两角和与差理解练习知识题
两角和与差及二倍角公式精品例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、- 713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B.3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒++.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
第35课__两角和与差及二倍角公式(经典例题练习、附答案)
第35课 两角和与差及二倍角公式◇考纲解读和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 .② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦.正切公式 .③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦.余弦.正切公式，导出二倍角的正弦.余弦.正切公式，了解它们的内在联系 .◇知识梳理1．和、差角公式sin()______________________________αβ+=；sin()________________________________αβ-=cos()______________________________αβ+=；cos()_______________________________αβ-=;tan()__________________________________αβ+=；tan()_________________________________αβ-=.2．二倍角公式sin 2_________________α=；cos 2__________________________________________________α===； tan 2__________________α=．◇基础训练1．(2008广州一模文)已知3cos 5α=，则cos2α的值为（ ） A ．2425- B ．725- C ．725D ．2425 2．(2007·江西文) 若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） A ．3- B ．13- C ．3 D ．133．(2007·重庆文) 的是（ ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15-C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+ 4. 2tan151tan 165-的值是（ ）◇典型例题例1．(2007广州一模) 已知3sin 5θ=(0,)2πθ∈,求tan θ和cos2θ的值变式1：已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于( ) A.71 B.7 C.－ 71 D.－7。
三角函数的两角和差及倍角公式练习题
三角函数的两角和差及倍角公式练习题一、选择题：1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ；7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x +=。
三、解答题：11、求的值。
·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。
cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。
答案：一、1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。
3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B 提示: ∵cos(A + B ) > 0 ∴角C 为钝角。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
， ：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例2，22 2 2知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α － β )： cos(α － β )＝ ； C(α ＋ β )： cos(α ＋ β )＝ ； S(α ＋ β)： sin(α ＋β )＝ ； S(α － β )： sin(α － β )＝；T( α＋ β )： tan( α ＋ β )＝ ； T( α－ β )： tan( α － β )＝；例 2 设 cos α－ β＝－ 1 2 9 α 2－ β＝ 2 ，其中 α∈ 3 π 2，π， β∈ 0 π，求 cos(α＋β)． 2 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 变式 2： 已知 0π 3 ππ,cos( )3,sin( 3 π5), 求 sin( α+β ) 的值. S 2 ：sin2α ＝ ； T 2 ：tan2α ＝ ； 4 4 45 413C 2 ：cos2α＝ ＝＝；3、在准确熟练地记住公式的基础上 ,要灵活运用公式解决问题 :如公式的正用、逆用和变形用等。
如 T( α± β)可变形为 : tan α± tan β= ； tan αtan β==.考点自测：题型 3 给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1) 确定角所在的范围； (2) 求角的某一个三角函数值( 要求该三角函数应在角的范围内严格单调 ) ；（ 3） 求出角。
1、已知 tan α ＝ 4，tan β＝ 3，则 tan( α ＋ β) ＝ ()例 3 已知 α， β∈(0， π)，且 tan(α－ β)＝ 1 ， tan β＝－ 1，求 2α－β的值． 7 7C 7 72 7A 、B 、-1111、 D 、-13132、已知 cos α－π＋ sin α＝ 43，则 sin α＋7π的值是 ( ) 6 A ．－ 2 3 5 B.2 3 6 C ．－ 4D.4变式 3： 已知 tan α = 1， tan β = 1，并且 α , β 均为锐角 , 求 α +2β 的值 .5 5 55 733、在△ ABC 中，若 cosA ＝ 4， cosB ＝ 5，则 cosC 的值是 ( ) 5 16 56 A. B. 13 C.16或5616D ．－65 65 65 65 65 题型 4 辅助角公式的应用4、若 cos2θ＋ cos θ＝ 0，则 sin2θ＋ sin θ的值等于 ( )A ． 0B ． ± 3C ． 0 或 3D ． 0 或± 3asin x bcosxa2b 2sin x(其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由2cos55 －° 3sin5 °b 5、三角式 3 cos5 °值为 ( )tan确定 ) 在求最值、化简时起着重要作用。
两角和与差练习题(供参考)
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ；12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 两角和与差练习题一、选择题：2．已知)2,0(πα∈,sin(6πα+)=53,则cos α的值为( )A ．－10334+ B ．10343- C ．10334- D ．10334+7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.458.f(x)＝sinx cosx1＋sinx ＋cosx 的值域为( )A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1)B ．[－2－12,―1] ∪(―1, 2－12)C ．(－3－12,3－12)D ．[－2－12,2－12]解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[―2,―1]∪(―1, 2)． 则f(x)＝t 2－121＋t ＝t －12∈[－2－12,―1]∪(―1, 2－12)．B9 .sin()cos()cos()θθθ+︒++︒-+︒7545315的值等于（ ） A. ±1B. 1C. -1D. 010．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m有意义，则m 的取值范围是( ) A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]11、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ++的值（ ） Ａ．π6Ｂ．π4Ｃ．π3Ｄ．5π412．已知α,β是锐角，sin α=x,cos β=y,cos(α+β)=－53，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y=－5321x -+54x (53<x<1) B ．y=－5321x -+54x (0<x<1)C ．y=－5321x -－54x (0<x<53)D ．y=－5321x -－54x (0<x<1)13、若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2 C1 D2 15. 设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=016.若()1cos 3A B -=, 则()()22cos cos sin sin B A B A +++的值是（ ）A. 83-B . 83 C. 73D. 5317. 若()()17tan 411tan 4=-+βα,则()βα-tan 的值为（ ） A. 14 B. 12C . 