两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式PPT
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 课件
探
究
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17
课
前 自 主
5．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝
.
回 顾
课
1 7
[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋12－12×31 31＝17.]
课 后 限 时 集 训
堂
考
点
探
究
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18
课
前
自
主回顾 第1课时Fra bibliotek时 集 训
堂
考 点 探 究
cos 2α＝ccooss22αα－＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα.
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7
课 前
2．降幂公式
自
主 回 顾
sin2α＝1－c2os 2α；
课 后
限
课
cos2α＝1＋c2os 2α；
时 集 训
堂
考 点 探
sin αcos α＝12sin 2α.
究
用．
返
首
页
34
公式的变形用
课
1
前 自
sin235°－2
主
(1)化简cos 10°cos 80°＝
.
回
课
顾
(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是
．
后 限 时
课 堂 考 点
(1)－1
(2)12
[(1)cossin1203°5c°o－s 8120°＝1c－osc1o20s°s7i0n°－1012°＝－112cos
课
前
二、教材改编
自
主 回 顾
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α为(
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
＝cos 75°＋sin 75°＝ 2cos(75°－45°)
＝
6 2.
答案：
6 2
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课 堂讲 练区
返回
考点一 三角函数公式的直接应用
返回
[典例] (1)已知 sin α＝35，α∈π2，π，tan β＝－12，则 tan(α－β)
的值为
()
A．－121
B．121
C．121
D．－121
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ) 其中sin φ＝ a2b＋b2，cos φ＝ a2a＋b2.
()
A．－
3 2
B．
3 2
C．－12
D．12
解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝
sin 30°＝12.
答案：D
返回
3．设角 θ 的终边过点(2,3)，则 tanθ－π4＝
()
A．15
B．－15
C．5
D．－5
解析：由于角 θ 的终边过点(2,3)，因此 tan θ＝32，故 tanθ－π4
第五 节
两角和与差的正弦、余弦 和正切公式及二倍角公式
课前自修区
基础相对薄弱，一轮复习更需重视
基础知识的强化和落实
课堂讲练区
考点不宜整合太大，挖掘过深
否则会挫伤学习的积极性
课时跟踪检测
返回
5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(人教版)
例6
4
在△ ABC 中， cos A 5
tan 2 A 2B 的值.
， tan B 2 ，求
2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系？
解：在△ ABC 中，由 cos A
4
，0
5
A π ，得
2
3
4
sin A 1 cos 2 A 1 ，
5
2
tan tan
2 tan
tan 2 tan
.
2
1 tan tan 1 tan
2
推导
二倍角的余弦公式有三种表达情势：
cos 2 cos sin
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2
2
推导
余弦公式，有下面的等价变情势：
cos 2 2 cos 1
2
cos 2 1 2sin
2
1 cos 2 2cos
1 cos 2 2sin
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
2
2
2
=±
2
1+
2
2
sin 与 cos 的符号由角
24 4
tan 2 A tan 2 B
44
7 3
tan 2 A 2 B
24 4 117 .
1 tan 2 A tan 2 B
1
7 3
，
解法 2：
4
在△ ABC 中，
高中数学课件——二倍角的三角函数
二倍角公式：
sin 2 2 sin cos
S 2
2
cos 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ cos sin
2
C 2
2 tan tan 2 2 1 tan
k k Z ,且 k ， 2 2 4
T2
二倍角公式
sin 2 2 sin cos
练习:
sin sin 2 （1）化简 1 cos cos 2
（2） 8 cos
tan
32
cos
（3）若
x 2 sin 1 8 2 f _______ f x 2 tan x ，则 x x 12 sin cos 2 2
2
cos sin 16 8 32
理解公式的推导方法
S(α-β) 以－β代β C(α-β)
作 商
S(α+β) C(α+β)
作 商
β＝α
S2α C2α
作 商
T(α-β)
以－β代β
T(α+β)
β＝α
T2α
1 2sin 2。 注意：1、符号法则；2、灵活运用公式 2cos 1
3 例1 已知 sin , 是第三象限角, 求 sin 2 , 5 sin 2 2 sin cos cos 2 , tan 2 . 3 解： sin , 是第三象限角 5 4 3 2 2 cos 1 sin 1 ( ) 5 5 3 4 24 sin 2 2sin cos 2 ( ) ( ) 5 5 25 3 2 7 2 cos 2 1 2sin 1 2 ( ) 5 25 2 tan 24 2 2 tan2 cos2 cos sin 2 7 1 tan 2
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
高三数学复习课件【两角和与差的正弦、余弦和正切公式】
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
返回
考点一 三角函数公式的直接应用 [考什么·怎么考]
三角函数公式的直接应用是基础，直接命题较 少，主要考查三角函数公式的识记，多体现在简单三 角函数求值中.
