三角函数的两角和差及倍角公式练习题之欧阳光明创编
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案
1.0000sin347cos148sin32cos13+=____________2οοοο25sin 110sin 335cos 70cos +结果是（ ）A. 1B.22 C. 23D. 213、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形4、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；5、sin13°cos17°+cos13°sin17°. 6． 求sin18π7cos 9π2－sin 9πsin 9π2的值.7 函数sin22x xy =的图像的对称轴方程是 8. 已知53sin =α，),2(ππα∈，则)4cos(απ-的值为（ ）A. 52-B. 102-C. 1027-D. 527- 9 οοοο15cos 15sin 15cos 15sin -+的值为（ ） A.33B. 462+ C. 462- D. 3- 10. 设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则m M +等于（ ） A. 32 B. 32- C. 34- D. 2-11、sin750= （ ）Ａ、1412、设α、β为钝角，且sin α，cos β＝，则α+β的值为 （ ）Ａ、34π Ｂ、54π Ｃ、74π Ｄ、54π或74π13 1tan 751tan 75+-oo＝ （ ）Ｃ、 Ｄ、14、cos420sin780+cos480sin120____________;15、已知cos α=17，α∈(0,2π)，则cos(α+3π)=_____________;（2）sin13°cos17°+cos13°sin17°． 16． 求sin18π7cos 9π2－sin 9πsin 9π2的值． 17．Sin165º等于 （ ）A ．21B ．23C ．426+D ．426- 18．Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ）A ．23 B ．21 C ．23 D ．-2119．sin12π-3cos 12π的值是． （ ） A ．0 B ． —2C ．2 D ． 2 sin125π20.cos 24cos36sin 24sin 36.-----------------=o o o o21 .已知54cos =α，135sin =β，求()βα+cos 的值. 22.sin 37cos 23cos37sin 23.--------------------+=o o o o23 ο195sin 的值等于（ ） A ．462+-B ．462-C ．462+D ．426-. 24、οοοο25sin 20sin 65sin 70sin -= ( )A ．21 B ．23 C ．22D ．22-25．设34sin ,cos 55αα=-=，那么下列各点在角α终边上的是 （ ） A ．(3,4)- B ．(4,3)- C ．(4,3)- D ．(3,4)-26．将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位，所得图象的解析式是A ．y ＝sin(2x ＋π3)B ．y ＝sin(2x ―π3)C ．y ＝sin(2x ＋2π3)D ．y ＝sin(2x ―2π3)27．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则 ϕω和的取值是（ ）A ．3,1πϕω== B 。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
两角和与差及倍角公式练习题
两角和与差及二倍角的三角函数问题1。
不查表求值：sin cos sin cos sin sin 71587158+⋅-⋅=_______________解法一原式=-+⋅--⋅sin()cos sin cos()sin sin 158158158158=⋅⋅sin cos cos cos 158158tan15tan(4530)==-=-+=-+=-133133333323 解法二1sin 7(sin 23sin 7)21cos 7(cos 23cos 7)2sin 23sin 7cos 23cos 72sin15cos82cos15cos8tan15+-=+-+=+=⋅==原式…（余同解法一）(2)准确估算角的范围问题2. 已知tan α tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2,2ππ)，则α+β=（ ）A ．3π B ．3π或-π32 C ．-3π或π32 D ．-π32 错解：B. 正解：D. ★热 点 考 点 题 型 探 析例1:已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（ ）A ．17B ．7C ．17-D ．7- 【解题思路】直接用两角和的正切公式 解：B ．∵(,)2παπ∈，3sin 5α=， ∴ 4cos 5α= ， 3tan 4α=，∴ 31tan 14tan()7341tan 14πααα+++===--． 题型2: 逆用公式例2.（广东省实验中学2009届高三第二次阶段测试） sin 155°cos35°－ cos25°cos235°=____________. 【解题思路】注意到15518025;23527025︒︒︒=︒-︒=-︒ 解析:原式=sin 25cos35cos 25sin 35sin 602︒︒+︒︒=︒=【名师指引】三角求值题解题的一般思路是“变角、变名、变式”变角：它决定变换的方向，通过找出已知条件和待求结论中的差异，分析角之间的联系，决定用哪一组公式，是解决问题的关键；变名：在同一个三角式中尽可能使三角函数的种类最少，一般考虑化弦或化切（用同角三角函数的关系式或万能公式）；变式：由前二步对三角式进行恒等变形，或逆用、变形用公式，使问题获解； 【新题导练】1. cos 43cos77sin 43cos167oooo+的值为 ． 解析．诱导公式变角，再逆用三角公式切入，cos 43cos77sin 43cos167+=();21120cos 77sin 43sin 77cos 43cos 00000-==-+2. (华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试) 若(,)2παπ∈，且4sin 5α=，则sin()4παα-=．解析： 考点2 二倍角的正弦.余弦.正切 题型1：顺用公式例3．(执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)已知()⎪⎭⎫⎝⎛∈==-ππββαπ,2,53sin ,21tan ,求()βα-2tan 的值. 【解题思路】先由诱导公式求出tan α，再由二倍角公式求解。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
， ：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例2，22 2 2知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α － β )： cos(α － β )＝ ； C(α ＋ β )： cos(α ＋ β )＝ ； S(α ＋ β)： sin(α ＋β )＝ ； S(α － β )： sin(α － β )＝；T( α＋ β )： tan( α ＋ β )＝ ； T( α－ β )： tan( α － β )＝；例 2 设 cos α－ β＝－ 1 2 9 α 2－ β＝ 2 ，其中 α∈ 3 π 2，π， β∈ 0 π，求 cos(α＋β)． 2 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 变式 2： 已知 0π 3 ππ,cos( )3,sin( 3 π5), 求 sin( α+β ) 的值. S 2 ：sin2α ＝ ； T 2 ：tan2α ＝ ； 4 4 45 413C 2 ：cos2α＝ ＝＝；3、在准确熟练地记住公式的基础上 ,要灵活运用公式解决问题 :如公式的正用、逆用和变形用等。