4 D. 1218. 已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是 （ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a19．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21B ．22C ．22-D ．22±21．已知tan α,tan β是方程x 2+4=0的两根,且2π-<α<2π,2π-<β<2π,则α+β等于 （ ）A ．23π- B ．3π C ．3π或23π- D ．－3π或23π22．如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于（ ）Ａ．m n m n -+ Ｂ．m nm n+- Ｃ．n mn m-+ Ｄ．n mn m+-23．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形24．在ABC ∆中,若3tan =C , 且()B B B A sin 120cos cos sin 0-=,则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B.等腰但非直角三角形C. 等腰直角三角形 D . 等边三角形25．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值（ ） Ａ．不大于1 Ｂ．小于1 Ｃ．等于1 Ｄ．大于126．在ABC △中，90C >，sin E C =，sin sin F A B =+，cos cos G A B =+，则E F G ，，之间的大小关系为（ ） Ａ．G F E >> Ｂ．E F G >>Ｃ．F E G >> Ｄ．F G E >>27.ABC ∆中，若135cos ,53in ==B A s ，则C cos 的值是（ ） Ａ。
4.5-两角和与差的正弦、余弦、正切练习题
§4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切一、选择题1.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.12C.2解析 原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A. 答案 A2.已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－22解析：由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α) 由α为锐角知cos α＋sin α≠0. ∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12. ∴sin 2α＝12.答案：A3．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )．A.724 B ．－724 C.247 D ．－247 解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45.∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34.∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案 D4．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ( )． A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析 由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4. 答案 A 5．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )． A.33B ．－33 C.539D ．－69解析 对于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，而π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.答案 C6．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( )A.45 B ．－237 C ．－247 D ．－83解析 由sin (π＋α)＝－35，得sin α＝35，又α是第二象限角，故cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝－34，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案 C7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )．A ．－235 B.236 C ．－45 D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案 C 二、填空题8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223.故cos α＝cos [⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝13×22＋223×22＝4＋26.答案：4＋269．化简[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°的结果是________．解析 原式＝2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2sin 80°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋2sin 10°·cos －cos 10°·2cos 10° ＝22(sin 50°cos 10°＋sin 10°cos 50°)＝22sin 60°＝ 6. 答案 610．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________． 解析 法一 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3， 解得tan θ＝12.∵sin 2θ－2cos 2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2 θ－1－tan 2 θ1＋tan 2 θ－1 ＝45－35－1＝－45. 法二 sin 2θ－2cos 2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2 θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ－1＝－1－tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ1＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ1＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝－1－91＋9－2×31＋9－1＝－45.答案 －4511．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．解析 ∵f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )min ＝1－ 2. 答案 1－ 212．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.解析 由已知，得cos αcos β－sin αsin β＝15，cos αcos β＋sin αsinβ＝35，则有cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，sin αsin βcos αcos β＝12，即tan αtanβ＝12.答案12三、解答题13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求1－tan x 1＋tan x .解析 ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－1213，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－512，∴1－tan x1＋tan x＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－125. 14．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x ∈R.(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解析 (1)f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx ，当ω＝12时，f(x)＝sin x 2－cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，而－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f(x)的最大值为2，此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x的集合为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝3π2＋4k π，k ∈Z .