2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)-理科数学
2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标1 理科数学
4、已知双曲线C:－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 ，则C的渐近线方程为()
A、y=± x（B）y=± x（C）y=± x（D）y=±x
5、执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于()
A、[－3,4]
B、[－5,2]Biblioteka 10、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()
A、＋＝1B、＋＝1 C、＋＝1D、＋＝1
11、已知函数f(x)＝，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()
A、（－∞，0] B、（－∞，1] C、[－2，1] D、[－2，0]
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
（21）（本小题满分共12分）
已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2
（Ⅰ）求a，b，c，d的值
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.
14、若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋ ，则数列{an}的通项公式是an=______.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(辽宁卷,含答案)
第 - 1 - 页 共 6 页绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=I 则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2（2）复数的11Z i =-模为 （A ）12（B）2 （C（D ）2 （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为 （A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p第 - 2 - 页 共 6 页 （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50（C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b += ,a b B >∠=且则A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π （7）已知函数()()()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ⎛⎫=+-++= ⎪⎝⎭则 A ．1- B ．0 C ．1 D ．2（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49 B ．67 C ．89 D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有 A ．3b a = B ．31b a a =+C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--=第 - 3 - 页 共 6 页 （10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．317B ．210C ．132D ．310 （11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于 ,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为 （A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则 A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +-（C ）16- （D ）16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013年高考数学全国卷(2)试卷及答案 (理科+文科)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (理科)第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2{|(1)4,}M x x x R =-<∈，{1,0,1,2,3}N =-，则MN =（ ）（A ）{0,1,2} （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,2,3}- （D ）{0,1,2,3} 2、设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i -3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ） （A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- 4、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l5、已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ）（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 6、执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）11112310+++⋅⋅⋅+ （B ）11112!3!10!+++⋅⋅⋅+（C ）11112311+++⋅⋅⋅+ （D ）11112!3!11!+++⋅⋅⋅+7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A)(B)(C)(D)8、设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >>9、已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2 10、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =11、设抛物线2:3(0)C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,3)，则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x =12、已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）21(1)22-（C ）21(1)23- （D ）11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年全国高考新课标1卷理科数学试题及答案
2013年全国新课标1卷高考理科数学试题，本试题适用于河南、河北、山西几个省份。
