两角和差的三角函数(教案)
第3课时 两角和与差的三角函数教案
第3课时 两角和与差的三角函数基础过关题1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβcos(α±β)＝ ;tan(α±β)＝ .3．公式的变式tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan α tan β)1－tan α tan β＝)tan(tan tan βαβα++ 4．常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα- α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β2βα+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-ππ＝2π典型例题例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值.解：原式=︒⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒+⨯︒+︒80sin 210cos 10sin 3110sin 50sin 2 =︒⋅︒︒+︒⨯︒+︒80sin 2)10cos 10sin 310cos 10sin 50sin 2( =︒⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡︒︒+︒⨯︒+︒10cos 210cos 10sin 2310cos 2110sin 250sin 2 =︒⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒+︒10cos 210cos 40sin 10sin 250sin 2 =︒=︒⋅︒︒60sin 2210cos 210cos 60sin 2 =.62322=⨯变式训练1：(1)已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ） A.71 B.7 C.－ 71 D.－7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21 B.21 C.－23 D.23 解：(1)A (2)B 例2. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值． 解：∵α－4π＋43π＋β＝α＋β＋2π α∈(43,4ππ) β∈(0,1sin 311≤-≤-x )∴α－4π∈(0,2π) β＋43π∈(43π,π) ∴sin(α－4π)＝54 cos(βπ+43)＝－1312 ∴sin(α＋β)＝－cos[2π＋(α＋β)] ＝－cos[(α－4π)＋(βπ+43)]＝6556 变式训练2：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π， 求cos （α+β）.解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π. 故由cos （α－2β）=－91，得sin （α－2β）=954. 由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos 2βα+=cos ［（α－2β）－（2α－β）］=cos ()cos()sin ()sin()2222βαβααβαβ--+--=152459339-⨯+⨯ 7527=∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=275227⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭-1=－729239. 例3. 若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 解 ∵A 、B 均为钝角且sinA=55,sinB=1010，∴cosA=-A 2sin 1-=-52=-552， cosB=-B 2sin 1-=-103=-10103， ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10103-55×1010=22 ① 又∵2π＜A ＜π, 2π＜B ＜π, ∴π＜A+B ＜2π②由①②知，A+B=47π. 变式训练3：在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22C A +-cos2B=27,求角B 的度数. 解 在△ABC 中，A+B+C=180°,由4sin 22C A +-cos2B=27, 得4·2)cos(1C A +--2cos 2B+1=27, 所以4cos 2B-4cosB+1=0.于是cosB=21,B=60°.例4．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β. 解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）原式=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-21·(2cos 2α-1)·(2cos 2β-1) =sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-21(4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1) =sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β-21 =sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β-21 =sin 2β+cos 2β-21=1-21=21. 方法二 （从“名”入手，异名化同名）原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-21cos2α·cos2β =cos 2β-sin 2α (cos 2β-sin 2β)-21cos2α·cos2β=cos 2β-sin 2α·cos2β-21cos2α·cos2β =cos 2β-cos2β·⎪⎭⎫ ⎝⎛+αα2cos 21sin 2 =22cos 1β+-cos2β·⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)sin 21(21sin 22αα =22cos 1β+-21cos2β=21. 