(2)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，所以，x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π.15．在△ABC 中，A 、B 、C 为三个内角，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2＋3cos 2B－2cos B .(1)若f (B )＝2，求角B ；(2)若f (B )－m ＞2恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)f (B )＝4cos B ×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B 2＋3cos 2B －2cos B＝2cos B (1＋sin B )＋3cos 2B －2cos B ＝2cos B sin B ＋3cos 2B＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3.∵f (B )＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝2，π3＜2B ＋π3＜73π，∴2B ＋π3＝π2.∴B ＝π12. (2)f (B )－m ＞2恒成立，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＞2＋m 恒成立．∵0＜B ＜π，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3∈[－2,2]，∴2＋m ＜－2.∴m ＜－4.16． (1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)．解析 (1)证明 ①如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox 轴非负半轴，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3，角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α. sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin(－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan β＝－13，∴cos β＝－31010，sin β＝1010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1010＝31010.。
高一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式知识点+例题+练习 含答案
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ . 答案 2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos (90°－50°)cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ . 答案 34解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3， 则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 答案 17解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17. 4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .答案 22 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ． 答案 17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35， ∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425， ∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725， ∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4) ＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ . (2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是 ．答案 (1)－75(2) 3 解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45. ∴原式＝－75. (2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－231－(－3)2＝ 3. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ . (2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是 ． 答案 (1)35(2)－1 解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝925. 又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35. (2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1. 题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为 ． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ . 答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为 ．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为 ． 答案 (1)π4(2)3 解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 可得f (x )的最大值是3.题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ． 答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45， 所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等． 若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ . 答案 539解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 ．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ . 易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误． (2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ . 答案 12解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2， 又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ . 答案3 解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为 ． 答案 54π 解析 因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ .答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)， 所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝ . 答案 －255解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0， 所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝2， tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23＝(3－2)(23－1)(23－1)(23＋1)＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝±3.15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域． 解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8[sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12， 所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，5π12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8∈[－1，2]， 所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。
