初三数学有关圆的经典例题

初二数学有关圆的经典例题1.在半径为1的O O 中，弦AB 、AC 的长分别为、3和.2,求/ BAC 的度数。

分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意m ¥方^置天糸。

解：由题意画图，分 AB AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论，当AB AC 在圆心0的异侧时，如下图所示，v AB3, AC 2，二 AD，AEv 0A 1,A cos Z 0ADAD 3 0A 2cos Z 0AEAE 0A•••Z 0AD=30 , Z 0AE=45，故Z BAC=75 , 当AB AC 在圆心0同侧时，如下图所示， 同理可知Z 0AD=30 , Z 0AE=45 , • Z BAC=15 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2.如图：△ ABC 的顶点A 、B 在O 0上，O 0的半径为 R,O 0与AC 交于D,如果点D 既是AB 的中点，又是AC 边的中点, (1)求证：△ ABC 是直角三角形； AD 2 (2)求竺的值 BC 分 析 (1)由D 为AB 的中点，联想到垂径定理的推论，连结 0D 交AB 于F ,则AF=FB 0DL AB,可证。

卩是厶ABC 的中位线；过0作0D ± AB 于D,过0作0吐AC 于E , AB 与AC 有不同的位(2)延长 DO 交O O 于 E ,连接 AE,由于/ DAE=90 , DE ! AB /•△ ADF解：（1）证明，作直径 DE 交AB 于F ,交圆于Ev D 为 AB 的中点，••• AB 丄 DE , AF FB又••• AD=DC1••• DF // BC , DF BC2••• AB 丄BC, •••△ ABC 是直角三角形。

(2)解：连结AEv DE 是O O 的直径•••/ DAE=90而 AB 丄 DE,." ADF^A EDA分析：要比较AB 与2 CD 的大小，可以用下面两种思路进行：1（1）把AB 的一半作出来，然后比较 1 AB 与CD 的大小。

2 ⑵把2 CD 作出来，变成一段弧，然后比较2 CD 与AB 的大小。

解：解法（一），如图，过圆心 O 作半径OF! AB,垂足为E ,• ADDE v DE匹，即AD 2 ADDE • DF• AD2R , DF 1BC 2 BC • R ,故巫 BC例3.如图，在O O 中，AB=2CD 那么（） A. AB 2CD B. AB 2CDFDC. AB 2CDD. AB 与2CD 的大小关系不确定s\ DAE ，可得 AD 2DF • DE ，而 DF1BC , DE 2R ,故 可求 2 BC则 AF FB 1 AB21 AE EB —AB 2v AB 2CD ，二 AE CD 1 AB 2v AF FB 二 AF FB在厶AFB 中，有AF+FB>AB二 2AFAB , ■- AF,• AF CD ,• ■- 2 AF 2 CD2• AB 2CD•••选 A o解法（二）「如图， 作弦 DE=CD 连结 CE贝y DE CD 1CE2在厶CDE 中，有 CD+DE>CE ••• 2CD>CEv AB=2CD 「. AB>CE • AB CE , • AB 2CD•••选 A o如图，四边形 ABCD 内接于半径为2的O O ,已知AB 求CD 的长。

分析：连结BD 由AB=BC 可得DB 平分/ ADC 延长AB DC 交于E,易得△ EBC^^ EDA 又可判定 AD 是O O 的直径，得/ ABD=90 ,可证得△ ABD^A EBD 得DE=AD 利用△ EB3A EDA 可先求出 CE 的长。

解：延长AB DC 交于E 点，连结BDv AB BC 1AD 41 • AB BC,AD4, • •丄 ADB Z EDBvO O 的半径为2,二AD 是O O 的直径4.B1AD 4 .-•••/ ABD=/ EBD=90，又；BD=BD• △ ABD^A EBD • AB=BE=1 AD=DE=4 •••四边形ABCD 内接于O O •••/ EBC=/ EDA / ECB 玄 EAD • △ EBC s\ EDA , •匹AD• CD DE CED 为劣弧 AC 上一点，DE 丄AB(2)当点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使 AD 2 DE - DF ，为什么？分析：由题意容易想到作辅助线 0C(1)要使PC 与O 0相切，只要使/ PCO=90，问题转化为使/ OCA 丄PCFN FAH+Z AFH 就可以了。

