《两角差的余弦公式》教学设计1
高中数学《两角差的余弦公式》教案和教案说明
高中数学《两角差的余弦公式》教案和教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解和掌握两角差的余弦公式，并能运用该公式解决相关问题。
通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解两角差的余弦公式的定义和意义；2. 熟练掌握两角差的余弦公式的推导过程；3. 能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。
教案内容：一、教学目标1. 理解两角差的余弦公式的定义和意义；2. 掌握两角差的余弦公式的推导过程；3. 能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：两角差的余弦公式的定义和意义，推导过程；2. 教学难点：两角差的余弦公式的运用。
三、教学准备1. 教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔；2. 学生准备：课本、笔记本、文具。
四、教学过程1. 导入：引导学生回顾已学过的三角函数知识，为新课的学习做好铺垫；2. 讲解：讲解两角差的余弦公式的定义和意义，通过示例让学生理解公式的应用；3. 推导：引导学生通过图形和逻辑推理，推导出两角差的余弦公式；4. 练习：布置一些练习题，让学生运用两角差的余弦公式解决问题；五、课后作业1. 复习本节课所学内容，巩固两角差的余弦公式的理解和运用；2. 完成课后练习题，提高运用两角差的余弦公式解决问题的能力。
教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对两角差的余弦公式的理解和运用能力。
关注学生的学习反馈，及时解答学生的疑问，提高教学质量。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对两角差的余弦公式的理解程度，观察学生是否能清晰地解释公式的含义和应用；2. 练习题目：评估学生运用两角差的余弦公式解决问题的能力，检查解答的准确性；3. 课后作业：检查学生完成作业的情况，观察是否能正确运用公式并解决实际问题。
七、教学拓展1. 引导学生思考：两角差的余弦公式在实际生活中的应用，例如测量角度、建筑设计等；2. 介绍进一步的研究：引导学生探索更多关于三角函数的性质和公式，激发学生的学习兴趣。
3.1《两角差的余弦公式》教学设计
3.1.1 两角差的余弦公式 （名师：郑莹莹）一、教学目标 （一）核心素养掌握用向量方法建立两角差的余弦公式. 在探究公式的过程中,逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力,培养学生学会合作交流的能力. （二）学习目标1.通过探索完成两角差余弦公式的推导2.通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结构及其功能,并为建立其他和（差）角公式打好基础. （三）学习重点通过探索得到两角差的余弦公式 （四）学习难点探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等等. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 已知2cos 45=，3cos30=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=是不是等于cos 45cos30-呢？如果不是，那cos15?=o2.预习自测（1）下列式子中正确的个数是( )①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β； ③cos(π2－α)＝cos α；④cos(π2＋α)＝cos α. A ．0 B ．1C ．2D ．3 答案：A ．解析：【知识点】两角差的余弦公式 【解题过程】①②③④都错点拨：每个都配凑成标准两角差的余弦公式型. （2）计算12sin 60°＋32cos 60°＝________.答案：32 解析：【知识点】特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式 【解题过程】原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32.点拨：先将常值换成三角函数型，在结合公式.（3）设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A.75 B.15 C ．－75 D ．－15 答案：A ．解析：【知识点】两角差公式的展开形式【解题过程】∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45. ∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4＝cos α＋sin α＝45＋35＝75.点拨：先求出需要的三角函数值，再套用公式.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）三角函数的定义 （2）两个向量的数量积公式 2.问题探究 探究一 ●活动1在预习任务中我们提出的cos15?=o ，同学们发现它并不是直接将cos 45-cos30︒o.下面我们一起来探究一下两角差的余弦公式()cos ?αβ-=在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为p ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 【设计意图】通过已经学习过的三角函数线的基本定义，运用数形结合的思想，和学生一起探索出两角差的几何位置. ●活动2我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A 、点B 的坐标.