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正方形经典难题(有解析)

正方形经典难题(有解析)

正方形经典难题(有解析)已知正方形ABCD是一个正方形。

一、F为CD上一点,,G为对角线BD上一点,且FG⊥BD,M为BG中点,连接AM、MF。

求证:AM=MF,AM⊥MF方法一:考虑到M是BG中点,GF∥BC,所以想到倍长中线证明:延长CB、FM交于点I,连接AI、AF∵GF⊥CD,∴GF∥BC∴∠GFM=∠MIB又GM=MB,∠IMB=∠FMG∴△GMF≌BMI所以MF=MI,BI=GF在Rt△ADF与Rt△ABI中AB=AD,DF=GF=BI∠ADF=∠ABI=90°∴△ADF≌△ABI所以AF=AI,∠1=∠2∠IAF=∠2+∠BAF=∠1+∠BAF=90°所以△IAF是一个等腰直角三角形又MI=MF∴△AMF是一个等腰直角三角形所以AM=MF,AM⊥MF方法二:可以将需要证明的结论看做是一个三角形绕M点旋转90°的结果,条件中又有MG=MB,所以想到构造一个三角形与△MGF全等。

证明:延长FG交AB于J,连接JM∵GF⊥CD∴四边形AJDF和四边形BJFC均为矩形所以AJ=DF=GF,BJ=CF在△BJG中,∠JBG=45°,GJ⊥BJ,又M为BG中点故JM=BM=GM,∠BJM=45°∵∠DGF=45°∴∠MGF=∠AJM=135°在△AJM和△FGM中,JM=GM,AJ=GF,∠MGF=∠AJM∴△AJM≌△FGM∴AM=MF,∠AMF=∠JMG=90°,即AM⊥MF二、E是BC上一点,F是CD上一点,∠EAF=45°,AE、AF分别交BD于M、N,连接MF求证:AM⊥MF,AM=MF方法一:联想到上题的图形,仍然考虑过F做CD的垂线证明:过F做FH⊥CD交BD于H,过F做FG⊥AF交AE延长线于G,连接AH、HG、BG∵∠EAF=45°∴△AFG为等腰直角三角形∴AF=FG又∠AFD=∠GFH=90°-∠AFHDF=HF∴△ADF≌△GHF∴HG=AD,HG⊥HF∴HG=AB,HG∥AB所以四边形AHGB是平行四边形∴M是AG中点∴△AMF为等腰直角三角形∴AM⊥MF,AM=MF方法二:首先证明一个题目四边形ABCD是一个正方形,F为CD上一点,QD为∠ADS的角平分线,且QF=BF求证:QF⊥BF证明:过F分别向QD、BD做垂线,垂足分别为G、H∵AD⊥SC∴∠GDF=∠QDS=45°又∠BDC=45°所以CD是∠HDG的角平分线又HF⊥BD、FG⊥DG∴HF=FG在Rt△QFG和Rt△BFH中QF=BF,HF=FG所以△QFG≌△BFH∴∠Q=∠DBF∴∠QFB=∠QDB=90°即QF⊥BF联想到此题的做法,给出以下证明证明:过A做AQ⊥AE,并截取AQ=AM,连接QF,过F分别向QD、BD做垂线,垂足分别为G、H∵AQ⊥AM,AD⊥AB∴∠QAD=∠MAB又AQ=AM,AD=AB∴△AQD≌△AMB∴∠ADQ=∠ABM=45°又AD⊥CD∴∠CDG=45°∴CD平分∠BDG又HF⊥BD,FG⊥DG∴HF=FG在△AQF和△AMF中∠QAF=∠EAF=45°AQ=AM,AF公共所以△AQF≌△AMF∴QF=FM在Rt△QFG和Rt△MFH中,QF=FM,FG=HF∴△QFG≌△MFH∴∠DQF=∠DMF∴∠QFM=∠QDM=90°又AQ=QM,QF=FM,∠QAM=90°易证四边形AQFM为正方形所以AM⊥MF,AM=MF三、E为BC上一点,F为CD上一点,∠EAF=45°,AE、AF分别交BD于M、N,连接EF。

