3.3两角和与差及倍角公式(一)

合集下载

高三数学两角和与差二倍角公式1

例2
P(53 例1)
1 2 设. cos , sin , 2 9 2 3

2
,0

2
, 求 cos .
(二) 公式逆用
例1.P(53) ( 双基题1)
cos 0, 求 sin 3
（二）倍角公式
（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。（3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
(一)公式正用例1、求值:
5 1sin 555 2cot 12
； / 凤凰娱乐开户
两角和与差，二倍角公式(一)高源自备课组（一）两角和与差公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan
sin 2 2 sin cos 2 2 2 2 cos2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin 2 tan tan 2 2 1 tan
tan tan tan 3 例2、已知 , tan tan 4
(三).用边角关系的公式解三角形例4、(P53例2)在三角形ABC中,角A..B.C对边a,b,c
a b sin( A B) 证明 : 2 sin C c
2 2
(四)综合例5、(P53例3)
(0, ),sin sin sin 2 cos cos cos , 求

2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.3和差倍角的正弦余弦正切公式及恒等变换学案理新人

第三节和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式及恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)S (α＋β)：sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β． (2)S (α－β)：sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β． (3)C (α＋β)：cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β． (4)C (α－β)：cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β． (5)T (α＋β)：tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．(6)T (α－β)：tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β．2．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α． (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α．(3)T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α．1．和、差、倍角公式的转化2．公式的重要变形(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.(2)半角公式(不要求记忆)：①sin α2＝±1－cos α2. ②cos α2＝±1＋cos α2. ③tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α1＋cos α⎝⎛⎭⎫根号前面的正负号由角α2所在象限确定. (3)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. (4)公式变形：tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). (5)辅助角公式：a sinx ＋b cosx ＝a 2＋b 2sin(x＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.1．(基础知识：逆用公式)化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A ．12B ．32C ．－12D ．－32答案：A2．(基本方法：构造和角公式)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，则sin α的值为( )A ．817B ．153＋834C ．15－8334D ．15＋8334答案：D3．(基础知识：半角公式)已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A ．105 B ．－105 C ．155D ．－155答案：D4．(基本能力：正切倍角公式)若α是第二象限角，且sin(π－α)＝35，则tan 2α＝________．答案：－2475．(基本应用：辅助角公式)f (x )＝sin (x ＋3π)－3cos x 的最小值为________．答案：－10题型一两角和、差及倍角公式的直接应用[典例剖析]类型 1 给值(角)求值 [例1] (1)化简 2＋cos 2－sin 21的结果是( )A ．－cos1B ．cos 1C ．3cos 1D ．－3cos 1 解析：原式＝1＋cos 2＋1－sin 21＝2cos 21＋cos 21＝3cos 21＝3cos1. 答案：C(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A ．33 B ．－33 C ．63D ．－69解析：因为0＜α＜π2，所以π4＜α＋π4＜3π4.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－19＝223.因为－π2＜β＜0，所以π4＜π4－β2＜π2.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝1－13＝63，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×63＋223×33＝63. 答案：C类型 2 给值求角[例2] (1)(2021·某某六市联考)已知cos α＝17，cos (α－β)＝1314.若0＜β＜α＜π2，则β＝________．解析：由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，∴sin (α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∵α∈(0，π)，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π， ∴－π＜2α－β＜0， ∴2α－β＝－3π4.答案：－3π4方法总结1．应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等．2．“给值求角”实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的X 围，最后确定角．遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的X 围是(0，π)，选余弦较好；若角的X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．[题组突破]1．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan β＝1＋sin αcos α，则( )A ．α－3β＝－π2B ．α－2β＝－π2C ．α＋3β＝π2D ．α＋2β＝π2解析：法一(化切为弦)：因为tan β＝sin βcos β，所以sin βcos β＝1＋sin αcos α，即sin βcos α＝cos β＋cos βsin α，整理得sin (β－α)＝cos β，即sin (β－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.因为函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以β－α＝π2－β，整理得α－2β＝－π2.法二(化弦为切)：因为1＋sin αcos α＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2，所以tan β＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π4＋α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以β＝π4＋α2，即α－2β＝－π2.答案：B2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32解析：原式＝sin70°sin 20°cos 225°－sin 225°＝cos20°sin 20°cos 50°＝12×sin 40°sin 40°＝12. 答案：B3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝25，则sin 2α＝________．解析：sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－1＝2×⎝⎛⎭⎫252－1＝－1725.答案：－1725题型二两角和、差及倍角公式的逆用和变形运用[典例剖析][典例](1)3tan 10°－1sin 10°＝________．(用数字作答)解析：原式＝3sin 10°cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2sin （10°－30°）12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4.答案：－4(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°·tan 35°＝________．解析：原式＝tan (25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3.答案： 3(3)已知：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1，②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1，③tan 20°tan 30°＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 20°＝1成立．由此得到一个由特殊到一般的推广．此推广是什么？并证明．解析：观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°，20°＋30°＋40°＝90°，猜想此推广为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为k·180°＋90°(k∈Z)，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明如下：因为α＋β＋γ＝90°，所以β＝90°－(α＋γ)，故tan β＝tan [90°－(α＋γ)]＝sin [90°－（α＋γ）]cos [90°－（α＋γ）]＝cos （α＋γ）sin （α＋γ）＝cos αcos γ－sinαsin γsin αcos γ＋cos αsin γ＝1－tan αtan γtan α＋tan γ，所以tan αtan β＋tan βtan γ＝1－tan αtan γ，即tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1.方法总结1．将tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β整理变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)－tan α·tanβ·tan (α＋β).2．(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形：sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan (α±β)·(1∓tan α·tan β). (3)倍角公式变形：降幂公式．[拓展] 1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2± cos α22，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.提醒 tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．[对点训练]1．已知m ＝（α＋β＋γ）,tan （α－β＋γ）)，若sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，则m ＝( ) A.12 B ．34C ．32D ．2解析：设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B ，2β＝A －B ，因为sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，所以sin (A ＋B )＝3sin (A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A ·sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan Atan B ＝2.答案：D 2.1cos 80°－3sin 80°＝________．解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝2sin （80°－60°）12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4.答案：4题型三三角恒等变换的综合应用[典例剖析][典例] 已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6cos ωx (0＜ω＜2)，且f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，32.(1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期； (2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α2＝536，求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3的值．解析：(1)函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6·cos ωx ＝⎝⎛⎭⎫23sin ωx ·32＋23cos ωx ·12·cos ωx ＝32sin 2ωx ＋3·1＋cos 2ωx 2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32. ∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，32，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω·5π12＋π6＋32＝，∴2ω·5π12＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝6k －15，k ∈Z .又0＜ω＜2，∴ω＝1，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，故它的最小正周期为2π2＝π.(2)将y ＝f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋32的图象．已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝536＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝79.方法总结三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题：先根据和角公式、倍角公式把函数解析式变为正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或余弦型函数y ＝A cos (ωx ＋φ)＋b 的形式，再进行图象变换．(2)函数性质问题：求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋b 的形式；②利用公式T ＝2πω(ω＞0)求周期；③根据自变量的X 围确定ωx ＋φ的X 围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋b 的单调区间．[对点训练]已知函数f (x )＝2(sin ωx －cos ωx )cos ωx ＋22(ω＞0)的图象的一条对称轴为x ＝3π8.(1)求ω的最小值； (2)当ω取最小值时，若f ⎝⎛⎭⎫α2＋π4＝35，－π2＜α＜0，求2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值．解析：(1)f (x )＝2(sin ωx －cos ωx )cos ωx ＋22＝2sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋22＝22sin2ωx －22cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4. 因为函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝3π8，所以3π4ω－π4＝π2＋k π(k ∈Z )，所以ω＝1＋43k (k ∈Z ).又ω＞0，所以ω的最小值为1.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35.因为－π2＜α＜0，所以－π4＜α＋π4＜π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45.所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－3π4＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－2×35×45－2×⎝⎛⎭⎫452＋1＝－3125.再研高考创新思维1．(2019·高考全国卷 Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15B ．55C ．33D ．255解析：法一：由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos 2α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2sin α＝cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝15.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝55.法二：设tan α＝t ，t ∈(0，＋∞)，由已知得4t1＋t 2＝1－t 21＋t 2＋1，解得t ＝12.∴t ＝sin αcos α＝12，∴sin 2α＝15，∴sin α＝55.答案：B2．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π解析：由万能公式可知f (x )＝12sin2x ，故T ＝2π2＝π.答案：C3．(2019·高考某某卷)已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________．解析：法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13.sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22，将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，∴ sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.①又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.法三：令tan α＝t (t ≠±1)，则t ＝－23·t ＋11－t ，得t ＝2或t ＝－13，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2＋1－t 21＋t 2＝210. 答案：210素养升华角的灵活变换已知sin (α＋2β)＝34，cos β＝13，α，β为锐角，则sin(α＋β)的值为( )A ．37－2212B ．3－21412C ．37＋2212D ．3＋21412解析：因为cos β＝13，β为锐角，所以sin β＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，cos 2β＝2cos 2β－1＝－79＜0，又β为锐角，所以π2＜2β＜π，因为α为锐角，所以α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，又sin(α＋2β)＝34，所以cos (α＋2β)＝－1－sin 2（α＋2β）＝－74，所以sin(α＋β)＝sin [(α＋2β)－β] ＝sin (α＋2β)cos β－cos (α＋2β)sin β ＝34×13－⎝⎛⎭⎫－74×223 ＝3＋21412.答案：D。

