高三数学最新复习课件数列求和(共42张PPT)
合集下载
高考专题复习数学数列求和精选课件
（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式； （Ⅱ）设 bn tan an tan an1, 求数列{bn} 的前 n 项和 Sn .
求 sin sin 2 sin n ,
求 S 12 22 32 n2
求 S 13 23 33 n3 .
数列{(an b) qn1} 求和之裂项相消法
a1b1 (a2 a1)b1q (a3 a2 )a2b1q2 (an an1)b1qn1 anb1qn
a1b1 db1q db1q2 db1qn1 anb1qn
a1b1 db1(q q2 qn1) anb1qn
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）若数列 {bn}满足 bn an cos(n ) 2n (n N *) ，
求数列{bn}的前 n 项和．
数列{an} 的通项 an
n2 (cos2
n
3
sin2
n
3
)，
其前 n 项和为 Sn ，则 S30 为（ ）
A． 470 B． 490 C． 495 D． 510
三项式 26 ，21 ，22 依次类推，求满足如下条件的
最小整数 N : N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂． 那么该款软件的激活码是（ ）
A． 440 B． 330
C． 220 D．110
已知等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn ，
且 a2
17, S10
100
． [来源
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
求 sin sin 2 sin n ,
求 S 12 22 32 n2
求 S 13 23 33 n3 .
数列{(an b) qn1} 求和之裂项相消法
a1b1 (a2 a1)b1q (a3 a2 )a2b1q2 (an an1)b1qn1 anb1qn
a1b1 db1q db1q2 db1qn1 anb1qn
a1b1 db1(q q2 qn1) anb1qn
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）若数列 {bn}满足 bn an cos(n ) 2n (n N *) ，
求数列{bn}的前 n 项和．
数列{an} 的通项 an
n2 (cos2
n
3
sin2
n
3
)，
其前 n 项和为 Sn ，则 S30 为（ ）
A． 470 B． 490 C． 495 D． 510
三项式 26 ，21 ，22 依次类推，求满足如下条件的
最小整数 N : N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂． 那么该款软件的激活码是（ ）
A． 440 B． 330
C． 220 D．110
已知等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn ，
且 a2
17, S10
100
． [来源
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
数列求和【公开课教学PPT课件】
1 2
Tn
1 2
3 22
5 23
2n 3 2n 1
2n1
2n
(1
1 2
)Tn
2
1 2
1 22
1 23
Tn
6
2n 3 2n1
1 2n2
2n 1 2n
3
2n 3 2n
高考数学第一轮复习 第六章 数列 第4节 数列求和
已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(2)Sn
a1(1 qn ) 1 q
2n 1, bn
an1 Sn Sn1
Sn1 Sn Sn Sn1
1 Sn
1 Sn1
Tn b1 b2 b3 bn
( 1 1 )( 1 1 ) ( 1 1 )
S1 S2
S2 S3
Sn
1 S1
高考数学第一轮复习 第六章 数列 第4节 数列求和
考点二 分组、并项求和法
例2. 设等比数列{an}的通项公式为an＝3n ，等差数列{bn}的通项 公式为bn＝2n＋1.
(1)记cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn. (2)记dn＝(-1)nbn ，求数列{dn}的前n项和Tn.
解：(1)
cn an bn，an,bn分别为等差、等比数列。
高考数学第一轮复习 第六章 数列 第4节 数列求和
考点一 倒序相加法
例1. 若数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．求
S Cn0a1 Cn1a2 Cn2a3 + Cnnan1
数列求和(23张PPT)
n 1 n 1 n 1 n 1 (1 6n 5) (a1 an ) 2 2 4 ( 1 4 ) a ( 1 4 ) 2 2 2 2 1 4 2 1 4
2
n2
9n 3n 14 6
2
例２． （天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1． （北京 卷） 已 知数列 是等差 数列， 且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6
2
n2
9n 3n 14 6
2
例２． （天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1． （北京 卷） 已 知数列 是等差 数列， 且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6
等差数列求和(共24张PPT)
例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
数列求和ppt课件
1
20
(2)设bn=
,数列{bn}的前n项和为Sn,若Sm= ,求m的值.
