高中数学必修四《两角差的余弦公式》
人教A版必修四《两角差的余弦公式》教案及教学反思
人教A版必修四《两角差的余弦公式》教案及教学反思一、教学目标1.掌握余弦定理的两角差公式；2.能够通过两角差公式解决相关问题；3.培养学生运用数学方法解决实际问题的能力；4.培养学生基本的计算技能和思维能力。
二、教学重点难点教学重点：掌握余弦定理的两角差公式。
教学难点：能够通过两角差公式解决相关问题。
三、教学过程1. 导入教师通过学生已经掌握的知识，引出余弦定理的推导过程，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解通过解释“两角差的余弦公式”的概念和应用，让学生了解余弦定理的两角差公式的基本形式和运用方法。
3. 练习通过讲解例题，带领学生一步一步地掌握余弦定理的两角差公式，培养学生对于公式的理解和灵活运用能力。
例如，教师可以通过如下例题的讲解来帮助学生掌握两角差公式：已知$\\tan A =\\frac{1}{3}$，$\\tan B=\\frac{1}{2}$，且$A−B=\\frac{π}{4}$，求$\\sin A$。
解析：设$A=\\alpha+B$，则$\\alpha=\\frac{π}{4}+B$。
由$\\tan A =\\frac{1}{3}$和$\\tan B=\\frac{1}{2}$得$\\frac{\\tan A}{\\tanB}=\\frac{2}{3}$。
又因为$\\tan(\\alpha+B)=\\frac{\\tan \\alpha+\\tan B}{1- \\tan \\alpha \\tanB}=\\frac{\\frac{1}{3}+\\frac{1}{2}}{1-\\frac{1}{6}}=1$，所以$\\alpha+B=kπ+\\frac{π}{4}$，其中k为整数。
又因为$0<B<\\frac{π}{2}$，所以$\\alpha$在$\\fr ac{π}{4}$和$\\frac{5π}{4}$之间。
由余弦定理的两角差公式可得：$\\cos(\\frac{π}{4})=\\cos(\\alpha-B)$$\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\cos\\alpha \\cosB+\\sin\\alpha \\sin B$$\\frac{1}{\\sqrt{2}}=(\\cos B+\\sinB)(\\frac{1}{3}\\cos B+\\frac{1}{2}\\sin B)$$2\\sqrt{2} =6\\cos^2B+8\\sin^2B+5\\sin B \\cos B$令$u=\\cos B$，则$2\\sqrt{2}=6u^2+8(1-u^2)+5u\\sqrt{1-u^2}$。
人教版高中数学两角差的余弦公式教案和教案说明
人教版高中数学两角差的余弦公式教案和教案说明教案内容：一、教学目标：1. 让学生理解两角差的余弦公式的概念和意义。
2. 引导学生掌握两角差的余弦公式的推导过程。
3. 培养学生运用两角差的余弦公式解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：两角差的余弦公式的推导过程及其应用。
2. 难点：两角差的余弦公式的灵活运用。
三、教学方法与手段：1. 采用讲授法、探究法、练习法等教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。
四、教学过程：1. 导入：回顾上一节课所学的两角和的余弦公式，引导学生思考两角差的余弦公式。
2. 新课讲解：（1）介绍两角差的余弦公式的概念和意义。
（2）引导学生推导两角差的余弦公式。
（3）通过例题讲解两角差的余弦公式的应用。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
4. 总结与拓展：回顾本节课所学内容，引导学生思考两角差的余弦公式的拓展应用。
五、课后作业：1. 抄写并理解两角差的余弦公式。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
教案说明：本教案旨在帮助学生掌握两角差的余弦公式，通过导入、新课讲解、课堂练习、总结与拓展等环节，让学生逐步理解两角差的余弦公式的概念和意义，并能够灵活运用到实际问题中。
在教学过程中，教师应注重引导学生主动探究，培养学生的动手实践能力和思维能力。
课后作业的布置有助于巩固所学知识，提高学生的学习效果。
六、教学评价：1. 评价目标：检查学生对两角差的余弦公式的理解程度和应用能力。
2. 评价方法：（1）课堂问答：通过提问方式检查学生对两角差的余弦公式的概念和推导过程的理解。
（2）课后作业：布置相关的习题，评估学生对两角差的余弦公式的应用能力。
（3）单元测试：进行一次单元测试，全面评估学生对两角差的余弦公式的掌握情况。
七、教学反思：在教学过程中，教师应根据学生的反馈情况及时进行调整教学方法和节奏。
针对学生的薄弱环节，加强针对性训练，提高学生的理解和应用能力。
必修4两角差的余弦公式
两角差的余弦公式（选自人教版高中数学必修4第三章3.1.1节）一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、学情分析1．本节课的授课对象是高二学生，他们已经了解高中数学的教学模式，并形成自己独特的掌握新知识的方法，具有强烈的好奇心和求知欲；2．在知识水平上，高二学生之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，教师在教学新内容前可以先对这些知识进行适当回顾，为学生本节课的学习奠定良好的基础；3．教师在学生已经掌握三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用的基础上，引导学生如何利用差角的正弦余弦值来表示任意角，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
三、教学目标（一）知识与技能引导学生建立两角差的余弦公式，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
（二）过程与方法通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
（三）情感态度与价值观在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
四、教学重难点1．教学重点通过探索得到两角差的余弦公式以及两角差余弦公式的应用。
2．教学难点探索过程中的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程所必备的基础知识是否已掌握的问题以及运用已学知识和方法的能力问题等等。
