两角和与差的三角函数练习含答案
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
6-三角函数的化简与求值(练习)
值为1,求常数a的值.
【解析】f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cos x+a
6 6
= 3 sin x+cos x+a=2sin(x+ )+a.
6
由a+2=1,得a=-1.
1.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角 与特殊角之间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求 特殊角的三角函数值问题;
3 6 3 3
(2)化简
2 2 tan α tan 2α + 3 (sin α-cos α). tan 2α tan α
【分析】此三角函数式出现两类函数,利用两角和与差公式 统一函数成为化简的主要目标. 【解析】(1)sin(3x+ )cos(x- )+cos(3x+ )cos(x+ )
3 6 3 3
4 2 4
3
由sin(β- )= ,知cos(β- )=- , 4 13 4 13
cos(α+ )=cos [(α+β)-(β- )]
4 4
12
5
=cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- )
4 4
= ×(- )+(- )× =- .
4 5
5 13
3 5
(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角
的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α +β)+(α-β)等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意
两角和与差的三角函数(近几年高考真题)
两角和与差的三角函数（近几年高考真题）1.(2019107)tan255°=（ ）A ．－2B ．－C ．2D ．2.(2019115)函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 3.(2019210)已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=（ ）A ．15 B5 C3 D54.(2018全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos 23α=，则a b -= A ．15 BCD ．15.(2018全国卷Ⅲ)若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 6．（2017山东）已知3cos 4x =，则cos2x = A ．14- B ．14 C ．18- D ．187．（2016年全国III 卷）若1tan 3θ=-，则cos2θ= A ．45- B ．15- C ．15 D ．45 8．（2015重庆）若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan β= A ．17 B ．16 C ．57D ．56 9.（2014新课标1）若0tan >α，则A ．0sin >αB ．0cos >αC ．02sin >αD ．02cos >α 10.．(2013新课标2)已知，则 A ． B ． C ． D ． 2sin 23α=2cos ()4πα+=1613122311．（2013浙江）已知，则 A ． B ． C ． D ． 12．（2012山东）若，，则 A ． B ． C ． D ． 13．(2012江西)若，则tan2α= A ．− B ． C ．− D ． 14．（2011新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．4515.（2017新课标Ⅰ）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos()4πα- =__________． 16.（2017江苏）若1tan()46πα-=，则tan α= ．17.（2016年全国Ⅰ卷）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= .18.（2015江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______． 19.（2013新课标2）设为第二象限角，若 ，则=_____. 20．（2013四川）设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan2α的值是____________． 21.（2017新课标Ⅲ）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79- B ．29- C ．29 D ．79210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tan 344343-34-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ8732sin =θ=θsin 53544743sin cos 1sin cos 2αααα+=-34344343θ1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos θθ+22.（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin()απ+的值；(2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．23.（2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-． (1)求cos2α的值；(2)求tan()αβ-的值．24.（2015广东）已知tan 2α=． （Ⅰ）求tan()4πα+的值； （Ⅱ）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．25.(2014江苏)已知，． (1)求的值；(2)求的值．26.（2013广东）已知函数． (1) 求的值； (2) 若，求． ),2(ππα∈55sin =α)4sin(απ+)265cos(απ-(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
两角和与差的三角函数 同步习题 高中数学新苏教版必修第二册(2022年)
10.1 两角和与差的三角函数一、单选题1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为（）A．12B．－12C D【答案】C【分析】根据两角差的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由cos56cos26sin56sin64cos56cos26sin56sin26+=+3cos(5626)cos302=-==.故选：C.2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为（）A．3365B．－3365C．5465D．－5465【答案】A【分析】利用同角三角函数的平方关系以及两角差的余弦公式即可求解.【详解】∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝513⎛⎫-⎪⎝⎭×35＋1213×45＝3365.故选：A.3．已知点(P 是角α终边上一点，则cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．36+BC ．D ．36【答案】A【分析】由三角函数的定义可得sinα=3，cosα=3，再利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】解析：由题意可得，cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 6πcos α+sin 6πsinα=2× 3+12×336+=.故选：A4． sin 75︒︒+=（ ）A ． 2B ．1C ． D【答案】C【分析】直接利用辅助角公式及特殊角的三角函数计算可得；【详解】sin 75cos15︒︒︒︒+=+()12sin15cos152sin 15302sin 452222︒︒︒︒︒⎛⎫=+=+==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C5．已知cos α＝－35，α∈(,)2ππ，sin β＝－1213，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是（ ）A ．－3365B ．3365 C ．－6365 D ．－1665 【答案】C【分析】 先求出sin ,cos αβ，再利用差角的余弦公式求解.【详解】因为cos α＝－35，α∈(,)2ππ，所以4sin 5α==，因为sin β＝－1213，β是第四象限角，所以5cos 13β==. 则cos(β－α)＝cos βcos α＋sin αsin β＝513×(－35)＋(－1213)×45＝－6365. 故选：C【点睛】 易错点睛：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=求正弦和余弦时，要注意角的象限，决定“±”的取舍. 6．