(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
两角和与差及二倍角公式定理讲义,例题含规范标准答案
3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。
sin2α= ；cos2α= = =tan 2α= 。
3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+其中，cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。
5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---如：tan 95tan 3595tan 35-=oooo。
高考数学一轮复习 专题4.3 两角和与差及二倍角的三角函数(测)
专题4.3 两角和与差及二倍角的三角函数一、填空题1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 【解析】依题意得cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π42＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23.2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sinπ5sin αcos αcos π5－sinπ5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝34．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝ 【解析】由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ①由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ②由①②可得cos α＋sin α＝－15， ③由①③可得sin α＝35.5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为6．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是【解析】 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．【解析】∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π8．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23>0，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－1569．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.【解析】由题意得tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3.答案：－2π310．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________.二、解答题11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α.因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋2212×35－32×45＝10＋32－4620.12．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．。
两角差的公式练习试题及答案(整理)
第三章 三角函数恒等式一、两角和与差的余、正弦公式公式：=+)cos(βα =+)sin(βα=-)cos(βα )sin(βα-=例1 求值：（1）12cosπ= （2）︒105cos = （3）=︒15sin （4）125sin π= 例2 化简（1） 17sin 13cos 17cos 13sin +=（2）-cos70︒cos20︒+sin110︒sin20︒=（3）)25sin()55cos()25cos()35cos(αααα+︒+︒-+︒︒-=（4）=--+)4cos()4cos(θπθπ 例3 已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求sin2α的值例4 利用和（差）角公式化简 （１）x x sin 23cos 21-= （２）x x cos sin 3+=练习：1．在ABC ∆中 （１）若135cos ,53sin ==B A ，求C cos ； （２）若1312cos ,53sin ==B A ，求C cos ．2．已知53cos =ϕ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πϕ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin πϕ= 3．求值（1）()[]︒︒+︒+︒80sin 210tan 3110sin 50sin 22；（2）︒︒-︒70sin 20sin 10cos 28sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin )3(-+)32sin(3)3sin(2)3sin()4(πππ--++x x 4．已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，求βαtan tan 的值.5.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，求αβαtan )tan(+的值6．已知21cos cos ,31sin sin =--=-βαβα，求)cos(βα-的值．7. 已知βα,都是锐角，且βαβα+==求,1010sin ,55sin 的值二、两角和与差的正切公式：=+)tan(βα =-)tan(βα例1 求值： （1）tan15︒= ，tan75︒= ，cot15︒= （2）︒︒-︒+︒43tan 17tan 143tan 17tan = （3）75tan 175tan 1-+= 例2 已知α、β为锐角，且53sin =α，71tan =β，求βα+．例3 （1）计算 40tan 20tan 340tan 20tan ++（2）证明：已知Z k k B A ∈+=+,4ππ，求证2)tan 1)(tan 1(=++B A练习： 在△ABC 中，tan A ＝31，tan B ＝－2，则C ＝ 在△ABC 中，若1-cot A ·cot B ＜0,则△AB Ｃ一定是( )A 等边三角形B 直角三角形 Ｃ锐角三角形 Ｄ钝角三角形3.计算 tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°4..已知βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且)23,2(,ππβα∈，试求βα+的值.三、倍角公式公式：α2sin = =α2cos = = =α2tan =例1 求值（1）0367cos 0367sin 2'︒'︒（2）8sin 8cos 22ππ- （3）112cos 22-π（4）︒-75sin 212（5）︒-︒5.22tan 15.22tan 22 （6）)4cos()4cos(θπθπ+- （7）︒+-15si n 34312 （8）θθcot tan -（9）θθ2cos cos 212-+例2 化简并求值：（1）cos20︒cos40︒cos80︒ （2）sin10°sin30°sin50°sin70°（3）θ-θ+θ-θ-+θ-θ-θ-θ+sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1 （4）)10tan 31(50sin +例3 已知5sin(),(0,),4134x x ππ-=∈求x 2cos 的值.练习：1.已知α为锐角，且582sin sin ：：=αα，则αcos 的值为（ ） .A 54 258.B 2512.C 257.D 2．若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,25ππα，则ααsin 1sin 1-++的值为（ ） .A 2cos 2α2cos 2.α-B 2s i n 2.α-C 2sin 2.αD 3．若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( ) A .sin 2α B .cos 2α C .－sin 2α D .－cos 2α 4.已知θ是第三象限的角，且95cos sin 44=+θθ，则=θ2sin （ ）.A 232232.-B 32.-C 32.D5．sin6°cos24°sin78°cos48°的值为( ) 81D. 321C. 161B. 161A.- 6．已知()πααα<<-=+0231cos sin ，则α2cos 的值为（ ） .A 21± 21.B 41.±C 41.D 7.化简或求值（1）2sin 2cos 44αα- (2)ααtan 11tan 11+-- (3)︒-︒10cos 310sin 18.若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值9.已知71tan =α，31tan =β，2,0πβα<<，求βα2+的值．10.求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与α无关的定值四、半角公式===2tan 2cos 2sinααα 例1 用半角公式求12cos π，︒15sin 以及︒15tan 的值例2 已知sin α - cos α =21，π<α<π2，求2tan α例3 求值：.70sin 170cos )5cot 5(tan ︒+︒⋅︒-︒ 例4 求证.2tan cos 1cos 2cos 12cos 4cos 14sin x x x x x x x =+⋅+⋅+练习：1、如果｜cos θ｜＝51，25π＜θ＜3π,则sin 2θ的值等于() 515D. 515C. 510B. 510A.--。
