《两角差的余弦公式》课件
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两角差的余弦公式 课件
两角差的余弦公式
两角差的余弦公式
公式 简记符号 使用条件
cos(α-β)=_c_o_s_α__c_o_s_β__+_s_i_n_α__s_i_n_β__ _C_(α__-β__)
α,β都是_任__意__角__
【点拨】关于两角差的余弦公式 (1)公式的结构特点 公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数 之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.
(2)公式中的角α,β 公式中的角α,β不仅可以是角,而且可以是任意的整 体,可以根据题目需要进行替换、变形代入,展开式仍 然成立.
(3)公式的灵活应用 首先是公式的逆用,可以把符合公式特点的展开式合并, 其次是角的灵活变化,如cosα=cos[(α+β)-β].
【自我检测】
1.化简cos15°cos45°+cos75°sin45°的值为
B. 6 2 2
D. 6 2 4
【解析】选D.cos(-15°)=cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°
1 2 3 2 2 6.
22 2 2
4
3.若向量a=(cos60°,sin60°),b=(cos15°,sin15°),
则a·b= ( )
2
又cos(α-β)= , 5
5
所以sin(α-β)= 1 cos2( )＝ 2 5 .
5
又因为0<2α<π,cos2α= 10,
10
所以sin2α= 1 cos2 2＝3 10 ，
10
所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)
两角差的余弦公式
公式 简记符号 使用条件
cos(α-β)=_c_o_s_α__c_o_s_β__+_s_i_n_α__s_i_n_β__ _C_(α__-β__)
α,β都是_任__意__角__
【点拨】关于两角差的余弦公式 (1)公式的结构特点 公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数 之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.
(2)公式中的角α,β 公式中的角α,β不仅可以是角,而且可以是任意的整 体,可以根据题目需要进行替换、变形代入,展开式仍 然成立.
(3)公式的灵活应用 首先是公式的逆用,可以把符合公式特点的展开式合并, 其次是角的灵活变化,如cosα=cos[(α+β)-β].
【自我检测】
1.化简cos15°cos45°+cos75°sin45°的值为
B. 6 2 2
D. 6 2 4
【解析】选D.cos(-15°)=cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°
1 2 3 2 2 6.
22 2 2
4
3.若向量a=(cos60°,sin60°),b=(cos15°,sin15°),
则a·b= ( )
2
又cos(α-β)= , 5
5
所以sin(α-β)= 1 cos2( )＝ 2 5 .
5
又因为0<2α<π,cos2α= 10,
10
所以sin2α= 1 cos2 2＝3 10 ，
10
所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)
两角差的余弦公式PPT优秀课件
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
16
1
65
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
简记：C ( )
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
将 替换为
co s ()cos (())
co cs o )s s(is ni n ) (
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
( A ) 直 角 三 角 形 ( B ) 钝 角 三 角 形
( C ) 锐 角 三 角 形 ( D ) 不 确 定
1
小 结 作业：讲义
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
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1
65
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
简记：C ( )
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
将 替换为
co s ()cos (())
co cs o )s s(is ni n ) (
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
( A ) 直 角 三 角 形 ( B ) 钝 角 三 角 形
( C ) 锐 角 三 角 形 ( D ) 不 确 定
1
小 结 作业：讲义
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
两角差的余弦公式 课件
解 (1)sin 75°＝cos°15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos30°＋sin
45°sin30°＝ 22× 23＋ 22×12＝
6＋ 4
2 .
(2)原式＝cos[x－(x＋y)]＝cos(－y)＝cos y.
类型二 给值求值
【例2】 (2012·台州高一检测)设cos (α－β2)＝－19，sin α2－β＝
又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，
∴sin α＝ 1－cos2α＝473，
sin(α＋β)＝ 1－cos2α＋β＝5143.
又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5143×47 3 ＝12.
＝
35×－34＋23×
7 4
＝2
7－3 12
5 .
[错因分析] 该解法忽略了隐含条件，没有注意角的范围，导致
求值错误．在解题中应挖掘出π2<A＋B<π这个隐含条件． [正解] 在△ABC中，
∵cos B＝－34<0，sin(A＋B)＝23，
∴π2<B<π，π2<A＋B<π，
∴sin B＝ 1－cos2B
解 (1)法一 原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝
23×
22＋12×
2 2
＝
6＋ 4
2 .
