3.1.1两角差的余弦公式__优秀课件
高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
两角差的余弦公式PPT优秀课件
16
1
65
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
简记：C ( )
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
将 替换为
co s ()cos (())
co cs o )s s(is ni n ) (
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
( A ) 直 角 三 角 形 ( B ) 钝 角 三 角 形
( C ) 锐 角 三 角 形 ( D ) 不 确 定
1
小 结 作业：讲义
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
三角恒等变换(1)-PPT课件
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
§3.1.1 两角和与差的余弦公式
第三章三角恒等变换 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 §3.1.1两角和与差的余弦公式 【学习目标、细解考纲】 1、 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系； 2、 用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用； 3、 能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等变形。 【知识梳理、双基再现】
1、_______;____________________)cos(_______;____________________)cos( 【小试身手、轻松过关】 1．________15cos ; _________105cos。
2、__;__________1211cos.________________)1217cos(
.______________)cos(____,__________)cos(),2,0(,53cos),,2(,1715sin3那么、
4．已知)23,(,1312cos，那么.____________)4cos(的值等于 【基础训练、锋芒初显】 5、)cos(),cos(),23,(,43cos),,2(,32sin求已知
6、在,coscossinsinBABAABC中，若则ABC是（） A、锐角三角形B、钝角三角形 C、直角三角形D、不确定
7、cos,1715)3cos(为钝角，求已知 8、ABC中，sinA=,53cosB=135,求cosC的值。 【举一反三、能力拓展】 9、8sin15sin7cos8sin15cos7sin
10、（2004全国）设()4cos(2,53sin),2,0(则若） A、57B、51 C、57 D、－51
3.1.1 两角差的余弦公式
是否可以联系单位圆上的三角函
数线解决？
尝试探索：
作角：
∠P1Ox= α ，
∠POP1=β， 则∠POx = α -β.
y
P1
β
O
P
1x
找线:
cos(α -β)
O
M
cosαcosβ+sinαsinβ
cosα·OA+sinα·AP
OB
CP
AB⊥x轴 ∠PAB=∠P1Ox=α
CP⊥A
Hale Waihona Puke yA P1 βC P
O B M1 x
即:
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
思考：以上结果为α 、β、
α -β均为锐角，且α >β的情
况下得到的，此式是否对任意 角都成立呢？
y
P1
A
βC
OB
P
M 1x
探究2 对任意α 、β ，如何证明它的正确性？
议一议：结合向量的数量积的定义和向量的工具性， 看能否用向量的知识进行证明？
解：cos15 cos(45 30) cos45cos30 sin 45sin 30
2 3 21 6 2
2 2 22
4
变式: 求sin75°的值.
应用 2:已知两个单角函数值求差角的余弦.
例2
已知 sin α 4 ,α π ,π ,cos β 5 是,β 第三象限角，
5 2
第三章 三角恒等变换
3.1.1 两角差的余弦公式
探 究
1
如何用任意角α, β的正弦、余弦 值 来表示cos(α-β)呢？
思路 第一步：探求表示结果 指导
3.1.1两角差的余弦公式
3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式【问题导思】1．cos 60°－cos 30°＝cos(60°－30°)成立吗？2．cos α－cos β＝cos(α－β)成立吗？3.单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →的夹角是多少？4．你能用哪几种方法计算OA →·OB →的数量积？5．根据上面的计算可以得出什么结论？利用两角差的余弦公式求值求值：(1)sin 460°·sin(－160°)＋cos 560°·cos(－280°)；(2)sin 285°.1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．求下列各式的值： (1)cos(－165°)；(2)sin 15°sin 105°＋cos 15°cos 105°.给值(式)求值已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4，求cos α的值．1．本题求解的关键在于把角α分解成两角α＋π4与α之差，变角是进行三角变换的常用方法技巧，如α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α＋β)－(α＋β)等．2．利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式计算．在本例中，若把α的范围改为：“54π<α<74π”，其他条件不变，又如何求cos α的值？已知三角函数值求角已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．不考虑角的范围致误已知α，β，γ是锐角，sin α＋sin β＝sin γ，cos α＋cos β＝cos γ，求α－γ的值．1．cos 17°等于( )A ．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3°B ．cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°C ．