广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 反函数.doc
广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 空间距离(1)
§9.13 空间距离（1）一．内容归纳１. 知识精讲: (1) 点到直线的距离：点P 到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为A ，过A 作a 的垂线，垂足为B 连PB ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离．在直角三角形PAB 中求出PB 的长即可． (2)异面直线间的距离：异面直线a,b 间的距离为a,b 间的公垂线段的长．常有求法①先证线段AB 为异面直线a,b 的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线a,b 间的距离．③找或作出分别过a,b 且与b,a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线a,b 间的距离．④(垂面法)a 垂直于过 b 的平面，再过垂足作b 的垂线。
⑤利用异面直线两点间的距离公式。
⑥利用向量中的射影求距离２．重点、难点：求异面直线间的距离．以及巧用转移方法求距离．３．思维方式：发散的思维和空间思维．大胆的设想，严密的推理．４．特别注意：严密的逻辑推理，而不是单凭感觉和估计．二．问题讨论：例1：（１）棱长为a 的正四面体的对棱间的距离为_____；顶点到对面边的距离为____；高为_____；体积为______；外接球半径为_______;内接球半径为___;（２）把边长为a 的正△ABC 沿高线AD 折成600的二面角，则点A 到BC 的距离是（ ）Ａ．a Ｂ．a 26 Ｃ．a 33 Ｄ．a 415 解：（１）a 22，a 23，a 36，3122a ；（２）Ｄ；[思维点拔]在翻折中注意什么变了，而什么没有变．例２：在平面β内有△ABC ，在平面外有点S ，斜线SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，且斜线SA ，SB 与平面β所成的角相等，点S 到平面β的距离为4cm ，AC ⊥BC ，且AB ＝６cm ，求点S 与直线AB 的距离 解：如图，过S 作SD ⊥平面β于Ｄ点，连结DA ，DB ，则∠SAD ，∠SBD 分别为SA ，SB 和平面β所成的角，∵∠SAD=∠SBD ，从而，Rt △SAD ≌Rt △SBD ，∴SA=SB ，SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，∴∠SAC=∠SBC=900．又SC=SC ，∴Rt △SAC ≌Rt △SBC ，∴AC=BC ，取AB 的中点Ｏ，连结SO ，则由于SA=SB ，所以SO ⊥AB ．从而线段SO 的长就是S 点到直线AB 的距离． SD ⊥β，∴DA是SA 在平面β上的射影．又SA ⊥AC ，由三垂线定理的逆定理，得DA ⊥AC ．同理DB ⊥BC ．又AC ⊥BC ，AC=BC ，∴四边形ABCD 是正方形．∵Ｏ是对角线AB 的中点， OD ＝1/2ＡＢ＝３．在Rt △SOD 中，SD=4，OD=3，SO ＝22OD SD +＝５．即S 到直线AB 的距离等于５cm 。
高考第一轮复习数学：2.5 反函数
2.5 反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）.在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. ●点击双基1.（北京东城区模拟题）函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0）B.y =－x1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为 A.y =2x －1－1（x ＞1） B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数B.在［－21，+∞）上为减函数C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数4.（春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.●典例剖析【例1】 设函数f （x ）是函数g （x ）=x 21的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为 A.［0，+∞） B.（－∞，0］ C.［0，2）D.（－2，0］深化拓展1.若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与y =f （x ）一致.2.若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）有反函数吗？（答案：无）【例2】 求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.【例3】 已知函数f （x ）是函数y =1102+x －1（x ∈R ）的反函数，函数g （x ）的图象与函数y =134--x x的图象关于直线y =x －1成轴对称图形，记F （x ）=f （x ）+g （x ）. （1）求F （x ）的解析式及定义域.（2）试问在函数F （x ）的图象上是否存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直?若存在，求出A 、B 两点坐标；若不存在，说明理由.深化拓展若F （x ）当x ∈［a ，b ］时是单调函数，则F （x ）图象上任两点A 、B 连线的斜率都不为零.●闯关训练 夯实基础1.（全国Ⅱ）函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是A.y =x 2－2x +2（x ＜1）B.y =x 2－2x +2（x ≥1）C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）2.（文）（全国Ⅲ，文3）记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于 A.2 B.－2 C.3 D.－1（理）（全国Ⅳ，理2）函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为 A.y =2ln x （x ＞0） B.y =ln （2x ）（x ＞0） C.y =21ln x （x ＞0）D.y =21ln （2x ）（x ＞0）3.（北京，5）函数y =x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是 A.a ∈（－∞，1］ B.a ∈［2，+∞） C.a ∈［1，2］ D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞）4.（福建，7）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f －1（x ），则函数y =f －1（1－x ）的图象是C5.