矩阵论 Matrix5-1

矩阵分析与计算--01-线性空间

《矩阵分析与应用》
张贤达清华大学出版社，2004年9月
矩阵与计算工具：MATLAB， MAPLE,LAPACK … 编程语言：C/C++, C#, Fortran，Java
14
矩阵分析与计算
考核方式：

闭卷考试：65%
课堂讨论，小报告： 35% 作业抽查，应该重视练习、讨论、算法设计、上机实践等环节。
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特（1814-1897）首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语西尔维斯特一生致力于纯数学的研究，他和凯莱、哈在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，密顿 (Hamilton)等人一起开创了英国纯粹数学的一个然而在历史上次序正好相反。繁荣局面．他的成就主要在代数方面，他同凯莱一起
18
本讲主要内容
线性空间定义与性质基、维数、坐标基变换与坐标变换
子空间
内积空间
19
一、线性空间

几何空间和 n 维欧氏空间的回顾推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。
线性空间定义要点：

集合V 与数域F 向量的加法和数乘向量运算运算的性质刻画
矩阵分析与计算 Matrix Analysis and Computations
理学院 Email: mymath@ (民) 2011年9月
1

本科线性代数内容的简单回顾与讨论 1）线性代数主要内容 2）有什么用？工科学生最关心的大家在本科毕业设计中用了么？

矩阵分析引论--第一章线性空间与线性变换-线性空间的概念、基变换与坐标变换

二、线性空间的定义 1、数域
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1；有理数域是最小的数域.
目录上页下页返回结束
第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间）设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
目录上页下页返回结束
第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
目录上页下页返回结束
第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
目录上页下页返回结束
第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.

线性映射-陈建彪-矩阵理论

5
K¡A_, BA_, PA . KkA
A ∈ L(V , W )
∈ L(W , V ).
_⇐⇒ ∀β ∈ W , 3'α ∈ V ¦&A(α) = β. A ∈ L(V , W )_⇐⇒ ∀β ∈ W , 3α ∈ V ¦&A(α) = β ¨A(γ) = 0§kγ = 0.
N´¨y,
A1 + A2
9k A ∈ L(V (F ), W (F )). þã½Â'\{9ê¦¨¤êF þ'5m
Mathematic and Computer Sciences SMU
AB ∈ L(U (F ), W (F )) L(V (F ), W (F ))
Jian-Biao Chen
A A
K¡N A"m(Null space), R Am(Range).
Jian-Biao Chen
Mathematic and Computer Sciences SMU
Null spaces and ranges
Def 2.
V , W 5m, A ∈ L(V , W ),
Null spaces and ranges
Def 2.
V , W 5m, A ∈ L(V , W ),
NA = {α | A(α) = 0, α ∈ V } RA = {A(α) | α ∈ V }
A A
5
K¡N A"m(Null space), R Am(Range). w,, N ´V fm, R ´W fm.
L(V (F )) = L(V (F ), V (F ))
Jian-Biao Chen
Mathematic and Computer Sciences SMU

矩阵范数

即
本章约定：
AB A B
n 我们仅在 C nn （或 Rn）上研究方阵的范数。
n n 设是数域 F (R或C)上所有n n矩阵全体构成 F 定义1
的线性空间。实值函数 : F nn R 称为矩阵范数，是
指对于任意矩阵 A, B F nn 满足下列性质 (1) 正定性:
n 2 n 2
n 2

n n
n
n
n
n
n
i 1 j 1 k 1
[( aik )( bkj )] ( aik )( bkj )
2 2 i 1 k 1
2 m2
i 1 j 1 n n
k 1
n
k 1 n
j 1 k 1
A
A
m2
B
2 m2
是定义在 C nn 上的矩阵范数。
量范数，若存在两个与x无关的正常数m、M，使得
m x

x

M x

则称 || x || 与 || x || 是等价的。
n n C 与向量范数类似， (或 R nn )上任意两个矩
阵范数等价。另外，仍然可以根据已知的矩阵范数构造出新的矩阵范数。
例8 设 x
n n , x C 是线性空间上的两个矩阵范数,
F
F
AV
A
所以
A
F
UA
F
AV
F
UAV
F
2.5.3 矩阵范数的性质
定理3
n n nn R A , B C 设 (或 )，则
(1)
Onn 0
(2)
A B A B
(3) ||A||是关于矩阵A各元素aij的连续函数。证明与向量范数类似，略。

高等代数-矩阵

• 列向量 n=1的特殊矩
阵
a1
a2
M
am
• 行向量 m=1的特殊矩阵
a1 a2 L an
特殊矩阵及其元素表示_5
• n维标准单位向量
1 0
0
e1
0
M
,
e2
1
M
,L
, en
0
M
0
0
1
特殊矩阵及其元素表示_6
• n阶基础矩阵Eij
0
O
Eij
0 O
a11 b11 a12 b12 a11 b11 a12 b12 a11 b11
a21 b21 a22 b22
a21
a22
b21
a12 b12 b22
矩阵的加减法2_运算规则
• 运算规则
✓交换律： A+B = B+A ✓结合律： (A+B)+C = A+(B+C) ✓0+A=A+0 = A ✓A+ (－A) = 0 ✓A+(－B) = A－B
产品产量产品1
分厂1 20 分厂2 30
产品2
17 20
产品3
12 10
3200
17 20
1102
这里2×3个数排成2行3列，成为一个整体，抛去它所包含的实际意义，构成了高等代数中的一个2×3阶矩阵。
关于矩阵_1
• 矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 18141897）于1850年首先提出。他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达 50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。