方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=22cos 1α-·22cos 1β-+22cos 1α+·22cos 1β+-21cos2α·cos2β =41(1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+41(1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)-21·cos2α·cos2β=21. 方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α·sin β·cos α·cos β-21cos2α·cos2β =cos 2(α+β)+21sin2α·sin2β-21cos2α·cos2β =cos 2(α+β)-21·cos(2α+2β) =cos 2(α+β)- 21·［2cos 2(α+β)-1］=21. 变式训练4：化简：（1）2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π+6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π;(2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21cos 222. 解 （1）原式=22⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 4cos 234sin 21ππ =22⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 4cos 6cos 4sin 6sin ππππ =22cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x 46ππ=22cos(x-12π).（2）原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-απααα22cos 1tan 1tan 12cos =)2sin 1(2sin 12cos 2cos αααα++=1.。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 说课稿 教案 教学设计
两角和与差的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=55，α∈(0,2π)，cosβ=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.推进新课新知探究提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=? ，能否推导出tan(α-β)=?的结构特征如何？ 教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C (α+β).对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］ =cos(2π-α)cosβ+sin(2π-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α+β)、S (α-β).对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于2π+kπ(k∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在时，不能使用T（α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(2π-β)，因为tan2π的值不存在，所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsincos)2cos()2sin(=--来处理等.应用示例思路1例1 已知sinα=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值.活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sinα=53-,α是第四象限角，得cosα=54)53(1sin122=--=-a.∴tanα=aacossin=43-.于是有sin(π-α)=sinπcosα-cosπsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯cos(4π+α)=cos4πcosα-sin4πsinα=,1027)53(225422=-⨯-⨯tan(α-4π)=4tantan14tantanππaa+-=aatan11tan+-=7)43(1143-=-+--.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=42621222322-=⨯-⨯, tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.设α∈(0,2π),若sinα=53,则2sin(α+4π)等于( ) A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例2 已知sinα=32,α∈(2π,π),cosβ=43-,β∈(π,23π). 求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β). 活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号. 解：由sinα=32,α∈(2π,π),得 cosα=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-，∴tanα=552-. 又由cosβ=31-,β∈(π,23π). sinβ=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tanβ=7.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+ ∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x 米，∠C AB =α，则sinα=6730， 在Rt△ABD 中，tan(45°+α)=3030+x tanα. 于是x=30tan )45tan(30-+αα , 又∵sinα=6730,α∈(0,2π),∴cosα≈6760,tanα≈21.11+55又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, 求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π)=54×(135-)+(53-)×1312=6556-. 