两角差的余弦公式_PPT
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311两角差的余弦公式共23张PPT
cos cos( ) sin sin( )
例4 已知cos = 1，cos( )=- 3，0 , ,
2
5
2
求 cos.
提示：拆角思想:cos cos[( ) ].
解： 由cos = 1，0 , 得sin 3 ,
2
2
2
由cos( )=- 3，0 , 5
得sin(+)= 4 . 5
22 2 2
4
题后小结: 1、把非特殊角拆分成特殊角的差.
2、公式的直接应用.
1
两角差的余弦公式的变通
思考：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求
cos 的值？ cos cos[( ) ]
cos( )cos sin( )sin 思考：利用α－(α－β)＝β可得 cos 等于什么
cos cos[ ( )]
5
【例】 已知 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13， 求 cos (α－β)的值．
【解析】将 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13 分别平方得，
cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝1， 4
sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝1. 9
B. 7 0
D. 7 2 10
解析：∵ ( , ), (3 , 5 ),cos( ) 4 ,
2
4 44
45
cos cos[( ) ]
44
cos( ) cos sin( ) sin
44
44
4 2 3 2 2. 5 2 5 2 10
3
cos cos( )
cos( ) cos sin( ) sin
（ 3 ） 1 4 3 3 4 3 .
例4 已知cos = 1，cos( )=- 3，0 , ,
2
5
2
求 cos.
提示：拆角思想:cos cos[( ) ].
解： 由cos = 1，0 , 得sin 3 ,
2
2
2
由cos( )=- 3，0 , 5
得sin(+)= 4 . 5
22 2 2
4
题后小结: 1、把非特殊角拆分成特殊角的差.
2、公式的直接应用.
1
两角差的余弦公式的变通
思考：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求
cos 的值？ cos cos[( ) ]
cos( )cos sin( )sin 思考：利用α－(α－β)＝β可得 cos 等于什么
cos cos[ ( )]
5
【例】 已知 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13， 求 cos (α－β)的值．
【解析】将 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13 分别平方得，
cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝1， 4
sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝1. 9
B. 7 0
D. 7 2 10
解析：∵ ( , ), (3 , 5 ),cos( ) 4 ,
2
4 44
45
cos cos[( ) ]
44
cos( ) cos sin( ) sin
44
44
4 2 3 2 2. 5 2 5 2 10
3
cos cos( )
cos( ) cos sin( ) sin
（ 3 ） 1 4 3 3 4 3 .
两角差的余弦公式-PPT课件
2
3.若已知α，β的三角函数值，那么 cos(α－β)的值是否确定？它与α，β 的三角函数值有什么关系？这是我们需 要探索的问题.
3
4
探究（一）：两角差的余弦公式 思考1：设α，β为两个任意角, 你能 判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成 立吗? cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°
cosβ
y
P1
sinβ
A
P
O
x
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
10
思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示
哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段
长？
y
sinαsinβ
P1
A
P
C
OB
x
cosαcosβ 11
思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什
么结论？ y
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式
1
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本 的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角 函数值可以直接写出，利用诱导公式还 可进一步求出150°，210°，315°等角的 三角函数值.我们希望再引进一些公式， 能够求更多的非特殊角的三角函数值， 同时也为三角恒等变换提供理论依据.
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的 结构特征，你能联想到一个相关计算原 理吗？
14
思考10：如图，设角α，β的终边与单
位圆的交点分别为A、B，则向量 ΟΑ、
ΟB的坐标分别是什么？其数量积是什
么？
y
ΟΑ=(cosα,sinα)A OB=(cosβ,sinβ)
3.若已知α，β的三角函数值，那么 cos(α－β)的值是否确定？它与α，β 的三角函数值有什么关系？这是我们需 要探索的问题.
3
4
探究（一）：两角差的余弦公式 思考1：设α，β为两个任意角, 你能 判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成 立吗? cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°
cosβ
y
P1
sinβ
A
P
O
x
9
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
10
思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示
哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段
长？
y
sinαsinβ
P1
A
P
C
OB
x
cosαcosβ 11
思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什
么结论？ y
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式
1
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本 的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角 函数值可以直接写出，利用诱导公式还 可进一步求出150°，210°，315°等角的 三角函数值.我们希望再引进一些公式， 能够求更多的非特殊角的三角函数值， 同时也为三角恒等变换提供理论依据.
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的 结构特征，你能联想到一个相关计算原 理吗？
14
思考10：如图，设角α，β的终边与单
位圆的交点分别为A、B，则向量 ΟΑ、
ΟB的坐标分别是什么？其数量积是什
么？
y
ΟΑ=(cosα,sinα)A OB=(cosβ,sinβ)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)
第五章 三角函数
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
3.1.1两角差的余弦公式PPT
π
1.两角差的余弦公式： 1.两角差的余弦公式： 两角差的余弦公式
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
2.已知一个角的正弦（或余弦） 2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角 已知一个角的正弦 的余弦（或正弦）值时, 的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的 象限，从而确定该角的三角函数值符号. 象限，从而确定该角的三角函数值符号.