·+1
41
1
1
1
1
1
【解析】(2)由(1)知,bn=
=
= ·(
),
·+1 (2−1)(2+1) 2 2−1 2+1
1
1
1 1
1
1
1
1
所以Sn= [(1- )+( - )+…+(
)]= (1)=
.
2
3
3
D.
2
【解析】选C.S2 023=a1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+…+(a2 021+a2 022+a2 023)=
1+cos
2π
5π
2 018π
2 021π
2π
5π
+cos +…+cos
+cos
=1+337×(cos +cos )=1.
3
3
3
3
3
3
)
2 , 当为奇数时,
和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
考点二裂项相消法求和
模型一
1
b n=
({an}为等差数列)型
+1
1
[例1](1)数列{an}中,an=
,则数列{an}的前2
(+1)
024项和S2 024=
1
1 1
【解析】由题意得,an=
= - ,
20
(2)设bn=
,数列{bn}的前n项和为Sn,若Sm= ,求m的值.
·+1
41
1
1
1
1
1
【解析】(2)由(1)知,bn=
=
= ·(
),
·+1 (2−1)(2+1) 2 2−1 2+1
1
1
1 1
1
1
1
1
所以Sn= [(1- )+( - )+…+(
)]= (1)=
.
2
3
3
D.
2
【解析】选C.S2 023=a1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+…+(a2 021+a2 022+a2 023)=
1+cos
2π
5π
2 018π
2 021π
2π
5π
+cos +…+cos
+cos
=1+337×(cos +cos )=1.
3
3
3
3
3
3
)
2 , 当为奇数时,
和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
考点二裂项相消法求和
模型一
1
b n=
({an}为等差数列)型
+1
1
[例1](1)数列{an}中,an=
,则数列{an}的前2
(+1)
024项和S2 024=
1
1 1
【解析】由题意得,an=
= - ,
高考专题复习数学数列求和 PPT课件 图文
设 n N * ， xn 是曲线 y x2n2 1 在点 (1，2)
处的切线与 x 轴交点的横坐标.
（1）求数列 {xn} 的通项公式；
（2）记Tn x12x32
x2 2n1
，证明
Tn
1 4n
.
在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n 2 个数 构成递增的等比数列，将这 n 2 个数的乘积记作Tn ， 再令 an lg Tn, n≥1.
（2）求数列an 的通项公式；
（3）是否存在实数 a ，使不等式
(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2a2 3
a1
a2
an 2a 2n 1
对一切正整数 n 都成立？若存在，
求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足
2Sn an1 2n1 1 , n N* ,
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
bn为单调递增的等比数列， b1b2b3 512 ， a1 b1 a3 b3
（1）求数列an, bn的通项公式；
（2）若 cn
bn
bn
2 bn
1 n
bn
bn1
1(n
N* )
.
（1）求 an 与 bn ；（2）记数列{anbn} 的前 n 项和为Tn ，求Tn .
已知数列an ,bn , an 3n 1,bn 2n
记 Tn anb1 an1b2 a1bn , n N * ，求：Tn
6.4数列求和课件(共37张PPT)高考数学(文科)一轮复习基础过关
(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求
{an}的前n项和;
,为奇数,
(2)通项公式为 an=
的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等
,为偶数
差数列,可采用分组求和法求和.
即an=2an-1+2,可得an+2=2(an-1+2),显然an-1+2≠0.
(1+d)2=1+4d,解得d=2或d=0(舍去),
所以an=2n-1,n∈N*;
设等比数列{bn}的公比为q,因为b1=a1+c1=2,所以bn=2qn-1,又因为
=2×4-1+9=16,所以q3=
b4=a4+c4
4
n,n∈N*.