证明：在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为 始边作角αβ、，其中，且[]0,αβ∈、πβα≥，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B ，则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==由向量数量积的坐标表示，有：βαβαββααsin sin cos cos )sin ,(cos )sin ,(cos +=∙=∙由[]π,0,∈βα，且βα≥知[]πβα,0∈-，那么向量OA 的夹角就是βα-，由数量积的定义，有cos()cos()OA OB OA OB αβαβ∙=-=-于是βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- （1） 由于我们前面的推导均是在[]0,αβ∈、π，且βα≥的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性.事实上，只要[]πβα,0∈-，βα-所表示的就是向量,OA OB 的夹角.（这一点可以结合图形作出说明.）但是，若[]πβα,0∉-，（1）式是否依然成立呢？ 当[]πβα,0∉-时，设与的夹角为θ，则cos cos OA OB OA OB θθ∙==βαβαsin sin cos cos +=另一方面，θβπα++=k 2，于是,,2Z k k ∈+=-θπβα所以θβαcos )cos(=-也有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-【设计意图】在探究公式的过程中，教材不要求学生做到一步到位.首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一开始就感觉到困难，提不起向下探究的兴趣. 探究二 ●活动①对任意的()cos cos cos sin sin αβαβαβαβ-=+、 ，注：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3.式子中α、β是任意的.【设计意图】和学生一起记忆新公式，并强调如何能准确熟练的记住. 探究三 ●活动1例1利用差角余弦公式求︒15cos 【知识点】两角差的余弦公式 【解题过程】方法一：cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 30︒=︒-︒=︒︒+︒︒=方法二：cos15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45︒=︒-︒=︒︒+︒︒=【思路点拨】先找到与15°相关的特殊角，而它的配凑有几种不同形式，都可以尝试用公式计算..同类型训练题：如何求︒75sin ？解析：【知识点】两角差的余弦，诱导公式. 【数学思想】类比【解题过程】sin 75cos15︒=︒=点拨：把没有学过的形式向已经学习过的转化，当然这个题同时也提出了两角和正弦公式.例2化简求值︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（【知识点】两角差的余弦公式的逆用【解题过程】︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（2160cos )2080cos(=︒=︒-︒=（2）1=cos60sin 602︒=︒所以原式cos60cos15sin 60sin15cos(6015)︒︒+︒︒=︒-︒=点拨：根据结构形式，把公式灵活应用，逆用公式，能将特殊值转化成角的三角函数值形式.答案：（1）12（2同类型训练题：化简求值(1)cos cos(15)sin sin(15)x x x x +︒++︒(2)cos32cos77sin 32cos167︒︒-︒︒答案：（1（2解析：【知识点】两角差的余弦公式的逆用 【解题过程】cos cos(15)sin sin(15)cos(15)cos15x x x x x x +︒++︒=+︒-=︒（1）cos32cos77sin 32cos13cos32cos77sin 32sin 77=cos45︒︒+︒︒=︒︒+︒︒︒（2） 点拨：根据结构形式，把公式灵活应用，逆用公式，能将特殊值转化成角的三角函数值形式. ●活动2例345sin ,(,),cos ,cos()5213πααπββαβ=∈=--已知是第三象限角，求的值 答案：3365-解析：【知识点】同角三角函数关系，两角差的余弦公式 【解题过程】由⎪⎭⎫⎝⎛∈=ππαα,2,54sin ，得53sin 1cos 2-=--=αα又由ββ,135cos -=是第三象限角，得12sin 13β==-所以βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-所以原式=354123351351365⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点拨：先把公式中需要的单角的正弦和余弦值都求出来，此时要注意正负号的象限问题. 再套用两角差的余弦公式就可以了. 同类型训练题：已知αβ、都是锐角，1411)cos(,71cos -=+=βαα，求 βcos 的值.答案：1cos 2β=解析：【知识点】两角差的余弦公式，两角和的余弦公式，同角三角函数的关系 【数学思想】类比归纳【解题过程】法一:由1cos ,0,72παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，得sin α=又由11cos()cos(())cos cos sin sin()=-14αβαβαβαβ+=--=+-所以111cos sin 714ββ⨯=-，同时22cos +sin 1ββ=联立得 1cos 2β=法二:由题知2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以sin()sin αβα+== 1cos cos[()]cos()cos sin()sin =2βαβααβααβα∴=+-=+++点拨：此题是对公式的活用，由学生讨论解决.此题一般有两种方法可以求解.一种方法是把)cos(βα+分解，此公式还没推导，但部分学生可能会把βα+看作βα)(--，然后用两角差的余弦公式分解，再结合同角三角函数的基本关系求解.这种方法虽然较繁，但却让学生在无意当中发现了两角和的余弦公式.另一种方法是把β看做两角差，即αβαβ-+=)(，这种方法显然计算要简单得多.通过不同方法的讲解，鼓励学生从不同的角度思考问题，并指引学生在考试中选择较为简便的方法解题.