高考数学总复习 第三章 第三节两角和与差及二倍角三角函数公式课时精练试题 文(含解析)
第三节 两角和与差及二倍角三角函数公式题号 1 2 3 4 5 6 7答案1.计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：原式＝cos 45°＝22.故选B.答案：B2．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.318 B.322 C.1318 D ．－1322解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 答案：B3．求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案：D4．(2012·江西卷)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：由tan θ＋1tan θ＝4得，sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，即112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.故选D.答案：D5．(2012·重庆卷)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°＋30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79答案：C 7．(2012·山西省考前适应性训练)已知α，β都是锐角，cos 2α＝－725，cos (α＋β)＝513，则sin β＝( )A.1665B.1365C.5665D.3365解析：∵cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝－725，又α为锐角，∴cos α＝35， sin α＝45.∵cos (α＋β)＝513，∴(α＋β)为锐角，sin (α＋β)＝1213.∴si n β＝sin []α＋β－α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝1213×35－513×45＝1665.故选A. 答案：A8．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________.解析： cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，所以cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79.答案：－799．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝________________.解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π，故α＋β＝π2.答案：π210．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α＝________.解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.答案：13411．(2013·广州二模)已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则sin α＝__________.解析：因为α为锐角，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，则sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210. 答案：21012．(2013·江门一模)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最大值；(2)若点P (－3,4)在角α的终边上，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8的值．解析：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最大值为 2.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2cos 2α， P (－3,4)在角α的终边上，cos α＝－35.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π8＝22cos 2α－2＝－7225.13．(2013·梅州二模)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，若f (C )＝2,2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )，求tan A 的值．解析：(1)函数f (x )＝2cos 2＋23sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴函数的最小正周期为2π2＝π.(2)∵f (C )＝2，∴2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 C ＋π6＝12， ∵0＜C ＜π，∴π6<2C ＋π6<2π＋π6，∴2C ＋π6＝5π6，C ＝π3；∵2 sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2 sin A sin C ， ∴sin(A ＋C )＝sin A sin C ，即：sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A sin C ，即：tan A ＝sin C sin C －cos C ＝sinπ3sin π3－cos π3＝3232－12＝3＋32.。
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；7、若αα23tan ，则=所在象限是；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ；9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan · ；10、化简3232sin cos x x +=。
三、解答题： 11、求的值。
·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。
cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。
两角和与差的三角函数及倍角公式答案一、 1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。
3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B提示: ∵cos(A + B ) > 0∴角C 为钝角。
(完整版)专题三：两角和差公式、二倍角公式