正方形练习题(含答案)

正方形练习题(含答案)

正方形知识点一:正方形的定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

知识点二:正方形的性质:1.正方形的四个角都是直角,四条边都相等;2.正方形的对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。

知识点三:正方形的判定方法:1.正方形的定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2.有一组邻边相等的矩形是正方形;3.有一个角是直角的菱形是正方形.练习题:1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( C )A .对角线相等且互相平分B .对角线相等且互相垂直平分C .对角线互相平分D .四条边相等,四个角相等2.如图, E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点,且CE =DF ,AE 、BF 相交于点O ,下列结论①AE =BF ;②AE ⊥BF ;③AO =OE ;④AOB DEOF S S ∆=四边形中,错误的有( A ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个3.如图,E 是正方形ABCD 内一点,如果△ABE 为等边三角形,那么∠DCE= 15 度. 4.如图,E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点,且CE=AC ,AE 交CD 于点F ,则∠E= 22.5 度.5.如图,若P 是边长1的正方形ABCD 内一点且S △ABP =0.4,则S △DCP = 0.1 .分析:过P 作EF ,使EF ∥BC ,则EF ⊥CD ,EF ⊥AB ,∴S △ABP =错误!未找到引用源。

AB•EP ,S △CDP =错误!未找到引用源。

CD•PF ,根据S △ABP +S △CDP =错误!未找到引用源。

6.如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=80°,AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ,E 为垂足,连接DF ,则∠CDF 的度数= 60 度.7.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 为边AD 的中点,延长MD 至点E ,使ME =MC ,以DE 为边作正方形DEFG ,点G 在边CD 上,则DG 的长为 5-18.如图,E F G H ,,,分别为正方形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上的点,且13AE BF CG DH AB ====,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为 2/5 9.如图,菱形ABCD 中,∠B =60°,AB =2,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,连接AE 、EF 、AF ,则△AEF 周长为 3310.如图,已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点,且BP = BC ,则∠ACP 度数是 22.5度 .11.已知正方形ABCD 的边长为1,连接AC ,BD ,CE 平分∠ACD 交BD 于点E ,则DE = 2- 1 .11.如图,点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点,过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F .求证:DE DF =.证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=900又∵DF ⊥DE ,∴∠1+∠3=∠2+∠3∴∠1=∠2在Rt △DAE 和Rt △DCE 中,∠1=∠2,AD=CD ,∠A=∠DCF∴Rt △DAE ≅Rt △DCE (ASA) ∴DE=DF .第2题 第3题 第4题 第5题 第6题12.如图,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC BD ,交于点O ,E 是BD 延长线上的点,且ACE △是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD 是菱形;(2)若2AED EAD ∠=∠,求证:四边形ABCD 是正方形.证明:(1)四边形ABCD 是平行四边形,AO CO ∴=.又ACE Q △是等边三角形,EO AC ∴⊥,即DB AC ⊥. ∴平行四边形ABCD 是菱形;(2)ACE Q △是等边三角形,60AEC ∴∠=o . EO AC ⊥,1302AEO AEC ∴∠=∠=o .2AED EAD ∠=∠,15EAD ∴∠=o .45ADO EAD AED ∴∠=∠+∠=o .四边形ABCD 是菱形,290ADC ADO ∴∠=∠=o ,∴四边形ABCD 是正方形.13.如图,ABCD 是正方形,AE ∥DB ,BE =BD ,BE 交AD 于F ,试说明:ΔDEF 是腰三角形。

正方形复习题及答案

正方形复习题及答案

正方形复习题及答案一、选择题1. 正方形的四条边长度相等,其对角线长度是边长的多少倍?A. 1倍B. √2倍C. 2倍D. √3倍答案:B2. 如果正方形的边长为a,则其面积是多少?A. aB. a²C. 2aD. a³答案:B3. 正方形的内角是多少度?A. 45度B. 90度C. 180度D. 360度答案:B二、填空题1. 正方形的周长公式为______。