=8,解得q=2,所以b
=2
n
1
(2)由(1)可得cn=bn-an=2n-(2n-1),则Sn=c1+c2+…+cn=2-1+22-3+…+2n-(2n-1)
证明 (1)由题意,得
得
1
2+1 = + ,
2
两式相加,
1
2+1 = + ,
2
3
an+1+bn+1=4(an+bn),
1
3
∵a1=1,b1= ,∴a1+b1= ,
2
2
3
3
∴{an+bn}是首项为2,公比为4的等比数列.
两式相减,得
数列.
1
1
1
1
an+1-bn+1=4(an-bn),∵a1-b1=2,∴{an-bn}是首项为2,公比为4的等比
{an}的前n项和;
,为奇数,
(2)通项公式为 an=
的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等
,为偶数
差数列,可采用分组求和法求和.
即an=2an-1+2,可得an+2=2(an-1+2),显然an-1+2≠0.
(1+d)2=1+4d,解得d=2或d=0(舍去),
所以an=2n-1,n∈N*;
设等比数列{bn}的公比为q,因为b1=a1+c1=2,所以bn=2qn-1,又因为
=2×4-1+9=16,所以q3=
b4=a4+c4
4
n,n∈N*.
=8,解得q=2,所以b
=2
n
1
(2)由(1)可得cn=bn-an=2n-(2n-1),则Sn=c1+c2+…+cn=2-1+22-3+…+2n-(2n-1)
证明 (1)由题意,得
得
1
2+1 = + ,
2
两式相加,
1
2+1 = + ,
2
3
an+1+bn+1=4(an+bn),
1
3
∵a1=1,b1= ,∴a1+b1= ,
2
2
3
3
∴{an+bn}是首项为2,公比为4的等比数列.
两式相减,得
数列.
1
1
1
1
an+1-bn+1=4(an-bn),∵a1-b1=2,∴{an-bn}是首项为2,公比为4的等比
数列求和课件高三数学一轮复习(完整版)
考点一 分组（并项）法求和
【点拨】分组求和法就是对一类既不是（或不明显是）等差数列，也不 是（或不明显是）等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，分为几个 等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，最后将其合并的方法.
考点二 裂项相消法求和
考点三 倒序相加法求和
考点四 错位相减法求和
祝你学业有成
2024年5月3日星期五9时47分29秒
6.4 数列求和
【常用结论】
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的著，程大位著，共17卷，书中有这样一个 问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到 其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离 出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为 _____.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从
而求出原数列的和．
例1
求下面数列的前 n 项和： 1 1 1 1＋1，a＋4， 2＋7，…， n－1＋3n－路点拨】
1 1 1 【解】 Sn＝ (1＋ 1)＋( ＋ 4)＋ ( 2＋ 7)＋…＋ ( n－1＋ 3n a a a － 2) 1 1 1 ＝ (1＋ ＋ 2＋…＋ n－1)＋ [1＋4＋ 7＋…＋(3n－2)]． a a a 1 1 1 令 Bn＝ 1＋ ＋ 2＋…＋ n－1， a a a an－1 ∴当 a＝ 1 时， Bn＝ n；当 a≠ 1 时， Bn＝ n n－ 1， a －a 3n－1 n Cn＝ 1＋ 4＋ 7＋…＋(3n－ 2)＝ . 2
【名师点评】
利用错位相减法求和时，转化为
等比数列求和．若公比是参数(字母)，则应先对参
数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种
情况分别进行求和．
裂项相消法求和 裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过
求和相互抵消，从而达到求和的目的．
例3 (2011 年博州质检 )已知数列 {an}中， a1＝ 1，
错位相减法求和 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比 数列，求数列{an· bn}的前n项和时，可采用错位 相减法．
例2
知数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an
－an－1，…是首项为1，公比为a的等比数列． (1)求an； (2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项 和 S n.
