和差角公式习题课学案
《3.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式》 学案
学习过程复习预习1、用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图的方法；2、函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤：法一法二知识讲解考点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_βcos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_βtan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin_αcos_αcos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan 2α＝2tan α1－tan2α三、例题精析【例题1】【题干】化简下列各式：(1)(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.【解析】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsin α2cos α2cos α＝tan α2.(2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 2 10°＝2sin 210°. ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.【例题2】【题干】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．【解析】∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.【例题3】【题干】已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1) 求tan 2α的值；(2)求β.【解析】 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.故tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.【例题4】【题干】 (天津高考)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．【解析】(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2. (2)法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.∴(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＝π6，即α＝π12. 法二：∵由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≠0.∴1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，π4＋α＝π3.即α＝π3－π4＝π12.课堂运用【基础】1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝()A．－1B．－2 2C.22D．12．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝()A．－53B．－59C.59 D.533．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是() A．－1 B．1C．2 D．4【巩固】4 . 3－sin 70°2－cos210°＝________.5．(2013·南通模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.【拔高】6．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值．7．(2013·岳阳模拟)已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a·b ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值．课程小结1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．21 / 21。
3.1.1两角和与差的余弦公式学案
探究一：用计算器求值： ， ，
为什么？
探究二：两角差的余弦公式的推导
1.三角函数线法：
问：①怎样作出角 、 、 的终边。
②怎样作出角 的余弦线OM
③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。
2.向量法：
问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？
2怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
3对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
例题整理
例1.利用差角余弦公式求 的值
变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1） ；
（2）
变式训练：
反思总结
本节主要考察如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角 ， 的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题.
5.解：由 ，得 ；
又由 ，得 ；
因此， =
当堂检测
1.利用两角和（差）的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ弦公式，求
2.求值
3.化简
课后练习与提高
一、选择题
1. 的值为（）
A. B. C. D.
2. 的值为（）
A B
C. D .
3.已知 ，则 的值等于（）
A. B.
C. D.
二、填空题
4.化简 =
三、解答题、
5.已知 ， ，求 的值.
课后练习答案
