2018年数学同步优化指导练习：第4章 1.1、1.2 定积分的概念 活页15
高中数学第四章定积分1定积分的概念同步练习北师大版选修22
高中数学第四章定积分 1 定积分的概念同步练习北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.用定积分定义求由x=2,x=3,y=21x,y=0围成的图形的面积.解:在[2,3]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间[2,2+n1],[2+n1,2+n2]…[2+ nn1-,3],记第i个区间为[2+ni1-,2+ni](i=1,2,…,n),其长度为Δx=n1.分别过上述n-1个分点作x轴的垂线与曲边梯形相交,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别为ΔS1、ΔS2、…ΔS n,显然S=∑=∆niiS1,设f(x)=21x,如图所示,当n很大时,Δx很小,在区间[2+ni1-,2+ni]上,可以认为函数f(x)=21x的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于ξi=)2)(12(nini+-+处的函数值f(ξi)=)2)(12(1nini+-+,这样在区间[2+ni1-,2+ni]上,用小矩形面积ΔS′i近似地代替ΔS i,则有ΔS i≈ΔS′i=f(ξi)·Δx=)2)(12(nini+-+·n1=(i=1,2,…,n).∴S n=∑=ni1ΔS′i=∑=ni1f(ξi)·n1=n1［3)12(1)22)(12(1)12(21•-+++++++nnnnn］=2161312131121221121121=-=--+++++++-nnnnn.思路分析:定积分的概念产生于分割、近似代替、求和、取极限这四步.故用四步法求定积分要注意解题的层次性,当然本题省略了求极限这一步.2.已知某物体做直线运动,其在时刻t(s)的速度为v(t)=t3(m/s),求物体在时刻t=0秒至时刻t=5秒这5秒时间内运动的距离.解:s=⎰05v(t)dt=∑=nk1(n5·k）3·n5(n→∞)=∑=nk1445n·k3(n→∞)=445n［2)1(+nn］2(n→∞)=454≈(米）.答:该物体在5秒内运动的距离为156.25米.思路分析：⎰abv（t）dt指速度为v（t）的运动的物体从时刻a到时刻b所运动过的路程。
2018年数学同步优化指导北师大版必修4练习：活页作业1
活页作业(十六) 平面向量的坐标基础巩固1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b解析：设c ＝m a ＋n b ，则(4,2)＝m (1,1)＋n (－1,1)＝(m －n ，m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝4，m ＋n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1，所以c ＝3a －b . 答案：B2．设点A (－1,2)，B (n －1,3)，C (－2，n ＋1)，D (2,2n ＋1)，若向量AB →与CD →共线且同向，则n 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．1解析：由已知条件得AB →＝(n,1)，CD →＝(4，n )，显然n ≠0.由AB →与CD →共线得n 2－4＝0，解得n ＝±2.当n ＝2时，AB →＝(2,1)，CD →＝(4,2)，则有CD →＝2AB →，满足AB →与CD →同向；当n ＝－2时，AB →＝(－2,1)，CD →＝(4，－2)，则有CD →＝－2AB →，此时AB →与CD →反向，不符合题意．因此，符合条件的只有n ＝2.答案：A3．已知AB →＝(3,4)，A (2,1)，则点B 的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－5，－5)C ．(5,5)D ．(－1，－3)解析：设B (x ，y )，则AB →＝(x ，y )－(2,1)＝(x －2，y －1)．又∵AB →＝(3,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5.故B (5,5)． 答案：C4．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34.其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．① B ．①③C ．②③D ．①②③解析：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)，而－15≠27，∴e 1，e 2不平行，即e 1，e 2可以作为一组基底．②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)，36＝510，∴e 1∥e 2.故e 1，e 2不能作为平面内所有向量的一组基底．③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34，212＝－3－34，∴e 1∥e 2.故e 1，e 2不能作为平面内所有向量的一组基底．故选A ．答案：A5．已知m ＝(－2,3)，n ＝(3,1)，则2m －n 等于( )A ．(－1,5)B ．(－1,7)C ．(－7,5)D ．(－7,7)解析：∵m ＝(－2,3)，n ＝(3,1)，∴2m －n ＝2(－2,3)－(3,1)＝(－4,6)－(3,1)＝(－7, 5)． 答案：C6．作用于原点的两个力F 1＝(1,2)，F 2＝(－2,3)，为使原点平衡需加力F 3＝________________________.解析：∵F 1与F 2的合力为F 1＋F 2＝(－1,5)，要使三力平衡，最后加的力必须与F 1，F 2的起点相同，与F 1，F 2合力的方向相反，∴F 3＝(1，－5)．答案：(1，－5)7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，若a ∥(2a －b )，则k ＝________________________.解析：2a －b ＝(5,2－k )，由a ∥(2a －b )得2(2－k )－5＝0，解得k ＝－12. 答案：－128．已知M (1,5)，N (5,17)，点P 在直线MN 上，且|MP →|＝3|PN →|，则点P 的坐标是________________________.解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则MP →＝(x －1，y －5)，PN →＝(5－x,17－y )．当MP →＝3PN →时，有(x －1，y －5)＝3(5－x,17－y )，解得x ＝4，y ＝14.所以点P 的坐标为(4,14)．当MP →＝－3PN →时，有(x －1，y －5)＝－3(5－x,17－y )，解得x ＝7，y ＝23.所以点P 的坐标为(7,23)．综上，可知点P 的坐标为(4,14)或(7,23)．答案：(4,14)或(7,23)9．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时，它们是同向还是反向？解：方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．∵(k a ＋b ) ∥(a －3b )，∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0.解得k ＝－13. 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13－3，－23＋2 ＝⎝⎛⎭⎫－103，43＝－13(10，－4)＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)．当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一的实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝－13，λ＝－13. 当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b . ∵λ＝－13＜0，∴－13a ＋b 与a －3b 反向． 10．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)．求证：A ，B ，C 三点共线．证明：由题意得AB →＝(1,3)－(－1，－1)＝(1＋1,3＋1)＝(2,4)，AC →＝(2,5)－(－1，－1)＝(2＋1,5＋1)＝(3,6)．由2×6－4×3＝0，得AB →∥AC →.又AB 和AC 有公共点A ，故A ，B ，C 三点共线．11．已知平面内三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(2)若(a ＋k c ) ∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)由a ＝m b ＋n c ，得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)．由(a ＋k c ) ∥(2b －a )，得2(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.所以k ＝－1613. 12．