暑期培训专题三两角和差公式、二倍角公式1. 两角和与两角差公式： (2) sin( a + 3 )=(4) sin( a - 3 )=(6) tan( a - 3 )=2. 倍角公式： (1) sin2 a = ____________________________ :(2) COS2 a = _____________ = ________ (3) tan2 a =-,试求：(1) cos( ) ； (2) tan( ).5 4 3变式 1 cos75O =__________________________o2. tan 105 = ________________________54 3. 在△ ABC 中，已知 cosA =, cosB =，求 cosC 的值1354. △ ABC 不 是直角三角形，求证：tan A ta nB ta nC tan A?ta nB?ta nC1例 2、①已知 sin( + ) =, sin(2(1 ) COS ( a + 3 )= ______ (3)COS ( a - 3 )= _________(5) tan( a + 3 )=降幕公式：sin 2a2cos a = ________________;sin cos = ______例1设Q ),若sin)=—，求-tan—的值10 tan已知 sin +sin =3cos +cos—，求 cos(52变式(1)、( 07 福建)sin 15°cos75° cos15o sin105o例5、求证： cosx+sinx= ■, 2 cos(x)4二倍角公式应用：11、（ 08 浙江）若 sin （— ）—,贝U cos2 _____________________2 5(2) si n17 cos47sin 73 cos43 =例3.已知3■ ?, cos()44 44）的值.1 tan15 sin(—4tan1513’求 sin( +变式：已知壬 V aV, cos ( a — 3)=12 , sin ( a + 3)=—-，求 sin2 a 的值. 135例 4、tan10 tan 20 , 3(tan10 tan20 ) = __________变式〔、已知tan ,tan 是方程x 2 5x0的两个实根，求tan （ ）的值。
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )711A 、 711B 、-713C 、 713D 、-2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B. 3 C ．2 D ．1 题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒- 题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
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：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例
知识要点：
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；
2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；
3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:
tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：
1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )
711
A 、 711
B 、-
7
13C 、 713D 、-
2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝4
5
3，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.45
3、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝5
13
，则cos C 的值是( )
A.1665
B.5665
C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )
A ．0
B ．±3
C ．0或 3 D
．0或
±3
5、三角式2cos55°－3sin5°
cos5°
值为( )
A.3
2
B. 3 C ．2 D ．1 题型训练
题型1 给角求值
一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.
变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20
︒︒
︒
- 题型2给值求值
三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，
22
αβ
αβ++=⋅
，
(
)()
222αβ
β
ααβ+=-
--
例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19
，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝2
3，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．
变式2：π3π33π5
0π,cos(),sin(),4445413
βααβ<<
<<-=+=已知求sin(α+β)的值.
题型3给值求角
已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
例3已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7
，求
2α－β的值．
变式3：已知tan α=
17，tan β= 1
3
，并且α,β 均为锐角,求α+2β的值.
题型4辅助角公式的应用
()sin cos a x b x x θ+=+
(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由
tan b
a
θ=
确定) 在求最值、化简时起着重要作用。
例4求函数2
5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间？
变式4（1）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ；
（2）若方程sin x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________. 题型5公式变形使用
二倍角公式的升幂降幂
tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m tan tan tan tan 1tan()
αβ
αβαβ±=±m
例5（1）设ABC ∆中，33tan A tan B tan Atan B ++=，3
sin Acos A =，则此三角形是____
三角形
（2）化简1-sin822cos8++
变式5已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝ ； 专题自测
1、下列各式中，值为1
2
的是 （ ）
A 、1515sin cos o o
B 、2
2
12
12
cos sin π
π
- C 、
22251225tan .tan .-o o
D 、130
2
cos +o
2、命题P ：0tan(A B )+=，
命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 （ ） A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件
3、已知3sin 5α=
,tan 0α<则tan()4
π
α-= . 4、=︒+︒
-︒20sin 6420cos 120sin 32
22
5、2sin()2sin()3cos()333
x x x πππ
++---=______________.
6、0
cos(27)cos(18)sin(18)sin(27)x x x x +---+=
7、若25sin α=
,310
sin β=,,αβ都为锐角,则αβ+= 8、在△ABC 中，已知tan A 、tan B 是方程3x 2
＋8x －1＝0的两个根，则tan C 等于 9、
131080
sin sin -o o
= ； 10、
︒
︒
-︒70sin 20sin 10cos 2=
11、(1tan 22)(1tan 23)︒
︒
++=
12、)20tan 10(tan 320tan 10tan ︒+︒+︒︒=
13、（福建理17）在ABC △中，1tan 4A =，3
tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；
（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．
14、（四川理17）已知0,14
13
)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,
(1)求α2tan 的值. （2）求β.
15、(2008·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点,已知A,B 两点的横坐标分别为225
,.105
(1)求tan(α+β)的值; (2)求α+2β的值.
答案：考点自测:1-5BCADD 变式1、3 2、5665 3：4
π
4（1）－2 （2）[－2,2] 5、22-
专题自测：1、C 2、C 3、7- 4、32 5、0 6、22 7、3
4π 8、2 9、4 10、3
11、2 12、1 13、()31π4C = ()22BC = 14、()83147- ()23
π
β= 15（1）—3 （2）
3π4。