1 π 4 3 . 解：由 cosα＝ ，0<α< ，得 sinα＝ 7 7 2 π π 13 由 0<β<α< ，得 0<α－β< . 又∵cos(α－β)＝ ， 2 2 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos (α－β)＝ )
2
13 2 3 3 1－( ) ＝ . ( 14 14
由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ ＝ . × 7 14 7 14 2 π ∴β＝ . 3
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用 掌握两角差的余弦公式， 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 2、掌握“变角”和“拆角”的方法. 掌握“变角” 拆角”的方法.
对于30° 45° 60° 对于30°，45°，60°等特殊角的三角函 30 数值可以直接写出， 数值可以直接写出，利用诱导公式还可进 一步求出150° 210° 315° 一步求出150°，210°，315°等角的三角 150 函数值.我们希望再引进一些公式，能够求 函数值.我们希望再引进一些公式， 更多的非特殊角的三角函数值， 更多的非特殊角的三角函数值，同时也为 三角恒等变换提供理论依据. 三角恒等变换提供理论依据.
5.5.1两角差的余弦公式课件(人教版)
5.5.1 三角恒等变换 第1课时 两角差的余弦公式
学习目标
素养目标
学科素养
1.会用两点间离公式推导出两角差的余弦公式；1.直观想象
2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．
2.数学运算
自主学习
推导：如图所示，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A(1,0)，以 x 轴非负半轴为始 边作角 α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点 P1、A1、P. 思考：P1、A1、P 点的坐标如何表示？线段 AP 和 A1P1 有什么关系？
3 解析：原式＝2cos30°－ cos2200°°－sin20° ＝2cos30°cos20°＋c2ossi2n03°0°sin20°－sin20° ＝ 3cos20°＋cossi2n02°0°－sin20°＝ c3ocso2s02°0°＝ 3.
当堂达标
6.已知 2cos cos 3 ， 2sin sin 2 则 cos __________．
经典例题
题型二 给值求值
跟踪训练2
已知 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，求 cosα＋π4的值．
解：因为 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，
α＋β∈32π，2π，β－π4∈2π，34π，
所以 cos(α＋β)＝45，cosβ－4π＝－153，
P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β))
AP＝A1P1
自主学习
两角差的余弦公式
名称
简单符号
两角差的余弦
C(α－β)
公式 cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
使用条件 α，β 为任意角
学习目标
素养目标
学科素养
1.会用两点间离公式推导出两角差的余弦公式；1.直观想象
2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．
2.数学运算
自主学习
推导：如图所示，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A(1,0)，以 x 轴非负半轴为始 边作角 α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点 P1、A1、P. 思考：P1、A1、P 点的坐标如何表示？线段 AP 和 A1P1 有什么关系？
3 解析：原式＝2cos30°－ cos2200°°－sin20° ＝2cos30°cos20°＋c2ossi2n03°0°sin20°－sin20° ＝ 3cos20°＋cossi2n02°0°－sin20°＝ c3ocso2s02°0°＝ 3.
当堂达标
6.已知 2cos cos 3 ， 2sin sin 2 则 cos __________．
经典例题
题型二 给值求值
跟踪训练2
已知 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，求 cosα＋π4的值．
解：因为 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，
α＋β∈32π，2π，β－π4∈2π，34π，
所以 cos(α＋β)＝45，cosβ－4π＝－153，
P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β))
AP＝A1P1
自主学习
两角差的余弦公式
名称
简单符号
两角差的余弦
C(α－β)
公式 cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
使用条件 α，β 为任意角
两角差的余弦公式课件
sin2α－2sin αsin γ＋sin2 γ＝sin2β，cos2 α－2cos αcos γ＋ cos2 γ＝cos2 β，
两式相加得，1－2(cos αcos γ＋sin αsin γ)＋1＝1，即 cos(α －γ)＝12.
由于 α，β，γ 是锐角，所以由 sin α－sin γ＝－sin β<0 可 知，α<γ，故 α－γ＝－π3.
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求 值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余 弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
已知 sin(α＋π4)＝45，且π4<α<34π，求 cos α 的值． 【思路探究】 注意到 α＝(α＋π4)－π4，把求 cos α 转化 为两角差的余弦，考虑到公式特征，只需求 cos(α＋π4)的值， 利用平方关系，问题可解．
∴cos α＝cos[(α＋π4)－π4] ＝cos(α＋π4)·cosπ4＋sin(α＋π4)·sinπ4 ＝35× 22＋45× 22＝7102.
已知 α、β 均为锐角，且 cos α＝255，cos β＝ 1100， 求 α－β 的值．
【思路探究】 本题可先求出 cos(α－β)的值，结合 α－ β 的范围，再求出 α－β 的值．
5．根据上面的计算可以得出什么结论？
【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.cos(α－β)
＝ cos α·cos β＋sin α·sin β
.