数学

i 线性无关,
r
, s中每个向量均可由 i1 , i2 ,
r
i 线性表示,
r
i 是向量组1 , 2 , , s的一极大无关组,
, s的秩。
称r是向量组1 , 2 ,
若向量组1 , 2 ,, s的秩为r，则其中任意 r个线性无关的向量均是其极大无关组 .
内蒙古工业大学理学院
上一页
下一页
返回
线性代数主要内容
第一章
第二章第三章第四章第五章第六章第七章
矩阵的概念与运算
行列式与矩阵求逆向量组的线性相关性向量空间线性方程组矩阵特征值与特征向量二次型
内蒙古工业大学理学院
上一页
下一页
返回
复习与引深矩阵运算线性方程组向量组的极大无关组及秩矩阵的秩及等价标准形
内蒙古工业大学理学院
上一页
下一页
返回
矩阵的乘法中应注意的问题
乘法不可交换
• 乘法消去律不成立
对给定的矩阵 A,当A满足什么条件时，由 AB AC必可推出B C ?
•一些代数恒等式对矩阵不再成立
内蒙古工业大学理学院
上一页
下一页
返回
向量组的极大无关组及秩
若向量组1 , 2 , 且1 , 2 , 则称 i1 , i2 , , s的部分组 i1 , i2 ,
上一页下一页返回
内蒙古工业大学理学院
练习
1
2
0 2 5
3
2 4 7
4
1 3 6
求向量组
1 1 1
的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出.

电气工程的实例_电气工程0808

电气工程（0808）学科门类：工学（08）电气工程一级学科(0808)覆盖五个二级学科，即电机与电器(080801)、电力系统及其自动化(080802)、高电压与绝缘技术(080803)、电力电子与电力传动(080804)、电工理论与新技术(080805)。

学科主要研究方向覆盖了电能生产、传输、变换、应用、检测、控制、调试和管理的全过程。

该学科成立于1987年，经过多年的发展，已在电力系统运行与控制、地区电力系统自动化、电力设备故障诊断、电力电子与电气传动、电机与控制、风力发电等方面取得显著成果。

我校电气工程及其自动化专业是江苏省品牌专业，电气工程学科是校重点学科。

本学科近年来已完成国家科研基金多项，发表高水平学术论文300余篇，出版专著10余部，获国家、部省级科技进步奖多项。

本学科科研条件良好，建有“电力系统动态模拟”和“电力系统健康诊断”两个实验室，拥有“电力系统自动化”和“电力电子与电气新技术”两个研究所。

近年来，学科快速发展，为我国电气工程领域的人才培养和科学研究作出了重要贡献。

一、培养目标培养学生热爱祖国，拥护中国共产党的领导，具有良好的道德品质和文明风尚；培养严谨求实的科学态度和作风，具有创新求实精神和良好的科研道德；具有坚实的基础理论和系统的专门知识；具有创新能力和从事科学研究、教学工作或独立承担专门技术工作的能力；能在本学科或专门技术上做出具有创新性的成果；要求较熟练地掌握一门外国语，能够应用该外国语阅读本专业的文献资料。

二、主要研究方向1、电力系统运行与控制2、地区电力系统自动化3、电气设备故障诊断与信息处理4、新型交直流电气传动系统5、新能源利用三、学制和学分攻读硕士学位的标准学制为2.5年，学习年限实行弹性学制，最短不低于2年，最长不超过3.5年（非全日制学生可延长1年）。

硕士研究生课程由学位课程、非学位课程和研究环节组成。

硕士研究生课程总学分不少于32学分，其中学位课程不少于18学分，非学位课程不少于9学分，研究环节5学分。

1-4 线性变换的不变子空间

对 (V ), 存在 V , 使 ( ), 于是有:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (V )
(V ) 为的不变子空间.
其次，由 N ( ) { V , ( ) 0} 对 N ( ) 有 0. 所以,只需证明 ( ( )) 0 即有: ( ) N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0.
从而， ( 1 , 2 ,, n ) a11 a12 a1k
a1,k 1 a11 a11 a2 k a2,k 1 . ( 1 , 2 , , n ) ak 1(ak a ) aA,1k 1A2 2 , , kk k , 10 2 0n 0 A 0 ak 1,k 1 3 0 0 0 a n ,k 1 a1n a2 n akn akn ann
故 (V ) 为的不变子空间. 又任取 N ( ) 有 ( ) 0 N ( )
所以，N ( )也为的不变子空间.
例2. 若 , 则 (V ) 与 N ( ) 都是－子空间. 证： (V ) ( ) V .
有
1 1 ( 1 , 2 ) (1 , 2 , 3 ) 1 0 0 1
1 2 2 1 1 1 1 (1 , 2 , 3 ) A 1 0 1 , 2 , 3 2 1 2 1 0 0 1 2 2 1 0 1 1 1 1 , 2 , 3 1 0 . 0 1 即 ( 1 ) 1 2 1 ( 2 ) 1 3 2