1.C 2.C 3.B 4. 4.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标： 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．自主梳理1．(1)两角和与差的余弦cos(α＋β)＝____________________________________， cos(α－β)＝____________________________________. (2)两角和与差的正弦sin(α＋β)＝_____________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________. (3)两角和与差的正切tan(α＋β)＝_____________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________.(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z )其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中⎩⎪⎨⎪⎧cos φ＝aa 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，tan φ＝b a ，角φ称为辅助角．自我检测 1．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值为________．2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝________.3．cos π12＋3sin π12＝________.4．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是________．5．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________．探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1 求值： (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin 280°； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．变式迁移1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2 已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．变式迁移2 (2010·广州高三二模)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．变式迁移3 若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．转化与化归思想例 (14分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．【答题模板】解 (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a·b ＋b 2＝45.[2分]又∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1， a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分]故cos(α－β)＝a 2＋b 2－452＝2－452＝35.[7分](2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[9分]又∵sin β＝－513，－π2<β<0，∴cos β＝1213.[11分]故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎫－513＝3365.[14分] 【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a －b |＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.本节主要应用转化与化归思想，即异角化同角．未知角向已知角转化，非特殊角向特殊角转化．【易错点剖析】|a －b |平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换．2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知a ∈(－π2，0)，sin α＝－45，则tan(α＋π4)＝______________.2．(2011·盐城模拟)已知cos(π6－α)＝33，则sin 2(α－π6)－cos(5π6＋α)的值是________．3．(2010·东北育才中学一模)已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.4．函数y ＝2sin(π4－x )＋6cos(π4－x )的最大值为________．5．求值：sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________.6．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为________．7．函数f (x )＝a sin(x ＋π4)＋3sin(x －π4)是偶函数，则a ＝________.8．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．10．(14分)(2010·四川)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知△ABC 的面积S ＝12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C .11．(14分)(2010·济南高三三模)设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式学案1