五、教学方法与手段启发式讲授法，并用多媒体展示、计算机辅助教学。
六．教学关键注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比，联系，化归的观点去分析，处理问题，使他们能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换，还包括式子中角的变换，以及不同三角函数之间的变换，引导学生逐渐拓广有关公式在变换过程中的作用，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识，并且也注意了这种引导的渐进性和层次性。
数学必修四 第3章 3.1.1 两角差的余弦公式
填一填·知识要点、记下疑难点
两角差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ，其中 α、β 为任意角.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一
两角差余弦公式的探索
问题 1 有人认为 cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试 举两例加以说明．
研一研·问题探究、课堂更高效
→ → 当 α，β 均为任意角时，α－β 和〈OP，OQ〉的关系是： → → α－β＝2kπ±〈OP，OQ〉 ，k∈Z . → → → → → → → → (3)向量OP与OQ的数量积OP· OQ＝|OP||OQ|cos〈OP，OQ〉＝ → → cos(α－β)；另一方面，OP 与 OQ 的数量积用点坐标形式表示： → → OP· OQ＝(cos α，sin α)· (cos β，sin β)＝ cos αcos β＋sin αsin β 从而，对任意角 α，β 均有 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. .
π π 所以－2<α－β<－6， 所以 cos α＝ 1－sin α＝
2 2
8 15 2 1－17 ＝17， 21 20 2 1－ 29 ＝－29，
sin(α－β)＝－ 1－cos α－β＝－
研一研·问题探究、课堂更高效
所以 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
15 21 8 20 155 ＝17×29＋17×－29＝493.
小结 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、
函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最 基本的变换．常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 1 1 α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ，α＝2[(β＋α)－(β－α)] 等．
新人教A版必修4 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
π π π [自主解答] (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos － 3 3 3 π 2π 2π 2cos xsin － 3cos cos x－ 3sin sin x 3 3 3 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[悟一法]
1．解决此类问题的关键是熟练掌握和差公式的结构特征， 并灵活地正用、逆用、变形用． 2．对于正切公式，要熟悉以下常用的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)， tan α＋tan β 1－tan αtan β＝ ， tanα＋β tan α－tan β 1＋tan αtan β＝ . tanα－β
α，β，α－β≠
两角差 的正切
T(α－β)
tan α－tan β 1＋tan αtan β
π kπ＋ (k∈Z) 2
[小问题·大思维 ] 1．是否存在α、β使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立？
π 提示：存在．如 α＝0，β＝ . 2 π 2．若化简 tan( －β)，能否利用两角差的正切公式？ 2 π 提示：不能．因为 tan 不存在．可切化弦： 2
1 3 ＝2＋1－2sin x＋
3 3 － 3＋ cos x 2 2
＝0.
tan 12° ＋tan 33° (2)∵ 1－tan 12° · tan 33° ＝tan(12° ＋33° ) ＝tan 45° ＝1， ∴tan 12° ＋tan 33° ＝1－tan 12° · tan 33° . ∴tan 12° ＋tan 33° ＋tan 12° · tan 33° ＝1－tan 12° tan 33° ＋tan 12° tan 33° ＝1.
高中数学必修四《两角差的余弦公式》优秀教学设计
3.1.1两角差的余弦公式一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
三、教学重点难点重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点 探索过程的组织和引导。
四、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
五、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课时安排：2课时 七、教学过程（一）创设情景，揭示课题以文峰塔高度测量为背景素材（见课件）引入问题。
并针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。
问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15（2）0cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？(3)如何用450和300求0cos15?设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。
（二）、研探新知 1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。
人教版高中数学必修4A版两角差的余弦公式
cos15 cos(45 30) 解：
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
2 3 2 1 2 2 2 2 6 4 2
变式： 求sin75°的值.