【设计意图】此题理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识.解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性. 3.课堂总结知识梳理（1）了解两角差的余弦公式的推导过程；（2）熟练记忆公式和逆用形式； （3）能利用公式进行简单的化简和求值.重难点归纳（1）了解两角差的余弦公式的推导过程；（2）对公式的简单应用. （三）课后作业基础型 自主突破1.设(0,)2απ∈,若3sin 5α=,)4απ+=( )A.15B.75C.75-D.15-答案：A解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】∵(0,)2απ∈,3sin 5α=,∴4cos 5α=,原式cos cos -+sin sin -44ααππ⎤⎥⎦（）（）=431cos sin 555αα-=-= 点拨：应用公式展开，将对应的函数值代入 2.sin110sin 40cos 40cos 70+等于( )A.12-C.1 2D.答案：B解析：【知识点】两角差的余弦公式的逆用，诱导公式【解题过程】原式cos40cos70sin40sin(18070)=+-cos40cos70sin40sin70 =+=3 cos(4070)cos(30)-=-=点拨：先统一角的形式，使其与两角差的余弦公式形式一致，再用公式化简. 3.1sin10-的值是( )A.1B.2C.4D.14答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式，诱导公式【解题过程】()()()()()32cos10sin102cos103sin10=2cos60cos10sin60sin10=1cos80cos10sin80sin1022cos6010=41cos80102⎫-⎪-⎝⎡⎤-+-⎣⎦+--=-原式点拨：先将特殊值化为具体三角函数，再将公式结构配凑成标准型4.sin1212ππ-的值是( )B.D.-12答案：B解析：【知识点】特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式【解题过程】原式=12sin 12212⎫ππ--⎪⎪⎭=2cos 2cos 1264πππ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭ 点拨：先将常数配凑成特殊角的三角函数值，并让整体符合两角差的余弦公式，再化简.5.已知3sin 5α=-,α是第四象限角,则sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=____________.解析：【知识点】同角三角函数关系，两角差的余弦公式，诱导公式【解题过程】由3sin 5α=-,α是第四象限角,得4cos 5α===,于是有sin cos()cos cos sin sin 4444ππππαααα⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭4355⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 点拨：先求出需要的三角函数值，将正弦化成余弦形式，再结合两角差的余弦公式.能培养将未知的转化成已经学习过的知识的迁移能力. 6.不满足sin αsin β＝22－cos αcos β的一组α，β值是( ) A ．α＝π2，β＝π4 B ．α＝2π3，β＝5π12C ．α＝2π3，β＝π12D ．α＝π4，β＝π2答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】因为sin αsin β＝22－cos αcos β，所以cos(α－β)＝22，经检验C中的α，β不满足点拨:应用公式展开注意逆用.能力型 师生共研7.已知锐角αβ、满足4cos 5α=,1tan(=3αβ--）,求cos β.解析：【知识点】同角的三角函数值的关系，两角差的余弦公式【解题过程】αQ 为锐角,且4cos 5α=,得3sin 5α= 40,0,cos 225ππαβα<<<<=Q ∴22ππαβ-<-<又∵1tan(3αβ-=-） ∴cos()αβ-= 从而sin()tan()cos()αβαβαβ-=--=43cos cos[()]cos cos()+sin sin()(55βααβααβααβ=--=--=+⨯点拨：先求出单角的三角函数值，关键是能将所求角β利用已知的两个整体角αβα-、表示，在求角的时候注意角所在的象限及符号.8.若α为锐角，且cos α＝255，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.答案：31010解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】由α为锐角，且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin αsin π4＝22×255＋22×55＝31010 点拨：应用公式展开注意逆用.探究型 多维突破9.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0.αβγαβγ++=++=(1)求cos()αβ-的值;(2)若[0,3αβγ4π∈]、、,求sin()αβγ++的值. 答案：sin()sin 2αβγ++=π=0解析：【知识点】同角三角函数的关系，两角差的余弦公式【解题过程】(1)sin sin sin ,cos cos cos ,αβγαβγ+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,αβαβ+++=22cos()1,αβ+-=∴1cos()2αβ-=-. (2)由(1)同理得11cos(),cos()22βγαγ-=--=-, ∵[0,3αβγ4π∈]、、,由对称性,不防设03αβγ4π≥>>≥, 则03αβ4π<-<,03βγ4π<-<,03αγ4π<-≤, 又由(1)知3αβ2π-=,3βγ2π-=,3αγ4π-=,若0γ>,则33αγ4π4π=+>矛盾！ ∴0γ=,有3β2π=,3α4π=, ∴sin()sin 2αβγ++=π=0.点拨：本着消元的思想，消掉γ进一步配凑出αβ-的整体角的余弦.