法二 原式＝cos 15°
＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝ 22× 23＋ 22×12
两角差的余弦公式课件
OM=ON+ NM
=OCcos + CBsin
=coscos + sinsin
9
说明: 上述结论虽在，，−均为
锐角的情况下得到的，但对于，为
任意角的情况都是成立的，只是要做不
少的推广工作，有兴趣的同学可以自己
课下动手试一下。
10
再探究：
还有没有其它证明方法？ 思考，
上一章还学过哪些与三角函数有关
13
【例1】利用差角余弦公式求cos15°的值。
6+ 2
4
思考: 求sin75°的值
14
【例2】 已知sin=_x001A_4_x001B_5_x001B_, ∈_x001
是第三象限角, 求cos(−)的值.
4
解：由sin ， ,
5
2
得
2
3
4
cos = 1 sin 2 1
=coscos + sinsin
2k + = −
= cos( − ）
12
cos( ) cos cos sin sin .
说明: 1.简记为
_x001A__x001B__x001A_−_x001B__x0
01B_
2.形式: “余余正正，符号反”
两角差的余弦公式
1
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,
在地平面上有一点A, 测得A, C两点间距离约为60米,从A观
测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°.求这座
电视发射塔的高度.
D
CD=BD－BC BD=ABtan60°
5.5.1第一课时两角差的余弦公式课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
1、利用公式C 证明：
−
3
（1）cos
− = −;
2
（2）cos − = .
证明：（1） cos
3
2
− =
3
2
+
3
2
= 0 −
(2) cos − = cos 0 − = 0 − 0 = − 0
(1) cos （ 2
− ） = sin
(2)cos （ − ） = − cos
解:cos （
2
− ）
= cos cos
2
+
sin sin =sin
2
cos （ − ） = cos cos + sin sin =−cos
4
例2.已知 = ，
3
=4 × −
=
2 7−3 5
12
5
3
+（−
7
）
4
2
× （ − 3）
∈
3
, 2
2
, 求cos − 的值.
PART 04
小结
小结
差角的余弦公式： （ − ）= +
思考探究：现在我们已经掌握了差角的余弦公式，
如何利用变式得到和角的余弦公式
整理得：
（ − ）= +
（ − ）= +
此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角 − 的余弦
的关系，称为差角的余弦公式，简记作：C（ − ）
例1.利用差角的余弦公式证明下列诱导公式
利用差角余弦公式求值
2、利用公式C
两角差的余弦公式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3
3
5.已知sin = − ， ∈ (, )， cos = ， ∈ ( , 2)，
3
2
4
2
求cos( − )的值.
右式 cos( 2kπ) cos sin( 2kπ)sin cos sin 1
2
左式 右式
公式对于终边相同的角，也成立
cos(α－β)＝cosαcosβ + sinαsinβ.
2
预备知识
探索新知
典例分析
课堂小结
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cosαcosβ + sinαsinβ.
证明： cos(
2
− ) =
cos cos
2
+
= 0 + 1 × sin
= sin .
sin sin
2
课堂小结
预备知识
探索新知
例2 已知 =
4
，
5
∈
课堂小结
典例分析
( , )，
2
=
5
− ，是第
13
三象限角，求( − ).
解：由 =
又由 =
课名：两角差的余弦公式
教材版本:人教A版（2019）
学
科：数学
年
级：Байду номын сангаас一上学期
预备知识
探索新知
典例分析
课堂小结
1.单位圆
平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为单位长度的圆.
2.三角函数的定义
sin ：任意角与单位圆交点的纵坐标
cos ：任意角与单位圆交点的横坐标
3.两点间距离公式
3
5.已知sin = − ， ∈ (, )， cos = ， ∈ ( , 2)，
3
2
4
2
求cos( − )的值.
右式 cos( 2kπ) cos sin( 2kπ)sin cos sin 1
2
左式 右式
公式对于终边相同的角，也成立
cos(α－β)＝cosαcosβ + sinαsinβ.
2
预备知识
探索新知
典例分析
课堂小结
两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cosαcosβ + sinαsinβ.