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及MN →的坐标．解：a ＝AB →＝(5，－5)，b ＝BC →＝(－6，－3)，c ＝CA →＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(5，－5)＝m (－6，－3)＋n (1,8)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝－6m ＋n ，－5＝－3m ＋8n .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设M (x 1，y 1)，由CM →＝3c ，得(x 1＋3，y 1＋4)＝3(1,8)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3＝3，y 1＋4＝24.∴x 1＝0，y 1＝20. ∴M (0,20)．同理，设N (x 2，y 2)，由CN →＝－2b ，得(x 2＋3，y 2＋4)＝－2(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋3＝12，y 2＋4＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝2. ∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18)．智能提升13．已知OA →＝(1,1)，OB →＝(3，－1)，OC →＝(a ，b )，其中O 为坐标原点．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解：(1)AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，由AB →∥AC →，得2(b －1)－(－2)×(a －1)＝0.故a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝(4，－4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3， 即点C 的坐标为(5，－3)．14．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．解：方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)(λ∈R )，则AP →＝OP →－OA→＝(4λ－4,4λ)，AC →＝(－2,6)，由AP →∥AC →，得(4λ－4)×6－(－2)×4λ＝0，解得λ＝34. ∴OP →＝34OB →＝(3,3)．故点P 的坐标为(3,3)． 方法二 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，且OB →＝(4,4)，又OP →∥OB →，所以x ＝y .又AP →∥AC →，AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，则(x －4)×6－(－2)×y ＝0，解得x ＝y ＝3.故点P 的坐标为(3,3)．15．已知点A (－1，－2)，向量AB →＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，O 为坐标原点．(1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 与λ的值．解：(1)OB →＝OA →＋AB →＝(－1，－2)＋(4,3)＝(3,1)，即B (3,1)．OD →＝OA →＋AD →＝(－1，－2)＋(－3，－1)＝(－4，－3)，即D (－4，－3)．设M (x ， y )，由中点坐标公式得⎩⎨⎧ x ＝3＋(－4)2＝－12，y ＝1＋(－3)2＝－1.∴M ⎝⎛⎭⎫－12，－1. (2)PB →＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，BD →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．∵PB →＝λBD →，∴(1,1－y )＝λ(－7，－4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝－7λ，1－y ＝－4λ.解得⎩⎨⎧ λ＝－17，y ＝37.16．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试求当点P 在第三象限时λ的取值范围．解：由题意得AP →＝(3＋5λ，1＋7λ)．设点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)．于是(x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. 又点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5＋5λ＜0，y ＝4＋7λ＜0.解得λ＜－1. 所以λ的取值范围为(－∞，－1)．。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第4章 2 微积分基本定理 活页作业16
活页作业(十六) 微积分基本定理1．函数F (x )＝⎠⎛0xt (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2|x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)． 则F ′(x )＝x 2－4x ，令F ′(x )＝0，得x ＝0或4.列表如下：x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5) F ′(x ) ＋0 －0 ＋F (x )极大值极小值因此极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B2．下列式子正确的是( ) A ．⎠⎛a bf (x )d x ＝f (b )－f (a ) B ．⎠⎛a b f ′(x )d x ＝f (b )－f (a ) C ．⎠⎛a b f (x )d x ＝f (x ) D ．[⎠⎛a b f (x )d x ]′＝f (x )解析：⎠⎛a b f ′(x )d x ＝f (x )|b a ＝f (b )－f (a )． 答案：B3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x <1)，2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A ．34B ．45C ．56D ．65解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21＝56. 答案：C4．已知自由落体的运动速度v ＝gt (g 为常数)，则当t 从1到2时，物体下落的距离为( ) A ．12gB ．gC ．32gD ．2g解析：物体下落的距离s ＝⎠⎛12gt d t ＝12gt 2|21＝12g (22－12)＝32g . 答案：C5．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值是( )A ．56B ．12C ．23D ．16解析：∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x .∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 答案：A6．若⎠⎛0ax 2d x ＝9，则a ＝________. 解析：∵⎠⎛0a x 2d x ＝13x 3|a 0＝13a 3＝9， ∴a ＝3. 答案：37．m ＝⎠⎛01e x d x 与n ＝⎠⎛1e1x d x 的大小关系是m ________n (填“>”“<”或“＝”)． 解析：∵m ＝⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e －1， n ＝⎠⎛1e1x d x ＝ln x |e 1＝1， ∴m >n . 答案：>8．定积分⎠⎛－11(|x |－1)d x 的值为________．解析：⎠⎛－11(|x |－1)d x ＝⎠⎛－10(－x －1)d x ＋⎠⎛01(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－x |0－1＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |10＝－1.答案：－19．求⎠⎛－40|x ＋3|d x 的值．解：∵|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3(x ≥－3)，－x －3(x <－3)，∴⎠⎛－40|x ＋3|d x＝⎠⎛－4 －3(－x －3)d x ＋⎠⎛－3 0(x ＋3)d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫x 22＋3x |0－3 ＝5.10．如下图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．