必修4 3．1．3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）【学习目标】1.能推导两角和与差的正切公式，并能说出两组公式的结构特征与前面公式的联系；2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式对三角函数式进行求值、化简、证明．3. 通过公式的运用，体会化归思想在数学中的应用，提高同学们观察分析能力、应用意识、数学素养．【学习重点】两角和与差的正切公式的推导并结合前面所学一起运用． 【难点提示】灵活运用所学公式对三角函数式进行求值、化简、证明.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材128132P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了三角函数及相关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题和做好学习新课的情感准备：1.同角三角函数关系式为 、 ，运用时需注意些什么？2.两角和与差的正弦、余弦公式：=-)cos(βα ，=+)cos(βα ， =+)sin(βα ，=-)sin(βα ，以上几组公式各有哪些特征？有何联系？如何记忆？有易混点吗？这些公式中各有几个量？有哪些运用方式？公式使用范围是什么？热身练习 你能用几种方法求tan15与tan 75的值. 解：二、学习探究前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦公式.那么，同学们自然就要问有两角和与差的正切公式吗？结合“热身练习”，探究如何用tan tan αβ、来表示tan()αβ±？ 1.探究两角和的正切公式活动1（特殊角和的正切）：t a n 75t a n (4530)____________=+=活动2：推导公式tan()αβ+= 归纳结论简称：()T αβ+ 2.探究两角差的正切公式活动3（特殊角和的正切）：t a n 15t a n (6045)____________=-=一般角差的正切公式猜想：tan()αβ-=活动4：推导公式tan()αβ-= 归纳结论 ()T αβ- 公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 给出了任意角,αβ的三角函数值与其和角βα+的三角函数值之间的关系，叫做 公式．类似地，公式)(βα-S ，)(βα-C ，)(βα-T 叫做 公式．快乐体验 1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求tan()n()44ππαα-+、ta 的值. 解：2.求值域化简：（1）tan12tan 33____1tan12tan 33+=-⋅；01tan 75(2)___1tan 75-=+； （3）030tan 15tan 30tan 15tan ++= ；(4)tan()___2πα-=(βα+S (βα+S体验反思 （1）以上两题的题型怎样？怎样求解的？有易错点吗？（2）通过对两角和与差的正切公式的探究、推导、体验，你有哪些感悟？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 （1）你能用换元的观点由公式)(βα+T 推导公式)(βα-T 吗？ （2）仔细观察公式)(βα±T ，发现它们各有何特征？你怎样记忆每个公式？ （3）弄清以上公式)(βα±T 的适用范围，即：≠α，≠β ，≠±βα ，当αtan 、βtan 或)tan(βα±得值不存在时，怎么办？（4）你能写出公式)(βα±T 的变形式吗？如=±βαtan tan ，=±βαtan tan 1 ，这两组公式的运用方式有哪些？（5）你能感悟下面六个和差角公式的逻辑联系框图吗？他们之间有怎样的联系呢?三．典例解析例1.求值：00000tan 20tan 40tan120__tan 20tan 40++= 解：解后反思 解本题，用了些什么公式？使用公式有哪些技巧？ 变式练习 已知31)sin(,21)sin(=-=+βαβα，求)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+∙--+的值． 解：例2（2008年高考江苏卷）如图，在平面直角坐标xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单 位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为102、552（1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值．解后反思 该题的题型怎样？求)tan(βα+的关键是求什么？求βα2+的值有易错点吗？变式练习 已知函数222--=x x y 的图象与x 轴交点为)0,(tan α、)0,(tan β， 求证：)sin(4)cos(βαβα+=+证：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：你对公式()T αβ±的推导、使用范围等都弄明白了吗？都能灵活运用了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价1若3)4tan(=-απ，则αtan 等于（ ）A ．2-B ． 21C ． 21- D ． 22在△ABC 中，A tan 、B tan 是方程01532=+-x x 的两个实数根，则△ABC 是（ ）A ．钝角三角形 ；B ．锐角三角形； C.等腰三角形 ； D.等边三角形. 3（2006年高考福建卷）已知),,2(ππα∈,54sin =α则)4tan(πα+等于（ ）A ．71； B ． 7； C ． 71-； D ．7-.4若),24cos()24sin(0θθ-=+则=-)60tan(0θ ． 5.已知21)4tan(=+απ．（1）求αtan 的值；（2）求)127tan(πα+的值． 解：6（2006年高考四川卷）已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量m )3,1(-=，n )sin ,(cos A A =,且m ∙1=n ．（1）求角A,（2）若3sin cos 2sin 122-=-+BB B，求C tan ．解;7.教材P137页习题3.1第9、10、11、12题（做在作业本上）。
两角和与差的三角函数 学案