(1)适用条件：公式中的角 α，β 都是任意角．
(2)公式结构：公式右端的两符号相反．
两式相加得，1－2(cos αcos γ＋sin αsin γ)＋1＝1，即 cos(α －γ)＝12.
由于 α，β，γ 是锐角，所以由 sin α－sin γ＝－sin β<0 可 知，α<γ，故 α－γ＝－π3.
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求 值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余 弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
已知 sin(α＋π4)＝45，且π4<α<34π，求 cos α 的值． 【思路探究】 注意到 α＝(α＋π4)－π4，把求 cos α 转化 为两角差的余弦，考虑到公式特征，只需求 cos(α＋π4)的值， 利用平方关系，问题可解．
∴cos α＝cos[(α＋π4)－π4] ＝cos(α＋π4)·cosπ4＋sin(α＋π4)·sinπ4 ＝35× 22＋45× 22＝7102.
已知 α、β 均为锐角，且 cos α＝255，cos β＝ 1100， 求 α－β 的值．
【思路探究】 本题可先求出 cos(α－β)的值，结合 α－ β 的范围，再求出 α－β 的值．
5．根据上面的计算可以得出什么结论？
【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.cos(α－β)
＝ cos α·cos β＋sin α·sin β
.
(1)适用条件：公式中的角 α，β 都是任意角．
(2)公式结构：公式右端的两符号相反．
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例3 已知 cos( )cos sin( )sin 1 ,
3
且 3 ,2 , 求 cos( ) 的值.
2
4
小结作业
1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴 涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如 数形结合，化归转换、归纳、猜想、构 造、换元、向量等，我们要深刻理解和 领会.
2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求 该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该 角所在的象限，从而确定该角的三角函 数值符号.
α＝2kπ＋β＋θ或 A
β＝2kπ＋α＋θ
θB
α
β
O
x
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
思考12：公式cos(α－β)＝cosαcosβ ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记 作 C ，该公式有什么特点？如何记忆？
探究（二）：两角差的余弦公式的变通
思考1：若已知α＋β和β的三角函数 值，如何求cosα的值？
3 2
思考3：一般地，你猜想cosαcosβ＋sinαsinβ
思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞
β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条 线段长？
y
cos(α－β)=OM
P1
P
O
M
x
思考5：如何用线段分别表示sinβ和 cosβ？
3.若已知α，β的三角函数值，那么 cos(α－β)的值是否确定？它与α，β 的三角函数值有什么关系？这是我们需 要探索的问题.
探究（一）：两角差的余弦公式 思考1：设α，β为两个任意角, 你能 判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成 立吗?
cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°
两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
两角差的余弦公式
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本 的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三 角函数值可以直接写出，利用诱导公式 还可进一步求出150°，210°，315°等 角的三角函数值.我们希望再引进一些公 式，能够求更多的非特殊角的三角函数 值，同时也为三角恒等变换提供理论依 据.
3.在差角的余弦公式中，α，β既可以 是单角，也可以是复角，运用时要注意 角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β)
( ) 等. 同时，公式的应用具有
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灵活性，解题时要注意正向、逆向和变 式形式的选择.
思考2：我们设想cos(α－β)的值与α， β的三角函数值有一定关系，观察下表 中的数据，你有什么发现？
cos(60°－ 30°)
cos60°
3 2
cos(120°－ 60°)
1
2
1 2
cos120° 1 2
cos30°
3 2
cos60°
1 2
sin60°
3 2
sin120°
3 2
sin30°
1 2 sin60°
位圆的交点分别为A、B，则向量 ΟΑ、
ΟB的坐标分别是什么？其数量积是什
么？
y
ΟΑ=(cosα,sinα)A OB =(cosβ,sinβ)
B
α
β
O
x
OA OB cos cos sin sin
思考11：向量与的夹角θ与α、β有什
么关系？根据数量积定义，O A O B 等于什么？由此可得什么结论？
y
y
1
P1
A
sin
P
C
cos
O
B
M1
x
+ cos cos
sin sin
思考8：上述推理能说明对任意角α，β， 都有 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 成立吗？
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的 结构特征，你能联想到一个相关计算原 理吗？
思考10：如图，设角α，β的终边与单
cosα＝cos[(α＋β)－β]＝ cos(α＋β) cosβ＋sin(α＋β)sinβ.
思考2：利用α－(α－β)＝β可得 cosβ等于什么？ cosβ＝cos[(α－β)－α]＝ cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα.
思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋
sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？
cos( ) a2 b2 2
2
思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－
sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？
cos( ) 2 a2 b2
2
理论迁移
例1 利用余弦公式求cos15°的值.
例2 已知sin
4 ,cos 5
5,
，,
13
2
β是第三象限角,求cos(α－β)的值.
cosβ
y
P1
A
P
sinβ
O
x
思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示
哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段
长？
y
sinαsinβ
P1
A
P
C
OB
x
cosαcosβ
思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什
么结论？ y
P1
A
sinαsinβ
C
P
O BM x
cosαcosβ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