解：S 1等于边长分别为t 与t 2的矩形面积减去曲线y ＝x 2与x 轴和直线x ＝t 围成的图形的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0tx 2d x ＝23t 3；S 2等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t 及x ＝1围成的图形的面积减去一个矩形的面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t 1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.∴阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0， 得t ＝0或t ＝12.易知当t ＝12时，S 最小．∴最小值为S ⎝⎛⎭⎫12＝14.11．如下图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A ．⎠⎛02|x 2－1|d x B ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C ．⎠⎛02(x 2－1)d xD ．⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与下图中阴影部分的面积相等，为⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选A ．答案：A12．计算：⎠⎛1e1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln x |e 1＝1－0＝1.而⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上方部分的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π×22＝2π.故答案为2π＋1.答案：2π＋113．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x >0)，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t (x ≤0)，若f (f (1))＝1，则a ＝________. 解析：显然f (1)＝lg 1＝0，则f (0)＝0＋⎠⎛0a3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，得a ＝1.答案：114．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则∫10f (x )d x ＝________.解析：∵⎠⎛01f (x ) d x＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛01[2⎠⎛01f (x )d x ]d x＝13x 3|10＋[2⎠⎛01f (x )d x ]x |10 ＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 答案：－1315．已知⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6，且f (t )＝⎠⎛0t(x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b .解：∵g (x )＝x 3＋ax 为奇函数， ∴⎠⎛－11(x 3＋ax )d x ＝0，∴⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝⎠⎛－11(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛－11(3a －b )d x ＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b .∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3.①又f (t )＝⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋(3a －b )x |t 0＝t 44＋at22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.16.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如右图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图像所围成的区域(阴影部分)的面积为112，求a 的值．解：∵函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像与x 轴在原点处相切， ∴函数的导数f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(0)＝b ＝0. ∴f (x )＝－x 2(x －a )．∴⎠⎛0a(x 3－ax 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4－13ax 3|0a ＝0－a 44＋a 43＝a 412＝112. ∴a ＝±1.函数f (x )与x 轴的交点横坐标一个为0，另一个为a ，根据图形可知a <0，故a ＝－1.。
数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第4章 1、1.2 定积分的概念 活页作业15
活页作业(十五) 定积分的概念1．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A ．19B ．125C ．127D ．130解析：将区间[0,1]三等分为⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03×13＋⎝⎛⎭⎫133×13＋⎝⎛⎭⎫233×13＝981＝19.答案：A2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用下列中的哪一项来近似代替( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)解析：任一函数在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值均可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替． 答案：C3．下列等式成立的是( ) A ．⎠⎛a b0d x ＝b －a B ．⎠⎛abx d x ＝12C ．⎠⎛－11|x |d x ＝2⎠⎛01|x |d xD ．⎠⎛a b (x ＋1)d x ＝⎠⎛a bx d x解析：⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－10|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01|x |d x .答案：C4．已知定积分∫60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．16C ．12D ．8解析：偶函数的图像关于y 轴对称，故∫6－6f (x )d x ＝2∫60f (x )d x ＝16.答案：B5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )A ．⎠⎛－11x 2d xB ．⎠⎛－112x d xC ．⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD ．⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：由定积分的性质4求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确．答案：D6．已知⎠⎛a bf (x )d x ＝6，则⎠⎛a b6f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛a b6f (x )d x ＝6⎠⎛a bf (x )d x ＝6×6＝36. 答案：367．用定积分表示下列各图中阴影部分的面积(不要求计算)： (1)图(1)中S 1＝________； (2)图(2)中S 2＝________； (3)图(3)中S 3＝________.答案：(1)∫ππ3sin x d x (2)⎠⎛－42x 22d x(3)－⎠⎛49(－x 12)d x8．计算：⎠⎛06(2x －4)d x ＝________.解析：如右图，由y ＝2x －4可得A (0，－4)，B (6,8)．则S △AOM ＝12×2×4＝4，S △BCM ＝12×4×8＝16.∴⎠⎛06(2x －4)d x ＝16－4＝12. 答案：129．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ∈[0，2))，4－x (x ∈[2，3))，52－x 2(x ∈[3，5])，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．解：如右图，由定积分的几何意义，得⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，⎠⎛23(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32，⎠⎛35⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. ∴⎠⎛05f (x )d x ＝⎠⎛02x d x ＋⎠⎛23(4－x )d x ＋⎠⎛35⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 10．