两角和与差的公式

两角和与差的公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T (α＋β))2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)＝tan α－tan βtan(α－β)－1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α＝ 3.( √ )1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52. 化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 C ．－43 答案 B解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.答案－105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ为第二象限角，解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105.4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13， cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( ) B ．－33D ．－69答案 (1)A (2)C解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A. (2)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)． ∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，∴sin(π4＋α)＝223. 又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539.故选C.思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( )C ．－35D ．－45(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)＝________. 答案 (1)A (2)32解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10° ＝cos 10°－2sin 20°2sin 10° ＝cos 10°－2sin(30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝32.题型二三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( )(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan(π4－x )sin 2(π4＋x )＝________. (3)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝________.答案 (1)B (2)12cos 2x (3)3解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.故选B. (2)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin(π4－x )cos(π4－x )·cos 2(π4－x ) ＝(2cos 2x －1)24sin(π4－x )cos(π4－x )＝cos 22x 2sin(π2－2x ) ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .(3)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α2)2＋2cos α＝________.(2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．答案 (1)cos α (2)3解析 (1)原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)4cos 2α2.因为α∈(0，π)，所以cos α2>0，所以原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2)2cos α2 ＝(cos α2＋sin α2)·(cos α2－sin α2)＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.(2)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 题型三三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝________，cos β＝________.(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )答案 (1)－1010 95010 (2)A解析 (1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0， ∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. (2)因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．(1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )或255或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.高考中的三角函数求值、化简问题典例：(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin(θ＋π4)＝________.(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53 B ．－59(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( ) A ．－32 B ．－12思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形．(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系． (3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系． (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化．解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2. ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， ∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.(3)方法一 ∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， ∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23. 又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )， ∴4k π＋π<2α<4k π＋32π(k ∈Z )， ∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 方法二由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153.由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53.(4)原式＝sin(30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 (1)3＋22 (2)B (3)A (4)C温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )答案 C解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )答案 D解析由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( ) A ．4 3C ．4答案 B解析 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α， ∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得2＋8tan 2α2tan α＝654. 4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin(50°＋30°)－sin 40°cos 40° ＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3. 5．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1答案 C解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x )＝3cos(x －π6)＝－1.6． sin 250°1＋sin 10°＝________. 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1解析根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.12°－3,(4cos 212°－2)sin 12°)＝________.答案－43解析原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin(－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 9．已知 1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．解因为1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α ＝ (1＋sin α)2cos 2α－ (1－sin α)2cos 2α＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α| ＝1＋sin α－1＋sin α|cos α|＝2sin α|cos α|，所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α.所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.B 组专项能力提升(时间：25分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)等于()A ．－255B ．－3510C ．－31010答案 A 解析由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos(α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.12．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.13．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝________. 答案 7210解析因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35，所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210.14．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.15．已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)．(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4· cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12.由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4. 所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。

