(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
两角和与差及二倍角公式定理讲义,例题含规范标准答案
3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。
sin2α= ；cos2α= = =tan 2α= 。
3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+其中，cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。
5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---如：tan 95tan 3595tan 35-=oooo。
高考数学一轮复习 专题4.3 两角和与差及二倍角的三角函数(测)
专题4.3 两角和与差及二倍角的三角函数一、填空题1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 【解析】依题意得cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π42＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23.2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sinπ5sin αcos αcos π5－sinπ5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝34．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝ 【解析】由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ①由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ②由①②可得cos α＋sin α＝－15， ③由①③可得sin α＝35.5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是【解析】 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．【解析】∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π8．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23>0，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－1569．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.【解析】由题意得tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3.答案：－2π310．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________.二、解答题11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α.因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋2212×35－32×45＝10＋32－4620.12．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．。
两角差的公式练习试题及答案(整理)
第三章 三角函数恒等式一、两角和与差的余、正弦公式公式：=+)cos(βα =+)sin(βα=-)cos(βα )sin(βα-=例1 求值：（1）12cosπ= （2）︒105cos = （3）=︒15sin （4）125sin π= 例2 化简（1） 17sin 13cos 17cos 13sin +=（2）-cos70︒cos20︒+sin110︒sin20︒=（3）)25sin()55cos()25cos()35cos(αααα+︒+︒-+︒︒-=（4）=--+)4cos()4cos(θπθπ 例3 已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求sin2α的值例4 利用和（差）角公式化简 （１）x x sin 23cos 21-= （２）x x cos sin 3+=练习：1．在ABC ∆中 （１）若135cos ,53sin ==B A ，求C cos ； （２）若1312cos ,53sin ==B A ，求C cos ．2．已知53cos =ϕ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πϕ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin πϕ= 3．求值（1）()[]︒︒+︒+︒80sin 210tan 3110sin 50sin 22；（2）︒︒-︒70sin 20sin 10cos 28sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin )3(-+)32sin(3)3sin(2)3sin()4(πππ--++x x 4．已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，求βαtan tan 的值.5.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，求αβαtan )tan(+的值6．已知21cos cos ,31sin sin =--=-βαβα，求)cos(βα-的值．7. 已知βα,都是锐角，且βαβα+==求,1010sin ,55sin 的值二、两角和与差的正切公式：=+)tan(βα =-)tan(βα例1 求值： （1）tan15︒= ，tan75︒= ，cot15︒= （2）︒︒-︒+︒43tan 17tan 143tan 17tan = （3）75tan 175tan 1-+= 例2 已知α、β为锐角，且53sin =α，71tan =β，求βα+．例3 （1）计算 40tan 20tan 340tan 20tan ++（2）证明：已知Z k k B A ∈+=+,4ππ，求证2)tan 1)(tan 1(=++B A练习： 在△ABC 中，tan A ＝31，tan B ＝－2，则C ＝ 在△ABC 中，若1-cot A ·cot B ＜0,则△AB Ｃ一定是( )A 等边三角形B 直角三角形 Ｃ锐角三角形 Ｄ钝角三角形3.计算 tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°4..已知βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且)23,2(,ππβα∈，试求βα+的值.三、倍角公式公式：α2sin = =α2cos = = =α2tan =例1 求值（1）0367cos 0367sin 2'︒'︒（2）8sin 8cos 22ππ- （3）112cos 22-π（4）︒-75sin 212（5）︒-︒5.22tan 15.22tan 22 （6）)4cos()4cos(θπθπ+- （7）︒+-15si n 34312 （8）θθcot tan -（9）θθ2cos cos 212-+例2 化简并求值：（1）cos20︒cos40︒cos80︒ （2）sin10°sin30°sin50°sin70°（3）θ-θ+θ-θ-+θ-θ-θ-θ+sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1 （4）)10tan 31(50sin +例3 已知5sin(),(0,),4134x x ππ-=∈求x 2cos 的值.练习：1.已知α为锐角，且582sin sin ：：=αα，则αcos 的值为（ ） .A 54 258.B 2512.C 257.D 2．若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,25ππα，则ααsin 1sin 1-++的值为（ ） .A 2cos 2α2cos 2.α-B 2s i n 2.α-C 2sin 2.αD 3．若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( ) A .sin 2α B .cos 2α C .－sin 2α D .－cos 2α 4.已知θ是第三象限的角，且95cos sin 44=+θθ，则=θ2sin （ ）.A 232232.-B 32.-C 32.D5．sin6°cos24°sin78°cos48°的值为( ) 81D. 321C. 161B. 161A.- 6．已知()πααα<<-=+0231cos sin ，则α2cos 的值为（ ） .A 21± 21.B 41.±C 41.D 7.化简或求值（1）2sin 2cos 44αα- (2)ααtan 11tan 11+-- (3)︒-︒10cos 310sin 18.若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值9.已知71tan =α，31tan =β，2,0πβα<<，求βα2+的值．10.求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值四、半角公式===2tan 2cos 2sinααα 例1 用半角公式求12cos π，︒15sin 以及︒15tan 的值例2 已知sin α - cos α =21，π<α<π2，求2tan α例3 求值：.70sin 170cos )5cot 5(tan ︒+︒⋅︒-︒ 例4 求证.2tan cos 1cos 2cos 12cos 4cos 14sin x x x x x x x =+⋅+⋅+练习：1、如果｜cos θ｜＝51，25π＜θ＜3π,则sin 2θ的值等于() 515D. 515C. 510B. 510A.--。
高考数学总复习 第三章 第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时精练试题 文(含解析)