已知α∈（2π，π），sinα+cosα15=-，那么tan （α4π+）的值为（ ） A ．17- B ．17C ．﹣7D ．7 【答案】B【分析】由sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-，联立这两个方程解出sin α和cos α，进而求出tan α，再利用两角和的正切公式可求出结果.【详解】∵（sinα+cosα）2＝（15-）2125= ∴sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+2sinαcosα125=∴2sinαcosα2425=-， ∴1﹣2sinαcosα4925=，即（cosα﹣sinα）24925=∵α∈（2π，π），∴cos sin αα<， ∴cosα﹣sinα75=-， 联立1cos sin 57cos sin 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以3tan 4α=-， ∵tan （α4π+）3tan tan1tan 114431tan 71tan tan 144πααπαα+-++====--+. 故选：B.【点睛】关键点点睛：利用sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-是解题关键. 7．要得到函数()sin 2cos 26f x x x π=-+()的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】D【分析】 利用两角差的正弦、余弦公式化简()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象变换规律得出结论． 【详解】 函数()sin 2cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12cos2cos22x x x =-+1cos 22cos 2cos 2263x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故将函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位，可得()f x 的图象， 故选：D ．8．已知实数a ，b 均不为零，sin cos tan cos sin a b a b ααβαα+=-，且6πβα-=，则b a等于（ ） AB．3 C． D．3-【答案】B【分析】 根据题设用ba 、tan α表示tan β即可.【详解】tan tan()6πβα=+tan tan tan 61tan tan 63πααπα++==- 又tan sin cos tan cos sin 1tan ba b ab a b aαααβααα++==--∴b a =故选:B.二、多选题9． (多选题)若[]440,2,sin sin cos cos 0,3333αααααπ∈+=则α的值是（）A ．6πB ．4πC ．2πD ．32π【答案】CD【分析】根据两角差的余弦公式，化简整理，结合α的范围，即可求得答案.【详解】 由已知得444cos cos sin sin cos cos 0333333ααααααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭又[]0,2απ∈， 所以2πα=或32πα=.故选：CD10．在ABC 中，给出下列四个式子，其中为常数的是( )A ．sin()sin ABC ++B ．cos()cos A BC ++ C ．sin(22)sin 2A B C ++D ．cos(22)cos 2A B C ++【答案】BC【分析】由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：在ABC 中，对于选项:sin()sin 2sin A A B C C ++=；对于选项:cos()cos cos cos 0B A B C C C ++=-+=；对于选项:sin(22)sin 2sin[2()]sin 2sin[2()]sin 2C A B C A B C C C π++=++=-+ sin(22)sin 2sin 2sin 20C C C C π=-+=-+=；对于选项:cos(22)cos 2cos[2()]cos 2cos[2()]cos 2D A B C A B C C C π++=++=-+cos(22)cos 2cos 2cos 22cos 2C C C C C π=-+=+=，故选：BC ．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式，属于基础题.11．在ABC 中，120C ︒=，tan tan A B +=）A ． 2ABC +=B ． tan()A B +=C ． tan tan A B =D ． cos B A =【答案】CD【分析】根据三角形的内角和定理和正切的和角公式推导可得选项.【详解】 120C ︒=，60A B ︒∴+=，2()A B C ∴+=，tan()A B ∴+=A ，B 错误；tan tan tan tan )A B A B +=-⋅=， 1tan tan 3A B ∴⋅=①，又tan tan A B +=联立①②解得tan tan 3A B ==，cos B A ∴=，故选项C ，D 正确， 故选：CD.【点睛】 本题考查正切的和角公式，三角形中的角之间的关系，属于基础题.12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +512π）﹣cos （ωx +512π）（0＜ω＜6）的图象关于直线x ＝1对称，则满足条件的ω的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．43πD ．73π 【答案】BC【分析】利用两角差的正弦公式得())6f x x πω=+，根据正弦函数的对称轴求出函数()f x 的对称轴x =k πω3πω+，k Z ∈，结合已知可得3k πωπ=+，k Z ∈，根据06ω<<可得ω=3π或43πω=.由此可得答案. 【详解】因为5()))1246f x x x πππωω=+-=+， 由62x k ωππ+=π+，k Z ∈， 因为06ω<<，所以x =k πω3πω+，k Z ∈， 由题意可得13k ππωω+=，k Z ∈，得3k πωπ=+，k Z ∈， 因为06ω<<，所以ω=3π或43πω=. 故选：BC.【点睛】本题考查了两角差的正弦公式，考查了正弦函数的对称轴，属于基础题.三、填空题13．求值：11tan12π=________.【答案】2-+【分析】利用诱导公式以及两角差的正切公式直接求解.【详解】111tan tan tan2121246ππππ⎛⎫=-=--==-+⎪⎝⎭故答案为：2-+14．已知α是锐角，sin α＝23，则cos(3π－α)＝________.【答案】6【分析】由正弦值根据角的范围求得余弦值，代入两角差余弦公式即可求得结果.【详解】因为α是锐角，2sin3α=，所以5cosα3，所以12cos cos cos sin sin33323πππααα⎛⎫-=+==⎪⎝⎭15．函数()()sinf x x x x R=∈的值域是________.【答案】[]22-,【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()siny A x bωϕ=++，再根据正弦函数的有界性计算可得；【详解】解：()1sin 2sin 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[]sin 1,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以()[]2,2f x ∈-故答案为：[]22-,16．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23︒︒︒︒︒︒+-＝________. 【答案】1【分析】 化简得原式为sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+--，再进一步化简即得解. 【详解】 原式＝sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+-- sin 45231cos 45cos 23cos ︒︒︒︒==. 故答案为：1【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.四、解答题17．计算：sin 57sin 27cos30cos 27︒-︒︒︒ 【答案】12【分析】直接利用两角和的正弦公式化简.【详解】由sin 57sin 27cos30sin(3027)sin 27cos30cos 27cos 27︒︒︒︒︒︒︒︒︒-+-= sin 30cos 27cos30sin 27sin 27cos30cos 27︒︒︒︒︒︒︒+-=． sin 30cos 271sin 30cos 272︒︒︒︒=== 18．证明：()sin cos a x b x x ϕ±=±，其中tan b a ϕ=. 【答案】证明见解析【分析】结合两角和的正弦以及三角函数的定义式直接证明.【详解】证明：（如图）sin cos a x b x x x ⎫±=⎪⎭)sin cos cos sin x x ϕϕ=±()x ϕ=±.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45.（1）求sin α的值；（2）求αβ+.【答案】（1）35；（2）2π. 