返回
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α的值为(
)
2 A. 10
B．－
Hale Waihona Puke 返回解析：∵α∈0，π2，tan α＝2，
∴sin α＝255，cos α＝ 55，
∴cosα－π4＝cos
αcosπ4＋sin
π αsin4
＝
22×2 5 5＋
55＝3
10 10 .
答案：3
10 10
2．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.
(1)求sin(α－β)的值；
，tan(π－β)＝
1 2
，则tan(α－β)的
值为
()
A．－121
2 B.11
11 C. 2
解析：因为sin α＝35，α∈π2，π，
D．－121
所以cos α＝－ 1－sin2α＝－45，所以tan α＝csions αα＝－34.
因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，
＝
412c2ossin101°0°－co23s s1i0n°10°＝4sins3i0n°20－°10°＝14.
答案：14
返回
2．在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则cos C＝
________. 解析：由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得1t－antaAn＋AttaannBB
练透基点，研通难点，备考不留死角
返回
考点一 三角函数公式的直接应用 [考什么·怎么考]
三角函数公式的直接应用是基础，直接命题较 少，主要考查三角函数公式的识记，多体现在简单三 角函数求值中.
返回
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α的值为(
)
2 A. 10
B．－
Hale Waihona Puke 返回解析：∵α∈0，π2，tan α＝2，
∴sin α＝255，cos α＝ 55，
∴cosα－π4＝cos
αcosπ4＋sin
π αsin4
＝
22×2 5 5＋
55＝3
10 10 .
答案：3
10 10
2．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.
(1)求sin(α－β)的值；
，tan(π－β)＝
1 2
，则tan(α－β)的
值为
()
A．－121
2 B.11
11 C. 2
解析：因为sin α＝35，α∈π2，π，
D．－121
所以cos α＝－ 1－sin2α＝－45，所以tan α＝csions αα＝－34.
因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，
＝
412c2ossin101°0°－co23s s1i0n°10°＝4sins3i0n°20－°10°＝14.
答案：14
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2．在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则cos C＝
________. 解析：由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得1t－antaAn＋AttaannBB
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(3)——二倍角公式课件
追问：如果要求二倍角的余弦公式
cos2α= cos(α+α)
= cosα cosα - sinα sinα
= cos2α - sin2α
tan2α= tan(α+α)
tanα + tanα
= ——————
1 - tanα tanα
2tanα
= ————
1 - tan2α
C(2α)中仅含α的正弦(余弦)，那么
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正
切公式(3)——二倍角公式
授课老师：某某某
学习
目标
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，提升数
学抽象、逻辑推理素养;
2.能够灵活运用二倍角公式解决求值和证明等问题
，提升数学运算素养.
两角和的正弦、余弦和正切公式
sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
3 4
24
2
5 5
25
cos2 2cos2 1
7
4
2 1
25
5
sin 2
24
tan2
cos 2
7
例2： (1) sin4α = 2sin( 2α )cos( 2α )；
α
α
(2) sinα = 2sin(
1 - tan2α
T(2α)
1+cos2α
cos2α =
2
1−cos2
sin2α =
2
cos
5
3
1
2cos2 1，
9
追问：已知cos2α时，能否求出sinα的值呢？
由 cos2α = 1-2sin2α，
二倍角的正弦、余弦、正切公式-PPT课件
sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
7
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是 否存在某种关系？
tan2
1 cos 2
1 cos 2
tan sin 2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
思考4：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的
三角函数关系？
6
探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα， cosα与cos2α的关系分别如何？
sin 4x
tanx 学科网
例4 已知 sin cos π)，求cos2α的值.
13，且α∈(0，
17 9
12
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α
的两倍,
4α是2α的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记
忆，需要时可直接推导.
13
作业：
P135练习：2，3，4，5.
14
cos 2
1 tan2 1 tan2
sin 2
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1 cos 2α
2
;
(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
教材研读 栏目索引
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1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( D )
A.- 3 B. 3 C.- 1 D. 1
2
2
2
2
2.化简cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°的值为 ( B )
0,
2
,tan
α=2,则cos
α
4
=
.
(3)设sin
2α=-sin
α,α∈
2
,
,则tan
2α的值是
.
栏目索引
考点突破
栏目索引
答案 (1)A (2) 3 10 (3) 3
10
解析
(1)∵sin
6
α
=cos
6
α
,
∴ 1 cos α- 3 sin α= 3 cos α- 1 sin α.
2
5
故sin
4
α
=sin
4
cos
α+cos
4
sin
α
=
2 2
×
2
5 5
+2
2
×5
5
=-10
10
.