如 T( α± β)可变形为 : tan α± tan β= ； tan αtan β==.考点自测：题型 3 给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1) 确定角所在的范围； (2) 求角的某一个三角函数值( 要求该三角函数应在角的范围内严格单调 ) ；（ 3） 求出角。
1、已知 tan α ＝ 4，tan β＝ 3，则 tan( α ＋ β) ＝ ()例 3 已知 α， β∈(0， π)，且 tan(α－ β)＝ 1 ， tan β＝－ 1，求 2α－β的值． 7 7C 7 72 7A 、B 、-1111、 D 、-13132、已知 cos α－π＋ sin α＝ 43，则 sin α＋7π的值是 ( ) 6 A ．－ 2 3 5 B.2 3 6 C ．－ 4D.4变式 3： 已知 tan α = 1， tan β = 1，并且 α , β 均为锐角 , 求 α +2β 的值 .5 5 55 733、在△ ABC 中，若 cosA ＝ 4， cosB ＝ 5，则 cosC 的值是 ( ) 5 16 56 A. B. 13 C.16或5616D ．－65 65 65 65 65 题型 4 辅助角公式的应用4、若 cos2θ＋ cos θ＝ 0，则 sin2θ＋ sin θ的值等于 ( )A ． 0B ． ± 3C ． 0 或 3D ． 0 或± 3asin x bcosxa2b 2sin x(其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由2cos55 －° 3sin5 °b 5、三角式 3 cos5 °值为 ( )tan确定 ) 在求最值、化简时起着重要作用。
两角和与差的三角函数及倍角公式周周测及(答案)超给力
两角和与差及倍角公式周测试题一、选择题：1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ；7、若αα23tan ，则=所在象限是 ；8、已知=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ；9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x +=。
三、解答题：11、求的值。
·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。
cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。
两角和与差的三角函数及倍角公式答案一、1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。
3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B 提示: ∵cos(A + B ) > 0 ∴角C 为钝角。
北师大版高中数学必修四《两角和与差的三角函数及倍角公式》同步测试题.docx
《两角和与差的三角函数及倍角公式》同步测试题一、知识要点：1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)():sin()sin cos cos cos S αβαβαβαβ±±=±；(2)():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ±±=m ； (3)()tan tan :tan()1tan tan T αβαβαβαβ±±±=m . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)(2):sin 22sin cos S αααα=α；(2)2222(2):cos2cossin 2cos 112sin C αααααα=-=-=-； (3)(2)22tan :tan 21tan T αααα=-. 3．常用的公式变形(1)tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±m ； (2)221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==；ααα2sin 21cos sin =⋅ （3）函数()sin cos (,f x a x b x a b =+为常数),可以化为())),f x x x ϕθ=+=-其中()ϕθ可由,a b 的值唯一确定．两个技巧： (1)拆角、拼角技巧：(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．一、基础自测1．下列各式的值为14的是( )． A ．22cos 112π- B ．2012sin 75- C.0202tan 22.51tan 22.5- D ．00sin15cos15 2．0000sin 68sin 67sin 23cos68-=3．若tan 3,α=则2sin 2cos αα= 4．已知2sin ,3α=则cos(2)πα-= 5．设1sin(),43πθ+=则sin 2θ= 6．0000tan 20tan 4020tan 40++=7．若2tan(),45πα+=则tan α= 8.已知sin α=53,且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，那么a a 2cos 2sin 的值等于 9.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan2α=10.设α∈（0，2π），若sin α=53，则2cos （α+4π）= 11.已知3sin ,(,),52πααπ=∈则cos 2)4απα=+ 12.已知tan(α+β)=52,tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πβ=41,那么tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα= 13. sin163°·sin223°+sin253°·sin313°=14.已知x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π,cosx=54,则tan2x= 15.已知cos2α=21（其中α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π），则sin α的值为 16.（cos 12sin 12ππ-）(cos12sin 12ππ+)= 17.若f(x)=2tanx-2cos 2sin 12sin 22x x x -，则f ⎪⎭⎫ ⎝⎛12π的值为 18. cos 48π+cos 483π+cos 485π+cos 487π= 19.若3,4παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 二、三角函数式的化简与求值1.求值：①0000cos15sin15cos15sin15-+；②00sin 50(1)+. 2.已知函数()2sin(),36x f x x R π=-∈.(1)求5()4f π的值；(2)设106,0,,(3),(32),22135f f ππαβαβπ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦求cos()αβ+的值．3.求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·ο80sin 22的值.4.