(2)要使AD 2DE - DF ，即使-AD ~D 匸，也就是使△ DAFDEADE AD解：(1 )当 PC=PF (或/ PCF=Z PFC )时，PC 与O O 相切， 下面对满足条件PC=PR S 行证明， 连结 OC 则/ OCA=Z FAH•/ PC=PFPCF=Z PFC=Z AFH ，•/ DEI AB 于 H,./ OCA Z PCF=Z FAH+Z AFH=90 即OCL PC,. PC 与O O 相切。

CEAE...C E BC ^AEADBC(AB "ADBE)(2)当点D 是劣弧AC 的中点时，AD 2 DE - DF ，理由如下:例5.如图，AB 、AC 分别是O O 的直径和弦,(1)当厶PCF 满足什么条件时，PC 与O O 相切，为什么?连结 AE ,v AD CDDAF Z DEA又•••/ ADF Z EDA , •••△ DAF DEA ,即 A D=DE ・ DF点拨：本题是一道条件探索问题，第(1)问是要探求△ PCF 满足什么条件时，PC 与O O 相切，可以反过来，把 PC 与O 0相切作为条件，探索△ PCF 的形状，显然有多个答案；第 (2)问也可将AD=DE ・ DF 作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D 的位置。

ABCD 是矩形(AB -BC)，以BC 为直径作半圆0,过点2分析：要求tan Z ADE 在Rt △ AED 中，若能求出AE 、AD,根据正切的定义就可以得到。

ED=EF+FD 而EF=EB FD=CD 结合矩形的性质，可以得到 ED 和AE 的关系，进一步可求出 AE: AD 。

解：•••四边形ABCD 为矩形，••• BCLAB, BC 丄DC ••• AB DC 切O 0于点B 和点C,•/ DE 切O O 于 F ,「. DF=DC EF=EB 即 DE=DC+EB 又••• AE EB=2: 1,设 BE=x 贝U AE=2x, DC=AB=3x DE=DC+EB=4x , 在 Rt △ AED 中，AE=2x, DE=4x,• AD 2 - 3x点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。

例7.已知O O 与O Q 相交于 A B 两点，且点 Q 在O O 上,(1)如下图，AD 是O Q 的直径，连结 DB 并延长交O O 于C,求证 CO 丄ADAD DFDE AD例6.如图，四边形 则 tan Z ADEAE AD2x2、3xD 作半圆的切线交 AB 于 求 tan Z ADE 的值。

E,(2)如下图，如果是否与AD垂直？证明你的结论。

分析：(1)要证CQ0于C,那么CQ所在直线丄AD,只需证/CGD=90°,即需证/ D+Z C=90°,考虑到AD是O02的直径，连结公共弦AB,则Z A=Z C,Z DBA=90，问题就可以得证。

(2)问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC直观上看，AC等于CD到底AC与CD是否相等呢？考虑到02在O Q上，连结AQ、DO、BQ2,可得Z 1 = Z 2,且有厶AQC ^A DOC,故CA=CD可得结论CQ丄AC。

解：(1)证明，连结AB AD为直径，则Z ABD=90•••Z D+Z BAD=90又T Z BAD玄C, •••/ D+Z C=90°• Z CQD=90°,「. CQ丄AD(2) CQ所在直线与AD垂直，证明：连结QA QB、QD AC 在厶AQC与厶DQC中•/ Q2A Q2B，二AQ2 BQ2,.・.Z 1 Z 2•/Z QBD=Z QAC,又Z QBD=Z QDB •••/ OAC=Z QDB•/ QC=OC, AQC^A DOC , • CA=CD• △ CAD为等腰三角形，•/ CO为顶角平分线,• CO丄AD。