例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(a a a a θθθβθβββ-+-+- 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+-知能训练课本本节练习1—4.1.(1)426-,(2)426-,(3)426+,(4)2-3. 2.10334-. 3.263512- 4.-2.作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-. 又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(1312-)×53135-×(54-)=6556. 课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.第2课时导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cosβ＋sin （α＋β）sinβ; (2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式 (1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β;(3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕;cos （α±β）＝cosαcosβsinαsinβ〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕. 讨论结果：略.应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°; （3）15tan 115tan 1-+ 活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得. 解：（1）由公式S (α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=21.（2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解. 变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). -. 解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x -θ), 即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ =sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ. ∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.∴sinx(sinθ+cosθ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=kπ(k∈Z ).∴θ=kπ-4π(k∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数. 证明：方法一：右边=2(sin6πcosα+cos 6πsinα)=2(21cosα+23sinα)=cosα+3sinα=左边.方法二：左边=2(21cosα+23sinα)=2(sin 6πcosα+cos 6πsi nα)asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值; （2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答. 解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1. 又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法. 课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.。
两角和与差的正弦、余弦公式教学设计(第一课))
两角和与差的正弦、余弦公式的教学设计（第一课时）1 内容分析1.1课标要求《普通高中数学课程标准》(2017年版)“内容要求”部分对两角和与差的正弦、余弦和正切公式要求是经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。
1.2教材分析本节是人教A版(2019年)高中数学必修第一册第五章第五节第一部分的内容，主要是两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
此前已学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的。
1.3学情分析学生已经学习了诱导公式，可以对三角函数式进行恒等变形，但这只是针对特殊角，但是由于学生对这部分内容接收起来比较困难，所以要争取对已学过的内容循序渐进，比较自然地得到所要研究的新知识。
通过类比让学生进行模仿，引导利用单位圆，推导出两角差的余弦公式。
1.4核心素养及蕴含的数学思想方法数学抽象：主要是两角差的余弦公式的推导。
逻辑推理：两角差的余弦公式与两角和的余弦公式之间的联系。
数学运算：在推导出公式之后，运用公式进行解题。
1.5教学目标(1)了解两角差的余弦公式的推导过程．(2)掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．(3)熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．(4)通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。
1.6教学重点与难点教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式 教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。
2.教学过程重合．根据圆的旋转对称性可知， (或说明AOP ∆≌11OP A ∆)。
两角和与差的三角函数教案
两角和与差的三角函数教案教案标题：两角和与差的三角函数教案教案目标：1. 了解两角和与差的三角函数公式；2. 掌握两角和与差的三角函数的计算方法；3. 能够应用两角和与差的三角函数解决实际问题。
教案步骤：引入：1. 引入两角和与差的概念，与学生一起回顾正弦、余弦、正切的定义；2. 引导学生思考如何计算两个角的和与差。
探究：1. 将两角和与差的三角函数公式列出，并解释每个公式的含义；2. 通过示例演示如何使用公式计算两角和与差的值；3. 让学生自主尝试计算其他两角和与差的值，并与同学分享解题思路。
拓展：1. 引导学生思考如何应用两角和与差的三角函数解决实际问题；2. 提供相关实际问题，让学生运用所学知识解决；3. 学生之间互相交流解题思路和答案。