初中三角函数公式表,30°,45°,60°角的三角函数值

初中三角函数公式表，30°,45°,60°角的三角函数值初中三角函数入门知识三角函数在初中数学中占有非常重要的地位。

你必须精通并准备掌握初中常用的三角函数的公式，才能更好的解决数学问题。

接下来给大家分享一下初中常用的三角函数公式，希望同学们能牢记在心。

三角函数基本公式三角函数半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√做粗数((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))三角函数倍角公式Sin2A=2SinA*CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)三角函数三倍角公式sin3A=4sinA*sin(π/3+A)sin(π/3-A) cos3A=4cosA*cos(π/3+A)cos(π/3-A) tan3A=tanA*tan(π/3+A)*tan(π/3-A)三角函数两角和与差公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cossinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)三角函数积化和差sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2三角函数和差化凳拆积sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)三角函数关系公式三角函数的倒数关系公式tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1三角函数的商数关系公式tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα三角函数的平方关系纯首公式(sina)^2+(cosa)^2=11+(tana)^2=(seca)^21+(cota)^2=(csca)^2初中的三角函数的口诀三角函数是初中数学的重要组成部分。

高考数学一轮复习第三章第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件

3sin 17°＝12.
②解：因为 tan 60°＝tan(25°＋35°)＝1t－ant2an5°2＋5°ttaann3355°°＝ 3，
则原式＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3.
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
答案：12
【题后反思】公式的一些常用变形
①1±sin α＝sin
α 2±cos
α22；
②sin 2α＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝ta2nt2aαn＋α 1；
③cos2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα；
④tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). ⑤sin αcos β＝21[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； sin αsin β＝12[cos (α－β)－cos (α＋β)]； cos αcos β＝12[cos (α－β)＋cos (α＋β)]；
【变式训练】
1.(2022 年全国Ⅱ卷)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos α＋π4sin β，
Байду номын сангаас则( )
A.tan(α－β)＝1
B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1
D.tan(α＋β)＝－1
解析：由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
答案：B
(2)(2023 年宿迁市校级月考)计算下列各式的值：
①2sin
47°－ 2cos
3sin 17°

专题两角和与差及倍角公式

两角和与差及倍角公式【知识梳理】1．基本公式(1)sin(α±β)＝ . (2)cos(α±β)＝. (3)tan(α±β)＝ . (4)sin2α＝ .(5)cos2α＝＝＝。

(6)tan2α＝ . 2．几个有用的公式变形式(1)变形： tan α±tan β＝． (2)降幂：cos 2α＝，sin 2α＝ .3. 形如a sin α＋b cos α的化简a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋β)．其中cos β＝， sin β＝，tan β＝，β的终边所在象限由a 、b 的值来确定．【基础练习】1. (2010·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43° sin 13°的结果等于( )A. 12B. 33C. 22D. 322.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________．3. (教材改编题)已知cos 2α＝12，其中α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α的值为( ) A. 12 B. －12 C. 32 D. －324. 下列各式中，值为32的是( ) A. 2sin 15°cos 15° B. cos 215°－sin 215°C. 2sin 215°－1D. sin 215°＋cos 215°5. 1sin 2x x -=___________ 【题型探究】1.求tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°的值；2. 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈(0，π2)，则cos β＝________.【当堂检测】08.11、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，32 07.9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为Ａ．Ｂ．12- Ｃ．123. (2010·山东威海模拟)设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( ) A. －247 B. －724 C. 247 D. 7244. (2010·聊城模拟)化简2＋cos 2－sin 21的结果是( )A. －cos 1B. cos 1C. 3cos 1D. －3cos 1 5．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( )A. 2B.22C.12D.326. 函数y ＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值和最小值分别为____________ ． 7．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是________． 8．(2008·上海春)化简：cos(π3＋α)＋sin(π6＋α)＝______ 9．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则tan(α＋β)＝________.10.已知α为第二象限角,sin α=53,β为第一象限角, cos β= 135,则tan(α-β)= .。