若点（2，41）既在函数y ＝2ax ＋b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =___________，b =___________.6.（全国Ⅲ，15）已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x －1，设f （x ）的反函数是y =g （x ），则g （－8）=______________.培养能力7.已知函数f （x ）=mx x +-25的图象关于直线y =x 对称，求实数m .8.已知函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f －1（x ）的表达式.9.已知函数f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）. （1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）； （2）判定f －1（x ）的奇偶性； （3）解不等式f －1（x ）＞1.探究创新10.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）. （1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1－x ）f －1（x ）＞a （a －x ）对x ∈［161，41］恒成立，求实数a 的取值范围.●思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线y ＝x 对称.3.求y ＝f （x ）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域； （2）由y ＝f （x ）的解析式求出x ＝f －1（y ）；（3）将x 、y 对换，得反函数的习惯表达式y ＝f －1（x ）. 4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成. ●教师下载中心 教学点睛由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）. 拓展题例【例1】 （上海，10）若函数y =f （x ）的图象可由y =lg （x +1）的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）等于A.10－x －1B.10x －1C.1－10－xD.1－10x【例2】 若函数y ＝ax ax +-11（x ≠－a1，x ∈R ）的图象关于直线y ＝x 对称，求a 的值.【例3】 函数y =xx+12（x ∈（－1，+∞））的图象与其反函数图象的交点坐标为___________________.。
广东省南民私立中学高三数学第一轮复习平面图形的翻折
专题三：平面图形的翻折【知识精讲】一、翻折问题的关键有二：①画好两个图——翻折前的平面图和翻折后的立体图；②分析好两个关系——翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变, 一般地，在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及到两面二个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的，分别位于两个半平面内但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱。
二、求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题: 通常把几何体的侧面展开，转化为平面图形中的距离问题。
【例题选讲】例1：（1）如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有_________对.【分析】平面图形的翻折应注意折前折后各元素相对位置的变化。
画好正方体即可知有三对异面直线。
（2）图示是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点则在正方体中，异面直线AB 、CD 所成角的余弦值为_________解：把展开图复原为正方体后如图，则∠HFG 为AB 和CD 所成的角，F 为正方体一的中点。
GF （B ）D AAH A E ACBDADBAHG∴COS ∠HFG=510 例2：如图，直角梯形ABCD 中，AB//CD ，∠ADC=900， AB=AD=a,CD=3a,将△ABD 沿BD 折起，使之与平面BCD 成600的二面角，点A 到了A ’的位置，求A ’与C 间的距离。
解：在梯形ABCD 的底CD 上取点E 使DE=a.AE 与BD 交于F ，则ABED 是正方形，由AE ⊥BD 得A ’F ⊥BD ，EF ⊥BD ，故∠A ’FE 为二面角的平面角为600，故△A ’EF 是等边三角形，A ’F=EF=A ’E=22a,在△A ’ED 中，A ’D=AD=a,再由余弦定理得cos ∠A ’DE=3/4,所以aC A a DE A CD D A CD D A C A 222',211'cos '2''2222=∴=∠⋅-+=变式：在矩形ABCD 中，已知AB=21AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折到△A ’BE 的位置，使A ’C=A ’D.(1)求证：平面A ’BE ⊥平面BCDE ；（2）求A ’C 和平面BCD 所成角的大小。
2022年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 简单的线性规划及实际应用
简单的线性规划及实际应用一、内容归纳 1知识精讲：（1）二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线0=++C By Ax （B 不为0）及点),(00y x P ，则 ①若B>0，000>++C By Ax ，则点0>++C By Ax 0=++C By Ax 00<++C By Ax 0<++C By Ax 0=++C By Ax by ax z +=()⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≥++>+-3210120121x y x y x 2|1||1|≤-+-y x 321≤-<x 11<≤-x 53≤<x 或或⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≥⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥211411y x y x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥<011211y x y x x y y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ABC∆522in =16;ma =50 （2）同上，作出直线L 0：2-=0，再将直线L 0平移，当L 0的平行线过C 点时，可使=2-达到最小值 当L 0的平行线过A 点时，可使=2-达到最大值 所以min =512-16;ma =8 （3）同上，作出直线L 0：610=0，再将直线L 0平移，例1图当L 0的平行线过C 点时，可使=2-达到最小值512-当L 0的平行线过A 点时，可使=2-达到最大值8但由于522不是整数，而最优解（,）中，,必须都是整数 所以可行域内的点C1,522不是最优解当L 0的平行线经过可行域内的整点1,4时，可使=2-达到最小值 所以min =-23、线性规划的实际应用例3、某木器厂有生立圆桌和衣柜两种木料,第一种有72米3,第二种有56米3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示,每生产一张书桌可获利润6元,生产一个衣柜可获利润10元,木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得的利润最少 产品 木料（单位米3） 第一种 第二种 圆桌 0．