巩固：1. 提供练习题，让学生巩固两角和与差的三角函数的计算方法；2. 检查学生的练习题答案并进行讲解。
总结：1. 总结两角和与差的三角函数的计算方法；2. 强调学生在实际问题中应用两角和与差的三角函数的能力。
教案评估：1. 在课堂上观察学生的参与度和理解程度；2. 检查学生在练习题中的答案；3. 收集学生的反馈和问题，以便调整教学方法。
教案扩展：1. 引入倍角与半角的概念，与学生一起探究其计算方法；2. 提供更复杂的实际问题，让学生进一步应用两角和与差的三角函数解决。
教案注意事项：1. 确保学生已经掌握正弦、余弦、正切的定义和计算方法；2. 通过图形或实物等形象化的方式辅助教学，提高学生的理解能力；3. 鼓励学生互相合作，共同解决问题，促进学生的交流与合作能力。
4-3两角和与差的三角函数
例7.（1）已知θ为钝角，且coscos＝，求tanθ的值
（2）若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ＝________.
题型四：方程思想
例8：（1）已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ的值为________．
（2）已知cosx＋cosy＝，sinx－siny＝，则cos(x＋y)＝________.
【典例分析】
题型一：化简求值
例1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是()
A．0B.C.D．－
例2：计算tan75°－tan15°－tan 15°·tan75°的结果等于()
A.B．－C.D．－
例3.化简（1） ；（2）化简[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·.
主备人：郭佳佳审核人：吴哲使用时间：
课题：4-3两角和与差的三角函数
【考纲要求】
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
【自主复习】
(4)1的代换(1＝sin2α＋＝tanα·＝sinα·＝cosα·＝tan45°等)．
(5)结构变换(如，形如asinα＋bcosβ的式子都可以通过合理的变形化为只含一个角的三角函数形式sin(γ＋φ)，其中α、β都是γ的表达式，φ为常数)．
总之，有关三角恒等变换解题时总的思路是：切化弦，消多元，角拼凑，1代换，引辅角，化一函，降高次，化特值，找差异，求联系．
基本知识点梳理
1.和、差、倍、半角公式
(1) ； ；
《两角和与差的三角函数公式》第2课时示范教学方案北师大新课标
第四章三角恒等变换4.2两角和与差的三角函数公式第2课时两角和与差的正弦、正切公式及其应用1．能利用Cαβ±公式，诱导公式等推导两角和与差的正弦、正切公式．2．掌握两角和与差的正弦和正切公式，并能利用公式化简，求值等．3．通过本节课的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．教学重点：两角和差的正弦、正切公式的推导及其应用．教学难点：两角和差的正弦、正切公式的灵活运用．PPT课件﹒一、导入新课问题1：变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果，那么在三角函数中，两角和与差的正弦、正切之间又有怎样的变换呢？这就是本节要学习的内容．设计意图：借助情景引入新课—两角和差的正弦、正切公式及其应用（版书）．二、新知探究1．两角和差的正弦公式问题1：由公式Cα－β或Cα＋β可求sin75︒的值吗？师生活动：学生独立思考，举手回答﹒预设答案：可以，因为sin 75cos15cos(4530)︒=︒=︒-︒﹒设计意图：通过正余弦之间的转化，为探究sin()αβ+的公式作铺垫． 问题2：由公式C (α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？ 师生活动：学生独立思考，推导公式．预设答案：可以，sin(α＋β)＝cos[π2−(α+β)]＝cos 错误!＝sin αcos β＋cos αsin β﹒追问1：如何由sin(α＋β)的公式推出sin(α－β)的公式？ 师生活动：学生独立思考，推导公式﹒预设答案：以－β代替sin(α＋β)中的β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．★资源名称：【知识点解析】两角和与差的正弦、余弦、正切公式．★使用说明：本资源为《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》的知识解析，通过知识梳理、探究思考等环节帮助学生体会知识的形成过程，并会简单应用．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 知识点1：两角和差的正弦公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β（S α＋β）， (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β（S α－β）． 追问2：公式S α±β的适用条件是什么？ 师生活动：学生独立思考，举手回答﹒预设答案：公式中的α、β是任意角，可以是具体的角，也可以是表示角的代数式．追问3：公式S α－β，S α＋β，可记为什么？ 师生活动：学生独立思考，小组讨论﹒ 预设答案：“异名相乘，符号同”． 设计意图：帮助学生熟记公式． 2．两角和差的正切公式问题3：前面学习的同角三角函数关系中，tan ,sin ,cos ααα的关系怎样？ 师生活动：学生回忆，举手回答﹒ 预设答案：sin tan cos ααα=﹒ 设计意图：为推导两角和差的正切公式作铺垫﹒追问1：利用该关系及两角和的正、余弦公式，能用tan α和tan β表示tan(α＋β)和tan(α－β)？师生活动：学生思考、推导﹒ 预设答案：①tan(α＋β)＝++sin cos αβαβ()()＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β＝tan α＋tan β1－tan αtan β﹒②tan(α－β)＝()()sin cos αβαβ--＝sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α－tan β1＋tan αtan β．知识点2：两角和差的正切公式 （1）tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，记作T α＋β．（2）tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，记作T α－β．追问2：两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？ 