利用对称思想构造已知角的表示形式，进一步推出矛盾.10.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π6答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式，配角【解题过程】∵0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0,0<2α<π，∴由cos(α－β)＝55，得sin (α－β)＝－255，由cos 2α＝1010，得sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝()cos 2ααβ--⎡⎤⎣⎦＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎪⎫－255＝－22. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.点拨：公式形式牢记，利用已知角配凑α＋β自助餐 1.cos 110°cos 20°+sin 110°sin 20°= ( )A.122C.0答案：C解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】cos(11020)cos900︒-︒=︒=点拨：公式形式牢记，逆用. 2.2cos10sin 20cos 20-的值是( )C.1D.12答案：A解析：【知识点】两角差的余弦公式【解题过程】2cos10sin 20cos 20-2cos 3020sin 20=cos 20--o o o o （） 点拨：角的拆分，要尽量统一角的形式结合特殊角三角函数值.3.已知A 、B 均为钝角,sin A =sin B =则A +B 的值为( ) A.74π B.54π4D.4π答案：A解析：【知识点】两角差的余弦公式，两角和的余弦公式.【解题过程】,,cos 22A B A B ππ<<π<<π∴==cos()cos cos sin sin =(A B A B A B +=-=724A B A B ππ<+<π∴+= 点拨：将两角和的余弦配成[]cos cos cos sin sin A B A B A B -=-（-）由此题也就推导出了两角和的余弦公式4.函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是________. 答案：32π 解析：【知识点】两角差的余弦公式，三角函数图形性质.【解题过程】22222sincos cos sin sin cos cos sin sin 336363636x x x x x y ππππ=+-=+ 22cos(),3362/3x T ππ=-==π,相邻两对称轴的距离是周期的一半 点拨：先将函数式化简，要先用到两角和的余弦公式，学生可以通过上面的问题总结出公式，或者也可以将“和”转化为“差”在理解.再逆用两角差的公式收拢.5.若,22sin sin =+βα则cos cos αβ+的取值范围.答案：cos cos αβ≤+≤ 解析：【知识点】同角的三角函数关系，两角差的余弦公式【解题过程】令cos cos t αβ+=,则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+ 221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-2231722,,222t t t -≤-≤-≤≤≤≤点拨：整体换元的思想，利用同角三角函数的关系，构造两角差的余弦公式，结合函数思想将cos()αβ-表示成t 的函数，通过值域求出t 的范围.6．已知α，β∈[3π4，π]，sin ()α＋β＝－35，sin （β－π4）＝1213，则cos （α＋π4）＝________.答案：－5665解析：【知识点】同角的三角函数关系，两角差的余弦公式【解题过程】∵α，β∈[3π4，π].∴α＋β∈[3π2，2π]，β－π4∈[π2，3π4]，又sin(α＋β)＝－35，sin （β－π4）＝1213，∴cos(α＋β)＝1－sin 2(α＋β)＝45，cos （β－π4）＝－1－sin 2(β－π4)＝－513.∴cos （α＋π4）＝cos[(α＋β)－（β－π4）]＝cos(α＋β)cos （β－π4）＋sin(α＋β)sin （β－π4）＝45×（－513 ）＋（－35 ）×1213＝－5665. 点拨：整体换元的思想，利用同角三角函数的关系，构造两角差的余弦公式.。
高中数学《两角差的余弦公式》教案和教案说明
3.1.1 两角差的余弦公式教学分析本节首先引导学生对cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出α-β角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的由来;②使学生认识公式的结构特征,加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明;④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.课时安排1课时教学过程导入新课思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.推进新课新知探究提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=231-,这一反例足以说明cos(α-β)≠cosα-cosβ. 0060,30,αβ==如让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.问题②,既然cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是α-β这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1,设角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠POP 1=β,则∠POx=α-β.过点P 作PM 垂直于x 轴,垂足为M,那么OM 就是角α-β的余弦线,即OM=cos(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P 作PA 垂直于OP 1,垂足为A,过点A 作AB 垂直于x 轴,垂足为B,过点P 作PC 垂直于AB,垂足为C.