答案:4a2. 如果一个正方形的面积为64平方厘米,那么它的边长是______厘米。

答案:8三、计算题1. 一个正方形的边长为10厘米,求其对角线的长度。

解:根据勾股定理,对角线长度为边长的√2倍,即10√2厘米。

2. 一个正方形的面积为100平方厘米,求其边长。

解:面积为边长的平方,即a²=100,解得a=10厘米。

四、简答题1. 正方形和矩形有哪些相同点和不同点?答:相同点:正方形和矩形都是四边形,它们的内角都是90度。

不同点:正方形的四条边长度相等,而矩形的对边长度相等。

五、应用题1. 一个正方形的花坛,边长为20米,如果需要在花坛的四周围上一圈篱笆,篱笆的总长度是多少?解:正方形的周长为4倍的边长,所以篱笆的总长度为4×20=80米。

2. 如果一个正方形的对角线长度为26厘米,求正方形的边长。

解:根据勾股定理,设边长为a,那么a²+a²=26²,即2a²=676,解得a²=338,所以a=√338厘米。

六、判断题1. 正方形的面积总是边长的平方。

答案:√2. 正方形的对角线长度总是边长的2倍。

答案:×七、解答题1. 一个正方形的边长增加2厘米后,面积增加了20平方厘米,求原正方形的边长。

解:设原边长为a厘米,增加后的边长为a+2厘米。

根据面积公式,原面积为a²,增加后的面积为(a+2)²。

根据题意,(a+2)² - a² = 20,即4a + 4 = 20,解得a=4厘米。

正方形练习题及答案

正方形练习题及答案

正方形练习题及答案正方形是一种具有特殊几何性质的四边形,它的四条边长度相等且四个角均为直角。

在数学学习中,正方形是一个重要的几何概念,也是许多数学题目的基础。

本文将介绍一些常见的正方形练习题及其答案,帮助读者更好地理解和掌握正方形的相关知识。

1. 题目:已知正方形ABCD的边长为a,求正方形的周长和面积。

解答:正方形的周长等于四条边的长度之和,即4a;面积等于边长的平方,即a^2。

2. 题目:已知正方形的周长为20cm,求正方形的边长和面积。

解答:设正方形的边长为a,则周长为4a。

由题可得4a=20,解得a=5。

所以正方形的边长为5cm,面积为5^2=25cm^2。

3. 题目:已知正方形的面积为36cm^2,求正方形的边长和周长。

解答:设正方形的边长为a,则面积为a^2。

由题可得a^2=36,解得a=6。

所以正方形的边长为6cm,周长为4a=4×6=24cm。

4. 题目:已知正方形ABCD的边长为3x cm,求正方形的周长和面积。

解答:正方形的周长等于四条边的长度之和,即4×3x=12x;面积等于边长的平方,即(3x)^2=9x^2。

5. 题目:已知正方形ABCD的周长为24cm,求正方形的边长和面积。

解答:设正方形的边长为a,则周长为4a。

由题可得4a=24,解得a=6。

所以正方形的边长为6cm,面积为6^2=36cm^2。

以上是一些常见的正方形练习题,通过解答这些题目可以加深对正方形的理解。

在解答这些题目时,我们需要掌握正方形的特性,如边长相等、角为直角等。

同时,我们还需要灵活运用周长和面积的计算公式,将数学知识应用到实际问题中。

除了上述基础题目外,还可以通过一些拓展题目进一步提高对正方形的理解和运用能力。

例如,可以考虑如下题目:拓展题目:已知正方形ABCD的面积为64cm^2,求正方形对角线的长度。

解答:设正方形的边长为a,对角线的长度为d。

根据正方形的性质,对角线等于边长的平方根乘以√2,即d=a√2。

正方形经典题型(培优提高)

正方形经典题型(培优提高)

