正方形经典例题与答案

典型例题一
例01．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取点E ，使CE CD =，过E 点作AC EF ⊥交AD 于F.
求证：DF EF AE ==.
证明 连结CF .
在正方形ABCD 中，︒=∠=∠90DAB D ，AC 平分DAB ∠.
∵︒=∠=∠45CAB DAC ， 又∵ AC EF ⊥，
∴︒=∠=∠45AFE DAC . ∴ EF AE =
在CEF Rt ∆与CDF Rt ∆中， CF CF CD CE ==,
∴)(HL CDF Rt CEF Rt ∆≅∆ ∴DF EF = ∴DF EF AE ==.
说明：本题考查正方形的性质，易错点是忽视AEF ∆是等腰直角三角形.
解题关键是证AEF ∆是等腰直角三角形和连CF 证CEF CDF ∆≅∆.
典型例题二
例02．如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，CD 是ACB ∠的平分线，AC DE //交BC 于E ，BC DF //交AC 于F .
求证：四边形CEDF 是正方形.
分析：要判定一个四边形是正方形有这样几种方法：①按照定义证明，②先证明它是菱形，再证它有一个角等于︒90. ③先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等，那么本题中，因有一个角︒=∠90ACB ，且有两对平行线段，我们不妨采用第三种证明方法. 那么由角平分线的性质定理容易证出DF DE =.
证明：∵BC DF AC DE //,//（已知） ∴ 四边形CEDF 是平行四边形.
∵ ︒=∠90ACB （已知），
∴ 四边形CEDF 是矩形（有一个角是︒90的平行四边形是矩形）.
∵ ︒=∠90,//,//ACB BC DF AC DE （已知）， ∴ ︒=∠=∠90DFC DEC
又∵ CD 是ACB ∠的平分线（已知），
∴ DF DE =（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
∴ 四边形CEDF 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
说明 正方形是特殊的平行四边形，也是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．所以在判断一个图形是否为正方形时，由它的特殊性出发，通过先证它是平行四边形、矩形和菱形来完成．
典型例题三
例03．已知：如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，BF 平分CBE ∠交CD 于F .
求证：AE CF BE +=.
证法1 延长DC 至N ，使AE CN =，连结BN ，则CBN ABE ∆≅∆.
∴ BN BE CBN ABE =∠=∠,.
∵四边形ABCD 为正方形， ∴ AB CD // ∴ ABF NFB ∠=∠.
∵ CBF NBC NBF EBF ABE ABF ∠+∠=∠∠+∠=∠,，FBC EBF ∠=∠，
∴NFB NBF ∠=∠ ∴ CF CN NF BN +==
∴ CF AE BE +=
证法2 如图，延长DA 到G ，使CF AG =，连结BG ，则BCF BAG ∆≅∆.
∴ CF AG CFB G CBF ABG =∠=∠∠=∠,,.
∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴BC AD // ∴CFB ABF ∠=∠
∵CBF EBF ∠=∠， ∴EBF ABG ∠=∠
∴ABE EBF ABE ABG ∠+∠=∠+∠， 即ABF EBG ∠=∠
∴EBG G ∠=∠
∴ CF AE AG EA EG EB +=+==
说明 构造全等三角形是关键
典型例题四
例04．如图，已知：E 是正方形ABCD 的边AD 的中点，F 是DC 上的一点，且CD DF 4
1=
. 求证：BE EF ⊥.
分析：因为AB CD DF 4141==，AB AE DE 2
1==，所以若设a DF =，则EF 、BE 都可以用含有a 的代数式表示. 由此，我们想到，为了证明BE EF ⊥，即为了证明︒=∠90BEF ，不妨使用勾股定理的逆定理. 为此，连结BF ，则只需证明222EF BE BF +=就可以了.
证明：连结BF ， ∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ DA CD BC AB ===， ︒=∠=∠=∠=∠90D C ABC A
因为AD DE AE CD DF 2
1,41===， ∴若设a DF =，则a AB a DE AE 4,2===，
在RtABE 中，根据勾股定理， 2
2222220)2()4(a a a AE AB BE =+=+=
在EDF Rt ∆中，根据勾股定理， 2222225)2(a a a DF ED EF =+=+=
在BCF Rt ∆中，根据勾股定理 22222225)4()4(a a a a CF BC BF =-+=+=
∴ 有222225a EF BE BF =+= ∴ BFE ∆是直角三角形，且︒=∠90BEF ，
即EF BE ⊥.