证明： cos(
2
− ) =
cos cos
2
+
= 0 + 1 × sin
= sin .
sin sin
2
课堂小结
预备知识
探索新知
例2 已知 =
4
，
5
∈
课堂小结
典例分析
( , )，
2
=
5
− ，是第
13
三象限角，求( − ).
解：由 =
又由 =
课名：两角差的余弦公式
教材版本:人教A版（2019）
学
科：数学
年
级：Байду номын сангаас一上学期
预备知识
探索新知
典例分析
课堂小结
1.单位圆
平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为单位长度的圆.
2.三角函数的定义
sin ：任意角与单位圆交点的纵坐标
cos ：任意角与单位圆交点的横坐标
3.两点间距离公式
人教版必修一两角差的余弦公式课件
3 (1)写 出 与AOP终 边 相 同 的 角
(2)求点P的坐标 (3)如 图 角的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点B， 写 出 点B的 坐 标
(4)如 图 角的 终 边 与 单 位 圆 交
于 点C， 写 出 点C的 坐 标
(5)设BOC ，用， 表示
y
C
o
B
Ax
P
(6)画出与BOC终边相同的角
6 2 4
探究点一 两角差余弦公式的应用
根据两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 解
答下列问题，体验公式的正向、逆向应用的灵活选择．
问题 1 写出下列式子的化简结果： 1 (1)cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝ 2 ；
(2)sin αsin(α＋β)＋cos αcos(α＋β)＝ cos β ；
3 (3)sin 57°cos 63°＋cos 57°sin 63°＝ 2 .
(4) 1 cos15 3 sin15 2
2
2
(5)cos15 3sin15 2 2
典例分析
典例分析
例2：已知sin 4 , ( , ),cos 5 , 为第三象限角,
5
2
13
求 cos( )的值.
cos2( ) 2cos( )+1 sin2( ) cos2 2cos cos cos2 sin2 2sin sin sin22
∴ cos( ) cos cos sin sin
两角差的余弦公式
对于任意的角，，
cos( ) cos cos sin sin
11 2sin( )sin 2cos( )cos
sin( ) sin ,cos( ) cos 得 2 2cos( )
(2)求点P的坐标 (3)如 图 角的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点B， 写 出 点B的 坐 标
(4)如 图 角的 终 边 与 单 位 圆 交
于 点C， 写 出 点C的 坐 标
(5)设BOC ，用， 表示
y
C
o
B
Ax
P
(6)画出与BOC终边相同的角
6 2 4
探究点一 两角差余弦公式的应用
根据两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 解
答下列问题，体验公式的正向、逆向应用的灵活选择．
问题 1 写出下列式子的化简结果： 1 (1)cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝ 2 ；
(2)sin αsin(α＋β)＋cos αcos(α＋β)＝ cos β ；
3 (3)sin 57°cos 63°＋cos 57°sin 63°＝ 2 .
(4) 1 cos15 3 sin15 2
2
2
(5)cos15 3sin15 2 2
典例分析
典例分析
例2：已知sin 4 , ( , ),cos 5 , 为第三象限角,
5
2
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求 cos( )的值.
cos2( ) 2cos( )+1 sin2( ) cos2 2cos cos cos2 sin2 2sin sin sin22
∴ cos( ) cos cos sin sin
两角差的余弦公式
对于任意的角，，
cos( ) cos cos sin sin
11 2sin( )sin 2cos( )cos
sin( ) sin ,cos( ) cos 得 2 2cos( )
3.1.1-两角差的余弦公式课件人教新课标
cos
A sin
C
csoisn ==OAAP OAAPOOPPcsoisn
OOPP
P csoisn OCBP
OAAP
OCBPOAAP c soisn OOPP c soisn csoisn csoins csoins
O
B
M1 x
+
法二（向量法）
A
在单位圆中
OA cos ,sin ， OB cos ,sin ，
1、熟悉用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程． 2、熟记并灵活运用两角差的余弦公式. 3、掌握“变角”和“拆角”的方法.
自学教材P124—P127 解决下列问题
一、熟记并灵活运用两角差的余弦公式. 二、《创新设计》 新知导学. 三、《教材》 P127 练习1、2、3、4.
y
1
P1 法一（三角函数线）
33 . 65
利用同角的三角函 数关系式求值时，要 注意角的范围.