【分析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出cos α、sin β、cos β的值，再计算()cos αβ+的值即可出αβ+的值.【详解】（1）因为点P 的为角α终边与单位圆的交点，且纵坐标为35， 将35y =代入221x y +=，因为α是锐角，0x > ，所以45x =，43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：3sin 5α=， （2）由3sin 5α=，α是锐角，可得4cos 5α=， 因为锐角β的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为45， 将45y =代入221x y +=，因为β是锐角，0x > ，可得35x =，34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以4sin 5β=，3cos 5β=， 所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π， 所以2παβ+=. 20．已知312sin ,,,cos ,5213πααπββ⎛⎫=∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求 （1）cos α与sin β的值；（2）cos()αβ-．【答案】（1）4cos =5α-，5sin 13β=-；（2）3365 【分析】（1）根据平方关系计算即可得出cos α，sin β；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α===-.又由12cos 13，β是第三象限角，得5sin 13β===-. （2）由（1）得4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ⎛ ⎝⎭. （1）求sin α，()cos πα-；（2）若角β满足()1tan 3αβ-=，求()tan 2αβ-的值.【答案】（1）sin 5α=，cos()5πα-=；（2）1-. 【分析】 （1）利用三角函数的定义求sin α，cos α，对()cos πα-用诱导公式转化后求解；（2）由（1）先求出tan α，利用两角和的正切公式求出()tan 2αβ-.【详解】解：（1）∵P ⎛ ⎝⎭，∴||1OP ==∴sin α=，cos α=，∴cos()cos παα-=-=. （2）由（1）得：sin tan =2cos ααα∴[]tan(2)tan ()αβααβ-=+-()12tan tan()3111tan tan()123ααβααβ-++-===-----⨯. 即()tan 2=1αβ--【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2)利用三角公式求三角函数值的关键：根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 22．如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ，当2()k k απβ≠+∈Z 时，以x 轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Q ββ．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．（附：平面上任意两点()111,P x y ，()222,P x y间的距离公式12PP=【答案】（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭，再结合两角差的余弦公式展开即得结论. 【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.证明：依题意，()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==， 则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+，11111,OP AQ POQ αβ==∠=- 故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得，()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-，即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，当()2k k απβ=+∈Z 时，容易证明上式仍然成立．故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立；（2）证明：由诱导公式可知，()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos cos sin αβαβ=-+，故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-.即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.。
2013高三数学总复习同步练习：4-4两角和与差的三角函数
4-4两角和与差的三角函数基础巩固强化1.(文)(2012·豫南九校联考)函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π，则a 的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．±1[答案] D[解析] y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，T ＝2π2|a |＝π|a |＝π，∴a ＝±1. (理)(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2a 3a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin2x 3cos2x1的图象向左平移π6个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心的是( )A ．(π4，0) B ．(π2，0) C ．(π3，0) D ．(π12，0)[答案] B[解析] 根据行列式的定义可知f (x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)，向左平移π6个单位得到g (x )＝2sin[2(x ＋π6)－π3]＝2sin2x ，所以g (π2)＝2sin(2×π2)＝2sinπ＝0，所以(π2，0)是函数的一个对称中心，选B.2．(2012·平顶山、许昌新乡二调)设△ABC 的三个内角A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] m ·n ＝3sin A cos B ＋3sin B cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin C ＝1－cos C ，∴sin(C ＋π6)＝12，∵0<C <π，∴C ＝2π3.3．(文)(2012·深圳市一调)已知直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73 B.73 C.57 D ．1[答案] D[解析] 由条件得tan α＝2，tan β＝－13， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝2＋(－13)1－2×(－13)＝1. (理)(2011·北京东城区期末)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53 [答案] B[解析] ∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝3，∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝13.4．已知实数a 、b 均不为零，a sin2＋b cos2a cos2－b sin2＝tan β，且β－2＝π6，则ba ＝( )A. 3B.33 C ．－ 3 D ．－33[答案] B[解析] tan β＝tan(2＋π6)＝tan2＋331－33tan2＝a sin2＋b cos2a cos2－b sin2＝a tan2＋b a －b tan2，所以a ＝1，b ＝33，故b a ＝33.5．(文)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° [答案] D[解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ， ∴tan A ＝－3，∴A ＝120°.(理)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6[答案] C[解析] ∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2， ∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∵sin α＝55，∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4，故选C.6．