等比数列，再求解．
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩 下首尾若干项． 5．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和
公式的推导过程的推广)．
思考感悟 你认为非等差、非等比数列求和的思路是什么？
提示：非等差、非等比数列的一般数列求和，主要 有两种思路：①是转化思想，即将一般数列求和问 题转化为等差或等比数列的求和问题，这一思想方 法往往通过通项分解或分组等方法来转化完成，像 乘公比错位相减法最终就是转化为等比数列求和； ②对于不能转化为等差或等比数列的特殊数列，往 往通过裂项相消法，倒序相加法，分组求和或并项 求和等方法来求和．
3n－1n ∴当 a ＝ 1 时， Sn ＝ Bn ＋ Cn ＝ n ＋ ＝ 2 3n＋1n ， 2 an－1 3n－1n 当 a≠1 时，Sn＝Bn＋Cn＝ n n－1＋ . 2 a －a
【名师点评】 非等差、非等比数列求和的最 关键步骤是“转化”，即根据通项公式的特点， 利用拆项分组的方法，拆分为等差或等比数列 的和或差，再进行求和运算．
答案：C
1
D．121
3． 设 f(n)＝2＋2 ＋ 2 ＋2 ＋ …＋2 (n∈ N)， 则 f(n)等于 ( ) 2 n 2 n＋ 1 A. (8 －1) B. (8 － 1) 7 7 2 n＋ 3 C. (8 －1) 7 2 n＋ 4 D. (8 －1) 7
4
7
10
3n＋ 10
答案：D
4．(教材习题改编)已知等比数列{an}中，an＝
课前热身
1 ． 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 若 an ＝ 1 ，则 S8 等于( ) n＋1n＋2 2 1 A. B. 5 30 7 5 C. D. 30 6
答案：A
2．数列{an}的通项公式是 an＝
，若 n＋ n＋1 数列的前 n 项和为 10，则项数为( ) A．11 B．99 C．120
2×3n－1，则由此数列的奇数项所组成的新数列的
前n项和为________． 答案：1(9n－1) 4 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n· 2n，则
Sn＝________.
答案：(n－1)· 2n＋1＋2
考点探究•挑战高考
考点突破 分组转化法与公式法求和 分组转化法就是把一个数列的通项拆成若干个
当 n≥ 2 时，其前 n 项和 Sn 满足
1 2 Sn＝ an(Sn－ )． 2
(1)求 Sn 的表达式； Sn (2)设 bn＝ ，求 {bn}的前 n 项和 Tn. 2n＋ 1
2 3 n n＋ 1
，
①－②得－ Tn＝ 1× 2＋ 2× (22＋ 23＋…＋ 2n)－ ＋ (2n－1)2n 1 － 22 1－2n 1 ＋ ＝ 2＋ 2× － (2n－ 1)2n 1 1－2 ＋ ＝－6－ (2n－ 3)2n 1， ＋ ∴ Tn＝ (2n－ 3)2n 1＋ 6， ∴ Sn＝b1＋ b2＋…＋ bn ＝ Tn－ [1＋3＋5＋…＋ (2n－1)] ＋ ＝ (2n－ 3)2n 1－ n2＋ 6.
【解】 (1)a1＝1，当 n≥2 时， n－1 an－an－1＝a ， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) 2 n－1 ＝1＋a＋a ＋…＋a n a＝1 n ＝1－a . a≠1 1－a (2)bn＝(2n－1)an＝(2n－1)· 2n－(2n－1)， 令 Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n，① 则 2Tn＝1×2 ＋3×2 ＋…＋(2n－3)2 ＋(2n－1)2 ②
§5.4 数列求和
§ 5.4 数 列 求 和
双基研习•面对高考
考点探究•挑战高考
考向瞭望•把脉高考
双基研习•面对高考
基础梳理 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 na1＋an nn－1 na1＋ d Sn＝_________ ＝ ___________. 2 2
(2)等比数列前 n 项和公式 ①当 q＝1 时，Sn＝na1； n a11－q a1－anq ②当 q≠1 时，Sn＝ ＝ . 1－q 1－ q
nn＋12n＋1 (3)12＋22＋…＋n2＝ ______________ ； 6
n2n＋12 13＋23＋ …＋n3＝2__________ . 4
2．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘
所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过
程的推广．
3．分组转化法
把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等差、