三、《教材》 P127 练习1、2、3、4.
你学会了吗?
※对自己说，你有什么收获？ ※对同学说，你有什么提示？ ※对老师说，你有什么疑惑？
1.两角和与差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
OA OB OA OB cos( )
y
α
B
β
o
1x
-1
cos( ).
因为OA OB cos cos sin sin .
所以cos( ) cos cos sin sin .
思考： C( ) C()?
C( )
co（s ） cos cos sin sin
口诀：余余正正符号反
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2
cos - =cos cos +sin sin 5 4 12 3 = + 5 13 5 13 33 = 65
【练习1】
求下列各式的值：
(1)cos(α－35° )cos(25° ＋α)＋sin(α－35° )sin(25° ＋α)； cos 7° －sin 15° sin 8° (2) . cos 8°
回顾小结
1.学到了什么知识？ 2.推导的过程上有什么体会？ 3.习得哪些数学思想和方法？
作业： 习题3.1A组 第2、3、4题
【思考题】
4 1 已知锐角、 满足cos , tan( ) , 5 3 求 cos 的值.
4 5 (1)已知， 都是锐角，cos , cos , 求cos的值. 5 13 12 3 (2)已知， 都是锐角，cos ，cos 2 ，求cos的值. 13 5
提示：观察已知角与所求角之间的关系 注意角的取值范围
4 解：由sin ， , 5 2
得
2
3 4 cos = 1 in 2 1 5 5
又由cos
5 ， 是第三象限角，得 13 12 5 sin = 1 cos 2 1 13 13
60°
45° A
C
15°
B
不成立
方法：对于角的问题的研究， 我们往往借助于坐标系和 单位圆来进行。
y
O
x
y
Ａ C D Ｍ Ｂ
O
N
x
再探究： 还有没有其它证明方法？思考，
上一章还学过哪些与三角函数有关
的知识呢？
cos( ) cos cos sin sin .
两角差的余弦公式
授课人：李玉姗
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示, 在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米,从A观 测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°.求这座 电视发射塔的高度.
D
CD=BD－BC BD=ABtan60° AB=60cos15°BC= 60sin15°
【思路探究】 公式可得解. (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用
【练习1】
(3)求值： sin15 cos75 cos15 sin105 (4)化简： sin( x )sin( x ) cos( x )cos( x ) 4 4 4 4
【练习2】
cos - =cos cos +sin sin 5 4 12 3 = + 5 13 5 13 33 = 65
【练习1】
求下列各式的值：
(1)cos(α－35° )cos(25° ＋α)＋sin(α－35° )sin(25° ＋α)； cos 7° －sin 15° sin 8° (2) . cos 8°
回顾小结
1.学到了什么知识？ 2.推导的过程上有什么体会？ 3.习得哪些数学思想和方法？
作业： 习题3.1A组 第2、3、4题
【思考题】
4 1 已知锐角、 满足cos , tan( ) , 5 3 求 cos 的值.
4 5 (1)已知， 都是锐角，cos , cos , 求cos的值. 5 13 12 3 (2)已知， 都是锐角，cos ，cos 2 ，求cos的值. 13 5
提示：观察已知角与所求角之间的关系 注意角的取值范围
4 解：由sin ， , 5 2
得
2
3 4 cos = 1 in 2 1 5 5
又由cos
5 ， 是第三象限角，得 13 12 5 sin = 1 cos 2 1 13 13
60°
45° A
C
15°
B
不成立
方法：对于角的问题的研究， 我们往往借助于坐标系和 单位圆来进行。
y
O
x
y
Ａ C D Ｍ Ｂ
O
N
x
再探究： 还有没有其它证明方法？思考，
上一章还学过哪些与三角函数有关
的知识呢？
cos( ) cos cos sin sin .
两角差的余弦公式
授课人：李玉姗
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示, 在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米,从A观 测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°.求这座 电视发射塔的高度.
D
CD=BD－BC BD=ABtan60° AB=60cos15°BC= 60sin15°
【思路探究】 公式可得解. (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用
【练习1】
(3)求值： sin15 cos75 cos15 sin105 (4)化简： sin( x )sin( x ) cos( x )cos( x ) 4 4 4 4
【练习2】