(文)函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92 C.12 D.52[答案] C[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2cos2x －2 ＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43， 所以f (x )的最大值是52－2＝12.故选C.(理)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.17 B ．－17 C.27 D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 7．(文)要使sin α－3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的取值范围是________．[答案] [－1，73][解析] ∵sin α－3cos α＝2(sin αcos π3－sin π3cos α) ＝2sin(α－π3)∈[－2,2]， ∴－2≤4m －64－m≤2.由4m －64－m≥－2得，－1≤m <4； 由4m －64－m≤2得，m ≤73或m >4，∴－1≤m ≤73.(理)函数f (x )＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴是直线x ＝π4，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角的大小为________．[答案] 3π4(或135°)[解析] f (x )的图象的对称轴过其最高点或最低点，∴f (π4)＝±a 2＋b 2，∴a －b 2＝±a 2＋b 2，解得a ＋b ＝0.∴直线ax－by ＋c ＝0的斜率k ＝ab ＝－1，∴直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为135°(或3π4)．8．已知α、β∈(0，π2)，且tan α·tan β<1，比较α＋β与π2的大小，用“<”连接起来为________．[答案] α＋β<π2[解析] ∵tan α·tan β<1，α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α·sin βcos α·cos β<1，∴sin α·sin β<cos α·cos β， ∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2.9．已知tan α、tan β是关于x 的一元二次方程x 2＋4x －5＝0的两实根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.[答案] 1[解析] ∵tan α、tan β为方程x 2＋4x －5＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－4，tan α·tan β＝－5， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β ＝－41＋(－5)＝1. 10．(文)(2012·吉林延吉市质检)已知函数f (x )＝－23sin 2x ＋sin2x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．[解析] (1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin2x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)，所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－2. (2)列表：(理)(2012·江西赣州市期末)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．[解析] (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin2x －12cos2x －1＝sin(2x －π6)－1，∴f (x )的最小值是－2，最小正周期为π.(2)∵f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，即sin(2C －π6)＝1， ∵0<C <π，－π6<2C －π6<11π6，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵m 与n 共线，∴sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝2a ，①∵c ＝3，由余弦定理得，9＝a 2＋b 2－2ab cos π3，②解方程组①②得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2 3.能力拓展提升11.(文)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45， ∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.(理)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )＝( )A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 两式平方相加得：cos(x －y )＝59，∵x 、y 为锐角，sin x －sin y <0，∴x <y ，∴－π2<x －y <0， ∴sin(x －y )＝－1－cos 2(x －y )＝－2149，∴tan(x －y )＝sin (x －y )cos (x －y )＝－2145.12．(2012·东北三校联考)已知sin θ＋cos θ＝43(0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13[答案] B[解析] 由sin θ＋cos θ＝43两边平方得，sin2θ＝79， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－sin2θ＝29，∵0<θ<π4，∴sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23.13．(2012·东城模拟)若sin(π－α)＝45，α∈(0，π2)，则sin2α－cos 2α2的值等于________．[答案] 425[解析] ∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45， 又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝35， ∴sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425.14．(文)(2012·山西高考联合模拟)设f (x )＝a sin(π－2x )＋b sin(π2＋2x )，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤|f (π6)|对一切x ∈R 恒成立，则①f (11π12)＝0 ②f (x )的周期为2π③f (x )既不是奇函数也不是偶函数④存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交 以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号) [答案] ①③[解析] f (x )＝a sin(π－2x )＋b sin(π2＋2x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)，其中，tan φ＝ba ，∵f (x )≤|f (π6)|对一切x ∈R 恒成立， ∴|f (π6)|＝a 2＋b 2，∴2×π6＋φ＝k π＋π2， ∴φ＝k π＋π6，又f (x )的周期T ＝π，故①③正确，②④错误．(理)已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，则sin α＝________.[答案] 3130130[解析] ∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2， 而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45. 又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×513－35×(－1213)＝5665.又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130.又α∈(π2，π)，∴sin α＝3130130.15．(文)已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值．[解析] ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×(－31010)－55×1010＝22， 又∵π2<A <π，π2<B <π， ∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4.