两角和与差公式

tan 2α＝ . tan αtan β＝1－＝－1.(3)公式 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β可以变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意(5)设 sin 2α＝－sin α，α∈( ，π)，则 tan 2α＝ 3.( √ ) 1＋tan αtan β1－tan αtan β两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β)) tan α－tan βtan(α－β)＝ (T (α－β))tan α＋tan βtan(α＋β)＝ (T (α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；2tan α 1－tan 2α3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T (α±β)可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan_αtan_β)，tan α＋tan β tan α－tan βtan (α＋β) tan (α－β)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和 cos A cos B 大小不确定．(× )1－tan αtan β角 α，β 都成立．( × )(4)存在实数 α，使 tan 2α＝2tan α.( √ )π2A. B. C ．－ D ．－解析 ∵sin α＋2cos α＝ 10∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝ .cos 2α 4 sin α－cos α 2A ．－ B. C ．－ D. sin α－cos α 2 tan α－1 2 1－tan 2α 4 3．(2013· 课标全国Ⅱ)设 θ 为第二象限角，若 tan ⎝θ＋4⎭＝，则 sin θ＋cos θ＝________.答案－ 10解析 ∵tan ⎝θ＋4⎭＝，∴tan θ＝－，解得 sin θ＝ 10 ，cos θ＝－. ⎩1．(2013· 浙江)已知 α∈R ，sin α＋2cos α＝ 10 2，则 tan 2α 等于( )4 3 3 4 3 4 43答案 C2 ，52化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，sin 2α 3 ∴tan 2α＝＝－ .故选 C.sin α＋cos α 12．若＝，则 tan 2α 等于( )3 34 44 4 33答案 Bsin α＋cos α 1 tan α＋1 1解析由＝，等式左边分子、分母同除cos α 得，＝，解得 tan α＝－3，2tan α 3则 tan 2α＝＝ .⎛ π⎫ 1 25⎛ π⎫ 1 12 3⎧⎪3sin θ＝－cos θ，即⎨ 且 θ 为第二象限角，⎪sin 2θ＋cos 2θ＝1，3 1010 10∴sin θ＋cos θ＝－ 10 5.4．(2014· 课标全国Ⅱ)函数 f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．(2)若 0<α< ，－ <β<0，cos( ＋α)＝， cos( － )＝，则 cos(α＋ )等于( )A. 39tan α＋tan β(2)cos(α＋ )＝cos[( ＋α)－( － )]答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin [(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin [(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为 1.题型一三角函数公式的基本应用例 1 (1)设 tan α，tan β 是方程 x 2－3x ＋2＝0 的两根，则 tan(α＋β)的值为( )A ．－3C ．1B ．－1D ．3π π π 12 2 4 3π β 3 β4 2 3 23 B ．－ 335 3 C.D ．－6 9答案 (1)A (2)C解析 (1)由根与系数的关系可知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2.3∴tan(α＋β)＝＝＝－3.1－tan αtan β 1－2故选 A.β2π π β4 4 2＝cos( ＋α)cos( － )＋sin( ＋α)sin( － )．∵0<α< ，则 < ＋α< ，∴sin( ＋α)＝ .又－ <β<0，则 < － < ，则 sin( － )＝ .故 cos(α＋ )＝ × ＋ × ＝ .故选 C.(1)若 α∈( ，π)，tan(α＋ )＝，则 sin α 等于( )5 5C ．－D ．－ (2)计算：－sin 10°(－tan 5°)＝________.答案 (1)A(2) 34 1－tan α 7 4 cos α ∴cos α＝－ sin α.∴sin 2α＝.π π β π π β4 4 2 4 4 2π2π π 3π 4 44π 2 2 43π 2π π β π 4 4 2 2π β 6 4 23β 1 3 2 2 6 5 32 3 3 3 3 9思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．π π 1 2 4 73A.354 B.451＋cos 20° 12sin 20° tan 5°2π tan α＋1 1解析 (1)∵tan(α＋ )＝＝，3 sin α ∴tan α＝－＝，43又∵sin 2α＋cos 2α＝1，9 25又∵α∈( ，π)，∴sin α＝ .cos 25°－sin 25° (2)原式＝－sin 10°· ＝ cos 10° 2sin 10° sin 10° 222cos 4x －2cos 2x ＋(2)化简：＝________.2tan ( －x )sin 2( ＋x ) (3)求值：＝________.答案 (1)B (2) cos 2x (3) 3.故选 B. (4cos 4x －4cos 2x ＋1) (2)原式＝2×sin ( －x )·cos 2( －x )cos ( －x )(2cos 2x －1)2 ＝＝4sin ( －x )cos ( －x ) 2sin ( －2x )π 32 52cos 210° 4sin 10°cos 10° sin 5°cos 5° sin 20°－＝＝＝＝ cos 10°－2sin 20° 2sin 10°cos 10°－2sin (30°－10°) 2sin 10°cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10° 2sin 10°3 .题型二三角函数公式的灵活应用例 2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为()A. 21 C.B.D. 2 23 21 2π π4 4cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°12解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝12π4 ππ 4 4cos 22xπ π π 4 4 222＝＝ cos 2x .(1＋sin α＋cos α)· (cos －sin ) (2)在△ABC 中，已知三个内角 A ，B ，C 成等差数列，则 tan ＋tan ＋ 3tan tan 的值为(2cos 2 ＋2sin cos )· (cos －sin ) 2 因为 α∈(0，π)，所以 cos >0，(2cos 2 ＋2sin cos )· (cos －sin ) 所以原式＝2 ＝(cos ＋sin )·(cos －sin )＝cos 2 －sin 2 ＝cos α.(2)因为三个内角 A ，B ，C 成等差数列，且 A ＋B ＋C ＝π，所以 A ＋C ＝，＝，tan 所以 tan ＋tan ＋ 3tan tan ＝tan ⎝2＋ 2 ⎭⎝1－tan 2tan 2 ⎭＋ 3tan tan ＝ 3⎝1－tan 2tan 2 ⎭＋ 3tan tan ＝ 3.cos 22x 1 2cos 2x 21＋tan 15° tan 45°＋tan 15° (3)原式＝＝1－tan 15° 1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．α α 2 2(1)已知 α∈(0，π)，化简：＝________. 2＋2cos αA C A C2 2 2 2________．答案 (1)cos α (2) 3α α α α α 2 2 2 2 2解析(1)原式＝ .