说明 由正方形的特殊性，它不仅有平行四边形的性质，正方形的性质，还有菱形的性质，在给出一个四边形是正方形时，要能够灵活运用这些性质.
典型例题五
例05．已知：如图，正方形ABCD 中，延长AD 至E ，使AD DE =，再延长DE 至F ，使BD DF =. 连结BF 交CE ，CD 于P ，Q .
求证：PQ PD =.
证明：在正方形ABCD 中，BC AD //，︒=∠=∠45BDC DBC ，CD BC =.
∵DF BD =，
∴︒=∠=∠=∠5.2212F
∵AD DE =，
∴BC DE //
∴四边形BDEC 是平行四边形.
∴BD CE //
∴︒=∠=∠=∠5.22124，︒=∠=∠453BDC .
∴ CD BC CP ==.
∴︒=∠-︒=∠5.67)3180(2
1CDP ∴︒=∠+∠=∠5.6734PQD ，
∴PQD CDP ∠=∠ ∴ PQ PD =
说明：本题综合考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，易错点是习惯地用角的代换企图证明PQD CDP ∠=∠，这样做显然无法证出.
解题关键是求出︒=∠=∠5.67PQD CDP .
典型例题六
例06．如图，已知：在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，若有EF CF AE =+. 求：EDF ∠的度数.
分析：在给出的条件中，EF CF AE =+这一条件比较分散. 我们不妨把AE 和CF 平
移到同一直线上. 由正方形的性质可知CD AD =，所以我们延长BC 到G ，使AE CG =，则可以知道CGD ADE ∆≅∆，∵ CDG ADE ∠=∠. 又可以证得DGF DEF ∆≅∆，∴可知ADE FDC CDG FDC FDG EDF ∠+∠=∠+∠=∠=∠，因此可求得EDF ∠的度数.
解答：延长BC 到G ，使AE CG =，连结DG .
∵ 正方形ABCD ，
∴ CD AD DGC A ADC =︒=∠=∠=∠,90
又∵GC AE =
∴)(SAS CGD Rt AED Rt ∆≅∆
∴DG DE CDG ADE =∠=∠,
∵ EF FG CF CG CF AE ==+=+，
∴ )(SSS GFD EFD ∆≅∆
∴ ADE FDC CDG FDC FDG EDF ∠+∠=∠+∠=∠=∠.
又∵ ︒=∠+∠+∠90ADE FDC EDF
∴ ︒=∠=
∠452
1ADC EDF 典型例题七
例07．如图，已知：正方形ABCD 的边长等于cm 12，点P 在BC 上，cm BP 5=，AP EF ⊥且与AB 、CD 分别交于E 、F 两点.
求：EF 的长.
分析：为了求EF 的长，需要把EF 与已知条件联系起来，因此想到构造一个以EF 为边的三角形，所以作BC EG //，则易证EGF ABP ∆≅∆，从而可求cm AP EF 1351222=+==.
解答：过E 点作BC EG //交CD 于G ，
∴ ︒=∠=∠90C FGE ,︒=∠=∠90B AEG
∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ ︒=∠=∠90C B ，BC AB =
∴ 四边形BCGE 是矩形.
∴AB BC EG ==
∵ ︒=∠90AEG ，AP EF ⊥，
∴ ︒=∠+∠=∠+∠90AEF PAB FEG AEF ，
∴FEG PAB ∠=∠.
∴ )(ASA EGF ABP ∆≅∆
∴ cm BP AB AP EF 135122222=+=+=
=
典型例题八
例08．（河北省，1997）命题：如图（1），已知正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过点A 作EB AG ⊥，垂足为G ，AG 交BD 于点F ，则OF OE =.
证明 ∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴AO BO AOF BOE =︒=∠=∠,90. ∴
又∵EB AG ⊥，∴329031∠+∠=︒=∠+∠
∴21∠+∠ ∴ AOF BOE ∆≅∆
∴OF OE =
问题 对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，EB AG ⊥，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则结论“OF OE =”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
解答：结论OF OE =仍成立. 证明如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴︒=∠=∠90AOF BOE ，AO BO =
∵EB AG ⊥，
∴OAG OFA OAG OEB ∠+∠=︒=∠+∠90.
∴OFA OEB ∠=∠
∴AOF BOE ∆≅∆
∴OF OE =
说明：本题是一个阅读理解题，解题关键是要阅读解题过程，总结解题思路和方法，然后探索并解决新问题.。