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3°D ．cos 20°sin 20°＋sin 3°cos 3° 2．下列关系中一定成立的是 ( )A ．cos(α－β)＝cos α－cos βB ．cos(α－β)＜cos α＋cos βC ．cos(π2－α)＝sin αD ．cos(π2＋α)＝sin α3．cos(－40°)cos 20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________. 4．设α∈(0，π2)，若sin α＝45，求2cos(α－π4)的值．一、选择题1． cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°的值是( ) A.22 B ．－22 C.12 D ．－122．下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是( ) A ．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B ．cos 75°＝cos 45°cos(－30°)＋sin 45°sin(－30°) C ．sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45°D ．cos(α－π6)＝12cos α＋32sin α3．cos 15°的值为( ) A.6＋24 B.6－24 C.6＋22 D.6－224．已知钝角α、β满足cos α＝－35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( )A.3365 B ．－3365 C.5475 D ．－54755．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( )A.925B.1625C.12 D ．－12 二、填空题 6．已知cos α＝32，α是锐角，则cos(α－π4)＝________. 7．已知sin α＝－13，α∈(π，32π)，cos β＝－45，β∈(π2，π)，则cos(α－β)＝________.8．已知cos(α＋30°)＝1213，30°＜α＜90°，则cos α＝________.三、解答题9．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)．10．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．11．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．12. 已知向量m ＝(cos B 2，12)与向量n ＝(12，cos B2)共线，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角．(1)求角B 的大小；(2)若cos C ＝35，求cos A 的值．13.已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求角φ的值．。
高中数学人教A版必修4课件：3-1-1两角差的余弦公式
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变式训练1求值: (1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°; (2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°). 解:(1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76° =sin(90°-44°)cos 14°+sin 44°cos(90°-14°) =cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14°
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4.做一做:(1)cos 15°= . (2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=
2 3 2 1 30°= 2 × 2 + 2 × 2 6+ 2 . 4
.
解析:(1)cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 60°= .
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探究一 利用两角差的余弦公式解决给角求值问题
【例1】 求下列各式的值: (1)cos(-375°); (2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°; (3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α;
两角差的余弦公式说课稿省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
在教学过程步骤，采取先提出问题，再逐 步展开方式，能够充分调动学生学习主动 性，让学生探索含有明确目标性，降低盲 目性。在得到两角差余弦公式后，使学生 深入体会代数思想深刻性。经过对公式对 比，能够加深学生对公式特征印象，同时 体会公式线形美与对称美，给学生以美陶 冶。作业布置中，突出了学生学习个体差 异现实，使学有余力学生产生挑战心理感 受，也为下一节内容学习做准备。
3、经过本节学习使学生体会探究乐趣，认识世间万物联络与 转化，养成用辨证与联络观点看问题。创设问题情景，激发 学生分析、探求学习态度，强化学生参加意识，从而培养学 生分析问题、处理问题能力和代换、演绎、数形结合等数学 思想方法。
第4页
三、教法学法分析
1、教法分析： 依据学生情况，本节课特点，按照高中学生认知规律，
D
射塔视角（∠CAD)约为45°.求这座
电视发射塔高度.
C
45°
A B
第9页
2.问题串引导教学：
（1）请学生猜测cos( ) ?
（2）利用前面学过单位圆上三角函数线，怎样
用 、三角 函数来表示
cos(呢 ？) ?
（3）利用向量知识，又能怎样推导发觉
cos( ) ?
（4）细心观察公式 cos( )结构，它有哪些特征？ 其中角取值范围怎样？
（5）怎样正用、逆用、灵活利用公式进行求值计 算？
第10页
3.例题讲解：
例1、利用差角余弦公式求 cos15 ,cos75
例2、化简
（1）cos 42 cos18 sin 42 sin18
（2）cos 70 sin 40 sin 70 cos 40
例3、已知sin 象限角，求
co54s，( 2)