(理)(2011·成都二诊)已知函数f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[－π4，π4]时，函数f (x )的最小值为－3，求实数m 的值． [解析] (1)∵f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m ＝2sin x (32cos x －12sin x )－cos2x ＋m ＝3sin x cos x －sin 2x －cos2x ＋m ＝32sin2x －1－cos2x 2－cos2x ＋m ＝32sin2x －12cos2x －12＋m ＝sin(2x －π6)－12＋m .∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵－π4≤x ≤π4，∴－π2≤2x ≤π2，∴－2π3≤2x －π6≤π3，∴－1≤sin(2x －π6)≤32.∴ f (x )的最小值为－1－12＋m .由已知，有－1－12＋m ＝－3，∴m ＝－32.16．(文)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2cos 2x . (1)求函数f (x )的值域及最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．[解析] (1)f (x )＝32sin2x ＋12cos2x ＋32sin2x －12cos2x －(cos2x ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x －12cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 由－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1得，－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1.可知函数f (x )的值域为[－3,1]． 且函数f (x )的最小正周期为π.(2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )解得， k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(理)已知△ABC 中，|AC |＝1，∠ABC ＝120°，∠BAC ＝θ，记f (θ)＝AB →·BC→， (1)求f (θ)关于θ的表达式； (2)求f (θ)的值域． [解析] (1)由正弦定理有：|BC |sin θ＝1sin120°＝|AB |sin (60°－θ)， ∴|BC |＝sin θsin120°，|AB |＝sin (60°－θ)sin120° ∴f (θ)＝AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC ) ＝23sin θ·sin(60°－θ) ＝23(32cos θ－12sin θ)sin θ ＝13sin(2θ＋π6)－16 (0<θ<π3) (2)∵0<θ<π3，∴π6<2θ＋π6<5π6， ∴12<sin(2θ＋π6)≤1，∴0<f (θ)≤16，即f (θ)的值域为(0，16]．1．(2012·安徽“江南十校”联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b ，则C ＝( )A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°[答案] B[解析] 由正弦定理得，1＋tan A tan B ＝2c b ⇒1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin Csin B ⇒sin(A ＋B )＝2sin C cos A ⇒cos A ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，∴sin C ＝22， 又c <a ，∴C <60°，∴C ＝45°，故选B.2．(2012·孝感统考)已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝2sin(32x ＋π4)B ．f (x )＝2sin(32x ＋5π4) C ．f (x )＝2sin(43x ＋2π9) D ．f (x )＝2sin(43x ＋2518π) [答案] B[解析] 由函数的部分图象可知34T ＝5π6－(－π6)＝π，则T ＝4π3，结合选项知ω>0，故ω＝2πT ＝32，排除选项C 、D ；又因为函数图象过点(5π6，2)，代入验证可知只有选项B 满足条件．3．(2012·唐山统考)若β＝α＋30°，则sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β等于( )A.14B.34 C ．cos 2β D ．sin 2α[答案] B[解析] 将β＝α＋30°代入sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β，整理得 sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋(cos αcos30°－sin αsin30°)2＋sin α(cos αcos30°－sin αsin30°)＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)(32cos α－12sin α＋sin α)＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)(32cos α＋12sin α)＝sin 2α＋(32cos α)2－(12sin α)2 ＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.4．若tan(x ＋y )＝35，tan(y －π3)＝13，则tan(x ＋π3)的值是________． [答案] 29[解析] tan(x ＋π3)＝tan[(x ＋y )－(y －π3)] ＝tan (x ＋y )－tan (y －π3)1＋tan (x ＋y )·tan (y －π3)＝35－131＋35×13＝29. 5．(2011·广州调研)已知α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. [答案] －5665[解析] 因为α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，由题易知cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－513，则cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665.6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若|BA→－BC →|＝2，求△ABC 的面积的最大值． [解析] (1)在△ABC 中，∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 根据正弦定理有(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A . ∵sin A >0，∴cos B ＝12， 又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA→－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2. 根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，有4＝a 2＋c 2－ac . ∵a 2＋c 2≥2ac (当且仅当a ＝c 时取“＝”号)， ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， 即当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积的最大值为 3.7．已知函数f (x )＝sin x 2＋2cos 2x 4. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．[解析] (1)∵f (x )＝sin x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＋1＝sin x 2＋cos x2＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋1，∴f (x )的最小正周期为T ＝4π. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 得， (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴ocs B ＝12，∴B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，又∵f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4＋1，∴0<A <2π3，∴π4<A 2＋π4<7π12，又∵sin π4<sin 7π12，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4≤1，∴2<f (A )≤2＋1.8．(2012·绥化市一模)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0.