两角和与差的余弦、正弦、正切1．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则 ( )A.ab ＜1B.a ＞bC.a ＜bD.ab ＞22．已知α、β为锐角，cos α＝17 ，cos(α＋β)＝－1114 ，求β的值.3．已知π2 ＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213 ，sin(α＋β)＝－35 ，求sin2α的值.4．若A ＋B ＝π4，求（1＋tan A )(1＋tan B )的值. 5．化简 3 －tan1801＋ 3 tan186．化简（tan10°－ 3 )cos100sin5007．求证：sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan(x －π4)8．已知tan A 与tan(－A ＋π4 )是x 2＋px ＋q ＝0的解，若3tan A ＝2tan(π4－A )，求p 和q的值.两角和与差的余弦、正弦、正切答案1．C2．已知α、β为锐角，cos α＝17 ，cos(α＋β)＝－1114，求β的值.分析：注意观察α、α＋β及β间的关系，先求角β的一个三角函数值，再根据β为锐角求出β.解：∵α为锐角，且cos α＝17 ，∴sin α＝1－cos 2α ＝437.又∵α、β均为锐角，∴0＜α＋β＜π，且cos(α＋β)＝－1114 ，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β) ＝5314. 则cos β＝cos ［(α＋β)－α］＝cos （α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114 )×17 ＋5314×437＝12 ∴β＝π3 . 评述：（1）在和（差）角公式的运用中,要注意和、差的相对关系，如（α＋β)－α＝β.(2)求角的基本步骤：①求角的范围；②求角的一个三角函数值；③写出满足条件的角.3．已知π2 ＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213 ，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值.分析：注意观察α－β、α＋β和2α间的关系，再选择适当的公式进行计算. 解：由题设知α－β为锐角，所以sin （α－β）＝513 ，又∵α＋β是第三象限角，∴cos(α＋β)＝－45 ，由2α＝(α＋β)＋(α－β)得sin2α＝sin ［(α－β)＋(α＋β)］＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝－5665评述：在三角变换中，角的变换是常用技巧，本题是将角2α变换成（α＋β)＋(α－β)，使已知式中的角与待求式中的角联系起来.4．若A ＋B ＝π4，求（1＋tan A )(1＋tan B )的值.分析：注意待求式与正切和角公式间的联系，将正切和角公式变形解题. 解：（1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋tan A ＋tan B ＋tan A tanB. 又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B 且A ＋B ＝π4∴tan(A ＋B )＝1 ∴tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B即tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1∴(1＋tan A )(1＋tan B )＝2. 评述：在解题过程中要注意分析条件和结论中的关系式与有关公式间的联系，并将公式进行变形加以运用. 5．化简3 －tan1801＋ 3 tan18分析：注意把所要化简的式子与正切的差角公式进行比较.解： 3 －tan1801＋ 3 tan180 ＝tan600－tan1801＋tan600tan180 ＝tan(60°－18°)＝tan42° 评述：在三角函数的化简与求值时，通常将常数写成角的一个三角函数，再根据有关公式进行变形.6．化简（tan10°－ 3 )cos100sin500分析：切、弦混合式在不能直接运用公式的情况下，考虑将切化弦. 解：原式＝（tan10°－tan60°) cos100sin500 ＝(sin100cos100 －sin600cos600 )cos100sin500＝sin(－500)cos100 cos600 ·cos100sin500 ＝－1cos600 ＝－2. 评述：（1）切化弦是三角函数化简的常用方法之一. （2）把函数值化成tan60°在本题的化简中是必经之路. 7．求证：sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan(x －π4)证明：左边＝ 2 sin(x －π4 )2 cos(x －π4)＝tan(x －π4)＝右边或：右边＝tan(x －π4 )＝sin(x －π4)cos(x －π4)＝sin x cosπ4 －cos x sin π4 cos x cos π4 ＋sin x sin π4＝sin x －cos xsin x ＋cos x＝左边8．已知tan A 与tan(－A ＋π4 )是x 2＋px ＋q ＝0的解，若3tan A ＝2tan(π4 －A )，求p 和q的值.分析：因为p 和q 是两个未知数，所以须根据题设条件列出关于p 、q 的方程组，解出p 、q .解:设t ＝tan A ，则tan(π4 －A )＝1－tan A 1＋tan A ＝1－t1＋t由3tan A ＝2tan(π4 －A ) 得3t ＝2（1－t ）1＋t解之得t ＝13或t ＝－2.当t ＝13 时，tan(π4 －A )＝1－t 1＋t ＝12，P ＝－［tan A ＋tan(π4 －A )］＝－56 ，q ＝tan A tan(π4 －A )＝ 13 ×12＝16.当t ＝－2时，tan(π4 －A )＝ 1－t 1＋t＝－3，P ＝－［tan A ＋tan(π4 －A )］＝5，q ＝tan A tan(π4－A )＝6∴满足条件的p 、q 的值为： ⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=656165q p q p 或 评述：(1)“列方程求解未知数”是基本的数学思想方法. (2)如果tan α、tan β是某一元二次方程的根，则由韦达定理可与公式T (α+β)联系起来；若cos α、sin α是某一元二次方程的根，则由韦达定理与公式sin 2α＋cos 2α＝1联系起来.。