利用定积分的几何意义计算⎠⎛02(2x ＋1)d x .解：如右图，所求定积分为阴影部分的面积，其面积为12×(1＋5)×2＝6.故⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝6.11．如下图，由曲线y ＝x 2－1和x 轴围成图形的面积等于S .给出下列结果：①⎠⎛－11(x 2－1)d x ；②⎠⎛－11(1－x 2)d x ；③2⎠⎛01(x 2－1)d x ；④2⎠⎛－10(1－x 2)d x .则S 等于( )A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④解析：⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛－10(1－x 2)d x 答案：D12．若∫π20cos x d x ＝1，则由x ＝0，x ＝π，f (x )＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为________． 解析：由正弦函数与余弦函数的图像，知f (x )＝sin x ，x ∈[0，π]的图像与x 轴围成的图形的面积等于g (x )＝cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的图像与x 轴围成的图形的面积的2倍．所以答案应为2.答案：213．在等分区间的情况下，写出f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,1])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式为___________．解析：将区间[0,1]等分成n 份，形成n 个小区间[x i －1，x i ]＝⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，且每个小区间的长度为Δx i ＝1n (i ＝1,2，…，n )，在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上取一点ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则∑i ＝1n f (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n . ∴和式的极限形式为lim n →＋∞∑＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n . 答案：lim n →＋∞∑＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n 14．将和式的极限lim n →＋∞1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1(p >0)表示成定积分为________． 解析：令ξi ＝in，f (x )＝x p ，则lim n →＋∞1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝lim n →＋∞∑i ＝1n 1n f (ξi )＝⎠⎛01x p d x . 答案：⎠⎛01x p d x15．利用定义计算定积分⎠⎛01(x 2＋2)d x .解：把区间[0,1]分成n 等份，分点和小区间的长度分别为x i ＝in (i ＝1,2，…，n －1)，Δx i ＝1n (i ＝1,2，…，n )，取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，作积分和∑i ＝1nf (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n(ξ2i ＋2)Δx i ＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·1n＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2＝16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋2. ∴⎠⎛01(x 2＋2)d x ＝lim n →∞∑i ＝1n f (ξi )Δx i＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋2＝13＋2＝73. 16．利用定积分表示由曲线y ＝x －2和x ＝y 2围成的平面区域的面积． 解：曲线所围成的平面区域如图所示，则S ＝A 1＋A 2.A 1为y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成的阴影部分的面积； A 2为y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成的阴影部分的面积． ∴A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]d x ， A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x .∴S ＝2⎠⎛01x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .。
2018年数学同步优化指导北师大版选修1-2练习：4-1-1 活页作业12 数的概念的扩展 含解析 精品
活页作业(十二) 数的概念的扩展1．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，下列结论正确的是( ) A ．a ＝0⇔a ＋b i 为纯虚数 B ．b ＝0⇔a ＋b i 为实数 C ．a ＋(b －1)i 的虚部为(b －1)ID ．－1的平方等于i解析：若a ＝0且b ＝0，则a ＋b i 不为纯虚数，A 错误；C 选项中，虚部应为b －1；D 应为i 的平方等于－1.答案：B2．设C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，全集U ＝C ，那么下面结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝C B ．∁U A ＝B C ．A ∩(∁U B )＝∅D ．B ∪(∁U B )＝C解析：由复数的分类可知选项D 正确． 答案：D3．复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )是纯虚数，则有( ) A ．a ≠0B ．a ≠2C ．a ≠－1且a ≠2D ．a ＝－1 解析：需要a 2－a －2＝0，且|a －1|－1≠0，得a ＝－1. 答案：D4．已知x ∈R ，x －5x 2－4x ＋3＋(x 2－8x ＋15)i 是实数，则( )A ．x ＝3或5B ．x ≠3或1C ．x ＝1或3D ．x ＝5解析：∵x －5x 2－4x ＋3＋(x 2－8x ＋15)i 是实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3≠0，x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5. 答案：D5．已知a ∈R ，则复数a －1＋1－a i ＝________.解析：要使复数有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，1－a ≥0，即a ＝1，此时a －1＋1－a i ＝0.答案：06．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|b |)i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件为________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝0，a ＋|b |≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ＝±b . 答案：a ＞0且a ＝±b7．复数z ＝m 2－2m －3＋(m 2＋2m －8)i(m ∈R )，当m 为何值时，z 为虚数？解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≥0，m 2＋2m －8≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，m ≠2且m ≠－4，∴m ≥3或m ≤－1且m ≠－4.∴当m 的取值范围是{m |m ≥3或m ≤－1且m ≠－4}时，z 为虚数． 8．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当实数m 为何值时， (1)z 为实数？ (2)z 为纯虚数？解：(1)当z 为实数时，满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＞0，m 2＋3m ＋2＝0，∴m ＝－1或m ＝－2.(2)当z 为纯虚数时，满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，∴m ＝3.1．