例8.如下图，已知正三角形ABC的边长为a,分别为A、B、C为圆心，以a为半径的圆相切于点02、03,求OQ?、0203、0301围成的图形面2积S。

(图中阴影部分)A'分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。

解：ABC2，3S扇3X6 •此题可变式为如下图所示，。

A、O B、O C两两不相交，且它们的半径都和为a，求图中三个扇形2（阴影部分）的面积之分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为/ A+Z B+/C=180 , 因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为 a 2,8原题可在上一题基础上进一步变形：O A i、O A、O A…O A n相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A…A n，求n个扇形的面积之和。

解题思路同上。

(n 2)解:2-、填空题（10X 4=40分）1. 已知：一个圆的弦切角是50 °，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为。

2. 圆内接四边形ABCD中，如果Z A:Z B:Z C=2: 3: 4，那么Z D= _______________ 度。

3. 若O O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到O O的切线长为4. 如图所示CD是O O的直径，AB是弦，CDL AB于M,则可得出AM=MB AC BC等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论:D5. O 0与O Q的半径分别是3和4，圆心距为4J3，那么这两圆的公切线的条数是O6. 圆柱的高是13cm,底面圆的直径是6cm,则它的侧面展开图的面积是 __________________ 。

7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm拱高CD=4cm那么拱形的半径是 ___________ 。

8. 若PA是O 0的切线，A为切点，割线PBC交O 0于B,若BC=20,PA=103 ,则PC的长为____________ 。

9. 如图5, △ ABC内接于O 0,点P是AC上任意一点（不与A、C重10•如图，量角器外沿上有A B两点，它们的读数分别是70°、40 °,则/ 1的度数为 ________ .（第9题图）11 •已知eO的半径是3,圆心0到直线l的距离是3,则直线l与eO 的位置关系是 _________ .12.如图，已知点 E 是圆O 上的点，B 、C 分别是劣弧 AD 的三等分点， BOC 46°,贝V AED 的度数为 __________ . 16•如图，Rt △ ABC 是由Rt △ ABC 绕B 点顺时针旋转而得，且点 A B, C 在同一条 17. 如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA, PB ,切点分别是 A , B ，若PA 8cm ,C 是A B 上的一个动点（点C 与A, B 两点不重合），过点C 作圆O 的切线，分别交PA, PB 于点D ,E ，贝y △ PED 的周长是 _____________ .18、 在平面内，O O 的半径为5cm,点P 到圆心O 的距离为3cm,则点P 与O O 的位置关系 是 ________ . ________13 .如图，Rt △ ABC 中 ACB 90°, AC4 , BC 3 •将△ ABC 绕AC 所在的直线f 旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积（取，结果保留两个有效数字）14.如图8，两个同心圆的半径分别为15 •如图，AB 是e O 的直径，AM 为弦,MAB 30°，过M 点的e O 的切线交AB 延长线于点N •若ON 12cm ，贝V eO 的半径为cm直线上，在Rt △ ABC 中，若/ C 90°, BC 2, AB 4，则斜边AB 旋转到A B 所扫过的扇形面积为第14题图，则阴影部分的面积为A19•如图8，在Rt△ ABC中，C 90°, AC 3 •将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA BC为半径的圆形成一圆环•则该圆环的面积为 ______________ •20.如图9,点A, B是e O上两点, AB 10，点P是e O上的动点（P与A, B不重合）连结AP, PB ,过点O分别作OE AP于点E，OF PB于点F，则EFP图9三、解答题：1.已知：如图所示，0 0和O Q相交于A B两点，过B点作O 0的切线交O Q于D,连结DA并延长与O O相交于C点，连结BG过A点作AE// BC与O 0相交于E点，与BD相交于F点。