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |) A 、A ∩B= B 、A ∪B=R C 、B ⊆A 2、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i | ( ) A 、－4（B ）－45（C ）4 3地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽)、按性别分层抽样 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样4的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )（C ）y =±12x（D ）y =±x51，3]，则输出的s 属于 ( )6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cmA 、500π3cm 3B 、866π3cm 3C 、1372π3cm 3D7，则m ＝ ( )89、设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、810、已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F的直线交椭圆于A 、B 两点。
#2013全国各地高考理科数学试题及详解汇编(一)
2013全国各地高考数学试题及详解汇编（理科●一）目 录1．新课标卷1 (2)2．新课标Ⅱ卷 (10)3. 大纲卷 (21)4．北京卷 (27)5．山东卷 (37)6．陕西卷 (41)7．湖北卷 (49)8．天津卷 (61)9．重庆卷 (71)2013年高考理科数学试题分析（课标Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
测试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 测试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.【分析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.2、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( )A 、－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【分析】由题知z =|43|34i i +-=4)(34)(34)i i i +-+=3455i +，故z 的虚部为45，故选D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )A 、简单随机抽样B 、按性别分层抽样C 、按学段分层抽样D 、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【分析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4、已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>C 的渐近线方程为 A .14y x =± B .13y x =± C .12y x =± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【分析】由题知，2c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C . 5、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5] 【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【分析】有题意知，当[1,1)t ∈-时，3s t =[3,3)∈-，当[1,3]t ∈时，24s t t =-[3,4]∈， ∴输出s 属于[-3,4]，故选A .6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 3 【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【分析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则222(2)4R R =-+，解得R=5，∴球的体积为3453π⨯=500π33cm ，故选A.7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( )A 、3B 、4C 、5D 、6【命题意图】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题.【分析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A .168π+B .88π+C .1616π+D .816π+【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【分析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A . 9、设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( )A 、5B 、6C 、7D 、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.【分析】由题知a =2m m C ，b =121m m C ++，∴132m m C =7121m m C ++，即13(2)!!!m m m ⨯=7(21)!(1)!!m m m ⨯++， 解得m =6，故选B.10、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)含解析
2013高考试题解析分类汇编（理数）5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足（）A． B． C． D．D．【解答】作图知，只有，其余均有，故选D．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点（）A． B． C． D．A，所以，所以同方向的单位向量是，选A.3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则（）A． B． C． D．D以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）所以=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）因为恒有所以（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立所以△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0所以a=0，即C在AB的垂直平分线上所以AC=BC故△ABC为等腰三角形故选D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为（）A． B． C．5 D．10C由题意，容易得到．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S= ．容易算出，则算出S=5．故答案C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是（）A． B． C． D．D.在本题中，.建立直角坐标系，设A(2,0),所以选D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,,,.若,则的取值范围是（）A． B． C． D．D【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分