和角差角公式教案
和角差角公式教案教案标题：和角差角公式教案教学目标：1. 理解和角差角公式的概念和应用。
2. 掌握和角差角公式的推导和运用方法。
3. 能够灵活运用和角差角公式解决相关问题。
教学重点：1. 和角差角公式的概念和应用。
2. 掌握和角差角公式的推导方法。
3. 能够灵活运用和角差角公式解决相关问题。
教学难点：1. 掌握和角差角公式的推导方法。
2. 能够灵活运用和角差角公式解决相关问题。
教学准备：1. 教学课件和投影仪。
2. 教学用具：白板、彩色粉笔、直尺、量角器等。
3. 练习题和答案。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）通过提问和展示一些图形，引发学生对和角差角的认识和思考，激发学生的学习兴趣。
Step 2：讲解和角差角公式的概念和应用（10分钟）1. 通过示意图和实例，简单介绍和角差角的概念和应用。
2. 引导学生思考和角差角公式的推导方法。
Step 3：推导和角差角公式（15分钟）1. 结合几何图形，详细讲解和角差角公式的推导过程。
2. 通过示例演示，帮助学生理解和角差角公式的运用。
Step 4：练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 学生互相讨论和比较答案，解决问题中的困惑。
3. 教师巡视指导，解答学生提出的问题。
Step 5：总结与拓展（10分钟）1. 总结和角差角公式的应用方法和注意事项。
2. 提供一些拓展问题，让学生进一步巩固和应用所学知识。
Step 6：作业布置（5分钟）布置相关作业，要求学生独立完成，并在下节课检查。
教学反思：本节课通过引发学生对和角差角的认识和思考，结合几何图形进行推导和演示，使学生理解和角差角公式的概念和应用。
通过练习和讨论，巩固和运用所学知识。
同时，通过拓展问题的提供，激发学生的思维和创造力。
整个教学过程注重培养学生的自主学习能力和合作精神，提高他们解决问题的能力。
202新数学复习第三章三角函数解三角形3.3.两角和与差的三角公式学案含解析
第三节简单的三角恒等变换课标要求考情分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1。
利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题．2．命题形式多种多样，既有选择题、填空题，也有综合性的解答题.知识点一基本公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。
S(α＋β）：sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.S（α－β）:sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ。
T(α＋β)：tan（α＋β)＝错误!(α，β，α＋β≠错误!＋kπ，k∈Z）．T(α－β）：tan（α－β）＝错误!（α,β，α－β≠错误!＋kπ，k∈Z）．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
T2α：tan2α＝2tanα1－tanα错误!知识点二三角公式的变形技巧1．降幂公式:cos2α＝错误!，sin2α＝错误!。
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α。
3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．4．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin（x＋φ)错误!知识点三三角恒等变换1．重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式"．(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2)变名:尽可能减少函数名称;(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．2．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求（或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×")(1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2）在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)(3)公式tan（α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β）(1－tanαtanβ）,且对任意角α，β都成立．（×)(4)公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）中φ的取值与a，b的值无关．（×)解析：根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知（2)(3）（4)是错误的，(1）是正确的．2．小题热身(1)（2019·全国卷Ⅰ）tan255°＝(D)A．－2－错误!B．－2＋错误!C．2－错误!D．2＋错误!（2)若sinα＝错误!，则cos2α＝（B）A.错误!B.错误!C．－错误!D．－错误!(3）sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝错误!.(4）已知tan(α－错误!)＝错误!，则tanα＝错误!。
两角和与差的正余弦,正切学案(2课时)