正方形的性质及判定知识归纳1. 正方形的定义: 有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2. 正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形. 它具有前三者的所有性质: ① 边的性质: 对边平行, 四条边都相等. ② 角的性质: 四个角都是直角.③ 对角线性质:两条对角线互相垂直平分且相等, 每条对角线平分一组对角. ④ 对称性:正方形是中心对称图形, 也是轴对称图形. 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系: (如图) 3. 正方形的判定判定①: 有一组邻边相等的矩形是正方形. 判定②:有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 重点:知晓正方形的性质和正方形的判定方法。

难点: 正方形知识的灵活应用例题讲解一、正方形的性质例1: 如图, 已知正方形 的面积为 , 点 在 上, 点 在 的延长线上, 且, 则 的长为FE D CBA变式1: 如图, 在正方形 中, 为 边的中点, , 分别为 , 边上的点, 若 , ,, 则 的长为 .变式2: 将 个边长都为 的正方形按如图所示摆放, 点 分别是正方形的中心, 则 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为例2: 如图, 是正方形 对角线 上的一点, 求证: .EDCBA变式1: 如图, 为正方形 对角线上一点, 于 , 于 .求证: .F EPDCB A例3: 如图, 已知 是正方形 内的一点, 且 为等边三角形, 那么PDCBA变式1: 如图, 已知 、 分别是正方形 的边 、 上的点, 、 分别与对角线 相交于 、 , 若 ,则 .变式2: 如图, 四边形 为正方形, 以 为边向正方形外作正方形 , 与 相交于点 ,则FEDCBA例4: 如图, 正方形 的边 在正方形 的边 上, 连接 , 求证: .GC FEDBA变式1: 如图, 在正方形 中, 为 边上的一点, 为 延长线上的一点, , , 求的度数.BDCAEF变式2: 已知: 如图, 在正方形 中, 是 上一点, 延长 到 , 使 , 连接 并延长交 于 .(1)求证: ;(2)将 绕点顺时针旋转 得到 , 判断四边形 是什么特殊四边形?并说明理由.例5: 若正方形 的边长为 , 为 边上一点, , 为线段 上一点, 射线 交正方形的一边于点 , 且 , 则 的长为 .ABCDEF EG变式1: 如图1, 在正方形 中, 、 、 、 分别为边 、 、 、 上的点, , 连接 、 , 交点为 .⑴ 如图2, 连接 , 试判断四边形 的形状, 并证明你的结论;⑵ 将正方形 沿线段 、 剪开, 再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形.若正方形 的边长为 , , 则图3中阴影部分的面积为_________ .图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA变式2: 如图, 正方形 对角线相交于点 , 点 、 分别是 、 上的点, , 求证: (1);(2) . BO D CAQP例6: 如图, 正方形 中, 是 边上两点, 且 于 , 求证:G FEC DBA变式1: 如图, 点 分别在正方形 的边 上, 已知 的周长等于正方形 周长的一半,求 的度数NMDCBA变式2: 如图, 设 正方形 的对角线 , 在 延长线上取一点 , 使 , 与交于 , 求证: 正方形的边长.HEGCDFBA例7: 把正方形 绕着点 , 按顺时针方向旋转得到正方形 , 边 与 交于点 (如图).试问线段 与线段 相等吗? 请先观察猜想, 然后再证明你的猜想.GCHF EDB A变式1: 如图所示, 在直角梯形 中, , , 是 的垂直平分线, 交 于点 , 以腰为边作正方形 , 作 于点 , 求证 .lPM FE DC BA二、正方形的判定例1: 四边形 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形 , 求证: ⑴四边形EFGH 对角互补;⑵若四边形 为平行四边形, 则四边形 为矩形.⑶四边形 为长方形, 则四边形 为正方形.HEFG DCBA变式1: 如图, 已知平行四边形 中, 对角线 、 交于点 , 是 延长线上的点, 且 是等边三角形. ⑴ 求证: 四边形 是菱形;⑵ 若 , 求证:四边形 是正方形.OEDCBA变式2: 已知: 如图, 在 中, , , 垂足为点 , 是 外角 的平分线, , 垂足为点 .⑴ 求证: 四边形 为矩形;⑵ 当 满足什么条件时, 四边形 是一个正方形?并给出证明.M ENCDBA例2: 如图, 是边长为 的正方形, 是内接于 的正方形, , 若 则 =H GFEDCBA例3: 如图, 若在平行四边形 各边上向平行四边形的外侧作正方形, 求证: 以四个正方形中心为顶点组成一个正方形.PRQ S NMFEDCBA1. 附加题:如图, 在线段 上, 和 都是正方形, 面积分别为 和 , 则 的面积为GFEDCB A如图, 在正方形 中, 、 分别是 、 的中点, 求证: .MFEDCBA如图, 正方形 中, 是对角线 的交点, 过点 作 , 分别交 于 , 若 , 则 OFE DC BA如图所示, 是正方形, 为 上的一点, 四边形 恰好是一个菱形, 则 ______.ABCDEF。

