两角和与差及二倍角公式讲义,例题含答案

3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）
3.3 两角和与差及二倍角公式
一．【复习要求】
1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.
二、【知识回顾】
1．两角和与差的三角函数
sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；
2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。

sin2α= ；
cos2α= = = tan 2α= 。

3．降幂公式
2sin α= ； 2cos α= .
注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用
4．辅助角公式
证明：
)sin cos x x y x x +
=+=
sin sin cos )x x ϕϕ+
)x ϕ+
其中，
cos ϕ=
sin ϕ=
，tan b
a
ϕ=
且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想
如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。

5.公式的使用技巧
（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan
12
4
π
π
==
（3）收缩代换：sin cos y x x =+
=)x ϕ+，
（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
--=
+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---
如：tan 95tan 3595tan 35-=o
o
o
o。

tan 70tan 5070tan 50+=o o o o 。

（5）角的变换（拆角与配角技巧）
22
α
α=⋅
， ()ααββ=+-， ()αββα=--， 1[()()]2
ααβαβ=
++-，
()4
4
ααπ
π
=+
-
，
()4
24π
π
π
αα+=
--，1
[()()]2
βαβαβ=+--， （6）二倍角公式的逆用及常见变形
二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式，它在求值、化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。

①sin 2sin
cos
22α
α
α=；②2
2
2
2
cos cos sin 12sin 2cos 12222α
α
α
α
α=-=-=-
③2
2tan
2tan 1tan 2
ααα=
-；④21sin 2(sin cos )ααα±=±；⑤22(sin cos )(sin cos )2αααα++-= 5．三角函数式的化简
（1）化简方法：①直接应用公式进行降次、消项；②化切为弦，异名化同名，异角化同角；③ 三
角公式的逆用等。

④降幂或升幂
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；
④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

6．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换
消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变
角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知角的
式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。

7．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证明
根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一、转换命题等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证明
通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系。

若从结论开始，通过变形，将已知表达式代入得出结论，采用代入法；若从条件开始，化简条件，将其代入要证表达式中，通过约分抵消等消去某些项，从而得出结论，采用消参法；若这两种方法都证不出来，可采用分析法进行证明。

三．【例题精讲】 考点一、给角求值
例1. 求值：
cos 20cos103sin10tan 702cos 40sin 20
+-o o
o o o o
例2.求值：2
[2sin50sin10(13tan10)]2sin 80++⋅o
o
o
o
【反思归纳】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值 ②化为正负相消的项，消去求值 ③化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值。

考点二、给值求值
例3.已知tan2
22,22
απθπ=-<
<
，求
2
2cos sin1
2
2sin()
4
θ
θ
π
θ
--
+
的值.
例4.已知
3335
0,cos(),sin()
4445413
ππππ
βααβ
<<<<-=+=，求sin()
αβ
+的值
考点三、给值求角
例5.已知tan()
1
1
,tan 27
αββ-=
=-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值.
考点四、三角函数式的化简与证明
例6.已知()1cos sin 1cos sin 1sin cos 1sin cos f x x x
x x x x
x x
=
+---+
---+，且2,2
x k k Z ππ
≠+
∈
（1） 化简()f x
（2） 是否存在x ，使tan
()2
x f x ⋅与
2
1tan 2sin x
x
+相等？若存在，求出x ；若不存在，说明理由。

例7.已知5sin 3sin(2)ααβ=-，求证：tan()4tan 0αββ-+=
【练习】
1. 已知tan 2α=，则
2sin 2cos 21cos αα
α
-=+
2. 求值：tan 20tan 60tan 60tan10tan10tan 20++=o o o o o o
3. 在ABC ∆中，已知3
cos(
)4
5
A π
+=
，则cos2A 的值为
4. （08年高考山东卷改编）已知43cos()sin 6
5π
αα-
+=
，则7sin()6
π
α+=
5. （07年高考江苏卷）若13
cos(),cos()55
αβαβ+=
-=，则tan tan αβ⋅=
6. （08年江苏卷）如图，在平面直角坐标第xOy 中，以Ox 轴为始边
作两个锐角αβ、，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已
知A 、B 的横坐标分别为225
，
， （1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值
7. 已知αβ、为锐角，向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，11(,)22
c =-r
.
(1) 若231,2a b a c -⋅=⋅=
r
r r r ,求角2βα-的值; (2) 若a b c =+r r r
,求tan α的值.
8. 若147cos ,cos()1751ααβ=
+=-,且αβ、都是锐角,求1cos 3
β= 9. (2010淮安调研,16)已知(cos ,sin )a αα=r
,(cos ,sin )b ββ=r .
(1) 若6
π
αβ-=,求a b ⋅r r 的值.
(2) 若4
,58
a b πα⋅==r r ,求tan()αβ+的值.。