那么,OA 表示cosβ,AP 表示sinβ,并且∠PAC=∠P 1Ox=α.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina =cosβcosα+sinβsinα,所以,cos(α-β)=cosαcosβ+sinα sinβ.教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图2问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),∠AOB =α-β.由向量数量积的定义有OA ·OB =|OA ||OB |·cos(α-β)=cos(α-β), 由向量数量积的坐标表示有·=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ, 于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则OA ·OB =cosθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β). 由此可知,对于任意角α、β都有此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题④,教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了. 问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23, cosα=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.讨论结果:①—⑤略.应用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,从而就可以直接套用公式C (α-β)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.不查表求sin75°,sin15°的值解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos (α-β)的值. 活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(α-β)的值,必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值,然后利用公式C (α-β)即可求解.从已知条件看,还少cosα与sinβ的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角α、β所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成.解:由sinα=54,α∈(2π,π),得 cosα=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯- 点评:本题是直接运用公式C (α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.变式训练已知sinα=54,α∈(0,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.解:①当α∈［2π,π)时,且sinα=54,得cosα=53)54(1sin 122-=--=--a , 又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 s inβ=22)135(1cos 1---=--β=1312-. 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-. ②当α∈(0,2π)时,且sinα=54,得 cosα=53)54(1sin 122=-=-a , 又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6563)1312(54)135(53-=-⨯+-⨯ 点评:本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同.由于α∈(0,π),这样cosα的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角α进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.作业1、 课本习题3.1 A 组2、3、4任选两题；2、 （选做题）课本习题3.1 B 组第4题.教案说明：1.本节课是典型的公式教学模式,因此本节课的设计流程为“实际问题→猜想→探索推导→记忆→应用”.它充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导、证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而培养学生独立探索数学知识的能力,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性.2.纵观本教案的设计,学生发现推导出公式C(α-β)后就是应用,同时如何训练公式的正用、逆用、变形用也是本节的重点难点.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的.3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的推理特点,本节主要是教给学生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增强了学生的参与意识,教给了学生发现规律、探索推导,获取新知的途径,让学生真正尝到探索的喜悦,真正成为教学的主体.学生体会到数学的美,产生一种成功感,从而提高了学习数学的兴趣.。
两角差的余弦公式教学设计及点评定稿版
两角差的余弦公式教学设计及点评定稿版教学设计：两角差的余弦公式一、教学目标1.了解两角差的余弦公式的含义和应用背景。
2.掌握两角差的余弦公式的表达方式和解题方法。
3.能够运用两角差的余弦公式解决实际问题。