正方形练习题及答案

正方形练习题及答案

正方形练习题及答案正方形是一种常见的几何形状,具有四条边长度相等且四个角都是直角的特点。

在几何学中,对于正方形的理解和运用是非常重要的。

本文将提供一些正方形练习题,并附上详细的答案,以帮助读者深入理解和掌握正方形的特性和应用。

练习题1:已知一个正方形的边长为5cm,请计算其面积和周长。

解答:正方形的面积可以通过边长的平方求得,即:面积 = 边长 ×边长。

因此,该正方形的面积为5cm × 5cm = 25cm²。

正方形的周长等于四条边的长度之和,即:周长 = 边长 + 边长 + 边长 + 边长。

因此,该正方形的周长为5cm + 5cm + 5cm + 5cm = 20cm。

练习题2:已知一个正方形的周长为36cm,请计算其边长和面积。

解答:正方形的周长等于四条边的长度之和,即:周长 = 边长 + 边长 + 边长 + 边长。

由题可得,36cm = 4 ×边长,因此,边长 = 36cm ÷ 4 = 9cm。

正方形的面积可以通过边长的平方求得,即:面积 = 边长 ×边长。

因此,该正方形的面积为9cm × 9cm = 81cm²。

练习题3:已知一个正方形的面积为49cm²,请计算其边长和周长。

解答:正方形的面积可以通过边长的平方求得,即:面积 = 边长 ×边长。

由题可得,49cm² = 边长 ×边长,因此,边长= √49cm² = 7cm。

正方形的周长等于四条边的长度之和,即:周长 = 边长 + 边长 + 边长 + 边长。

因此,该正方形的周长为 7cm + 7cm + 7cm + 7cm = 28cm。

练习题4:已知一个正方形的面积为64m²,请计算其周长。

解答:正方形的面积可以通过边长的平方求得,即:面积 = 边长 ×边长。

由题可得,64m² = 边长 ×边长,因此,边长= √64m² = 8m。

小学数学正方形练习题及答案

小学数学正方形练习题及答案

小学数学正方形练习题及答案正方形练习题:1. 已知正方形ABCD的边长为6cm,求其周长和面积。

2. 如果正方形的周长为36cm,求其边长和面积。

3. 将一块正方形纸张剪成了一个边长为8cm的正方形和一个边长为6cm的正方形,请问剩下的纸张面积是多少平方厘米?4. 如果正方形的面积为64平方米,求其周长和边长。

5. 两个相邻的正方形的边长分别是3cm和5cm,求这两个正方形的周长之比。

6. 一个正方形的面积是另一个正方形的4倍,这两个正方形的边长之比是多少?7. 在一个正方形的四个顶点上各取一点,连接这四点会得到什么图形?它的特点是什么?8. 将一个正方形切割成4个边长为3cm的小正方形,请问切割线经过正方形的哪些顶点?9. 在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是BC的中点,连接EF 得到一条线段,它与正方形的哪些边相交?10. 现有一块正方形花纸,边长为10cm,若要将其对角线剪开形成两个合同的图形,请问每个图形的边长是多少?答案:1. 周长为:6+6+6+6=24cm,面积为:6*6=36平方厘米。

