两角和与差的三角函数练习题及答案

两角和与差的三角函数练习题及答案
一、选择题
1． sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为
( C )
A ．－
32
B ．－12
2．已知sin(45°＋α)＝5
5
，则sin 2α等于 ( B )
A ．－4
5
B ．－35
3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α的值是 ( A )
B ．－2＋3
3
4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3等于 ( B ) A ．－
3
4
B ．－14
5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＋2α的值是 ( A )
A ．－7
9
B ．－13
6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝2
33，则tan A tan B 的值为( B )
二、填空题
7．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝
8． 3－sin 70°2－cos 2
10°＝________. 2 9．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＝
________. －56
65
三、解答题
(1)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋6cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x ； (2)2cos 2
α－1
2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π
4＋α.
解 (1)原式＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
－x ＋32·co s ⎝
⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋cos π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π4＋x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.
(2)原式＝cos 2α1－tan α1＋tan α⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α ＝cos 2α
cos 2α1＋sin 2α
(1＋sin 2α)＝1.
11．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4＋x －3cos 2x .
(1)求f (x )的周期和单调递增区间；
(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．
解 (1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋2x －3cos 2x
＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，
周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，
解得单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．
(2)x ∈⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1，
所以f (x )的值域为[2,3]．
而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．
12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2，2π，
且a⊥b .
(1)求tan α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＋π3的值．
解 (1)∵a⊥b ，∴a·b ＝0. 而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos
α)，
故a·b ＝6sin 2
α＋5sin αcos α－4cos 2
α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2
α＋5tan
解之，得tan α＝－43，或tan α＝12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，tan α<0， 故tan α＝12(舍去)． ∴tan α＝－4
3.
(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．
∴sin α2＝55，cos α2＝－25
5
，
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3 ＝－255×12－55×32＝－
25＋1510
.。