2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分一、选择题1 ．（2013年高考湖北卷（理））已知a 为常数,函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <,则（ ）A ．121()0,()2f x f x >>- B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-【答案】D2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =【答案】C3 ．（2013年高考江西卷（理））若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（ ）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<【答案】B4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（ ）A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【答案】D5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设函数()f x 的定义域为R,00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是 （ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D6 ．（2013年高考北京卷（理））直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 （ ）A ．43 B ．2C ．83D 【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知e 为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ,则 （ ）A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值【答案】C 二、填空题8 ．（2013年高考江西卷（理））设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x f e x e =+,则(1)x f =______________【答案】2 9 ．（2013年高考湖南卷（理））若209,Tx dx T =⎰则常数的值为_________.【答案】310．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【答案】1- 三、解答题11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知函数)ln()(m x e x f x +-=.(Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)当2m ≤时,证明()0f x >.【答案】12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知函数()()21xf x x e-=+⋅()3,12cos .2x g x ax x x =+++当[]0,1x ∈时，（I ）求证：()11-;1x f x x≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理科数学
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z=（）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）错误！未找到引用源。
（B）- 错误！未找到引用源。
（C）错误！未找到引用源。
（D）- 错误！未找到引用源。
（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l （5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s= （A ）1+ 错误！未找到引用源。
+ 错误！未找到引用源。
+…+ 错误！未找到引用源。
（B ）1+ 错误！未找到引用源。
+ 错误！未找到引用源。
2013年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷Ⅱ
2013年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷Ⅱ理科数学(时间：120分钟分值：150分)第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N= ( )A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}2.设复数z满足(1-i)z=2i,则z= ( )A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1= ( )A. B.- C. D.-4.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l5.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则ɑ= ( )A.-4B.-3C.-2D.-16.执行如图所示的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S= ( )A.1+++…+B.1+++…+C.1+++…+D.1+++…+7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( )8.设a=log36,b=log510,c=log714,则( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c9.已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a= ( )A. B. C.1 D.210.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=011.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x12.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )A.(0,1)B.C. D.第Ⅱ卷(非选择题)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·= .14.从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n= .15.设θ为第二象限角,若tan=,则sinθ+cosθ= .16.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=AB.(1)证明:BC1∥平面A1CD.(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量.T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数.(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T 的数学期望.20.(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程.(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x-ln(x+m),(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性.(2)当m≤2时,证明f(x)>0.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB 与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径.(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程.(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤.(2)++≥1.答案解析1.【解题提示】确定集合M,然后与N取交集即可.A 因为集合M={x|-1<x<3},N={-1,0,1,2,3},所以M∩N={0,1,2}.2.A 由(1-i)z=2i得z==i(1+i)=-1+i.3.C 由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即a1q2=9a1,解得q2=9,又因为a5=9,所以a1q4=9,解得a1=.4.D 因为m,n为异面直线,所以过空间内一点P,作m′∥m,n′∥n,则l⊥m′,l⊥n′,即l垂直于m′与n′确定的平面γ,又m⊥平面α,n⊥平面β,所以m′⊥平面α,n′⊥平面β,所以平面γ既垂直于平面α,又垂直于平面β,所以α与β相交,且交线垂直于平面γ,故交线平行于l,选D.5.D (1+x)5中含有x与x2的项为T2=x=5x,T3=x2=10x2,所以x2的系数为10+5a=5,解得a=-1.6.【解题提示】分析每一次循环后,变量值的变化,确定循环次数,求得最终输出结果.B 当k=1时,计算出的T=1,S=1;当k=2时,计算出的T=,S=1+;当k=3时,计算出的T=,S=1++;……当k=10时,计算出的T=,S=1+++…+,此时输出S,故选B.7.A 由题意可知,该四面体为正四面体,其中一个顶点在坐标原点,另外三个顶点分别在三个坐标平面内,所以以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为选项A 中的图.8.【解题提示】将a,b,c利用对数性质进行化简,分离出1后,再进行比较大小即可.D 由题意知:a=lo g36=1+lo g32=1+,b=lo g510=1+lo g52=1+,c=lo g714=1+lo g72=1+,因为lo g23<lo g25<lo g27,所以a>b>c,故选D.9.【解题提示】结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数取得最小值1,结合图形可求得a.B 画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时,z取得最小值,而点A的坐标为(1,-2a),所以2-2a=1,解得a=,故选B.10.C 结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x0∈R,使f(x0)=0,A正确.B项,假设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(m,n),按向量a=(-m,-n)将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上式对x∈R恒成立,故3m+a=0,得m=-,n=m3+am2+bm+c=f(m)=f,所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B正确.C项,由于f′(x)=3x2+2ax+b是二次函数,f(x)有极小值点x0,必定有一个极大值点x1,若x1<x0,则f(x)在区间(-∞,x0)上不单调递减,C错误.D项,若x0是极值点,则一定有f′(x0)=0.故选C.11.【解题提示】结合已知条件,设出圆心坐标,然后借助抛物线的定义,确定抛物线的方程.C 由题意知:F,准线方程为x=-,则由抛物线的定义知,x M=5-,设以MF为直径的圆的圆心为,所以圆的方程为+=.又因为过点(0,2),所以y M=4,又因为点M在C上,所以16=2p,解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x,故选C.12.B 由题意画出图形,如图(1).由图可知,直线BC的方程为x+y=1.由解得M.可求N(0,b),D.因为直线y=ax+b将△ABC分割为面积相等的两部分,所以S△BDM=S△ABC.又S△BOC=S△ABC,所以S△CMN=S△ODN,即××b=(1-b)×.整理得=.所以=,所以-1=,所以=+1,即b=,可以看出,当a增大时,b也增大.当a→+时,b→,即b<.当a→0时,直线y=ax+b,接近于y=b.当y=b时,如图(2),===.所以1-b=,所以b=1-,所以b>1-.由上分析可知1-<b<,故选B.13.【解题提示】建立坐标系,确定各关键点的坐标,求得数量积·.【解析】以点B为原点,以,的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),所以=(2,-1),=(2,2),所以·=2.答案:214.【解题提示】表示出两数之和等于5的概率,并建立方程,利用组合数的计算公式,解方程求得n.【解析】从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,所有的取法有种,而取出的两数之和等于5的取法只有两种,即(1,4),(2,3),所以其概率为=,即n2-n-56=0,所以n=8.答案:815.【解题提示】利用两角和的正切公式将tan展开化简,通过切化弦,得到目标式sinθ+cosθ,然后利用三角函数的性质,求得sinθ+cosθ的值.【解析】因为θ为第二象限角,tan=>0,所以角θ的终边落在直线y=-x的左侧,所以sinθ+cosθ<0.由tan=,得=,即=,所以设sinθ+cosθ=x,则cosθ-sinθ=2x,将这两个式子平方相加得:x2=,即sinθ+cosθ=-. 答案:-16.【解题提示】求得S n的表达式,然后表示出nS n,将其看作关于n的函数,借助导数求得最小值.【解析】由题意知:解得d=,a1=-3,所以S n=-3n+×=,即nS n=,令f(n)=,则有f′(n)=n2-,令f′(n)>0,得n>,令f′(n)<0,得0<n<.又因为n为正整数,所以当n=7时,f(n)=取得最小值,即nS n的最小值为-49.答案:-4917.【解题提示】(1)将a=bcos C+csin B“边化角”,化简求得B.(2)利用角B、边b将△ABC面积表示出来,借助均值不等式求最大值.【解析】(1)因为a=bcos C+csin B,所以由正弦定理得:sin A=sin Bcos C+sin Csin B,所以sin(B+C)=sin Bcos C+sin Csin B,即cos Bsin C=sin Csin B,因为sin C≠0,所以tan B=1,解得B=.(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos,即4=a2+c2-ac,由不等式得a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时,取等号,所以4≥(2-)ac,解得ac≤4+2,所以△ABC的面积为acsin≤×(4+2)=+1.所以△ABC面积的最大值为+1.18.【解题提示】(1)连接AC1,构+造中位线,利用线线平行证线面平行.(2)建立空间直角坐标系,求平面A1CD与平面A1CE的法向量,借助求得的二面角的余弦值,从而得正弦值.【解析】(1)连接AC1,交A1C于点F,连接DF,则F为AC1的中点.因为D为AB 的中点,所以DF∥BC1.又因为FD⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)由AA1=AC=CB=AB,可设:AB=2a,则AA1=AC=CB=a,所以AC⊥BC.又因为ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以以点C 为坐标原点,分别以直线CA,CB,CC1为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0),A1(a,0,a),D,E,=(a,0,a),=,=.设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z),则n·=0且n·=0,可解得y=-x=z,令x=1,得平面A1CD的一个法向量为n=(1,-1,-1),同理可得平面A1CE的一个法向量为m=(2,1,-2),则cos<n,m>=,所以sin<n,m>=,所以二面角D-A1C-E的正弦值为.19.