2. 边长为:36cm/4=9cm,面积为:9*9=81平方厘米。

3. 剩下的纸张面积为:8*8-6*6=64-36=28平方厘米。

4. 周长为:√64=8*4=32cm,边长为:√64=8米。

5. 周长之比为:3+3+3+3:5+5+5+5=12:20=3:5。

6. 边长之比为:√4:1=2:1。

7. 连接四个顶点得到一个菱形,特点是四条边长度相等且互相垂直。

8. 切割线经过正方形的A和C两个顶点。

9. 直线段EF与正方形的AB和CD两条边相交。

10. 每个图形的边长为:√10^2/2=10/√2=5√2cm。

正方形练习题及答案

正方形练习题及答案

正方形练习题及答案正方形练习题及答案正方形是数学中一个常见的几何形状,它具有四个相等的边和四个相等的角。

正方形的性质和应用广泛,因此在学习数学的过程中,我们经常会遇到与正方形相关的练习题。

下面,我将为大家提供一些正方形练习题及其答案,希望能够帮助大家更好地理解和掌握正方形的性质。

练习题一:已知正方形ABCD的边长为a,求正方形的周长和面积。

解答:正方形的周长等于四条边的长度之和,即周长=4a。

正方形的面积等于边长的平方,即面积=a^2。

因此,正方形ABCD的周长为4a,面积为a^2。

练习题二:已知正方形ABCD的周长为20cm,求正方形的边长和面积。

解答:设正方形ABCD的边长为a,则周长等于四条边的长度之和,即4a=20。

解方程得到a=5。

因此,正方形ABCD的边长为5cm。

正方形的面积等于边长的平方,即面积=5^2=25cm^2。

练习题三:已知正方形ABCD的面积为36cm^2,求正方形的周长和对角线长度。

解答:设正方形ABCD的边长为a,则面积等于边长的平方,即a^2=36。

解方程得到a=6。

因此,正方形ABCD的边长为6cm。

正方形的周长等于四条边的长度之和,即周长=4a=4×6=24cm。

正方形的对角线长度等于边长乘以√2,即对角线长度=a×√2=6×√2≈8.49cm。

练习题四:已知正方形ABCD的对角线长度为10cm,求正方形的面积。

解答:设正方形ABCD的边长为a,则对角线长度等于边长乘以√2,即10=a×√2。

解方程得到a=10/√2=5√2。

因此,正方形ABCD的边长约为7.07cm。

正方形的面积等于边长的平方,即面积=(5√2)^2=50cm^2。

练习题五:已知正方形ABCD的面积为64cm^2,求正方形的对角线长度。

解答:设正方形ABCD的边长为a,则面积等于边长的平方,即a^2=64。

解方程得到a=8。

因此,正方形ABCD的边长为8cm。

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典型例题一
例01.如图,在正方形ABCD 的对角线AC 上取点E ,使CE CD =,过E 点作AC EF ⊥交AD 于F.
求证:DF EF AE ==.
证明 连结CF .
在正方形ABCD 中,︒=∠=∠90DAB D ,AC 平分DAB ∠.
∵︒=∠=∠45CAB DAC , 又∵ AC EF ⊥,
∴︒=∠=∠45AFE DAC . ∴ EF AE =
在CEF Rt ∆与CDF Rt ∆中, CF CF CD CE ==,
∴)(HL CDF Rt CEF Rt ∆≅∆ ∴DF EF = ∴DF EF AE ==.
说明:本题考查正方形的性质,易错点是忽视AEF ∆是等腰直角三角形.
解题关键是证AEF ∆是等腰直角三角形和连CF 证CEF CDF ∆≅∆.
典型例题二
例02.如图,已知:在ABC ∆中,︒=∠90ACB ,CD 是ACB ∠的平分线,AC DE //交BC 于E ,BC DF //交AC 于F .
求证:四边形CEDF 是正方形.
分析:要判定一个四边形是正方形有这样几种方法:①按照定义证明,②先证明它是菱形,再证它有一个角等于︒90. ③先证明它是矩形,再证它有一组邻边相等,那么本题中,因有一个角︒=∠90ACB ,且有两对平行线段,我们不妨采用第三种证明方法. 那么由角平分线的性质定理容易证出DF DE =.
证明:∵BC DF AC DE //,//(已知) ∴ 四边形CEDF 是平行四边形.