18 0．08 衣柜0．090．28解：设生产圆桌张，生产衣柜个，利润总额为元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而=610 上述不等式组所表示的平面区域如图所示作直线L 0: 610=0，即35=0，平移L 0，当L 0平移至过可行域内点M 时， 此时=610取得最大值⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x 得M （350，100） 即生产圆桌350张，生产衣柜100个，能使利润最大。
广东省南民私立中学高三数学第一轮复习数列的综合应用
数列的综合应用一、知识点1、 数列与其它章节的综合题：数列综合题，包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来，另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何等部份也有文泛的应用。
2、 数列的控索性问题：探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求。
3、 等差数列和等比数列的综合问题。
4、 数列的实际应用：现实生活中涉及到银行利率、企业投金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度等实际问题，常常考虑用数列的知识来加以解决。
二、例题选讲。
例1、 已知方程()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，求n m -的值。
解：设四个根依次为4321,,,x x x x ，则23241=+=+x x x x 又四根构成首项为41的等差数列，则47,45,43,414321====x x x x 由此，16154543,1674741=⨯==⨯=n m 所以n m -=21。
例2、已知二次函数()c bx ax x f ++=2的图象的顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,23，且()23=f （1）求函数()x f 的表达式。
（2）数列{}n a ，{}n b ，若对任意的实数x 都满足()()*+∈=++⋅N n x b x a x g x f n n n ,1，其中()x g 是定义在实数集上的一个函数，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式。
（3）设圆()()222:n n n n r b y a x C =-+-，若圆C n 与圆C n+1外切，{}n r 是各项都是正数的等比数列，记S n 是前n 个圆的面积之和，求S n 的值。
解：()()2312+-=x x x f ()()()()()111102,0121=+⇒=++∴==+n n n n n b a b a g f f f()()11222222++=+⇒=++n n n n n n b a b a g f所以1122,12++-=-=n n n n b a()()()122121212222223++++++⋅=-+-=n n n n n n n C C记{}n r 的公比为q ,则()111221+++⋅==+=+n n n n n n C C q r r r()21221++⋅=+∴n n q r 21=∴+n n r r 1232+⋅=∴n n r n n r 4982⋅=∴ ()142732-=∴n n S π 例3、已知()42≥n n 个正数排成n 行n 列的一张表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n n a a a a a a a a a a a a 32122322211131211 其中每一行成等差数列,每一列成等比数列,并且所有的公比相等, 已知163,81,1434224===a a a ,求∑==n i ii n a S 1的值。
广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 集合的概念.doc
集合的概念教学目标：使学生掌握集合的有关概念,并能解决一些问题。
一．知识点 1．集合①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。
②表示列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x ∣P(x)}.如：}1),({},1{},1{-=-=-=x y y x x y y x y x图示法：用文氏图表示题中不同的集合。
③分类：有限集、无限集、空集。
④性质 确定性：A a A a ∉∈或必居其一，互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同， 无序性：{1，2，3}={3，2，1}2．常用数集复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集*N （或N +） 有理数集Q 3．元素与集合的关系：A a A a ∈∉或4．集合与集合的关系：①子集：若对任意A x ∈都有B x ∈[或对任意B x ∉都有A x ∉] 则A 是B 的子集。
记作：A B B A ⊇⊆或 C A C B B A ⊆⇒⊆⊆, ②真子集：若B A ⊆，且存在A x B x ∉∈00,但，则A 是B 的真子集。
记作：AB[或“B A B A ≠⊆且”] A B ，B CA C③B A A B B A =⇔⊆⊆且④空集：不含任何元素的集合，用φ表示 对任何集合A 有A ⊆φ，若φ≠A 则φ A注：}{}0{}{φφφ≠≠≠a a 5．子集的个数若},,{21n a a a A Λ=，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n个，2n-1个和2n-2个。