设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 为纯虚数的必要不充分条件是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ≠0且b ＝0D ．a ≠0且b ≠0解析：由纯虚数的概念可知，a ＝0且b ≠0是复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件．而题中要选择的是必要不充分条件．因此，我们要选择的应该是由“且”字连接的复合命题“a ＝0且b ≠0”的子命题，即“a ＝0”或“b ≠0”．对照各选项的情况，我们可以发现应选A ．答案：A2．若定义全集I ＝{复数}，集合M ＝{有理数}，集合N ＝{虚数}，则∁I M ∩∁I N 等于( ) A ．{复数} B ． {实数} C ．{有理数}D ．{无理数}解析：数集的包含关系为复数集(真包含)⎩⎨⎧实数集(真包含)⎩⎨⎧ 有理数集(真包含)⎩⎪⎨⎪⎧整数集分数集无理数集虚数集(真包含纯虚数集)所以∁I M ＝{无理数}∪{虚数}，∁I N ＝{有理数}∪{无理数}，故∁I M ∩∁I N ＝{无理数}，故选D ．答案：D3．满足复数x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i 的实部、虚部都为零的实数对(x ，y )表示的点的个数为________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13.答案：24．有下列四个命题：①方程2x －5＝0在自然数集N 中无解；②方程2x 2＋9x －5＝0在整数集Z 中有一解，在有理数集Q 中有两解；③x ＝i 是方程x 2＋1＝0在复数集C 中的一个解；④x 4＝1在R 中有四个解．其中正确命题有________.(只填序号)解析：对①，由2x －5＝0得x ＝52∉N ，①正确；对②，由2x 2＋9x －5＝0，解得x ＝－5或x ＝12，②正确；对③，把x ＝i 代入x 2＋1＝0成立，③正确；对④，在R 中，由 x 4＝1得x ＝±1，故④是错误的．答案：①②③5．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数(其中i 是虚数单位)，且θ∈[0,2π)，求θ的值． 解：因为sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数， 所以⎩⎨⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0.所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＝1，cos θ≠－22，即⎩⎨⎧θ＝k π＋π4(k ∈Z )，θ≠2k π±3π4(k ∈Z ).又θ∈[0,2π)，所以θ＝π4.6．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1. ∴a ≠±1且a ≠6.∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，a 2－7a ＋6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，a ＝6或a ＝1.∴不存在实数a 使z 为纯虚数．。
2018年数学同步优化指导北师大版选修2-2练习：第4章 3-1、3-2 定积分的简单应用 含解析 精品
第四章 §3 3.1 3.21．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是( )A ．4πB ．5π2C ．3πD ．2π解析：如下图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成图形的面积，可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．故选D ．答案：D2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，那么为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( )A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100，即F (x )＝100x .故W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 (J)．答案：A 3．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为( )A ．2B ．83C ．43D ．23解析：S ＝－⎠⎛－10(x 2＋2x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋2x )d x＝－⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2|0－1＋⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2|10＝23＋43＝2. 答案：A4.右图是一个质点做直线运动的v -t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________．解析：直线OA 的方程为y ＝34x ，直线AB 的方程为y ＝－32x ＋9，故质点在前6 s 内的位移为⎠⎛0434x d x ＋⎠⎛46⎝⎛⎭⎫－32x ＋9d x ＝38x 2|40＋⎝⎛⎭⎫－34x 2＋9x |64＝6＋3＝9(m)． 答案：9 m5．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 故两直线交点坐标为C (2,2)．∴S ＝S △ABC －⎠⎛13(－x 2＋4x －3)d x＝12×2×2－⎝⎛⎭⎫－13x 3＋2x 2－3x |31 ＝2－43＝23.。
第4章 1.1、1.2 定积分的概念 活页作业15 专项训练同步练习(北师大版选修2-2)
活页作业(十五) 定积分的概念1．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A ．19B ．125C ．127D ．130解析：将区间[0,1]三等分为⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03×13＋⎝⎛⎭⎫133×13＋⎝⎛⎭⎫233×13＝981＝19.答案：A2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用下列中的哪一项来近似代替( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)解析：任一函数在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值均可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替． 答案：C3．下列等式成立的是( ) A ．⎠⎛a b0d x ＝b －a B ．⎠⎛a b x d x ＝12 C ．⎠⎛－11|x |d x ＝2⎠⎛01|x |d x D ．⎠⎛a b(x ＋1)d x ＝⎠⎛a bx d x解析：⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－10|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x ＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01|x |d x .答案：C4．已知定积分∫60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．16C ．12D ．8解析：偶函数的图像关于y 轴对称，故∫6－6f (x )d x ＝2∫60f (x )d x ＝16.答案：B5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )A ．⎠⎛－11x 2d x B ．⎠⎛－112x d x C ．⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d x D ．⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x 解析：由定积分的性质4求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确．答案：D6．已知⎠⎛a bf (x )d x ＝6，则⎠⎛a b6f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛a b6f (x )d x ＝6⎠⎛a bf (x )d x ＝6×6＝36. 答案：367．用定积分表示下列各图中阴影部分的面积(不要求计算)： (1)图(1)中S 1＝________； (2)图(2)中S 2＝________； (3)图(3)中S 3＝________.答案：(1)∫ππ3sin x d x (2)⎠⎛－42x22d x (3)－⎠⎛49(－x 12)d x8．计算：⎠⎛06(2x －4)d x ＝________.解析：如右图，由y ＝2x －4可得A (0，－4)，B (6,8)．则S △AOM ＝12×2×4＝4，S △BCM ＝12×4×8＝16.