师生活动：学生观察公式，得出结论． 预设答案：不是的．①在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠k π＋π2，(k ∈Z )；②在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠k π＋π2，(k ∈Z )．追问3：如何计算1－tan15°1＋tan15°？师生活动：学生思考、计算，举手回答﹒预设答案：原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33．设计意图：帮助学生熟记两角和差的正切公式．★资源名称：【例题讲解】利用两角和差的正余弦公式求角．★使用说明：本资源为《利用两角和差的正余弦公式求角》的例题讲解，通过剖析典型例题，达到再次讲解知识点的目的，帮助巩固所学知识，加深学生对于知识的理解和掌握．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 三、巩固练习 例1已知3sin 5α=-，α为第三象限角，求sin(),cos()44παπα-+的值﹒ 师生活动：学生分析解题思路，教师找学生板书解题过程．预设答案：因为3sin 5α=-，α为第三象限角，所以4cos 5α==-，43sin()sincos sin cos()()44455ααπαππ-=-=⨯---=43cos()coscos sin sin ()()44455ααπαππ+=-=---=．追问：本题中sin()cos()44ααππ-=+，这是一种巧合吗？预设答案：不是，因为()()442ππαπα-++=，所以sin()cos()44ααππ-=+﹒方法总结：这类题目要注意角的变换，观察待求角和已知角，把所求角表示为已知两角的和差，然后利用两角和、差公式求解．设计意图：巩固两角差的正弦与两角和的余弦公式的应用．例2已知1tan 2,tan ,3αβ==-其中0<α<π2<β<π﹒求：（1）tan()αβ-的值；（2）α+β﹒ 师生活动：学生分析解题思路，教师补充． 预设答案：（1）12()tan tan 3tan(===711tan tan 12()3αβαβαβ----++⨯-）； （2）因为0<α<π2<β<π，所以3+22παβπ<<， 而12()tan tan 3tan(===111tan tan 12()3αβαβαβ+-++--⨯-）， 故5+4παβ=． 方法总结：灵活选择适当求角的三角函数值方法．①如果角的取值范围是)20(π,，则选正弦函数、余弦函数均可；②如果角的取值范围是)22(ππ,-，则选正弦函数； ③如果角的取值范围是)0(π,，则选余弦函数． 设计意图：巩固两角和差余弦公式的逆用． 例3已知02πβαπ<<<<，且12cos 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，4sin 25αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭﹒求：（1）tan 2βα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）cos 2αβ+⎛⎫⎪⎝⎭的值． 师生活动：学生分析解题思路，教师板书解题过程﹒ 预设答案： （1）因为02πβ<<，所以042πβ-<-<，所以42πβαπ<-<，故5sin 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5tan 212βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）cos cos 222αββααβ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭﹒由2παπ<<得，422παπ<<，又2πβ-<-<0，则422παπβ-<-<，则3cos 25αβ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 故1235416cos213513565αβ+⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭． 方法总结：这类问题要注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．设计意图：巩固角的变换以及两角和差正弦、余弦、正切公式的运用． 【板书设计】四、归纳小结问题5：回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳． （1）利用两角和差的正弦、余弦、公式的求值中，要注意什么？ （2）给值求值问题的解题方法是什么？常用的角的变换技巧有哪些？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设答案：（1）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值． （2）在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．②当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生掌握利用两角和差公式解决求值问题的方法技巧．布置作业：教科书第P147练习第6，7，8题；P152习题A 组第4，5，6题． 五、目标检测设计1﹒已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于( ) A ．2 B ．1 C ﹒12D ．4设计意图：检查学生对两角和的正切公式掌握情况． 2﹒已知α∈）（ππ,2，)4sin(πα+＝35，则sin α等于( )A ﹒210 B ﹒7210 C ﹒－210或7210 D ﹒－7210设计意图：检查学生对两角和差公式的综合应用的掌握情况． 3﹒设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则cos θ=______；sin()4πθ+=______﹒ 设计意图：检查学生对两角和的余弦及两角和的正切公式的掌握情况．4﹒如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255﹒ (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．设计意图：检查学生对两角和、差的公式的掌握情况． 【参考答案】1．答案：C ﹒解析：因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，所以tan αtan β＝12﹒2．答案：B ﹒ 解析：由α∈）（ππ,2得，3π4<α＋π4<5π4， 所以)4cos(πα+＝)4(12πα+--sin ＝54)53(12-=--﹒ 所以sin α＝]4)4([ππα-sin +＝)4sin(πα+4cosπ－4s πin )4cos(πα+＝22×)5453(+＝7210﹒ 3．