α 4cos 2α2α α α α α 2 2 2 2 2α 2cosα α α α α α2 2 2 2 2 22π A ＋C πA ＋C 3 2 32＝ 3，A C A C2 2 2 2⎛A C ⎫⎛ A C ⎫ A C 22⎛ A C ⎫ A C 22题型三三角函数公式运用中角的变换例 3 (1)已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝，tan(α－β)＝－ .则 sin(α－β)＝________，cos β＝⎛ (2)(2013· 课标全国Ⅱ)已知 sin 2α＝，则 cos 2⎝α＋4⎭等于(6 3 2 3答案 (1)－ 10解析 (1)∵α，β∈(0， )，从而－ <α－β< .又∵tan(α－β)＝－ <0，∴－ <α－β<0.∴sin(α－β)＝－ 10 ，cos(α－β)＝ .∵α 为锐角，sin α＝，∴cos α＝ .＝ × ＋ ×(－ )＝ . 1＋cos2⎝α＋4⎭(2)因为 cos 2⎝α＋4⎭＝1＋cos ⎝2α＋2⎭ 1－sin 2α2 2π⎫ 1－sin 2α 3 1 ⎛ 所以 cos ⎝ 4⎭ 22 6 2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，3 15 3________.1 1 1 2A. B. C. D. 2 π⎫3)910 5010 (2)Aπ π π2 2 213π23 10 10 103 45 5∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)4 3 10 3 10 9 105 10 5 10 50⎛ π⎫ ⎛ π⎫ 2⎛ π⎫＝＝，21－ 2 α＋＝＝＝，选 A.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角” 有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．α＋β α－β α＋β α－β2 2 2 2α－β ＝(α＋ )－( ＋β)等．，sin(α＋β)＝，则 cos β 等于( )255 C. 或 D. 5 5 25(2)已知 cos(α－ )＋sin α＝ 3，则 sin(α＋ )的值是________．答案 (1)A (2)－解析 (1)依题意得 sin α＝ 2 5， cos(α＋β)＝± 1－sin 2(α＋β)＝± .因为 > >－，所以 cos(α＋β)＝－ .＝－ × ＋ × ＝ . (2)∵cos(α－ )＋sin α＝ 3，∴ 3 cos α＋ sin α＝ 3， 3( cos α＋ sin α)＝ 3， 3sin( ＋α)＝ 3，∴sin( ＋α)＝，∴sin(α＋ )＝－sin( ＋α)＝－ .β α2 2 2(1)设 α、β 都是锐角，且 cos α＝5 35 52 5 A.2 5 2 5 2552 5 B.或5π 4 7π6 5 645545又 α，β 均为锐角，所以 0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．4 5 4 5 5 54 5于是 cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α4 5 3 2 5 2 5 5 5 5 5 25π 4 6 53 42 2 51 3 42 2 5π 4 6 5π 46 57π π 46 6 5典例：(1)若 tan 2θ＝－2 2，π<2θ<2π，则 2 ＝________.2sin (θ＋ ) cos β ，则( )(2)(2014· 课标全国Ⅰ)设 α∈(0， )，β∈(0， )，且 tan α＝ A ．3α－β＝πC ．3α＋β＝π(3)(2012· 大纲全国)已知 α 为第二象限角，sin α＋cos α＝ 33 B ．－ 5 9 C. 5 9 D. 5A ．－ 5 (4)(2012· 重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°2 B ．－12 C.1A ．－ 3 解析 (1)原式＝cos θ－sin θ 1－tan θsin θ＋cos θ 1＋tan θ，解得 tan θ＝－ 1∵π<2θ<2π，∴ <θ<π.∴tan θ＝－ 1 ”高考中的三角函数求值、化简问题θ 2cos 2 －sin θ－1 π 4 π π 1＋sin β2 2π2 B ．2α－β＝2π2D ．2α＋β＝23 ，则 cos 2α 等于(3cos 17° 等于()3 2 D. 2 思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形．(2)“切化弦，利用和差公式、诱导公式找 α，β 的关系．(3)可以利用 sin 2α＋cos 2α＝1 寻求 sin α±cos α 与 sin αcos α 的联系． (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化．＝又 tan 2θ＝ 2tan θ＝－2 2，即 2tan 2θ－tan θ－ 2＝0，1－tan 2θ2或 tan θ＝ 2.π2 2 ，)1＋ 1故原式＝ 21－ 12＝3＋2 2.cos β cos α cos β ∴sin(α－β)＝cos α＝sin( －α)．∵α∈(0， )，β∈(0， )，∴α－β∈(－， )，－α∈(0， )，∴由 sin(α－β)＝sin( －α)，得 α－β＝－α，∴2α－β＝ .(3)方法一∵sin α＋cos α＝ 3 ，∴(sin α＋cos α)2＝，∴2sin αcos α＝－，即 sin 2α＝－ .∴2k π＋ <α<2k π＋ π(k ∈Z )，∴4k π＋π<2α<4k π＋ π(k ∈Z )，∴cos 2α＝－ 1－sin 22α＝－ 5两边平方得 1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－ .1＋sin β sin α 1＋sin β(2)由 tan α＝得＝，即 sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，π2π π2 2π π π π2 2 2 2π π2 2π213 32 23 3又∵α 为第二象限角且 sin α＋cos α＝π 32 432∴2α 为第三象限角，.333 >0，方法二由 sin α＋cos α＝ 3 13 323∵α 为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝ (sin α－cos α)2 ＝1－2sin αcos α＝ 15 3.⎧sinα＋cosα＝3，由⎨663∴cos2α＝2cos2α－1＝－5.(4)原式＝＝sin30°cos17°＝sin30°＝.，sin2α＝，配方变形：1±sinα＝⎝sin2±cos2⎭2，1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.“”3⎩sinα－cosα＝15，⎧⎪sinα＝得⎨⎪⎩cosα＝3＋15，3－15.3sin(30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°1cos17°2答案(1)3＋22(2)B(3)A(4)C温馨提醒(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：t an x±tan y＝tan(x±y)·(1tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝1＋cos2α1－cos2α22⎛αα⎫αα222．重视三角函数的“三变”：三变”是指“变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降11/182．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝2所对应的角α＋β不是唯一的．⎛⎛1．已知tan(α＋β)＝，tan⎝β－4⎭＝，那么tan⎝α＋4⎭等于(18 B.1322 C.3A.13解析因为α＋＋β－＝α＋β，所以α＋＝(α＋β)－⎝β－4⎭，所以tan⎝α＋4⎭＝tan⎣(α＋β)－⎝β－4⎭⎦tan(α＋β)－tan⎝β－4⎭π⎫221＋tan(α＋β)tan⎝β－4⎭2．若θ∈[，]，sin2θ＝375 B.45 C.7A.3解析由sin2θ＝3(sinθ＋cosθ)2＝373＋74.又θ∈[，]，∴sinθ＋cosθ＝同理，sinθ－cosθ＝3－7次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．23．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.