∴⎠⎛06(2x －4)d x ＝16－4＝12. 答案：129．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ∈[0，2))，4－x (x ∈[2，3))，52－x 2(x ∈[3，5])，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．解：如右图，由定积分的几何意义，得⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，⎠⎛23(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ⎠⎛35⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. ∴⎠⎛05f (x )d x ＝⎠⎛02x d x ＋⎠⎛23(4－x )d x ＋⎠⎛35⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 10．利用定积分的几何意义计算⎠⎛02(2x ＋1)d x .解：如右图，所求定积分为阴影部分的面积，其面积为12×(1＋5)×2＝6.故⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝6.11．如下图，由曲线y ＝x 2－1和x 轴围成图形的面积等于S .给出下列结果：①⎠⎛－11(x 2－1)d x ；②⎠⎛－11(1－x 2)d x ；③2⎠⎛01(x 2－1)d x ；④2⎠⎛－10(1－x 2)d x .则S 等于( ) A ．①③ B ．③④ C ．②③D ．②④解析：⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛－10(1－x 2)d x 答案：D12．若∫π20cos x d x ＝1，则由x ＝0，x ＝π，f (x )＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为________． 解析：由正弦函数与余弦函数的图像，知f (x )＝sin x ，x ∈[0，π]的图像与x 轴围成的图形的面积等于g (x )＝cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的图像与x 轴围成的图形的面积的2倍．所以答案应为2.答案：213．在等分区间的情况下，写出f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,1])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式为___________．解析：将区间[0,1]等分成n 份，形成n 个小区间[x i －1，x i ]＝⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，且每个小区间的长度为Δx i ＝1n (i ＝1,2，…，n )，在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上取一点ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则∑i ＝1n f (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n . ∴和式的极限形式为lim n →＋∞∑＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n . 答案：lim n →＋∞∑＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n 14．将和式的极限lim n →＋∞1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1(p >0)表示成定积分为________． 解析：令ξi ＝in，f (x )＝x p ，则lim n →＋∞1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝lim n →＋∞∑i ＝1n 1n f (ξi )＝⎠⎛01x p d x . 答案：⎠⎛01x p d x15．利用定义计算定积分⎠⎛01(x 2＋2)d x .解：把区间[0,1]分成n 等份，分点和小区间的长度分别为x i ＝in (i ＝1,2，…，n －1)，Δx i ＝1n (i ＝1,2，…，n )，取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，作积分和∑i ＝1n f (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n (ξ2i ＋2)Δx i＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·1n ＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2＝16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋2. ∴⎠⎛01(x 2＋2)d x ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )Δx i ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋2＝13＋2＝73. 16．利用定积分表示由曲线y ＝x －2和x ＝y 2围成的平面区域的面积． 解：曲线所围成的平面区域如图所示，则S ＝A 1＋A 2.A 1为y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成的阴影部分的面积； A 2为y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成的阴影部分的面积． ∴A 1＝⎠⎛01[x －(－x )]d x ， A 2＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x .∴S ＝2⎠⎛01x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .活页作业(十六) 微积分基本定理1．函数F (x )＝⎠⎛0xt (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝⎠⎛0x(t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2|x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)． 则F ′(x )＝x 2－4x ，令F ′(x )＝0，得x ＝0或4.列表如下：因此极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B2．下列式子正确的是( ) A ．⎠⎛a bf (x )d x ＝f (b )－f (a ) B ．⎠⎛a b f ′(x )d x ＝f (b )－f (a ) C ．⎠⎛a b f (x )d x ＝f (x ) D ．[⎠⎛a b f (x )d x ]′＝f (x )解析：⎠⎛a b f ′(x )d x ＝f (x )|b a ＝f (b )－f (a )． 答案：B3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x <1)，2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A ．34B ．45C ．56D ．65解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21＝56. 答案：C4．已知自由落体的运动速度v ＝gt (g 为常数)，则当t 从1到2时，物体下落的距离为( )A ．12gB ．gC ．32gD ．2g解析：物体下落的距离s ＝⎠⎛12gt d t ＝12gt 2|21＝12g (22－12)＝32g . 答案：C5．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值是( )A ．56B ．12C ．23D ．16解析：∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x .∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 答案：A6．若⎠⎛0ax 2d x ＝9，则a ＝________. 解析：∵⎠⎛0a x 2d x ＝13x 3|a 0＝13a 3＝9， ∴a ＝3. 答案：37．m ＝⎠⎛01e x d x 与n ＝⎠⎛1e1x d x 的大小关系是m ________n (填“>”“<”或“＝”)． 解析：∵m ＝⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e －1， n ＝⎠⎛1e1x d x ＝ln x |e 1＝1， ∴m >n . 答案：>8．定积分⎠⎛－11(|x |－1)d x 的值为________．解析：⎠⎛－11(|x |－1)d x ＝⎠⎛－10(－x －1)d x ＋⎠⎛01(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－x |0－1＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |10＝－1. 