答案：，解析：1tan()tan11442tan tan()4431tan()tan 1444ππθππθθπππθ+--=+-===-+++．由22sin 1tan cos 3sin cos 1θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩， 结合θ为第二象限角，则cos 0θ<， 可得cos 10θ=-，sin 10θ=﹒ 所以sin()sin )425πθθθ+=+=-﹒ 4．解：由条件得cos α＝210，cos β＝255， ∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55，∴tan α＝7，tan β＝12﹒(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3﹒(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(ɑ＋β)＋tanβ1－tan(ɑ＋β)tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，故可得α＋2β＝3π4．。
学案5两角和与差的三角函数及倍角公式
学案5两角和与差的三角函数及倍角公式一、两角的和与差的三角函数公式在讨论两角的和与差的三角函数公式之前，我们先来复习一下两个重要的概念，同角和，即两角的终边相同，旋转角度可以不同，但和角的初边、终边相同；差角，即两角的初边相同，但终边不同。
接下来我们将给出两角的和与差的三角函数公式。
1.两角和的三角函数公式：设有两个角theta和phi，其对应的三角函数值分别为sin(theta), cos(theta), tan(theta), sin(phi), cos(phi), tan(phi)。
则两角的和的三角函数值可以通过以下公式求得：sin(theta + phi) = sin(theta) * cos(phi) + cos(theta) *sin(phi)cos(theta + phi) = cos(theta) * cos(phi) - sin(theta) *sin(phi)tan(theta + phi) = (tan(theta) + tan(phi)) / (1 - tan(theta) * tan(phi))2.两角差的三角函数公式：设有两个角theta和phi，其对应的三角函数值分别为sin(theta), cos(theta), tan(theta), sin(phi), cos(phi), tan(phi)。
则两角的差的三角函数值可以通过以下公式求得：sin(theta - phi) = sin(theta) * cos(phi) - cos(theta) *sin(phi)cos(theta - phi) = cos(theta) * cos(phi) + sin(theta) *sin(phi)tan(theta - phi) = (tan(theta) - tan(phi)) / (1 + tan(theta) * tan(phi))二、倍角公式倍角公式是指将一个角的角度加倍后，求其对应三角函数的值的公式。
两角和与差的三角函数(高三复习教案)
人教A 版数学高三一轮复习讲义课题： 两角和与差的三角函数教案滕州二中新校：陈 博**************一、教学内容分析本节是在学习了角的概念与推广及任意角的三角函数和同角三角函数关系之后，旨在通过cos()αβ±、sin()αβ±和tan()αβ±公式的推导，使学生明白公式之间的内在联系；三角函数是高中数学的重点内容，而两角和与差的三角函数和二倍角公式，又是高考命题中的热点，作为三角函数计算必备的能力. 在2012年高考数学命题中，本节集中体现在三角函数的计算基础，二、 考纲要求① 会用向量的数量积公式推导出两角差的余弦公式.② 能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，了解它们内在的练习③ 能利用两角和的公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.④ 能熟练应用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等表换的余弦公式.三、教学重点、难点会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式是重点。
难点是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。
四、教学流程设计知识点梳理−−→教材改编题−−→⎧⎪⎨⎪⎩给值求值给值求角−−→高考真题−−→小结五、教学过程设计 一、要点梳理1、 理解两角和与差的正弦、余弦和正切公式之间的内在联系2、 两角和与差的公式sin()____________αβ±=cos()____________αβ±=tan()____________αβ±=3、 将sin cos a x b x +转化为一个角的三角函数的形式，得sin cos _______a x b x +=二、基础自测【教材改编题】必修四教材137P（必修四137P ）1、已知,αβ都是锐角，111cos(),cos(),714αβαβ+=-=-求cos β的值. （必修四146P ）2、化简：tan 70cos10(3tan 201)-；3、已知,αβ都是锐角，110tan ,sin 7αβ==求tan(2)αβ+的值 【设计意图】 通过前面两角和与差的正弦、余弦和正切公式的复习和内在之间联系的梳理，让学生明白公式的来龙去脉，更好的掌握和使用，然后让学生巩固训练必修四课本的典型习题，其习题难度不大，从而引出下面在高考中对于两角和与差知识点的考查.三、典型例题【典型例题】高考总复习49P例1.(1)已知12cos(),sin(),2923βααβ-=--=且,0,22ππαπβ<<<<求cos()2αβ+的值. (2) 已知35cos(),sin ,513αββ-==-且(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-，求sin α的值.【学生活动】观察上述例题，从角，函数名，式子的结构和特征去找到解决它们的方法?【师生活动】解：（1） 因为22cos ()sin ()122ββαα-+-=， 所以，2280sin ()1cos ()2281ββαα-=--= 又因为,0,22ππαπβ<<<<所以：(0,)2βαπ-∈， ∴sin()29βα-=同理：cos()2αβ-=312cos()cos[()()]()222399327αββααβ+=---=-+=【小结】：常见角的变换()()222βααβαβ+---=，()()2αβαβα++-=,()()2αβαββ+--=,2()αβαβα+=++等等【学生活动】仿照例1的第一问的解决过程，能否给出第二问的思路和解题过程？