2:已知两个单角函数值求差角的余弦。 4 5 例2， 已知sinα＝ ，α∈( 2 ,),cosβ= ,β 5 13 是第三象限角，求cos(α-β)的值。 分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β), 还应求什么？ 4 解:由sinα＝ 5 , α∈( , 2),得
–cos30 ° cos( 0° -30° ) ≠ cos 0 ° –cos45° cos(270° -45° ) = cos270° 问题2:你认为cos(α -β)=cosα -cosβ成立吗? cos(60° -30° ) = cos60° cos30° +sin60° sin30° cos(90° -45° ) = cos90° cos45° +sin90° sin45°
求cosxcos(x+15° ) +sinx sin(x+15° )的值
6 4
2
这节课，我学到了什么？
知识：掌握了公式Cα-β并会正确应用
能力：通过对公式Cα-β获得过程的探究， 提高了数学的探究能力及分析问题 解决问题的能力 求简 数学 数形结合 思想 分类讨论 方程的思想
作
习题3. 1
课下思考： 如何由Cα -β推出
3.1.1 两角差的余弦公式 探 如何用任意角α ,β的正弦、余弦值 究 1 来表示cos(α -β)呢？ 探究方 第一步：探求表示结果 法指导 第二步：对结果的正确性加以证明
议一议：问题3涉及的是三角函数的问题， 是否可以联系单位圆上的三角函 数线解决？
高一数学必修4课件：3-1-1两角差的余弦公式
第三章
3.1 3.1.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
(1)原式＝cos[(x＋27° )－(x－18° )]
2 ＝cos45° ＝ . 2 (2)原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(β－γ)＝cos(α－ β)· cos(β－γ)＋sin(α－β)· sin(β－γ) ＝cos[(α－β)－(β－γ)] ＝cos(α＋γ－2β).
π π 6＋ 2 π π π π π － ＝cos cos ＋sin · ＝ cos ＝cos 4 6 sin . 12 4 6 4 6 4
[正解]
第三章
3.1 3.1.1
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随堂应用练习
第三章
3.1 3.1.1
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思路方法技巧
第三章
3.1 3.1.1
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命题方向
公式的直接应用
[例1]
计算(1)cos15° cos105° ＋sin15° sin105° ；
(2)cos(35° －α)cos(25° ＋α)＋sin(α－35° )sin(25° ＋α)． [分析] 逆用公式时，要查名称、查角、查运算符号是
成才之路· 数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
三角恒等变换
第三章
三角恒等变换
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第三章
3．1 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
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若θ∈[π,2π)，则2π -θ∈[0，π ]，且
OA OB cos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)
对于任意角 α,β
结 论
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
归 差角的余弦公式 纳
Cα-β
注意：1.公式的结构特点；
学 例3.已知
sinα=
54，α
2
,
，
cosβ=
-
153，
以 β是第三象限角，求cos(α-β)的值
致
用
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
1
练习：1.cos1750 cos550 sin1750 sin 550 2
2 2.cos( 210 ) cos( 240 ) sin( 210 ) sin( 240 ) 2
对于任意角α,β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β).
再见
3.1.1两角差的余弦公式
两个向量的数量积
温 a b a b cosθ 其中θ∈[0，π ]
故
知 新
a x1, y1 b x2, y2
a b x1x2 y1y2
两角差的余弦公式
问
如何用任意角α与β 的正弦、
题
余弦来表示cos(α-β)？
探 思考：你认为会是 究
cos(α-β)=cosα-cosβ吗?
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β)
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
学
例1.利用差角余弦公式求cos15 的值
分析: cos15 cos 45 30
以
cos15 cos60 45
致
用
思考：你会求sin75 的值吗?
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
OA cosα,sinα OB cosβ,sinβ
OA OB OA OB cos( )
cos( )
A
∵ OA OB
-1
cos cos sin sin
y 1
α -β
B
α
β
o
1x
-1
∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
思考：以上推导是否有不严谨之处？
当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到 一个角θ∈[0，2π），使cosθ=cos(α-β)
学 例2.已知
cosα=
-
3 5
α
2
,
求cos
4
α
的值.
以
解:
∵
cosα=
-
3 5
α
2
,
致
∴ sinα= 1 cos2α 4
用
5 cos( -α) cos cosα+ sin sinα
4
4
4
2 2
3 5
24 25
Hale Waihona Puke 2 10cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
思考题：已知α，β都是锐角, cosα=
4， 5
cosα+β 5 求cosβ的值 13
变角: β= α+β α
分析：cos cos
cosαβcosαsinαβsinα
5 4 12 3 13 5 135
16 65
小结
两角差的余弦公式