答案：－19．求⎠⎛－40|x ＋3|d x 的值．解：∵|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3(x ≥－3)，－x －3(x <－3)，∴⎠⎛－40|x ＋3|d x＝⎠⎛－4 －3(－x －3)d x ＋⎠⎛－3(x ＋3)d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫x 22＋3x |0－3 ＝5.10．如下图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．解：S 1等于边长分别为t 与t 2的矩形面积减去曲线y ＝x 2与x 轴和直线x ＝t 围成的图形的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0tx 2d x ＝23t 3；S 2等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t 及x ＝1围成的图形的面积减去一个矩形的面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t 1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.∴阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0， 得t ＝0或t ＝12.易知当t ＝12时，S 最小．∴最小值为S ⎝⎛⎭⎫12＝14.11．如下图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A ．⎠⎛02|x 2－1|d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C ．⎠⎛02(x 2－1)d xD ．⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与下图中阴影部分的面积相等，为⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选A ．答案：A12．计算：⎠⎛1e1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x |e 1＝1－0＝1.而⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上方部分的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π×22＝2π.故答案为2π＋1.答案：2π＋113．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x >0)，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t (x ≤0)，若f (f (1))＝1，则a ＝________. 解析：显然f (1)＝lg 1＝0，则f (0)＝0＋⎠⎛0a3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，得a ＝1.答案：114．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则∫10f (x )d x ＝________.解析：∵⎠⎛01f (x ) d x＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛01[2⎠⎛01f (x )d x ]d x＝13x 3|10＋[2⎠⎛01f (x )d x ]x |10 ＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 答案：－1315．已知⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6，且f (t )＝⎠⎛0t(x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b .解：∵g (x )＝x 3＋ax 为奇函数，∴⎠⎛－11(x 3＋ax )d x ＝0，∴⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝⎠⎛－11(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛－11(3a －b )d x ＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b .∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3.①又f (t )＝⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋(3a －b )x |t 0＝t 44＋at22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.16.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如右图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图像所围成的区域(阴影部分)的面积为112，求a 的值．解：∵函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像与x 轴在原点处相切， ∴函数的导数f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(0)＝b ＝0. ∴f (x )＝－x 2(x －a )．∴⎠⎛0a(x 3－ax 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4－13ax 3|0a ＝0－a 44＋a 43＝a 412＝112. ∴a ＝±1.函数f (x )与x 轴的交点横坐标一个为0，另一个为a ，根据图形可知a <0，故a ＝－1.。
2019-2020年数学同步优化指导课件：第4章 1.1、1.2 定积分的概念
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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谢谢欣赏！
2．根据定积分的几何意义比较大小，并用“>”“<”或“＝”
号连接下列各式．
1
1
(1)0xdx________0x2dx；
1
2
(2)0xdx________1xdx.
1
解析：(1)如下图，0xdx 表示△OAP 的面积，
1
1
1
0x2dx 表示阴影部分的面积，显然0xdx>0x2dx.
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
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f(x)dx＝________.
(2)若ab2f(x)dx＝5，则31ab[2－f(x)]dx＝_________. [思路点拨] 涉及定积分的线性运算时，可考虑用定积分
的性质进行求解．
解析：(1)依题意知
1
1
0f(x)dx＋0g(x)dx＝3，
1
1
0f(x)dx－0g(x)dx＝－5.
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活页作业(十五) 定积分的概念
1．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
A ．1
9
B ．1
25
C ．1
27
D ．130
解析：将区间[0,1]三等分为⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03×13
＋⎝⎛⎭⎫133×13＋⎝⎛⎭⎫233×13＝981＝19
.
答案：A
2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤
i －1n ，i n 上的值，可以用下列中的哪一项来近似
代替( )
A ．f ⎝⎛⎭⎫1n
B ．f ⎝⎛⎭⎫2n
C ．f ⎝⎛⎭⎫i n
D ．f (0)
解析：任一函数在⎣⎡⎦
⎤
i －1n ，i n 上的值均可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替． 答案：C
3．下列等式成立的是( ) A ．⎠⎛a b
0d x ＝b －a B ．⎠⎛a b x d x ＝12 C ．⎠⎛－11
|x |d x ＝2⎠⎛01
|x |d x D ．⎠⎛a b
(x ＋1)d x ＝⎠⎛a b
x d x
解析：⎠⎛－11
|x |d x ＝⎠⎛－10
|x |d x ＋⎠⎛01
|x |d x ＝⎠⎛－10
(－x )d x ＋⎠⎛01
x d x ＝⎠⎛01
x d x ＋⎠⎛01
x d x ＝2⎠⎛01
x d x ＝2⎠⎛01
|x |d x .
答案：C
4．已知定积分∫60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠
⎛6－6f (x )d x 等于( )
A ．0
B ．16
C ．12
D ．8
解析：偶函数的图像关于y 轴对称，故∫6－6f (x )d x ＝2∫6
0f (x )d x ＝16.