第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式题号 1 2 3 4 5 6 7答案1.计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：原式＝cos 45°＝22.故选B.答案：B2．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.318 B.322 C.1318 D ．－1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案：D4．(2012·江西卷)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D.答案：D5．(2012·重庆卷)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79答案：C 7．(2012·山西省考前适应性训练)已知α，β都是锐角，cos 2α＝－725，cos (α＋β)＝513，则sin β＝( )A.1665B.1365C.5665D.3365解析：∵cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝－725，又α为锐角，∴cos α＝35， sin α＝45.∵cos (α＋β)＝513，∴(α＋β)为锐角，sin (α＋β)＝1213.∴si n β＝sin []α＋β－α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝1213×35－513×45＝1665.故选A. 答案：A8．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________.解析： cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，所以cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79.答案：－799．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝________________.解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π，故α＋β＝π2.答案：π210．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________.解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.答案：13411．(2013·广州二模)已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则sin α＝__________.解析：因为α为锐角，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，则sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210. 答案：21012．(2013·江门一模)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最大值；(2)若点P (－3,4)在角α的终边上，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8的值．解析：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最大值为 2.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2cos 2α， P (－3,4)在角α的终边上，cos α＝－35.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＝22cos 2α－2＝－7225.13．(2013·梅州二模)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，若f (C )＝2,2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，求tan A 的值．解析：(1)函数f (x )＝2cos 2＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴函数的最小正周期为2π2＝π.(2)∵f (C )＝2，∴2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＝12， ∵0＜C ＜π，∴π6<2C ＋π6<2π＋π6，∴2C ＋π6＝5π6，C ＝π3；∵2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2 sin A sin C ， ∴sin(A ＋C )＝sin A sin C ，即：sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A sin C ，即：tan A ＝sin C sin C －cos C ＝sinπ3sin π3－cos π3＝3232－12＝3＋32.。
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；7、若αα23tan ，则=所在象限是；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ；9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan · ；10、化简3232sin cos x x +=。
三、解答题： 11、求的值。
·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。
cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。
两角和与差的三角函数及倍角公式答案一、 1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。
3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B提示: ∵cos(A + B ) > 0∴角C 为钝角。
(完整版)专题三：两角和差公式、二倍角公式
暑期培训专题三两角和差公式、二倍角公式1. 两角和与两角差公式： (2) sin( a + 3 )=(4) sin( a - 3 )=(6) tan( a - 3 )=2. 倍角公式： (1) sin2 a = ____________________________ :(2) COS2 a = _____________ = ________ (3) tan2 a =-,试求：(1) cos( ) ； (2) tan( ).5 4 3变式 1 cos75O =__________________________o2. tan 105 = ________________________54 3. 在△ ABC 中，已知 cosA =, cosB =，求 cosC 的值1354. △ ABC 不 是直角三角形，求证：tan A ta nB ta nC tan A?ta nB?ta nC1例 2、①已知 sin( + ) =, sin(2(1 ) COS ( a + 3 )= ______ (3)COS ( a - 3 )= _________(5) tan( a + 3 )=降幕公式：sin 2a2cos a = ________________;sin cos = ______例1设Q ),若sin)=—，求-tan—的值10 tan已知 sin +sin =3cos +cos—，求 cos(52变式(1)、( 07 福建)sin 15°cos75° cos15o sin105o例5、求证： cosx+sinx= ■, 2 cos(x)4二倍角公式应用：11、（ 08 浙江）若 sin （— ）—,贝U cos2 _____________________2 5(2) si n17 cos47sin 73 cos43 =例3.已知3■ ?, cos()44 44）的值.1 tan15 sin(—4tan1513’求 sin( +变式：已知壬 V aV, cos ( a — 3)=12 , sin ( a + 3)=—-，求 sin2 a 的值. 135例 4、tan10 tan 20 , 3(tan10 tan20 ) = __________变式〔、已知tan ,tan 是方程x 2 5x0的两个实根，求tan （ ）的值。
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
两角和与差及二倍角公式
计算cos(π/3 - α)的值。
例题2
计算sin2α的值。
解
利用两角和与差公式，cos(π/3 - α) = cosπ/3cosα + sinπ/3sinα = 1/2cosα + √3/2sinα。
解
利用二倍角公式，sin2α = 2sinαcosα。
THANKS
谢谢
二倍角公式的应用
计算三角函数值
利用二倍角公式，可以计算一些三角函数值，例如计算sin2α、 cos2α等。
证明三角恒等式
通过二倍角公式，可以证明一些三角恒等式，例如 sin2α=2sinαcosα等。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度的调整、测量等，可以利用二倍角 公式进行计算。
例题解析与解答
公式应用与例题解析
两角和与差公式的应用
计算角度的和与差
利用两角和与差公式，可以方便 地计算两个角的和或差，例如计 算两个角的和或差的角度。
简化三角函数式
通过两角和与差公式，可以将复 杂的三角函数式进行简化，从而 便于计算或化简。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度 的调整、测量等，可以利用两角 和与差公式进行计算。
04
角的乘法性质是三角函数中一个重要的性质，它可以用于推导其他的 三角函数公式和定理。
03
CHAPTER
公式推导与证明
两角和与差公式的推导
两角和公式推导
利用三角函数的加法公式，将两角视 为不同象限的角，通过三角函数的性 质推导出两角和的三角函数公式。
两角差公式推导
利用三角函数的减法公式，将两角视 为同象限的角，通过三角函数的性质 推导出两角差的三角函数公式。
两角和与差及二倍角公式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
成功是必须的
:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例
知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=
T( a + 3 ): tan( a + 3 )=
2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2
h
例 2 设 cos a —
2
1 9’
T 2 : tan2 . a
sin 2 — 2
3,其中
n 2,
n
0, 2，求 cos( a+ 3).
sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =
— — ,
3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：
tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B
、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知0
3
.
ncos(— 4 4
3
5，sin( 4
)—,求 sin( a + 3 )的值. 13
则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角
已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：
(1)确定角所在的范围;
值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1
例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.
(2)求角的某一个三角函数
n a — 6 +
A —症
A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 4
3」 B
辺
B.
5 4 q 5
cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65
sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.
65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )
C . 0 或 3 4
D ・5
16 65 0或土 3
A . 0
B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin5
5、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5
B.
o
■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 1
1
变式3:已知tan a =
, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.
7 3
题型4辅助角公式的应用
J 2
2
asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，
角的值由
b
tan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
a
例4求函数f(x) 5sin xcosx ^3cos 2 x —V 3( x R)的单调递增区间？
2
变式4( 1)如果f x sin x 2cos(x )是奇函数，则tan
变式1 :化简求值:
题型2给值求值
2cos10 sin 20
cos20
(2)若方程si nx J3cosx c 有实数解，则c 的取值范围是 ____________________
题型5公式变形使用 二倍角公式的升幕降幕
三角函数的给值求值问题解决的关键在于把
所求角
用“已知角”表示.
10、
4
2 成功是必须的
tan tan tan 1 mta n tan
, , ‘ tan tan tan tan 1 m
tan( )
11、(1 tan 22 )(1 tan23 )=
12、tan 10 tan20
. 3(tan10 tan 20 )=
例 5 (1 )设 ABC 中，ta nA tan B .3 . 3ta n Ata nB , si n Acos A
_3
4
则此三角形是 1
13、(福建理 17)在△ ABC 中，tan A ， tan B
4
三角形 (2)化简.1-sin8 2 2cos8 (I)求角C 的大小;
(□)若△ ABC 最大边的边长为
.17，求最小边的边长.
变式5已知A 、B 为锐角，且满足tan AtanB tan A tanB 1，则cos(A B)= 专题自测 1 仁下列各式中，值为的是 sin 15o cos15o 2 . 2 cos sin
12 12 tan 22.5° 1 tan 222.5o 1 cos30o
1
13
14、(四川理 17)已知 cos , cos( )
,且0< < < , 7
14 2
(1)求tan2的值. (2 )求•
2、命题
P ： tan( A
B) 0 ,命题 Q : tan A tan B 0，则P 是Q 的 3、 4、
5、 6、 7、 9
、 充要条件 已知 sin 3
,tan 5 3 1 sin 2 20 cos 2 20 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 既不充分也不必要条件
sin( x 2sin( x cos(x 27°
)cos(18° 2亦 [t .
■
■
右 sin ,sin 5 0则 tan( ) 4 64sin 2
20 ) .3 cos(- x)= 3 3 x) sin (18° x)s in (x 270) = 3 .10
10 都为锐角，
则
在厶ABC 中，已知ta n A 、tan B 是方程3x 2 + 8x — 1 = 0的两个根，则tan C 等于
1 3 sin 10o sin80o
2 cos10 sin 20
sin 70
们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点，已知A,B 两点的横坐标分别为
-，--
10
5
(1)求 tan( a + 3 )的值；
(2)求a +2 3的值•
15、(2008 •江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角 a ,
答案：考点自测：1-5BCADD 变式1、. 3
56 65
专题自测：1、C 2、C 3、
7 4、32 5、0 6
4 (1) 、
—2 (2) [ — 2,2] 5、
2
7 、 -
8 、 2 9 、 4 10 、
3
11、2 12、1 13 1C 3 n2 BC 2 14、1 8473 2
一15 (1)—3 (2)
3
成功是必须的。