答案C4⎛π⎫⎡⎛π⎫⎤＝ππ428，则sinθ等于()34 D.4答案D87和sin2θ＋cos2θ＝1得3＋78＋1＝(4)2，ππ4234，∴sinθ＝4.12/183．已知 tan α＝4，则的值为( )4 3解析＝，2tan α 4 解析 4cos 50°－tan 40°＝ 4sin 40°cos 40°－sin 40°＝ 2sin 80°－sin 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°3sin 50°＋cos 50°－sin 40° ＝＝＝ 3.5．已知 cos(x － )＝－，则 cos x ＋cos(x － )的值是()A ．－B ．± 解析 cos x ＋cos(x － )＝cos x ＋ cos x ＋ sin x ＝ cos x ＋ sin x ＝ 3( cos x ＋ sin x )＝ 3cos(x － )＝－1.6．＝________.1－cos 100°1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2αA ．4 3C ．465 B.2 3 D.答案 B1＋cos 2α＋8sin 2α 2cos 2α＋8sin 2αsin 2α 2sin αcos α2＋8tan 2α 65∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以 cos 2α 得＝ .4．(2013· 重庆)4cos 50°－tan 40°等于()A. 2B. 2＋ 32C. 3 D ．2 2－1答案 Ccos 40°cos 40° cos 40°3sin 50° cos 40° cos 40°π 3 π6 3 32 33C ．－12 33D ．±1答案 Cπ 1 3 3 3 3 13 2 2 2 2 2 2π6sin 250°1＋sin 10°答案解析1 2sin 250°＝1＋sin 10° 2(1＋sin 10°)13 / 181－cos(90°＋10°)1＋sin10°2(1＋sin10°)2(1＋sin10°)28.3tan12°－3＝________.－3 23⎝sin12°－＝23sin(－48°)2cos24°sin12°cos12°sin24°cos24°＝－4 3.21－sinα1＋sinα＝(1＋sinα)2|cosα||cosα|1＝＝＝.7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.答案1解析根据已知条件：cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0，即(cosβ＋sinβ)(cosα－sinα)＝0.又α、β为锐角，则sinβ＋cosβ>0，∴cosα－sinα＝0，∴tanα＝1.(4cos212°－2)sin12°答案－433sin12°cos12°解析原式＝2(2cos212°－1)sin12°⎛1 23⎫2cos12°⎭＝cos12°2cos24°sin12°－23sin48°＝＝－23sin48°1sin48°9．已知解因为1＋sinα－1＋sinα－1－sinα1－sinα＝－2tanα，试确定使等式成立的α的取值集合．1－sinα1＋sinαcos2α－(1－sinα)2cos2α|1＋sinα||1－sinα|＝－14/18＝ 2sin α，|cos α| cos α 故 α 的取值集合为{α|α＝k π 或 2k π＋ <α<2k π＋π 或 2k π＋π<α<2k π＋，k ∈Z }．10．已知 α∈⎝2，π⎭，且 sin ⎛π ⎫ αα 6 ＋cos ＝ .⎫(2)若 sin(α－β)＝－，β∈⎝2，π⎭，求 cos β 的值．5解 (1)因为 sin ＋cos ＝，两边同时平方，得 sin α＝ .又 <α<π，所以 cos α＝－ .(2)因为 <α<π， <β<π，所以－π<－β<－，故－ <α－β< .又 sin(α－β)＝－，得 cos(α－β)＝ . 3 4 1 ⎛ 3⎫ ＝－ × ＋ ×⎝－5⎭＝－ 2 5 2 10 11．已知 tan(α＋ )＝，且－ <α<0，则等于( )cos (α－ )A ．－B ．－C ．－ D.＝1＋sin α－1＋sin α |cos α||cos α|2sin α 2sin α所以＝－2tan α＝－ .所以 sin α＝0 或|cos α|＝－cos α>0.π 3π2 22 2 2(1)求 cos α 的值；3 ⎛πα α 62 2 212π 3 22π π 2 2π π π2 2 23 45 5 cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)4 3＋3 .B 组专项能力提升(时间：25 分钟)π 1 π 2sin 2α＋sin 2α4 2 2 π42 53 5 3 10 2 55 10 10515 / 18解析由 tan(α＋ )＝ tan α＋1 1 ＝，得 tan α＝－ .1－tan α 210 . 又－ <α<0，所以 sin α＝－π ＝2＝2 2sin α2 (sin α＋cos α)cos (α－ )＝－2 5⎛ 12．若 α∈⎝0，2⎭，且 sin 2α＋cos 2α＝，则 tan α 的值等于(2 B.3 A. 2⎛ ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝，∴cos 2α＝，∴cos α＝或－ (舍去)，∴α＝，∴tan α＝ 3.13．若 tan θ＝，θ∈(0， )，则 sin(2θ＋ )＝________. 答案 7 2解析因为 sin 2θ＝ 2sin θcos θ sin 2θ＋cos 2θ tan 2θ＋1 5 又由 θ∈(0， )，得 2θ∈(0， )，所以 cos 2θ＝ 1－sin 22θ＝，所以 sin(2θ＋ )＝sin 2θcos ＋cos 2θsin ＝ × 2 ＋ × 2 10 .5 14．已知函数 f (x )＝sin ⎝x ＋ 4 ⎭＋cos ⎝x － 4 ⎭，x ∈R .答案 Aπ 14 3π 102故2sin2α＋sin 2α 2sin α(sin α＋cos α) 45 .π⎫ 1 43 C. 2 D. 3 答案 Dπ⎫ 1 解析 ∵α∈⎝0，2⎭，且 sin 2α＋cos 2α＝4，1 1 4 4 1 12 2π31 π π2 4 4102tan θ 4＝＝，π π4 235 π4)π π 4 4 4 5 2 3 2 7 2＝⎛ 7π⎫ ⎛ 3π⎫16 / 18(2)已知 cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤ ，求证：[f (β)]2－2＝0. π π⎫ ⎛ ⎫ ⎛x －＋sin x －＝2sin x －，＝sin ⎝4⎭ ⎝ 4⎭⎝ 4⎭ (2)证明由已知得 cos βcos α＋sin βsin α＝，cos βcos α－sin βsin α＝－，∵0<α<β≤ ，∴β＝，∴[f (β)]2－2＝4sin 2 －2＝0.(2)若 x ∈[ ， ]，求 f (x )的取值范围．x ＋ ·解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝ 4⎭x ＋cos⎝4⎭＝＋ (sin 2x －cos 2x )＋cos 2x＝ (sin 2x ＋cos 2x )＋ .由 tan α＝2，得 sin 2α＝＝＝ .2 2 2sin α＋cos α tan α＋1cos 2α－sin 2α1－tan 2αcos 2α＝＝＝－ .2sin α＋cos 2α1＋tan 2α所以，f (α)＝ (sin 2α＋cos 2α)＋＝ .15．已知 f (x )＝(1＋ )sin 2x －2sin(x ＋ )·sin(x － )．2(1)求 f (x )的最小正周期和最小值；4 4 π5 5 27π (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝x ＋ 4 －2π⎭＋cos ⎝x －4－2⎭⎛ π⎫ ⎛ π⎫ ⎛ π⎫∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.4545两式相加得 2cos βcos α＝0，π π2 2π 41 π πtan x 4 4(1)若 tan α＝2，求 f (α)的值；π π12 2⎛ π⎫⎛ π⎫1－cos 2x 1 ⎛ π⎫ ＝＋2sin 2x ＋sin ⎝2x ＋2⎭1 12 21 12 2 2sin αcos α 2tan α 4 5351 1 32 2 517 / 18(2)由(1)得f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋sin⎝2x＋4⎭＋.由x∈⎣12，2⎦，得≤2x＋≤.⎛2x＋π⎫≤1,0≤f(x)≤2＋1，≤sin⎝4⎭所以f(x)的取值范围是⎢0，2＋1⎤⎦11 22＝2⎛π⎫122⎡ππ⎤5ππ5π1244所以－222⎡⎣2⎥.18/18。