两角和与差的正余弦,正切学案(2课时)复习要求:① 了解用两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型:求值题,化简题,证明题;② 对公式会”正用”,”逆用”,变形使用”③ 掌握”角的演变”规律,如”αβαββαβαα-+=-++=)(),()(2”等<具体用法详见例题>;④ 将公式和其它知识衔接起来使用,如与三角函数的性质衔接使用等<详见例题>.二. 复习重点:正.余弦及正切的和(差)角公式的”正用” ,”逆用”,变形使用”三. 复习过程:1. 考点梳理: 两角和与差的三角函数公式:____)sin(=±βα _____)cos(=±βα ____)tan(=±βα<注:βα,指任意角,熟记和(差)角公式特点>2. 方法罗列:① 直接应用和(差)角公式进行求值,化简,证明.② “整体换元”,注意找未知量与已知量间的联系,并注意其公式成立的条件.3. 典型例题分析:<1>.求值问题:(1)给角求值:例1:求︒︒+︒+︒35tan 25tan 335tan 25tan 的值. <3>析:观察非特殊角与特殊角之间的关系,将非特殊角转化为特殊角求解,由公式.)tan tan 1)(tan(tan tan :tan tan 1tan tan )tan(可得变形有βαβαβαβαβαβα-+=+⇒-+=+Ex: ①︒+︒-75tan 175tan 1 ②)]12tan()18[tan(3)12tan()18tan(x x x x +︒+-︒++︒-︒(2)给值求值:例2.已知.)sin(,135)43sin(,53)4cos(,40,434的值求βαβπαππβπαπ+=+=-<<<<析: 若将)sin(βα+按和角公式展开,通过求βα,的正,余弦求值较复杂,若观察到),(2)4()43(βαπαπβπ++=--+便可用整体思想求解,较简捷.Ex: βα, 若____cos ,53)sin(,552sin ,均==+=ββαα则为锐角 <B> A.552 B.2552 C.2552552或 D.2552-① 给角求值:例3: βαβαβα+==求为锐角且若,,,1010sin ,55sin 的值. <4π> 析: 注意未知角与已知角的联系,其关键在于对角的范围的讨论，注意根据某些条件缩小角的范围,求出准确角.Ex: .,,31tan ,71tan βαβα且已知==均为锐角，求.,βα <4π>② 给式求值:例4: .tan tan ,101)sin(,21)sin(的值求已知βαβαβα=-=+ <23> 析: 可将已知式或所求式进行化简,再求值,常用方法有:①消去法;②解方程;③应用比例性质.Ex:.,cos cos cos ,sin sin sin ,,βαβγαβγαγβα-=-=+求满足已知锐角<-3π><2>.化简问题:例5:化简①︒︒⨯-︒50sin 10cos )310(tan ; ②αγαγγβγββαβαcos cos )sin(cos cos )sin(cos cos )sin(-+-+-. 析: 涉及弦,切的问题,需将”切化弦”,再利用和(差)角公式化简.Ex: ︒-⨯︒+︒+︒10sin 1)]10tan 31(10sin 50sin 2[2<3>.证明问题:例6: 已知,2,2);2sin(sin 3ππβαππαβαβ+≠++≠+=k kαβαtan 2)tan(:=+求证析: αβαβαβαβα-+=++=+)(,)(2Ex: .tan 5)tan(:,sin 3)2sin(2ββααβα=+=+求证已知总结: 利用和(差)角三角函数公式进行化简,求值,证明问题时,要注意公式成立的条件,熟练地掌握公式的顺用,逆用,变形用,并注意各种解题技巧.4. 作业:1).已知.____)cos(,51cos cos ,57sin sin =+-=-=+βαβαβα则 2).已知076tan ,tan 2=++x x 是方程βα的两根,则._____)tan(=+βα 3).已知βα,为锐角,且,3tan ,2tan ==βα,则._____)cos(=+βα4).已知βααβα,,1352cos ,31)cos(-=-=+均为锐角,求).sin(βα- 5).已知,434,44,53)4c o s (,135)43sin(πβππαπβππα<<<<-=-=+且 且求)c o s (βα-的值. <6516> 6). βαtan ,tan 是二次方程02)32(2=-+-+m x m mx 的两根,求函数)tan(βα+=y 的最小值. <43->。
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正弦、余弦、正切的和差角公式习题课学案
一、知识要点
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
____;____________________)tan(:____;____________________)tan(:____;____________________)sin(:____;____________________)sin(:___;____________________)cos(:___;____________________)cos(:)()()()()()(T
T
S
S
C
C
2、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
3、变角是一种常用的技巧，如：
等)(2)4()43()()(2)(
二、典型例题
题型一：给角求值（一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角）
例1、 化简求值：2cos10sin20.cos20
跟踪训练：求2[2sin50sin10(13tan10)]2sin80的值.
题型二：给值求值（三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示）
例2、已知),2(,31tan),23,(54cos，，求)cos(．
跟踪训练：已知135)43sin(,53)4cos(,4340，求)sin(的值。
题型三：给值求角
例3、已知、为锐角，,1435)sin(,71cos求。
跟踪训练：已知、为锐角，,0110sin,552cos求的值。
三、课后作业
1、化简求值：81sin21cos81cos21sin( )
21、A 21、B 23、C 23、D
2、已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝( )
711A、 711B、- 713C、 713D、-
3、已知cosα－π6＋ sinα＝453，则 sinα＋7π6的值是( )
A．－235 B.235 C．－45 D.45
4、在△ABC中，若cosA＝45，cosB＝513，则cosC的值是( )
A.1665 B.5665 C.1665或5665 D．－1665
5、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )
A.32 B.3 C．2 D．1
四、课后思考：
求函数)(,cos3sin)(Rxxxxf的单调递增区间。