【解题提示】(1)依题意,可求得T关于X的分段函数.(2)由频率分布直方图可知,利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.用频率估计概率,可得概率的估计值.(3)写出分布列,代入期望公式,得所求.【解析】(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39000,当X∈[130,150]时,T=500×130=65000.所以T=(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.20.【解题提示】(1)涉及弦AB的中点问题,考虑点差法,建立关于a,b的方程组,解得a,b的值,确定M的方程.(2)将四边形ACBD的面积表示出来,可转化为S=|AB|·h,然后利用函数的知识求最值.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,+=1②,①-②得+=0.设P(x0,y0),因为P为AB的中点,且OP的斜率为,所以y0=x0,即y1+y2=(x1+x2),又因为=-1,所以可以解得a2=2b2,即a2=2(a2-c2),即a2=2c2,又因为c=,所以a2=6,所以M的方程为+=1.(2)因为CD⊥AB,直线AB的方程为x+y-=0,所以设直线CD方程为y=x+m,将x+y-=0代入+=1得:3x2-4x=0,解得x=0或x=,不妨令A(0,),B,所以可得|AB|=.将y=x+m代入+=1得:3x2+4mx+2m2-6=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则|CD|=·=,又因为Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3,所以当m=0时,CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为|AB|·|CD|=.21.【解题提示】(1)求导,然后将x=0代入导函数,求得m,讨论分析导函数的符号,得单调性.(2)求f(x)的最小值f(x0),证明最小值f(x0)>0即可.【解析】(1)因为f′(x)=e x-,x=0是f(x)的极值点,所以f′(0)=1-=0,解得m=1,所以函数f(x)=e x-ln(x+1),其定义域为(-1,+∞),f′(x)=e x-=.设g(x)=e x(x+1)-1,则g′(x)=e x(x+1)+e x>0,所以g(x)在(-1,+∞)上是增函数.又因为g(0)=0,所以当x>0时,g(x)>0,即f′(x)>0,当-1<x<0时,g(x)<0,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.(2)当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)>0.当m=2时,函数f′(x)=e x-在(-2,+∞)上单调递增.由f′(-1)<0,f′(0)>0,故f′(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实根x0,且x0∈(-1,0).当x∈(-2,x0)时,f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值.由f′(x0)=0得=,ln(x0+2)=-x0,故f(x)≥f(x0)=+x0=>0.综上,当m≤2时,f(x)>0.22.【解题提示】(1)根据圆的性质及相似知识证得∠CBA=90°,可得CA是△ABC 外接圆的直径.(2)连接CE,利用圆的性质,寻求过B,E,F,C四点的圆的直径长的平方与△ABC外接圆的直径长的平方的比值,从而确立圆的面积之比.【解析】(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=, 故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.(2)连接CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.23.【解题提示】(1)借助中点坐标公式,用参数α表示出点M的坐标,可得参数方程.(2)利用距离公式表示出点M到原点的距离d,判断d能否为0,可得M的轨迹是否过原点.【解析】(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.24.【解题提示】(1)将a+b+c=1两边平方,化简整理,借助不等式的性质,即得结论.(2)证++≥1,也即证++≥a+b+c.可分别证+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,然后相加即得. 【证明】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1, 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.当且仅当“a=b=c”时等号成立.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,当且仅当“a2=b2=c2”时等号成立,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷Ⅰ
2013年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷Ⅰ理科数学(时间：120分钟分值：150分)第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-<x<},则( )A.A∩B=∅B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B2.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )A.-4B.-C.4D.3.为了了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x5.执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( )A.[-3,4]B.[-5,2]C.[-4,3]D.[-2,5]6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )A.cm3B.cm3C.cm3D.cm37.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m= ( )A.3B.4C.5D.68.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π9.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m= ( )A.5B.6C.7D.810.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=111.已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]12.设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,…,若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=,c n+1=,则( )A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列第Ⅱ卷(非选择题)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=t a+(1-t)b,若b·c=0,则t= .14.若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n= .15.