和差倍角公式

和、差、倍角公式(一)1、两角和、差的正弦、余弦、正切2、辅助角公式题型一、化简、求值：1、=︒︒+︒︒313sin 253sin 223sin 163sin .2、=︒-︒+15tan 115tan 1 . 000050tan 70tan 350tan 70tan -+= 3、=-x x sin 6cos 2 ；4、要使a 21cos 3sin -=-αα有意义，则a 的取值范围为 .题型二、给值求值1、若54sin =α，且α是第二象限角，则=+)4tan(πα .2、912cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，322sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，παπ<<2，20πβ<<，求2cos βα+3、已知4340παπβ<<<<，534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，13543sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+βπ，求()βα+sin4、若,21)tan(),,2(,54sin =-∈=βαππαα)2tan(βα-则= .5、,31)sin(,21)sin(=-=+βαβα则=βαtan tan ．题型三、给值求角1、若βα,均为钝角，且,55sin =α10103cos -=β,求βα+的值.2、已知()1413cos ,71cos =-=βαα，且20παβ<<<，求β的值3、已知()0,,,2πβππα-∈⎪⎭⎫⎝⎛∈，71tan ,31tan -=-=βα，求βα+2的值题型四、三角形形状的判断1、在ABC ∆中，若A B A sin cos cos -0sin >B ，则ABC ∆是三角形.2、若,,A B C 是三角形的三个内角，且2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ,则ABC ∆ 是三角形.和、差、倍角公式(二)二倍角公式、升幂、降幂公式题型一、化简、求值：1、)12sin 12)(cos 12sin 12(cosππππ+-= . 若5:82sin :sin =θθ，则=θcos . 2、=125cos12cos ππ ；︒︒︒80cos 40cos 20cos = . 3、=︒-︒︒︒175sin 175cos 40sin 130sin 44 ． 4、︒-10sin 1= ； (0,),2πθ∈化简=--+θθsin 1sin 1 . 5、若)2,(ππα∈，则=+-2)cos(1πα . 6、θθθθθcos 22)2cos 2)(sincos sin 1(+-++（πθ<<0）= ；7、求值：︒+︒+︒+︒10cos 1)10tan 31(80sin 50sin 2= .题型二、给值求值1、若23,54cos παπα<<-=，则=2cos α ．2、,3tan 1tan 1-=-+αα则=-αα2cos 2sin 1 .3、已知,43παπ<<310tan 1tan -=+αα，求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值.4、若,1312)cos(,54)cos(=+-=-βαβα (,),2πα-β∈π3(,2),2πα+β∈π 求βα2cos ,2cos 的值5、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，且31cos =A ，求A CB 2c os 2sin 2++的值．6、以Ox 为始边作角α与β（παβ<<<0），终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为（53-，54）．（1）求αααtan 112cos 2sin +++的值；（2）若OP ·0=，求)sin(βα+的值．题型三、给值求角已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π, (１)求α2tan 的值；（２）求β.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第 1 页共 4 页
sin )(cos sin )(1 tan tan ) ____1___． 2 2 2 2 2 6.给出下列四个命题：
5.化简： (cos