∵ ︒=∠90ACB (已知),
∴ 四边形CEDF 是矩形(有一个角是︒90的平行四边形是矩形).
∵ ︒=∠90,//,//ACB BC DF AC DE (已知), ∴ ︒=∠=∠90DFC DEC
又∵ CD 是ACB ∠的平分线(已知),
∴ DF DE =(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∴ 四边形CEDF 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
说明 正方形是特殊的平行四边形,也是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的特殊菱形.所以在判断一个图形是否为正方形时,由它的特殊性出发,通过先证它是平行四边形、矩形和菱形来完成.
典型例题三
例03.已知:如图,在正方形ABCD 中,E 为AD 上一点,BF 平分CBE ∠交CD 于F .
求证:AE CF BE +=.
证法1 延长DC 至N ,使AE CN =,连结BN ,则CBN ABE ∆≅∆.
∴ BN BE CBN ABE =∠=∠,.
∵四边形ABCD 为正方形, ∴ AB CD // ∴ ABF NFB ∠=∠.
∵ CBF NBC NBF EBF ABE ABF ∠+∠=∠∠+∠=∠,,FBC EBF ∠=∠,
∴NFB NBF ∠=∠ ∴ CF CN NF BN +==
∴ CF AE BE +=
证法2 如图,延长DA 到G ,使CF AG =,连结BG ,则BCF BAG ∆≅∆.
∴ CF AG CFB G CBF ABG =∠=∠∠=∠,,.
∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴BC AD // ∴CFB ABF ∠=∠
∵CBF EBF ∠=∠, ∴EBF ABG ∠=∠
∴ABE EBF ABE ABG ∠+∠=∠+∠, 即ABF EBG ∠=∠
∴EBG G ∠=∠
∴ CF AE AG EA EG EB +=+==
说明 构造全等三角形是关键
典型例题四
例04.如图,已知:E 是正方形ABCD 的边AD 的中点,F 是DC 上的一点,且CD DF 4
1=
. 求证:BE EF ⊥.
分析:因为AB CD DF 4141==,AB AE DE 2
1==,所以若设a DF =,则EF 、BE 都可以用含有a 的代数式表示. 由此,我们想到,为了证明BE EF ⊥,即为了证明︒=∠90BEF ,不妨使用勾股定理的逆定理. 为此,连结BF ,则只需证明222EF BE BF +=就可以了.
证明:连结BF , ∵ 四边形ABCD 是正方形,
∴ DA CD BC AB ===, ︒=∠=∠=∠=∠90D C ABC A 因为AD DE AE CD DF 2
1,41===, ∴若设a DF =,则a AB a DE AE 4,2===,
在RtABE 中,根据勾股定理, 2
2222220)2()4(a a a AE AB BE =+=+=
在EDF Rt ∆中,根据勾股定理, 2222225)2(a a a DF ED EF =+=+=
在BCF Rt ∆中,根据勾股定理 22222225)4()4(a a a a CF BC BF =-+=+=
∴ 有222225a EF BE BF =+= ∴ BFE ∆是直角三角形,且︒=∠90BEF ,
即EF BE ⊥.
说明 由正方形的特殊性,它不仅有平行四边形的性质,正方形的性质,还有菱形的性质,在给出一个四边形是正方形时,要能够灵活运用这些性质.
典型例题五
例05.已知:如图,正方形ABCD 中,延长AD 至E ,使AD DE =,再延长DE 至F ,使BD DF =. 连结BF 交CE ,CD 于P ,Q .
求证:PQ PD =.
证明:在正方形ABCD 中,BC AD //,︒=∠=∠45BDC DBC ,CD BC =.
∵DF BD =,
∴︒=∠=∠=∠5.2212F
∵AD DE =, ∴BC DE //
∴四边形BDEC 是平行四边形.
∴BD CE //