答案：B
5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2(x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )
A ．⎠⎛－11
x 2
d x B ．⎠⎛－11
2x
d x C ．⎠⎛－10
x 2d x ＋⎠⎛
01
2x d x D ．⎠⎛－10
2x d x ＋⎠⎛
01
x 2d x 解析：由定积分的性质4求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确．
答案：D
6．已知⎠⎛a b
f (x )d x ＝6，则⎠⎛a b
6f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛a b
6f (x )d x ＝6⎠⎛a b
f (x )d x ＝6×6＝36. 答案：36
7．用定积分表示下列各图中阴影部分的面积(不要求计算)： (1)图(1)中S 1＝________； (2)图(2)中S 2＝________； (3)图(3)中S 3＝________.
答案：(1)∫ππ
3sin x d x (2)⎠⎛－42
x
2
2d x
(3)－⎠⎛49
(－x 12)d x
8．计算：⎠⎛06
(2x －4)d x ＝________.
解析：如右图，由y ＝2x －4可得A (0，－4)，B (6,8)．
则S △AOM ＝1
2×2×4＝4，
S △BCM ＝1
2×4×8＝16.
∴⎠⎛06
(2x －4)d x ＝16－4＝12. 答案：12
9．已知f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x (x ∈[0，2))，
4－x (x ∈[2，3))，
52－x 2(x ∈[3，5])，
求f (x )在区间[0,5]上的定积分．
解：如右图，由定积分的几何意义，得⎠⎛02
x d x ＝1
2×2×2＝2，
⎠⎛23
(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ⎠⎛35⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝12
×2×1＝1. ∴⎠⎛05
f (x )d x ＝⎠⎛02
x d x ＋⎠⎛23
(4－x )d x ＋⎠⎛35
⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝9
2
. 10．利用定积分的几何意义计算⎠⎛02
(2x ＋1)d x .
解：如右图，所求定积分为阴影部分的面积，其面积为1
2
×(1＋5)×2＝6.
故⎠⎛02
(2x ＋1)d x ＝6.
11．如下图，由曲线y ＝x 2－1和x 轴围成图形的面积等于S .
给出下列结果：
①⎠⎛－11
(x 2－1)d x ；②⎠⎛－11
(1－x 2)d x ；③2⎠⎛01
(x 2－1)d x ；④2⎠⎛－10
(1－x 2
)d x .则S 等于( )
A ．①③
B ．③④
C ．②③
D ．②④
解析：⎠⎛－11
(1－x 2)d x ＝2⎠⎛－10
(1－x 2)d x
答案：D
12．若∫π20cos x d x ＝1，则由x ＝0，x ＝π，f (x )＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为________． 解析：由正弦函数与余弦函数的图像，知f (x )＝sin x ，x ∈[0，π]的图像与x 轴围成的图形的面积等于g (x )＝cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2的图像与x 轴围成的图形的面积的2倍．所以答案应为2.
答案：2
13．在等分区间的情况下，写出f (x )＝1
1＋x 2
(x ∈[0,1])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式
的极限形式为___________．
解析：将区间[0,1]等分成n 份，形成n 个小区间[x i －1，x i ]＝⎣⎡
⎦⎤
i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，
且每个小区间的长度为Δx i ＝1
n (i ＝1,2，…，n )，在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上取一点ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则∑i ＝1n f (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n . ∴和式的极限形式为lim n →＋∞∑＝1n
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11＋
⎝⎛⎭⎫i n 2·1n . 答案：lim n →＋∞∑＝1n
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11＋
⎝⎛⎭⎫i n 2·
1n 14．将和式的极限lim n →＋∞1p ＋2p ＋3p ＋…＋n p
n p ＋
1(p >0)表示成定积分为________． 解析：令ξi ＝i
n
，f (x )＝x p ，
则lim n →＋∞1p ＋2p ＋3p ＋…＋n p
n p ＋1＝lim n →＋∞∑i ＝1n 1n f (ξi )＝⎠⎛01x p d x . 答案：⎠⎛01
x p
d x
15．利用定义计算定积分⎠⎛01
(x 2＋2)d x .
解：把区间[0,1]分成n 等份，分点和小区间的长度分别为x i ＝i
n (i ＝1,2，…，n －1)，
Δx i ＝1n (i ＝1,2，…，n )，取ξi ＝i
n
(i ＝1,2，…，n )，
作积分和∑i ＝1n f (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n (ξ2i ＋2)Δx i
＝∑i ＝1
n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·1n ＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2＝1
6⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭
⎫2＋1n ＋2. ∴⎠⎛01
(x 2＋2)d x ＝lim n →∞∑i ＝1
n
f (ξi )Δx i ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤16⎝
⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋2＝13＋2＝73. 16．利用定积分表示由曲线y ＝x －2和x ＝y 2围成的平面区域的面积． 解：曲线所围成的平面区域如图所示，则S ＝A 1＋A 2.
A 1为y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成的阴影部分的面积； A 2为y ＝x ，y ＝x －2，x ＝1和x ＝4围成的阴影部分的面积． ∴A 1＝⎠⎛01
[x －(－x )]d x ， A 2＝⎠⎛14
[x －(x －2)]d x .
∴S ＝2⎠⎛01
x d x ＋⎠⎛14
(x －x ＋2)d x .。