学生练习教师提示：()ααββ=-+解：（2） (0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-(0,)αβπ∴-∈即4sin()5αβ-== 同理：12cos 13β= 481533sin sin[()]656565ααββ=-+=-= 四、变式训练【高考真题】1、（2012江苏）设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____. 【解析】∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++. ∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2427217==225225250-2、（2011浙江理)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（A ）3 （B ）3- （C ）9 （D ）9-【答案】 C【解析】：()()2442βππβαα+=+--cos()cos[()()]2442βππβαα∴+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα+++ 133=+==故选C例3、（1）已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值 【学生活动】观察上述例题，从角，函数名，式子的结构和特征去找到解决它们的方法?如果要求角2αβ-，必须先求出关于2αβ-的某一个三角函数值，确定好其路线图.【师生活动】解：11()127tan tan[()]1131()27ααββ+-=-+==-⨯- 即 1123tan(2)tan[()]111123αβαβα+-=-+==-⨯ ,(0,)αβπ∈ 2(,2)αβππ∴-∈-24παβ∴-=或54π或34π- （学生思考，错在哪里?） 【质疑析错】从上解中：可知1tan 33α=<，实际上角α的范围可以缩小为(0,)6π，1tan 7β=-，角β的范围可以缩小为5(,)6ππ，2(,)2παβπ∴-∈--，故324παβ∴-=- 【小结】：已知三角函数值求角，一般问题的步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围； ③根据角的范围写出所求的角．若涉及多解问题，一般要从题目中某些特殊函数值，求缩小其范围.一般来说：已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0,)2π，选正、余弦皆可；若角的范围是(0,)π，选余弦较好；若角的范围为(,)22ππ-，选正弦较好．练习：（2）已知02παβπ<<<<，1tan 22α=，cos()10βα-=，①求sin α的值；②求β的值 【分析】由题意可知22αα=⋅，()ββαα=-+【高考真题】5（2012广东文）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R ,且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求A 的值; (Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.解析:(Ⅰ)1cos cos 34364f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2A =. (Ⅱ)4143042cos 42cos 2sin 3436217f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以15sin 17α=.212842cos 42cos 34365f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以4cos 5β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以8cos 17α=,3sin 5β, 所以()8415313cos cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 五、小结与提高【方法与技巧】1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan tan tan()(1tan tan )x y x y x y ±=±⋅；2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．3．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化！4．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．【失误与防范】1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0,)π范围内，sin()2αβ+=所对应的角αβ+不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．六、作业布置5051:2,6,P P 随堂练习高考真题七、教后小记本节课的教学内容围绕着枣庄教研室出版的“高考总复习“，由两角差的余弦公式入手，推出其它的三角函数的公式，并以结构图呈现了他们之间的内在联系，直观简明. 通过必修四教材上了的几道课后习题并针对改变，得出三角函数在高考中的常考题型，并按题型分为：1、已知三角函数值求值；2、已知三角函数值求角. 在典型例题的教学中渗透角的变换，隐含条件的挖掘，化简中目标意识的培养，强化三角函数中“三看”的习惯. 并且通过错误的解法，让学生反思解题问题中陷阱，然后针对具体题型在高考习题中挑选出有代表性的习题变式巩固训练..最后，根据本节课的情况从方法与技巧和失误与防范两角度进行总结.本节课的不足之处对于sin cos a x b x +形式的习题涉及比较少，应在下节课中，强化化一公式的应用.。
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两角和与差的正弦、余弦、和正切公式教案(一)
教学目标
• 知识与技能：理解利用向量推导两角和差的三角函数公式的过程，进一步体会向量方法的作用，能运用公式进行简单的恒等变换；
• 过程与方法：通过适当强度的课前学生自学，课堂上学生讲解与教师辅助点拨相结合，逐步培养学生自学，敢于展示、认真聆听、积极交流的能力；
• 情感态度与价值观：自主展示实现自我价值，合作学习培养团队合作。
一．课前自学 1．问题提出：
利用熟悉的角的三角函数值验证cos()αβ-是否等于cos cos αβ-，其他三个
，
，
的情况又如何?