设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .16.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA.(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.18.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明AB⊥A1C.(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立,(1)求这批产品通过检验的概率.(2)已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程.(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值.(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC.(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程.(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集.(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.答案解析1.【解题提示】先求出集合A,然后利用数轴判断集合A与集合B的关系.【解析】选B.由A={x|x2-2x>0}得,A={x|x<0或x>2},又B={x|-<x<},所以A ∪B=R.2.【解题提示】首先设z=a+bi(a,b∈R),利用复数的运算法则进行化简,然后利用复数相等列出关于a,b的方程组求出b的值.D 设z=a+bi(a,b∈R),则(3-4i)z=(3-4i)·(a+bi)=5,化简得3a+4b+(3b-4a)i=5,所以解得即z=+i.3.【解题提示】利用三种抽样:简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的概念和性质进行判断.C 小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异而男女生视力情况差异不大,故选用按学段分层抽样的抽样方法.4.【解题提示】根据题目中给出的离心率确定a与c之间的关系,再利用c2=a2+b2确定a与b之间的关系,即可求出渐近线方程.C 因为e==,所以=,又因为c2=a2+b2,所以=,得=,所以渐近线方程为y=±x.5.【解题提示】观察程序框图,知t<1对应的函数为s=3t,t≥1对应的函数为s=4t-t2,再结合函数的定义域求输出的s的范围.A 由程序框图可知,s与t可用分段函数表示为s=则s∈[-3,4].6.【解题提示】结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半径的方程,求出球半径,再利用V=πR3求出球的体积.A 设球的半径为R cm,由勾股定理可知,R2=(R-2)2+42,解得R=5,所以球的体积V=πR3=π×53=(cm3).7.【解题提示】利用a n=S n-S n-1,求出a m及a m+1的值,从而确定等差数列{a n}的公差,再利用前n项和公式及通项公式求出m的值.C 由已知得,a m=S m-S m-1=2,a m+1=S m+1-S m=3,因为数列{a n}为等差数列,所以d=a m+1-a m=1,又因为S m==0,所以m(a1+2)=0,因为m≠0,所以a1=-2,又a m=a1+(m-1)d=2,解得m=5.8.【解题提示】观察三视图,根据三视图确定几何体的构成,利用圆柱及长方体的体积公式求解.A 由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为×π×22×4+2×2×4=16+8π.9.【解题提示】分别求出(x+y)2m,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值,再利用13a=7b列出等量关系求得m.B 由题意可知a=,b==,而13a=7b即13=7,解得m=6.10.【解题提示】本题中给出AB的中点坐标,所以在解题时先设出A,B两点坐标,然后采用点差法求解.D 由椭圆+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点F的直线与椭圆+=1(a>b>0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=-1,则b2+ a2= a2b2①,b2+ a2= a2b2②,由①-②得b2(-)+ a2(-)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,又直线的斜率为k==,即=.因为b2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为+=1.11.【解题提示】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象,利用|f(x)|在(0,0)处的切线为制定参数的标准.D 画出函数y=|f(x)|的大致图象如图所示,当x≤0时,g(x)=|f(x)|=x2-2x,g′(x)=2x-2,g′(0)=-2,故a≥-2.当x>0时,g(x)=|f(x)|=ln(x+1),g′(x)=,由于g(x)上任意点处切线的斜率都要大于a,所以a≤0,综上-2≤a≤0.12.B 因为a n+1=a n,b n+1=,c n+1=,所以a n=a1,b n+1+c n+1=+,=(b n+c n)+a n=(b n+c n)+a1,b n+1+c n+1-2a1=(b n+c n-2a1),注意到b1+c1=2a1,所以b n+c n=2a1.于是△A n B n C n中,边长B n C n=a1为定值,另两边的长度之和为b n+c n=2a1为定值. 因为b n+1-c n+1=-=-(b n-c n),所以b n-c n=(-)n-1(b1-c1),当n→+∞时,有b n-c n→0,即b n→c n,于是△A n B n C n的边B n C n的高h n随n增大而增大,于是其面积S n=|B n C n|h n=a1h n为递增数列.13.【解题提示】由于条件中给出了b·c=0,所以可以将c=t a+(1-t)b的两边同时乘以b进行求解.【解析】由c=t a+(1-t)b得,b·c=t a·b+(1-t)b2=0,整理得t|a||b|cos 60°+(1-t)|b|2=0,化简得t+1-t=0,所以t=2.答案:214.【解题提示】先利用S1=a1求出a1的值,再利用S n-S n-1=a n求出通项公式a n.【解析】由S1=a1+=a1,解得a1=1.又S n=a n+,得S n-1=a n-1+,所以S n-S n-1=a n-a n-1=a n,得=-2.所以数列{a n}是首项为1,公比为-2的等比数列.故数列的通项公式a n=(-2)n-1.答案:(-2)n-115.【解题提示】利用辅助角公式f(x)=asin x+bcos x=sin(x+φ)(其中tan φ=)构造求解cosθ的值.【解析】f(x)=sin x-2cos x=sin(x+φ),其中tanφ=-2,当x+φ=2kπ+时,函数f(x)取得最大值,即θ=2kπ+-φ.所以cosθ=cos=sinφ,又因为tanφ=-2,φ在第四象限,所以sinφ=-,即cosθ=-.答案:-16.【解题提示】首先利用函数f(x)的图像关于直线x=-2对称求出a,b的值,然后利用导数判断函数的单调性,这里要采用试根的方法对导函数进行因式分解. 【解析】因为函数f(x)的图像关于直线x=-2对称,所以f(0)=f(-4),得4b=-60+15a, 又f′(x)=-4x3-3ax2+2(1-b)x+a,而f′(-2)=0,-4×(-2)3-3a(-2)2+2(1-b)×(-2)+a=0.得11a-4b=28,即解得a=8,b=15.