①存在这样的，，使得 cos( ) cos cos sin sin ； ②不存在无穷多个，，使得 cos( ) cos cos sin sin ； ③对于任意的，，都有 cos( ) cos cos sin sin ； ④不存在这样的，，使得 cos( ) cos cos sin sin ．其中假命题的序号有______②_______．【范例解析】

2

2
2

1 解法一：原式= sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (2 cos 2 1)(2 cos 2 1) 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (4 cos 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 1) 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 (1 cos 2 ) cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 2 1 (sin 2 cos 2 ) sin 2 cos 2 2 1 1 sin 2 cos 2 ． 2 2 分析二：从“名”入手，同化余弦式． 1 解法二：原式= sin 2 sin 2 (1 sin 2 ) cos 2 cos 2 cos 2 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 cos 2 sin 2 (sin 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 2 1 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 cos 2 cos 2 (sin 2 cos 2 ) 2 1 1 cos 2 cos 2 2 2 分析三：从“形”入手，平方和关系． 1 解法三：原式= (sin sin cos cos ) 2 2sin sin cos cos cos 2 cos 2 2 1 1 cos 2 ( ) sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 2 1 cos 2 ( ) cos(2 2 ) 2 1 1 1 [cos 2( ) 1] cos(2 2 ) 2 2 2 分析四：从幂入手，降次扩角． 1 1 1 解法四：原式= (1 cos 2 )(1 cos 2 ) (1 cos 2 )(1 cos 2 ) cos 2 cos 2 4 4 2 1 1 1 (1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 ) (1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 4 4 2 1 1 1 (1 cos 2 cos 2 ) cos 2 cos 2 2 2 2
【基础练习】

1 2 1. sin163 sin 223 sin 253 sin 313 ___________．

2 2 cos( x ) 3 2. 化简 2 cos x 6 sin x _____________．
3＋cos2x 3. 若 f(sinx)＝3－cos2x，则 f(cosx)＝___________ ． sin sin 2 tan ___________ ． 4.化简： 1 cos cos 2
1 2 ；例 1.化简：（1） 2 2 tan( x)sin ( x) 4 4 (1 sin cos )(sin cos ) 2 2 (0 ) ．（2） 2 2 cos （1）分析一：降次，切化弦．解法一：原 1 (2 cos 2 x 1) 2 (2 cos 2 x 1) 2 cos 2 2 x 1 2 cos 2 x ． = 4sin( x) cos( x) 2sin( 2 x) 2 2sin( x) 4 4 2 4 cos 2 ( x) 4 cos( x) 4 分析二：变“复角”为“单角” ．解法二：原 1 (2cos 2 x 1)2 cos 2 2 x 1 2 cos 2 x ． cos x sin x 2 2 1 tan x 2 2 2 ( sin x cos x) 2 cos x sin x (sin x cos x) 1 tan x 2 2 （ 2 ）原 2 cos 4 x 2 cos 2 x
第 3
页共 4 页
点评：三角函数的化简，要认真分析式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系，认真寻求解题的突破口． 1 sin 4 cos 4 1 sin 4 cos 4 例 3.求证：． 2 tan 1 tan 2 分析：左右同时化简． 1 sin 4 cos 4 2 tan 证明：原式等价于． 1 sin 4 cos 4 1 tan 2 2sin 2 cos 2 2sin 2 2 sin 2 tan 2 右边．左边= 2sin 2 cos 2 22 cos 2 cos 2 点评：恒等式的证明，一般由繁到简或左右同时化简，左右归一．例 4.已知 tan( ) 2 tan ．求证： 3sin sin( 2 ) ．分析：切化弦，变角．证明：要证 3sin sin( 2 ) 只要证 3sin[( ) ] sin[( ) ] 即证 3sin( ) cos 3cos( )sin sin( ) cos cos( )sin 只需证 sin( ) cos 2cos( )sin sin( ) sin 由已知得：．sin( ) cos 2cos( )sin 2 cos( ) cos 故原命题得证．点评：证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论的差异，消除差异．本题利用分析法，运用角的变换消除角的差异入手求证．
注：1、课题字体：黑体小二加粗 2、栏目字体：仿宋四号加粗 3、内容字体：宋体小四
第 4 页共 4 页
课题：3.3 两角和与差及倍角公式（一）
教案编号
0和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系； 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；三维目标 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系； 4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”．三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，教学重点 “名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系教学难点教学方法三角恒等式的证明讲练结合教学过程
式
式
式
(2sin cos 2cos )(sin cos ) cos (sin cos ) cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = cos cos 4cos 2 2 2 2 0 ， 0 ， cos 0 ，原式= cos ． 2 2 2 点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦， “复角”变“单角” ，降次等等． 1 例 2.化简： sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 ． 2 分析一：从“角”入手， “复角”变“单角” ．第 2 页共 4 页
布置
学案
作业板书设计课后反思
基础练习 3.3 两角和与差及倍角公式（一）例1 例2 解析反馈演练 1.化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦， “复角”变“单角” ，降次等等． 2.证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论的差异，消除差异．本题利用分析法，运用角的变换消除角的差异入手求证．解析例 3. 解析