 的 第 i 行第 j 列, 称为矩阵A的(i ,j)元. 以数aij 为 (i ,j) 元的矩阵简记为 ( aij ) 或 ( aij ) mn ,
mn
矩阵A也记作 Amn .
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（1）式也可简记为 A ＝ ( aij )mn 或 A = ( aij ) .
关于矩阵定义的几点说明：
1.矩阵是一个 数表, 且矩阵的行数与列数可不同; 行列式是一个 数值. 例如 5× 2 矩阵
1 2 4 3 9 8 5 2 4 2 1 0
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主对角线
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为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即 aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 Λ= diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
3 0 0 diag(3,1,2) 0 1 0 . 0 0 2
或 En 或 E。
I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 。
单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11a22anna1。
单位矩阵的作用： 类似于数字“1”的运算。
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5.对称矩阵
如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA ，则称 A 为对称矩阵，即 a11 a12 A a1n 例如，矩阵 1 1 1 0 都是对称矩阵。
３×４矩阵
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1 3 9 5 3
2 0 8 1 5
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二、几个常用概念
1.n阶方阵
行数和列数相同的矩阵称为方阵． 例如
a11 a21 A a n1
a12 a1n a22 a2 n . an 2 ann
混淆的情况下,
也可记为 Ｏ．
零矩阵的作用： 类似于数字“0”的运算。
注：
（1）零矩阵是每个元素都是零的数表,但它不是数零. （2）不同型的零矩阵不相等.
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2.对角矩阵
主对角线上的元素不全为零, 其余的元素全为零
的方阵称为对角矩阵. 如
a11 a22 A . a nn
a11 a21 B . a m1
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3 .同型n 与 B = ( bij )p×q , 则称这两个矩阵为同型矩阵. 如果满足m = p
且 n = q , 即这两个矩阵行数相等，列数也相等,
对角矩阵
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3.数量矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵：
A a 0 0 0 a 0 0 0 a 。
数量矩阵是特殊的对角矩阵：a11a22anna。
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4.单位矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 In 或 I,
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a12 a22 a2n
a1n a2n ann
。
在对称矩阵中，有aijaji。 1 0 3 0 2 1 3 1 3
和