故f(x)=(1-x 2)(x 2+8x+15),则f ′(x)=-4x 3-24x 2-28x+8=-4(x 3+6x 2+7x-2)=-4(x+2)(x 2+4x-1). 令f ′(x)=0,即(x+2)(x 2+4x-1)=0,则x=-2或x=-2-或-2+.当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:-2--2+(-2+f(-2-)=[1-(-2-)2][(-2-)2+8×(-2-)+15]=(-4-8)(8-4)=16, f(-2+)=[1-(-2+)2][(-2+)2+8×(-2+)+15]=(4-8)(8+4)=16,故f(x)的最大值为16. 答案:1617.【解析】(1)由已知得,∠PBC=60°, 所以∠PBA=30°.在△PBA 中,由余弦定理得 PA 2=3+-2××cos30°=,故PA=.(2)设∠PBA=α, 由已知得PB=sin α, 在△PBA 中,由正弦定理得=,化简得cos α=4sin α,所以tan α=,即tan ∠PBA=.18.【解题提示】(1)取AB的中点,利用线面垂直证明线线垂直.(2)建立空间直角坐标系求解.【解析】(1)取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)由(1)知,OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,由题设知A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0).则=(1,0,),==(-1,,0),=(0,-,).设平面BB1C1C的法向量为n=(x,y,z),则有即可取n=(,1,-1).故cos<n,>==-.所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.19.【解题提示】(1)由事件的独立性和互斥性,并结合产品通过检验的情形确定这批产品通过检验的概率.(2)根据题意,先确定X的可能取值,然后求出相应的概率,列出分布列利用期望公式求出期望.【解析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A.依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=···+·=×+×=.(2)X可能的取值为400,500,800.P(X=500)=,P(X=800)=,P(X=400)=1--=,所以X的分布列为E(X)=400×+500×+800×=506.25(元).20.【解题提示】(1)根据圆的位置关系与半径的关系并结合圆锥曲线的定义确定曲线C的方程.(2)结合图象,确定当圆P的半径最长时的情形,并对k的值进行分类求解.【解析】由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)动圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R,知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4),由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1=,x2=,所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.21.【解题提示】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)可将P(0,2)分别代入到y=f(x)和曲线y=g(x)中,再利用在点P处有相同的切线y=4x+2,对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导,列出关于a,b,c,d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x),然后求导,判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性,通过分类讨论,确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c).故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2,则F′(x)=2ke x(x+2)-2x-4=2(x+2)(ke x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F′(x)=0,即2(x+2)(ke x-1)=0,得x1=-ln k,x2=-2.(ⅰ)若1≤k<e2,则-2<x1≤0,从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在x∈(-2,x1)上单调递减,在x∈(x1,+∞)上单调递增,故F(x)在[-2,+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0恒成立,即f(x)≤kg(x).(ⅱ)若当k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x-e-2),当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增,而F(-2)=0,故当且仅当x≥-2时,F(x)≥0恒成立,即f(x)≤kg(x).(ⅲ)若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围为[1,e2].22.【解析】(1)连结DE交BC于点G.由弦切角定理得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理得DB=DC.(2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°,从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF的外接圆的半径等于.23.【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.24.【解析】(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=其大致图象如图所示,从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈时,f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈都成立,故-≥a-2,即a≤.从而a的取值范围为.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供理科考生使用) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013辽宁,理1)复数z=的模为( ).
A. B. C. D.2 答案:B 2.(2013辽宁,理2)已知集合A={x|0A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2] 答案:D 3.(2013辽宁,理3)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为( ). A. B. C. D. 答案:A 4.(2013辽宁,理4)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列; p3:数列是递增数列; p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( ). A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 答案:D 5.(2013辽宁,理5)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是( ).