(1)求角B 的值；(2)已知函数f (x )＝2cos(2x －B )，将f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．[解析] (1)由正弦定理得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0，得2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，得2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12， 又B 为三角形的内角，所以B ＝2π3. (2)∵B ＝2π3，∴f (x )＝2cos(2x －2π3)， ∴g (x )＝2cos[2(x ＋π12)－2π3] ＝2cos(2x －π2)＝2sin2x ，由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2 (k ∈Z )得， k π－π4≤x ≤k π＋π4 (k ∈Z )，故f (x )的单调增区间为[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )．9．(2011·晋中一模)已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)．(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．[解析] (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95， 即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝45，于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425. 又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725.又cos 2α＝1＋cos2α2＝45， ∴cos α＝255，sin α＝55(α∈(0，π4))． ∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β ＝255×(－2425)－55×725＝－11525.。
两角和与差练习题(供参考)
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ；12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 两角和与差练习题一、选择题：2．已知)2,0(πα∈,sin(6πα+)=53,则cos α的值为( )A ．－10334+ B ．10343- C ．10334- D ．10334+7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.458.f(x)＝sinx cosx1＋sinx ＋cosx 的值域为( )A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1)B ．[－2－12,―1] ∪(―1, 2－12)C ．(－3－12,3－12)D ．[－2－12,2－12]解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[―2,―1]∪(―1, 2)． 则f(x)＝t 2－121＋t ＝t －12∈[－2－12,―1]∪(―1, 2－12)．B9 .sin()cos()cos()θθθ+︒++︒-+︒7545315的值等于（ ） A. ±1B. 1C. -1D. 010．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m有意义，则m 的取值范围是( ) A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]11、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ++的值（ ） Ａ．π6Ｂ．π4Ｃ．π3Ｄ．5π412．已知α,β是锐角，sin α=x,cos β=y,cos(α+β)=－53，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y=－5321x -+54x (53<x<1) B ．y=－5321x -+54x (0<x<1)C ．y=－5321x -－54x (0<x<53)D ．y=－5321x -－54x (0<x<1)13、若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2 C1 D2 15. 设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=016.若()1cos 3A B -=, 则()()22cos cos sin sin B A B A +++的值是（ ）A. 83-B . 83 C. 73D. 5317. 若()()17tan 411tan 4=-+βα,则()βα-tan 的值为（ ） A. 14 B. 12C . 4 D. 1218. 已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是 （ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a19．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21B ．22C ．22-D ．22±21．已知tan α,tan β是方程x 2+4=0的两根,且2π-<α<2π,2π-<β<2π,则α+β等于 （ ）A ．23π- B ．3π C ．3π或23π- D ．－3π或23π22．如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于（ ）Ａ．m n m n -+ Ｂ．m nm n+- Ｃ．n mn m-+ Ｄ．n mn m+-23．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形24．在ABC ∆中,若3tan =C , 且()B B B A sin 120cos cos sin 0-=,则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B.等腰但非直角三角形C. 等腰直角三角形 D . 等边三角形25．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值（ ） Ａ．不大于1 Ｂ．小于1 Ｃ．等于1 Ｄ．大于126．在ABC △中，90C >，sin E C =，sin sin F A B =+，cos cos G A B =+，则E F G ，，之间的大小关系为（ ） Ａ．G F E >> Ｂ．E F G >>Ｃ．F E G >> Ｄ．F G E >>27.ABC ∆中，若135cos ,53in ==B A s ，则C cos 的值是（ ） Ａ。
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.的值为_____．【答案】【解析】【考点】1.两角和的余弦公式；2.特殊角的三角函数值.2.计算 = ．【答案】【解析】．【考点】两角差的正弦公式．3.；【答案】.【解析】把原式提取即，然后利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简得原式．【考点】两角和与差的正弦函数．4.已知,,分别为三个内角,,的对边, =sin cos．(1)求；(2)若=,的面积为,求,．【答案】(1) ；(2)【解析】(1) 根据正弦定理可将变形为。
因为角三角形的内角，所以，可将上式变形为。
用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得，根据整体角的范围可得的值，即可得角的值。
(2)由三角形面积可得。
再结合余弦定理可得的值，解方程组可得的值。
解 (1)由=sin cos及正弦定理得sin sin+cos sin-sin=0,由sin≠0,所以sin（+）=,又0<<π,+故=．(2)△ABC的面积=sin=,故=4．由余弦定理知2=2+2-2cos,得代入=,=4解得,故【考点】1正弦定理；2三角形面积公式；3余弦定理。
5.设的值等于____________.【答案】【解析】由题可知.【考点】两角差的正切公式.6.已知，为第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）,; （2）,.【解析】（1）由同角间的基本关系式与的范围可得；（2）由两角和的正弦和倍角的正切公式展开可得.试题解析：解：（1），为第三象限角，； 3分； 6分由（1）得， 9分． 12分【考点】同角间的基本关系，两角和的正弦，倍角公式的正切公式.7.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.（1）求A；（2）设，为的面积，求+的最大值，并指出此时B的值.【答案】（1）（2）当时，+取得最大值3.【解析】（1）由结合条件，易求得可求出A的值；（2）由，由正弦定理，得出代入+化简可知时取得最大值3.试题解析：（1）由余弦定理，得，又∵，∴A=. （5分）（2）由（1）得,又由正弦定理及，得，∴+=，∴当时，+取得最大值3. （13分）【考点】主要考查正弦定理，余弦定理，两角和的余弦公式.8.已知向量，，且（1）求及（2）若-的最小值是，求的值。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例题型 1 给角求值一般所给出的角都是非特别角，利用角的关系（与特别角的联系）化为特别角知识重点：3 tan10 )] ? 2sin 2 80 的值.1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式例 1 求[2sin50sin10 (1C(α－β) ： cos( α－β ) ＝； C( α＋β) ： cos( α＋β ) ＝；S( α＋β) ： sin( α＋β ) ＝； S( α－β) ： sin( α－β ) ＝；T( α＋β) ： tan( α＋β ) ＝； T( α－β) ： tan( α－β) ＝；变式 1：化简求值：2cos10sin 20 .cos202、二倍角的正弦、余弦、正切公式S2：sin2α＝；T2：tan2α＝；C2：cos2α＝＝＝；3、在正确娴熟地记着公式的基础上, 要灵巧运用公式解决问题: 如公式的正用、逆用和变形用等。