已知tan α=43,cos(α+β)=-1411, α、β均为锐角，求cos β的值. 三、三角函数式的求角问题（含角的变换）1.已知113cos ,cos(),714ααβ=-=且0＜β＜α＜2π，求β. 2.若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 3．已知,(,),22ππαβ∈-且tan ,tan αβ是方程240x ++=的两个根，求αβ+的值． 4.已知11tan(),tan ,27αββ-==-且,(0,),αβπ∈α，β∈(0，π)，求2αβ-的值． 四、三角函数角的变换1.若sin cos 3,tan()2,sin cos αααβαα+=-=-则tan(2)βα-=3.设21tan(),tan(),544παββ+=-=则tan()4πα+= 五、自我检测1．已知cos()6x π-=则cos cos()3x x π+-的值是 2．已知α满足1sin ,2α=那么sin()sin()44ππαα+-= 3．设,αβ都是锐角，且3cos ),5ααβ=+=则cos β= 4．已知α为第二象限角，sin cos αα+=则cos 2α= 5．已知sin()sin 32ππαα++=-<α<0，求cos α的值．6．求值：①000000sin 7sin8cos15cos 7sin8sin15+-；②0002cos10sin 20sin 70-；③000cos 20cos 40cos80． 7．已知： 2π<β<4,cos()45ππβ-=. (1)求sin 2β的值；(2)求)4cos(πβ+的值．8．已知,αβ都是锐角，且45cos ,cos(),513ααβ=+=-求cos β的值． 9．已知3335(,),(0,),cos(),sin(),44445413πππππαβαβ∈∈-=+=求sin()αβ+的值． 10．已知1tan()2,tan 42παβ+==． ①求tan 2α的值；②求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值．。
两角和与差的三角函数与二倍角公式试题
练习15 两角和与差的三角函数与二倍角公式1.sin 22cos82cos22sin82︒︒︒︒-的值是（ ）A.12B.12-C.2D.2答案：D【详解】由题意，()()sin 22cos82cos 22sin82sin 2282sin 60︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=2. 已知tan 3β=，()tan 5αβ-=，则tan α的值为（ ）A.47-B.47 C .18 D.18- 答案：A【详解】()()()tan tan 534tan tan 1tan tan 1537αββααββαββ-++=-+===-⎡⎤⎣⎦---⨯.3. 在ABC △中，34cos ,cos 55A B ==，则()cos A B -=（ ）A.725-B.0C.925D.2425答案：D【详解】在ABC 中， ()0A B π∈、，.因为34cos ,cos 45A B ==，所以4sin 5A ===，3sin 5===B ，所以()344324cos cos cos sin sin 555525A B A B A B -=+=⨯+⨯=. 4. 函数cos22sin y x x =+的值域为（ ）A.[]1,3B.[]3,1-C.31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：D【详解】2cos22sin 12sin 2sin y x x x x =+=-+，令sin [1,1]t x =∈-，则22132212()22y t t t =-++=--+，有12t =时，max 32y =，1t =-时，min 3y =-，函数cos22sin y x x =+的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.5. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为（ ）A. 10B.C. 10D.－10答案：C【详解】底角为锐角，()4cos 205πθ-=>，即24cos 212sin ,sin 5θθθ=-=-=6． 已知α，β均为锐角，且sin α=cos β=，则αβ-的值为（ ）A ．π4B ．π4- C ．3π4D ．3π4-【答案】B【详解】∵α，β均为锐角，且sin α，cos β=∴cos α==，sin β==∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-==. 又∵α，β均为锐角 ∴ππ22αβ-<-<. ∴π4αβ-=-.故选：B.7. 已知ππ,,tan 242αα⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，则22πsin 2cos 14αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值为___________. 答案：710【详解】因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为tan 2α=，所以2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos 1tan 5ααααααααα====++ 22222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin cos sin 1tan 145ααααααααα---=-====-+++，22π1cos 2π2sin 2cos 1cos 242αααα⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭--+=- ⎪⎝⎭411sin 2375cos 222510αα--⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭ 8. 函数()cos2cos sin 2sin f x x x x x =-的最小正周期为________. 答案：23π【详解】()()cos 2cos sin 2sin cos 2cos3f x x x x x x x x =⋅-⋅=+=，所以最小正周期为23π 9. 已知353sin(),cos()41345αβππ+=-=，且3044αβπ<<<<π，则()sin αβ+的值是________.答案：5665【详解】因35sin()413πα+=，即5sin[()]2413ππα++=，则5cos()413πα+=又04πα<<，即442πππα<+<，则12sin()413πα+==， 而3cos()45πβ-=，344πβπ<<，即042ππβ<-<，4sin()45πβ-=，则有s i n ()s i n [()(44444πππππαβαβαβ+=++-=+-123545613513565=⋅+⋅=. 10. 已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =__________.答案：725【详解】因为3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2cos 2cos 224x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223712sin 124525x π⎛⎫⎛⎫=--=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 11. 设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=_________. 答案：【详解】f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎪⎝⎭x －φ)，其中sin φcos φ＝x －φ＝2kπ＋2π (k ∈Z)时，函数f (x )取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ12．函数()2sin()sin()44f x x x ππ=+-的图象的对称轴方程为_________________．【答案】π,2k x k =∈Z 【详解】因为ππsin()cos 44x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以πππππ2sin sin =2sin cos sin 22cos 244444x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅---=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 对称轴为π2π=2k x k x k =⇒∈Z ，.故答案为:,2k x k π=∈Z。