A.45 B.50 C.55 D.60 答案:B 6.(2013辽宁,理6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则∠B=( ). A. B. C. D. 答案:A 7.(2013辽宁,理7)使(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为( ). A.4 B.5 C.6 D.7 答案:B 8.(2013辽宁,理8)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出S=( ).
A. B. C. D. 答案:A 9.(2013辽宁,理9)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有( ). A.b=a3 B.b=a3+ C.(b-a3)=0 D.|b-a3|+=0 答案:C 10.(2013辽宁,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( ). A. B.2 C. D.3 答案:C 11.(2013辽宁,理11)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( ). A.16 B.-16 C.a2-2a-16 D.a2+2a-16 答案:B 12.(2013辽宁,理12)设函数f(x)满足x2f'(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)( ). A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 答案:D 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.(2013辽宁,理13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . 答案:16π-16 14.(2013辽宁,理14)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6= . 答案:63 15.(2013辽宁,理15)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e= . 答案: 16.(2013辽宁,理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 答案:10 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2013辽宁,理17)(本小题满分12分)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈. (1)若|a|=|b|,求x的值; (2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值. 解:(1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a|=|b|,得4sin2x=1. 又x∈,从而sin x=, 所以x=. (2)f(x)=a·b=sin x·cos x+sin2x =sin 2x-cos 2x+ =sin, 当x=时,sin取最大值1. 所以f(x)的最大值为.
18.(2013辽宁,理18)(本小题满分12分)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC; (2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值. (1)证明:由AB是圆的直径,得AC⊥BC. 由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC. 又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC. 因为BC⊂平面PBC. 所以平面PBC⊥平面PAC. (2)解:过C作CM∥AP,则CM⊥平面ABC.
如图,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 因为AB=2,AC=1,所以BC=. 因为PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1). 故=(,0,0),=(0,1,1). 设平面BCP的法向量为n1=(x,y,z), 则 所以 不妨令y=1,则n1=(0,1,-1). 因为=(0,0,1),=(,-1,0). 设平面ABP的法向量为n2=(x,y,z), 则所以 不妨令x=1,则n2=(1,,0), 于是cos=. 所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.
19.(2013辽宁,理19)(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答. (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率; (2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望. 解:(1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”, 则有=“张同学所取的3道题都是甲类题”. 因为P()=, 所以P(A)=1-P()=. (2)X所有的可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=···; P(X=1)=·····; P(X=2)=·····; P(X=3)=···. 所以X的分布列为: X 0 1 2 3 P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2.
20.(2013辽宁,理20)(本小题满分12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-. (1)求p的值; (2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O). 解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y'=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为,故切线MA的方程为y=-(x+1)+. 因为点M(1-,y0)在切线MA及抛物线C2上, 于是y0=-(2-)+=-,① y0=-=-.② 由①②得p=2. (2)设N(x,y),A,B,x1≠x2,由N为线段AB中点知x=,③ y=.④ 切线MA,MB的方程为 y=(x-x1)+,⑤ y=(x-x2)+.⑥ 由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为 x0=,y0=. 因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0, 所以x1x2=-.⑦ 由③④⑦得 x2=y,x≠0. 当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y. 因此AB中点N的轨迹方程为x2=y. 21.(2013辽宁,理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=(1+x)e-2x,g(x)=ax++1+2xcos x.当x∈[0,1]时, (1)求证:1-x≤f(x)≤; (2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围. (1)证明:要证x∈[0,1]时,(1+x)e-2x≥1-x,只需证明(1+x)e-x≥(1-x)ex. 记h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex, 则h'(x)=x(ex-e-x), 当x∈(0,1)时,h'(x)>0, 因此h(x)在[0,1]上是增函数, 故h(x)≥h(0)=0. 所以f(x)≥1-x,x∈[0,1]. 要证x∈[0,1]时,(1+x)e-2x≤,
只需证明ex≥x+1.
记K(x)=ex-x-1,则K'(x)=ex-1,