如 T( α±β) 可变形为 :tanα±tanβ=___________________；tanα tanβ==.考点自测：1、已知 tan α＝ 4，tan β＝ 3，则 tan( α＋β) ＝ ()7、7C、7D、-7、1313 111147ππ2、已知 cos α－6＋ sinα ＝53，则 sinα＋6的值是()234A．－5C．－53、在△4＝5C的值是 ()中，若 cos ＝， cos，则 cosABC A 5B1356D16或．－65654、若 cos2θ＋ cos θ＝ 0，则 sin2θ＋sinθ 的值等于()A． 0B．± 3C．0或 3D．0或± 3 2cos55°－3sin5 °)5、三角式cos5°值为 (C． 2D． 1题型 2 给值求值三角函数的给值求值问题解决的重点在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()，2() ()，2() ()2，2222例 2设 cos αβ1α2π，β∈0，π，求 cos( α＋β) ．－＝－， sin－β ＝，此中α ∈，π229232变式 2：已知0π3π,cos(π)3,sin(3 π)5, 求sin(α+β)的值.4445413题型 3 给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1) 确立角所在的范围；(2) 求角的某一个三角函数值( 要求该三角函数应在角的范围内严格单一) ；（ 3）求出角。
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一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）（2009•陕西）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣22．（4分）已知，则=（）A．B．C．D．3．（4分）如果α∈（，π），且sinα=，那么sin（α+）+cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣7．（4分）（2008•海南）=（）A．B．C．2D．8．（4分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，），则sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）的值是（）A．B．﹣C．﹣D．9．（4分）（2007•海南）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．10．（4分）设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是（）A．s in（α+β）＞sinα+sinβB．c os（α+β）＞cosαcosβC．s in（α+β）＞sin（α﹣β）D．c os（α+β）＞cos（α﹣β）11．（4分）（2009•杭州二模）在直角坐标系xOy中，直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A，B两点，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB=β（π＜β＜），则sin（α+β）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣12．（4分）（2008•山东）已知，则的值是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）4．（5分）（2008•宁波模拟）已知cos（α+）=sin（α﹣），则tanα=_________ ．5．（5分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则c osα的值为_________ ．13．（5分）•的值为_________ ．14．（5分）（2012•桂林一模）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α=_________ ．15．（5分）的值为_________ ．三、解答题（共4小题，满分0分）6．化简：（1）；（2）﹣．16．（2006•上海）已知α是第一象限的角，且，求的值．17．求值：（1）；（2）tan（﹣θ）+tan（+θ）+tan（﹣θ）tan（+θ）．18．（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．参考答案与试题解析一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）（2009•陕西）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2考点：二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：首先考虑由3sinα+cosα=0求的值，可以联想到解sinα，cosα的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案．解答：解析：由3sinα+cosα=0⇒cosα≠0且tanα=﹣所以故选A．点评：此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛．2．（4分）已知，则=（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：求出cosa=，利用诱导公式化简，再用两角差的余弦公式，求解即可．解答：解：cosa=，cos（+a）=cos（2π﹣+a）=cos（a﹣）=cosacos+sinasin=×+×=．故选B．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，是基础题．3．（4分）如果α∈（，π），且sinα=，那么sin（α+）+cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：利用同角三角函数的基本关系利用sinα的值求得cosα的值，然后利用二倍角公式和诱导公式对sin（α+）+cos（α+）进行化简，最后把cosα的值代入即可．解答：解：∵sinα=，＜α＜π，∴cosα=﹣，而sin（α+）+cos（α+）=sin（α+）=cosα=﹣．故选D点评：本题主要考查了二倍角公式，两角和公式和诱导公式化简求值．考查了基础知识的综合运用．在利用诱导公式时应注意根据角的范围确定三角函数值的正负．7．（4分）（2008•海南）=（）A．B．C．2D．考点：二倍角的余弦．分析：本题是分式形式的问题，解题思路是约分，把分子正弦化余弦，用二倍角公式，合并同类项，约分即可．解答：解：原式====2，故选C．点评：对于三角分式，基本思路是分子或分母约分或逆用公式，对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．8．（4分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，），则sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）的值是（）A．B．﹣C．﹣D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：由已知条件可得θ为第四象限角，根据同角三角函数关系式可得cosθ的值，由三角函数诱导公式化简sin （θ﹣5π）sin（π﹣θ），然后可求得它的值．解答：解：∵θ∈（﹣，），∴θ为第四象限角，∴cosθ==，∴sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）=sinθcosθ=﹣×=﹣，故选B．点评：本题主要考查了利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求值的问题．考查了考生对三角函数基础知识的综合运用．9．（4分）（2007•海南）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．解答：解：∵，∴，故选C点评：本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．10．（4分）设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是（）A．