二、教学内容1.两角差的余弦公式的概念和导出过程。
2.应用例题分析和解答。
三、教学过程1.导入新知识（10分钟）介绍两角差的余弦公式的应用背景和重要性，引起学生对该内容的兴趣和好奇心。
2.概念讲解（15分钟）解释两角差的余弦公式的概念和含义，包括公式的表达方式和在几何图形中的意义。
通过几个简单的例子帮助学生理解公式的实际应用。
3.导出过程（20分钟）4.应用例题演练（30分钟）解答一些简单的例题，让学生动手计算两角差的余弦值，加深对公式的理解。
适当选择一些实际问题的例题，让学生看到公式在实际问题中的应用价值。
5.拓展应用（15分钟）给学生一些更复杂的应用题，让他们运用所学知识解决这些问题。
鼓励学生多思考，发散思维，寻找不同的解题方法。
6.归纳总结（10分钟）总结两角差的余弦公式的应用范围和解题方法，并强化公式的记忆和理解。
鼓励学生用自己的话表达公式的含义，加深对公式的理解。
四、教学点评在拓展应用环节，教师给学生一些更复杂的应用题，让学生运用所学知识解决这些问题。
这是一个很重要的环节，能够培养学生的思考能力和解决问题的能力。
同时，教师鼓励学生多思考，发散思维，寻找不同的解题方法，培养学生的创造力和创新意识。
在总结归纳环节中，教师引导学生用自己的话表达公式的含义，加深对公式的理解。
这种方式能够增强学生对知识的理解和记忆，并培养学生表达能力和思维能力。
同时，教师还进行了复习巩固，加深学生对公式的记忆和理解。
总之，这个教学设计环环相扣，层层深入，既加强了学生对两角差的余弦公式的理解，又培养了学生解决问题的能力和思考能力。
5.5.1第一课节两角差的余弦公式教学设计
必修第一册高一第一学期课题：5.51第一课时两角差的余弦公式一.设计背景:本节课是在“停课不停学”的背景下，结合钉钉软件设计的一节线上教学课，本节课结合自己在线上教学的实践经验，利用信息技术对教学内容的呈现，与学生的互动，作业的提交与批改进行了一定优化和探索，从而更好的进行线上教学。
钉钉软件而功能比较齐全，很好地解决了线上上节课应用软件过多，学生应接不暇的问题。
二.设备:电脑、手机（用来监控直播画面）、麦克风、数位板软件：钉钉电脑软件，Epic pen屏幕书写软件，数学专用软件GeoGebra，OneNot2013软件三.内容分析:本节内容为人教A版必修第一册，“5.5三角恒等变换”的起始课，由于和、差、倍角之间存在密切的联系，由“两角差的余弦公式”可得到后续的一些公式，是本章的基础。
本节的核心是两角差的余弦公式的推导及在推导过程中体现的思想方法（数形结合、化归转化等），公式的简单应用。
培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养。
本节为公式教学，应该使学生了解公式由来，认识结构特征，掌握推导过程，熟悉公式应用。
四.教学目标：1.结合图形，经历推导两角差的余弦公式的过程，了解两角差的余弦公式的含义，培养学生数学抽象的能力2.理解两角差的余弦公式的探索、推导及初步应用，培养学生的逻辑推理能力。
3.合理的运用两角差的余弦公式进行计算，培养学生的数学运算的基本素养。
4.学生经历用两点间距离公式推导两角差的余弦公式的过程，并通过简单的运用，让学生初步的理解公式的特点及作用，为推导后续公式打好基础，重视对公式的实际应用。
三.教学重点、难点重点：两角差的余弦公式的初步应用难点：两角差余弦公式的推导过程四.学情分析学生在前面已经学习了三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、诱导公式，为探究两角差的余弦公式打下了一定的基础。
学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式C(α-β)有一定的难度，教师可以适时适度的引导学生，探索两角差的余弦公式，完成本课的学习目标。
高中数学必修四《两角差的余弦公式》优秀教学设计
3.1.1两角差的余弦公式一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
三、教学重点难点重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点 探索过程的组织和引导。
四、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
五、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课时安排：2课时 七、教学过程（一）创设情景，揭示课题以文峰塔高度测量为背景素材（见课件）引入问题。
并针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。
问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15（2）0cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？(3)如何用450和300求0cos15?设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。
（二）、研探新知 1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。
《两角差的余弦公式》优质课教学设计
高中数学人教A版必修4第三章《3.1.1两角差的余弦公式》（第一学时）教学设计一、教学目标：1. 通过对两角差的余弦公式的猜想和探究过程,培养学生通过交流,探索,发现和获得新知（二）新知探究在平面直角坐标系xOy 中内作单位圆O ,以Ox 为始边作角βα,，它们的终边与单位圆的交 点分别为B A ,，则()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==OB OA 由向量数量积的坐标表示有：βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA 。
设向量OA 与OB 的夹角为θ，由向量数量积的定义有：θθcos ==⋅OB OA ，所以βαβαθsin sin cos cos cos +=。
已知()()Z k k Z k k ∈+=∈++=πθβαπθβα2-2或，所以()Z k k ∈±=-θπβα2，所以()θβαcos cos =-，又因为βαβαθsin sin cos cos cos +=，所以可知对任意角βα,，都有()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-。