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两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ；12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 两角和与差练习题一、选择题：2．已知)2,0(πα∈,sin(6πα+)=53,则cos α的值为( )A ．－10334+ B ．10343- C ．10334- D ．10334+7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ( )A ．－235B.235 C ．－45 D.458.f(x)＝sinx cosx1＋sinx ＋cosx 的值域为( )A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1)B ．[－2－12,―1] ∪(―1, 2－12) C ．(－3－12,3－12) D ．[－2－12,2－12] 解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[―2,―1]∪(―1,2)．则f(x)＝t 2－121＋t＝t －12∈[－2－12,―1]∪(―1, 2－12)．B9 .sin()cos()cos()θθθ+︒++︒-+︒7545315的值等于（ ） A. ±1B. 1C. -1D. 010．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m有意义，则m 的取值范围是( ) A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]11、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ++的值（ ） Ａ．π6Ｂ．π4Ｃ．π3Ｄ．5π412．已知是锐角，sin=x,cos=y,cos()=－53，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y=－5321x -+54x (53<x<1) B ．y=－5321x -+54x (0<x<1) C ．y=－5321x -－54x (0<x<53)D ．y=－5321x -－54x (0<x<1)13、若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2C 1D 2 15. 设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=016.若()1cos 3A B -=, 则()()22cos cos sin sin B A B A +++的值是（ ） A. 83- B . 83 C. 73 D. 5317. 若()()17tan 411tan 4=-+βα,则()βα-tan 的值为（ ） A. 14 B. 12C . 4 D. 1218. 已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是 （ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a19．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21B ．22C ．22-D ．22±21．已知tan α,tan β是方程x 2+4=0的两根,且2π-<α<2π,2π-<β<2π,则α+β等于 （ ） A ．23π-B ．3πC ．3π或23π-D ．－3π或23π22．如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于（ ）Ａ．m nm n-+ Ｂ．m nm n+- Ｃ．n mn m-+ Ｄ．n mn m+-23．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形24．在ABC ∆中,若3tan =C , 且()B B B A sin 120cos cos sin 0-=,则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B.等腰但非直角三角形C. 等腰直角三角形 D . 等边三角形25．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值（ ） Ａ．不大于1 Ｂ．小于1Ｃ．等于1Ｄ．大于126．在ABC △中，90C >，sin E C =，sin sin F A B =+，cos cos G A B =+，则E F G ，，之间的大小关系为（ ）Ａ．G F E >> Ｂ．E F G >>Ｃ．F E G >>Ｄ．F G E >>27.ABC ∆中，若135cos ,53in ==B A s ，则C cos 的值是（ ） Ａ。
6516 Ｂ。
6556 Ｃ。
6516或6556 Ｄ。
6516-28. 已知三角形ABC 中，有关系式cos B cosCtan A=sin C sinB－－成立，则三角形ABC 一定为（ ） A. 等腰三角形B. A =︒60的三角形C. 等腰三角形或A =︒60的三角形D. 不能确定二填空题4．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。
解析：令cos cos t αβ+=，则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-2231722,,222t t t -≤-≤-≤≤≤≤5．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=则cos()βγ-的值. 解析：sin sin sin ,cos cos cos ,βγαβγα+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,βγβγ+++=122cos()1,cos()2βγβγ+-=-=-。
7.设)())tan 1,tan tan tan m m αβαβ=+-=+，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则αβ+= .8．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为 ． 9．化简：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π______．10．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是12．函数y ＝5sin(x ＋20°)－5sin(x ＋80°)的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
13. 已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 .14.在∆ABC 中，若sinAsinB ＋sinAcosB ＋cosAsinB ＋cosAcosB=2，则∆ABC 形状是 15．如果tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin(α＋β)cos(α－β)＝________.16．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B= .三、解答题若，，求的值。
sin()sin()tan tan αβαβαβ+=-=12110设，是方程的两根，求的最小值tan tan ()()tan()αβαβmx m x m 22320+-+-=+()()1 tan tan 60tan 60.αααα+︒-︒-化简 ().50cos 50sin 2110tan 3180sin 50sin 2.2︒︒+︒+︒+︒4. 由已知sin()sin()αβαβ+=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12110 即sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅-⋅=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12110 解得，sin cos cos sin αβαβ⋅=⋅=31015则有tan tan sin cos cos sin αβαβαβ==⨯=3105325．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0（a ＞1）的两根分别为tan α，tan β且α，β∈ （－2,2ππ)，求sin 2（α＋β）＋sin （α＋β）cos （α＋β）＋2cos 2（α＋β)的值6.已知π2 <α<π,0<β<π2 ,tan α=－ 34 ,cos(β－α)= 513,求sin β的值.()()7. sin 25sin ,:2tan 3tan .αββαβα+=+=已知求证8．已知 0βαβαcos ,cos ,90且<<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.9．已知一元二次方程0332=--x x 的两个根为βαtan ,tan ， 求)(cos 3)cos()sin(3)(sin 22βαβαβαβα+-++-+的值；10。
求)45tan 1)(44tan 1()3tan 1)(2tan 1)(1tan 1(︒+︒+︒+︒+︒+ 的值；（＝232）11已知)2,0(,,413cos sin ,23)sin(πβαβαβα∈+==-，求角βα,的值12．由已知，是方程的两根tan tan αβ 解：∴=---≥∴≤∆()()23420942m m m m且tan tan tan tan αβαβ+=-⋅=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪322m m m m∴+=+-⋅=---=-tan()tan tan tan tan αβαβαβ13212322mm m m mm ≤94∴-≥-+≥-3223434m ，即tan()αβ故的最小值为。