s in（α+β）＞sinα+sinβB．c os（α+β）＞cosαcosβC．s in（α+β）＞sin（α﹣β）D．c os（α+β）＞cos（α﹣β）考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．分析：根据公式化简sin（α+β）和cos（α+β），因为α和β为锐角，得到正弦、余弦函数的函数值为正值，判断出谁大谁小即可．解答：解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，又∵α、β都是锐角，∴cosαsinβ＞0，故sin（α+β）＞sin（α﹣β）．故选C点评：考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式以及两角和与差的余弦函数函数公式化简求值，并会利用三角函数值比较大小．11．（4分）（2009•杭州二模）在直角坐标系xOy中，直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A，B两点，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB=β（π＜β＜），则sin（α+β）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣考点：两角和与差的正弦函数；直线与圆相交的性质．专题：综合题．分析：把直线与圆的方程联立得到关于x与y的二元二次方程组，求出方程组的解即可得到交点A和B的坐标，然后根据α为第一象限的角，由点A的坐标分别求出sinα和cosα的值，β为第三象限的角，由点B的坐标分别求出sinβ和cosβ的值，最后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：联立得：解得：或所以点A（，），点B（﹣，﹣）．由∠xOA=α为第一象限的角，∠xOB=β为第三象限的角，根据两点的坐标分别得到：sinα=，cosα=，sinβ=﹣，cosβ=﹣，则sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=×（﹣）+×（﹣）=﹣．故选D点评：此题考查学生掌握象限角的三角函数值的求法，灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．12．（4分）（2008•山东）已知，则的值是（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．分析：从表现形式上看不出条件和结论之间的关系，在这种情况下只有把式子左边分解再合并，约分整理，得到和要求结论只差π的角的三角函数，通过用诱导公式，得出结论．解答：解：∵，∴，∴．故选C点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的或和这个角有关的角的三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．而本题应用了角之间的关系和诱导公式．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）4．（5分）（2008•宁波模拟）已知cos（α+）=sin（α﹣），则tanα= 1 ．考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：把已知条件根据两角和的余弦函数公式和两角差的正弦函数公式化简后，利用同角三角函数的关系及特殊角的三角值求出tanα的值．解答：解：∵cos（α+）=sin（α﹣），∴cosαcos﹣sinαsin=sinαcos﹣cosαsin，即cosα﹣sinα=sinα﹣cosα，化简得：（+）sinα=（+）cosα，即sinα=cosα则tanα=1．故答案为：1点评：此题是一道三角函数化简的基础题，要求学生掌握两角和与差的正弦、余弦函数的公式，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，要求学生牢记特殊角的三角函数值．5．（5分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则cosα的值为．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先利用α的范围确定30°+α的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos（30°+α）的值，最后利用两角和的余弦函数求得答案．解答：解：∵60°＜α＜150°，∴90°＜30°+α＜180°．∵sin（30°+α）=，∴cos（30°+α）=﹣．∴cosα=cos[（30°+α）﹣30°]=cos（30°+α）•cos30°+sin（30°+α）•sin30°=﹣×+×=．故答案为：点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用和两角和与差的余弦函数．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．13．（5分）•的值为 1 ．考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦公式化简原式，然后利用平方差公式分解因式，约分可得值．解答：解：原式=•=•=•=1．故答案为1点评：此题是一道基础题，要求学生掌握同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦公式的应用，做题时应会把“1”灵活变形．14．（5分）（2012•桂林一模）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α=﹣2 ．考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：把点P代入直线方程求得tanα的值，进而利用万能公式对sin2α+2cos2α化简整理后，把tanα的值代入即可．解答：解：∵P（cosα，sinα）在y=﹣2x上，∴sinα=﹣2cosα，即tanα=﹣2．∴sin2α+2cos2α=+2•===﹣2．故答案为：﹣2点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，万能公式的应用．要熟练记忆同角三角函数中的平方关系，倒数关系及商数关系等．15．（5分）的值为．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：利用两角和公式使cos5°转化为cos（30°﹣25°），利用两角和公式展开后，化简整理求得答案．解答：解：原式====．故答案为：点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值．考查了学生分析问题和综合运用基础知识的能力．三、解答题（共4小题，满分0分）6．化简：（1）；（2）﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：（1）利用两角和公式把原式展开后整理求得问题的答案．（2）利用正切的二倍角公式对原式进行化简整理求得问题答案．解答：解：（1）原式===﹣=﹣tan（α﹣β）．（2）原式===tan2θ．点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数基本关系的应用．要求考生能对三角函数基础公式的熟练记忆．16．（2006•上海）已知α是第一象限的角，且，求的值．考点：象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题；综合题．分析：利用诱导公式，倍角公式，两角和的正弦公式，化简，然后求出sinα，代入求值即可．解答：解：=由已知可得sin，∴原式=．点评：本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，二倍角的余弦，考查学生运算能力，是基础题．17．求值：（1）；（2）tan（﹣θ）+tan（+θ）+tan（﹣θ）tan（+θ）．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（1）将10°用30°﹣20°表示，利用两角差的余弦公式展开，利用三角函数的诱导公式，化简求值．（2）利用两角和的正切公式的变形形式表示出两角的正切和，求出值．解答：解：（1）原式====．（2）原式=tan[（﹣θ）+（+θ）][1﹣tan（﹣θ）tan（+θ）]+tan（﹣θ）tan（+θ）=．点评：本题考查凑角及凑公式的数学思想方法、考查两角和，差的正弦，余弦，正切公式．18．（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．考点：两角和与差的正切函数．分析：（1）先由已知条件得；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ；最后利用tan（α+β）=解之．（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．解答：解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，因为α为锐角，则sinα＞0，从而同理可得，因此．所以tan（α+β）=；（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=，又，故，所以由tan（α+2β）=﹣1得．。