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× 5
5
×
2
5 5
=4-
5
,
考点突破
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cos 2α=1-2sin2α=1-2×
5 2
5
=3
5
,
所以cos
5
6
2α
=cos
5 6
cos
可得 tan A tan B =-1,
1 tan Atan B
即tan(A+B)=-1,
又A+B∈(0,π),所以A+B= 3 ,
4
则C= ,cos C= 2 .
4
2
考点突破
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考点突破
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方法技巧 三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. (2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以 知二求一.应注重公式的逆用和变形使用. [提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.
2α+sin 5
6
sin
2α
=
3 2
×3
5
+1
2
×
4 5
=- 4 3 3 .
10
考点突破
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考点突破
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考点二 公式的逆用及变形应用
典例2
(1)计算
sin110sin 20 cos2155 sin2155
的值为
(
)
A.- 1 B. 1 C. 3 D.- 3
2
2
2
2
(2)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为 ( )
4 5
3
,
可得 3 cos α+ 1 sin α+sin α= 4 3 ,
4
+sin
αsin
4
=
5× 2
52
+
2 5 × 2 =3 10 .
5 2 10
(3)由sin 2α=-sin α,得sin 2α+sin α=0,
∴2sin αcos α+sin α=0⇒sin α(2cos α+1)=0.
∵α∈
2
,
,∴sin
α≠0,
∴2cos α+1=0⇒cos α=- 1,∴sin α= 3,
cos 2α=⑤ cos2α-sin2α =⑥ 2cos2α-1 =⑦ 1-2sin2α ,
2 tan α
tan 2α=⑧ 1 tan2α .
3.有关公式的逆用、变形
(1)tan α±tan β=tan(α±β)⑨ (1∓tan αtan β) ;
1 cos 2α
(2)cos2α=⑩
2
,sin2α=
A.- 2 B. 2 C. 1 D.- 1
2
2
2
2
答案 (1)B (2)B
解析
(1)
sin110sin 20 cos2155 sin2155
=
sin 70sin 20 cos 310
=
cos
20sin
20
=
1 2
sin
40
=
1
.
cos 50
sin 40 2
(2)由tan Atan B=tan A+tan B+1,
2
2
2
∴1 3 cos α= 3 1sin α,∴tan α= sin α =-1.故选A.
2
2
cos α
(2)因为α∈
0,
2
,且tan
α=
sin cos
α α
=2,所以sin
α=2cos
α,又sin2α+cos2α=1,所
以sin α= 2 5 ,cos α=
5
5 5
,则cos
α
4
=cos
αcos
2
2
∴tan α=-
3
,∴tan
2α=
1
2 tan α tan2α
=
2 1
3 3
=
3,
故应填 3 .
考点突破
栏目索引
1-1
已知α∈
2
,
,sin
α=
5 5
.
(1)求sin
4
α
的值;
(2)求cos
5
6
2α 的值.
解析
(1)因为α∈
2
,
,sin
α=
5,
5
所以cos α=- 1 sin2α =- 2 5 .
25
(A )
5.若tan
α
4
=
1 6
,则tan
α=
7 5
.
tan15
6.1 tan215 =
3
6.
教材研读 栏目索引
考点突破
考点突破
考点一 公式的直接应用
典例1
(1)已知sin
6
α
=cos
6
α
,则tan
α=
(
)
A.-1 B.0 C. 1 D.1
2
(2)(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知α∈
3
1
1
3
A. 2
B. 2 C.- 2 D.- 2
3.已知α∈
0,
2
,cos
α=
3 3
,则cos
α
6
=
(A )
A. 1 - 6
26
B.1- 6
6
C.- 1+ 6
26
6
D.-1+ 6
4.已知sin(α-kπ)= 3 (k∈Z),则cos 2α的值为
5
A. 7
25
B.- 7
25
C. 16
25
D.- 16
(2)注意特殊角的应用,当出现1 ,1, 3 , 3 等这些数值时,考虑引入特殊角,把
22
“值变角”构造适合公式的形式.
考点突破
栏目索引
2-1
已知cos
α
6
+sin
α=
4
6
的值是
A.- 2 3 B. 2 3 C. 4 D.- 4
5
5
5
5
(D )
答案
D
由cos
α
6
+sin
α=
栏目索引
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正 切公式及二倍角公式
教材研读
总纲目录
总纲目录 栏目索引
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.有关公式的逆用、变形
考点突破
考点一 公式的直接应用 考点二 公式的逆用及变形应用 考点三 角的变换
教材研读
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=① sin αcos β±cos αsin β , cos(α±β)=② cos αcos β∓sin αsin β ,
tan α tan β
tan(α±β)=③ 1mtan α tan β .
教材研读 栏目索引
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α=④ 2sin αcos α ,