∴︒=∠=∠=∠5.22124,︒=∠=∠453BDC .
∴ CD BC CP ==. ∴︒=∠-︒=∠5.67)3180(2
1CDP ∴︒=∠+∠=∠5.6734PQD ,
∴PQD CDP ∠=∠ ∴ PQ PD =
说明:本题综合考查正方形的性质,等腰三角形的判定和性质,易错点是习惯地用角的代换企图证明PQD CDP ∠=∠,这样做显然无法证出.
解题关键是求出︒=∠=∠5.67PQD CDP .
典型例题六
例06.如图,已知:在正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC 上的点,若有EF CF AE =+. 求:EDF ∠的度数.
分析:在给出的条件中,EF CF AE =+这一条件比较分散. 我们不妨把AE 和CF 平
移到同一直线上. 由正方形的性质可知CD AD =,所以我们延长BC 到G ,使AE CG =,则可以知道CGD ADE ∆≅∆,∵ CDG ADE ∠=∠. 又可以证得DGF DEF ∆≅∆,∴可知ADE FDC CDG FDC FDG EDF ∠+∠=∠+∠=∠=∠,因此可求得EDF ∠的度数.
解答:延长BC 到G ,使AE CG =,连结DG .
∵ 正方形ABCD ,
∴ CD AD DGC A ADC =︒=∠=∠=∠,90
又∵GC AE =
∴)(SAS CGD Rt AED Rt ∆≅∆
∴DG DE CDG ADE =∠=∠,
∵ EF FG CF CG CF AE ==+=+,
∴ )(SSS GFD EFD ∆≅∆
∴ ADE FDC CDG FDC FDG EDF ∠+∠=∠+∠=∠=∠.
又∵ ︒=∠+∠+∠90ADE FDC EDF
∴ ︒=∠=
∠452
1ADC EDF 典型例题七
例07.如图,已知:正方形ABCD 的边长等于cm 12,点P 在BC 上,cm BP 5=,AP EF ⊥且与AB 、CD 分别交于E 、F 两点.
求:EF 的长.
分析:为了求EF 的长,需要把EF 与已知条件联系起来,因此想到构造一个以EF 为边的三角形,所以作BC EG //,则易证E G F ABP ∆≅∆,从而可求cm AP EF 1351222=+==.
解答:过E 点作BC EG //交CD 于G ,
∴ ︒=∠=∠90C FGE ,︒=∠=∠90B AEG
∵ 四边形ABCD 是正方形,
∴ ︒=∠=∠90C B ,BC AB =
∴ 四边形BCGE 是矩形.
∴AB BC EG ==
∵ ︒=∠90AEG ,AP EF ⊥,
∴ ︒=∠+∠=∠+∠90AEF PAB FEG AEF ,
∴FEG PAB ∠=∠.
∴ )(ASA EGF ABP ∆≅∆
∴ cm BP AB AP EF 135122222=+=+=
=
典型例题八
例08.(河北省,1997)命题:如图(1),已知正方形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,E 是AC 上一点,过点A 作EB AG ⊥,垂足为G ,AG 交BD 于点F ,则OF OE =.
证明 ∵ 四边形ABCD 是正方形,
∴AO BO AOF BOE =︒=∠=∠,90. ∴
又∵EB AG ⊥,∴329031∠+∠=︒=∠+∠
∴21∠+∠ ∴ AOF BOE ∆≅∆
∴OF OE =
问题 对上述命题,若点E 在AC 的延长线上,EB AG ⊥,交EB 的延长线于点G ,AG 的延长线交DB 的延长线于点F ,其他条件不变,则结论“OF OE =”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
解答:结论OF OE =仍成立. 证明如下:
∵四边形ABCD 是正方形,
∴︒=∠=∠90AOF BOE ,AO BO =
∵EB AG ⊥,
∴OAG OFA OAG OEB ∠+∠=︒=∠+∠90.
∴OFA OEB ∠=∠
∴AOF BOE ∆≅∆
∴OF OE =
说明:本题是一个阅读理解题,解题关键是要阅读解题过程,总结解题思路和方法,然后探索并解决新问题.。

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