设计意图：通过对简单的易于进入的问题的探讨，在学生心中生成问题，激发求知欲，为课程的展开提供主观动力。
2. 公式推导：
如图1，在以坐标原点为圆心的单位圆O 中，已知角与角的终边为与单位圆的交点分别为A,B, 则____________
根据三角函数的定义：若点A 的坐标为,点B 的坐标为 则
；
则点A 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 点B 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ）
则
的坐标（_________________）,
的坐标（_________________）
_________________________________OA OB ⋅=
向量夹角
，
的夹角为
cos()cos ,OA OB αβ-==（ ）
（ ）
=______________________________________
____________________________________________(提示：OA 与OB 的模为？)
=_________________________________
提醒学生思考：如果角αβ、改变结果是否会发生改变，进行推到过程的严谨性探究。
基
础
知
识
调用一
三角函数定义(课本
P ——
页
)
基础知识调用二
向量的坐标与夹角(课本
P ——页
)
x A B O
αβy
设计意图：公式推导部分，将证明过程进行知识模块化拆分、设计渐进的填空形式问题、学生在逐步解决一个个小问题的同时逐步完成证明过程，这样做使证明过程从教师讲解变为学生课前自学成为可能。
相关知识的看书提醒让基础薄弱的同学也能跟上脚步，提升学习信心。
教师重点指导学生体会向量方法的作用、证明的严谨性等，课堂上学生自主讲解与教师点拨相结合，注重知识技能的同时培养学生敢于展示，活跃交流的能力。
•例题与练习
1.cos15cos(4530)
=-=____________________________________________________________ ; 同学！除了15你还能求哪些角的余弦值？举两个看看！
_____________________________________________________________________________________ 2. 计算=( )
A．B．C．D．
真懂了吗？自己出个类似的题吧！
_____________________________________________________________________________________
设计意图：简单的小问题，方便学生自查能否初步使用公式解决一些问题，为课堂提升奠定基础。
二．课堂共学
例题3.已知
45
sin,(,),cos,
5213
π
ααπββ
=∈=-是第三象限的角，求
解答题！你的格式在哪里?
课后巩固：课本
127
P2、3、4
自己来出题吧！
______________________________________________________________________________________
变式4.已知
54
cos(),cos,
135
αββαβ
+==、均为锐角，求。
还是格式！
课后巩固：课本
137
P 4
变式5.已知
312
,cos(),
2413
ππ
αβαβ
<<<-=
3
sin()
5
αβ
+=-，求cos2α的值。
课后巩固:金典P77 达标练习
本节结束了，公式你记住了吗？不看书，自己写写看！
设计意图:课堂上，例题与练习采取学生展，教师评，点评注意公式的记忆、象限、格式等，同时注意学习方法的指导,变式部分视学生课堂的参与情况选择本节或交给学生课后思考,并布置轮到的任务小组重点解决相应问题（方式不限：小组合作、查阅资料、请教老师等），并与下节课上面向全班展示讲解。
教学后记：
_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ________________________
三．下节预览
请尝试推导正弦两角和差公式
=____________________________________________________________________
__________________________________________________________
课本P131 练习1、2、3。