三角函数公式大全及其推导方法之欧阳学文创编
三角函数公式大全及其推导欧阳学文1.三角函数的定义如备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表示时，不能省略。
在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。
2. 额外的定义3.简便计算公式 证明： 证完4.任意三角形的面积公式A θ5.证明： 如Figure II,证完6.海伦公式 证明： 如Figure II,7.正弦定理如 c 为Figure III同理：8.加法定理(1) 两角差的余弦如令点点点B 点B 的纵坐标为sin B y r β=()()()()()()22222222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦由余弦公式可得：综上得：()cos sin sin cos cos αβαβαβ-=+(2) 两角和的余弦 (3) 两角和的正弦 (4) 两角差的正弦 (5) 两角和的正切 (6) 两角差的正切 9.两倍角公式10. 积化和差公式 11. 和差化积公式设：A=α+β, B=α-β, 设：cos sin αα==∵22cos sin 1αα+=12. 其他常用公式 13. 特殊的三角函数值14. 关于机器算法在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中x 用弧度计算推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R 为外接圆半径)由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+ sinC)=2R两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA对数的性质及推导用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数*表示乘号，/表示除号定义式：若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质：1.a^(log(a)(b))=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)2.MN=M*N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与2类似处理MN=M/N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4.与2类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下N=a^[log(a)(N)]a=b^[log(b)(a)]综合两式可得N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因为N=b^[log(b)(N)]所以b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}所以log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}再由换底公式log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]--------------------------------------------（性质及推导完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下:由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαco sα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβc os(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+ 2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
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三角函数的两角和差及倍角公式练
习题
欧阳光明（2021.03.07）
一、选择题：
1、若)
tan(,21
tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是
A ．2
B ．－2
C ．2
11
D ．
-211
2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16
B ．15
C ．29
D ．310
3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(π
απββα+=-=
+
A ．1318
B ．3
22
C ．1322
D ．
-
1318
4、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫
⎭⎪232则等于
A ．-1
2
B ．
-
32
C ．12
D ．
32
5、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形
二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=； 7、若αα23tan ，则=所在象限是；
8、已知=
+-=⎪⎭⎫
⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则；
9、=︒︒
-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan ·；
10、化简3232sin cos x x +
=。
三、解答题： 11、求的值。
·︒︒+︒100csc 240tan 100sec
12、
的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπ
βα--=
+
13、已知求的值。
cos ,sin cos 23
544θθθ=+
14、已知
)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x
·cos()αβ+的值。
答案： 一、 1、B
2、D 提示: tan x = 3, 所求1
22sin x , 用万能公式。
3、B 提示:
()απ
αββπ+
=+--⎛
⎝ ⎫⎭⎪
44
4、A 提示: 把
x =
π
3
代入
5、B 提示: ∵cos(A + B ) > 0
∴角C 为钝角。
二、 6、
-
2
2
7、分别用万能公式算出sin cos 22αα及。
第二 8、
-12
9、－1 10、
2326sin()x +
π
三、
11、－4 12、2
13、1725
14、
-
35。