（三）巩固理解例1、利用差角余弦公式求o15cos 的值。
分析:本题关键是将o15角分成o45与o30的差或者分解成o60与o45的差,再利用两角差的余弦公式即可求解。
例2、已知,135cos ,,2,54sin -=⎪⎭⎫⎝⎛∈=βππααβ是第三象限角，求()βα-cos 的值。
分析:观察公式()βα-cos 与本题已知条件应先计算出αcos ,βsin ,再代入公式求值。
求βαsin ,cos 的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意βα,的取值范围来求解。
例3、求值（1）oooo35sin 65sin 35cos 65cos + （2）απααπαsin 3sin cos 3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+（3）oooo 40cos 110sin 50cos 110cos + （4）oooo42sin 78cos 42cos 12cos +为o50sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o60cos ；对于(4),可先用诱导公式化o 78cos 为o 12sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o 30cos 。
两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式
教学目标
（一）知识目标
1、理解两角差的余弦公式的推导过程，并会利用两角差的余弦公式解决简单问题。
（二）能力目标
通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，学生体会利用已有知识解决问题的一般方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
（三）情感目标
使学生经历数学知识的发现、探索和证明的过程，体验成功探索新知的乐趣，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
教学重点与难点
重点：两角差的余弦公式的探索和简单应用
难点：两角差的余弦公式的猜想与推导，探索过程的组织和引导
教学方法与手段
教学方法：探究教学法
学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学手段：多媒体辅助教学
教学过程
在_____=∆OB OAB Rt 中，
在____=∠∆PAC OAP Rt 中，______=CP _____=BM 在=∆OM OPM Rt 中，__________=+=BM OB OM __________)cos(=-∴βα
板书设计。
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《两角差的余弦公式》教学设计
一、教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
四、教学设想：
（一）导入：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302
=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=
（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）
展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到c o s ()c o s c o s s i n αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.
思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？
提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
展示多媒体课件
比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.
思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出
()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦
（三）例题讲解
例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.
解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.
()232162cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin3022224-=+=-=⨯-⨯= ()232162cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin3022224
+=-=+=⨯+⨯= 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.
例2、已知4sin 5α=
，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭
是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得2
243cos 1sin 155αα⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭ 又因为5c o s ,13
ββ=-是第三象限角，所以22512sin 1cos 11313ββ⎛⎫=--=---=- ⎪⎝⎭
所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.
（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
（五）作业：15012.P T T -。