二．应用举例例1．已知P={0，1}，M={x ∣x ⊆P}，则P 与M 的关系为（ ）M P D M P C M P B M P A ⊇⊆∉∈)()()()( [P 8变式]解：∵P={0，1} ∴M={x ∣x ⊆P}={φ，{0}，{1}，{0，1}} ∴P ∈M 应选A 例2．（2002年全国高考题）设集合},214{},,412{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（ ）N M A =)( (B)M N (C)M N φ=⋂N M D )( [P8变式]分析:}42{},214{},,412{},412{Z k k x x Z k k x x N Z k k x x Z k k x x M ∈+==∈+==∈+==∈+== 应选B例3.已知非空集合M ⊆{1,2,3,4,5},且若a ∈M,则6-a ∈M ，求集合M 的个数[P8变式] 解：∵M ⊆{1,2,3,4,5}，且若a ∈M,则6-a ∈M∴若1∈M ，则5∈M ，反之亦然，∴1∈M 且5∈M ，或1∉M 且5∉M 同理：2∈M 且4∈M ，或2∉M 且4∉M 3∈M 且6-3∈M ，又∵M 是非空集合，∴M 个数为23-1=7例4．已知}023{},02{22≤+-=≤+-=x x x B a x x x A ，且A B ，求实数a 的取值范围。
高三第一轮复习数学---反函数
高三第一轮复习数学---反函数一、教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x f y -=的性质解决一些问题．二、教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系． 三、教学过程：（一）主要知识：1、 反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，由y=f(x)求出()y x ϕ=，若对于C 中的每一个值y ，在A 中都有唯一的一个值和它对应，那么()y x ϕ=叫以y 为自变量的函数，这个函数()y x ϕ=叫函数y=f(x)的反函数，记作()y f x 1-=，通常情况下，一般用x 表示自变量，所以记作()x fy 1-=。
注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。
（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数； （2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤（1）解关于x 的方程y=f(x)，达到以y 表示x 的目的； （2）把第一步得到的式子中的x 换成y ，y 换成x ；（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。
3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称； （2）y=f(x)和y=f -1(x)具有相同的单调性；（3）y=f(x)和x=f -1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同； （4）已知y=f(x)，求f -1(a)，可利用f(x)=a ，从中求出x ，即是f -1(a)； （5）f -1[f(x)]=x; （6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f -1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上； （7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；（二）主要方法：1．求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=，（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=，（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域． （三）例题分析：例1．求下列函数的反函数：（1）()1)f x x =≤-；（2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<；（3）32331y x x x =-++．解：（1）由1)y x x =≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴10)2x y +=≥，∴所求函数的反函数为10)2y x =-≥．（2）当01x ≤≤时，得10)x y =-≤≤，当10x -≤<时，得1)x y =<≤，∴所求函数的反函数为10)1)x y x -≤≤=<≤．（3）由32331y x x x =-++得3(1)2y x =-+，∴1)x y R =∈，∴所求反函数为1()1)f x x R -=∈．例2．函数11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+，∴11()(1)(1)xf x x a x --=≠-+， 由题知：1()()f x f x -=，11(1)1x axa x ax--=++，∴1a =． 例3．若(2,1)既在()f x =,m n 的值． 解：∵(2,1)既在()f x∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩，∴21==，∴37m n =-⎧⎨=⎩． 例4．设函数xxx f +-=121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值．解法一：由121x y x -=+得12y x y -=+，∴11()2x f x x --=+，1(1)3x f x x --+=+， ∴)(x g 与3x y x -=+互为反函数，由23xx -=+，得(2)2g =-．解法二：由1(1)y f x -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-，∴(2)(2)12g f =-=-．例5．已知函数()y f x =（定义域为A 、值域为B ）有反函数1()y f x -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x A >∈的充要条件是1()y f x -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且． 例6．已知21()()21x x a f x a R -=∈+，是R 上的奇函数．（1）求a 的值，（2）求()f x 的反函数，（3）对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log x f x k-+>．解：（1）由题知(0)f =，得1a =，此时21212112()()021212112x x x xx x x xf x f x ------+-=+=+=++++， 即()f x 为奇函数．（2）∵21212121x x xy -==-++，得12(11)1x yy y+=-<<-，∴121()l o g(11)1xf x x x-+=-<<-．（3）∵121()log x f x k -+>，∴11111x xx k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，∴111x k x >-⎧⎨-<<⎩， ①当02k <<时，原不等式的解集{|11}x k x -<<， ②当2k ≥时，原不等式的解集{|11}x x -<<．（四）巩固练习：１、①若函数)(x f 是函数()10222≤≤--=x x y 的反函数，则)(x f 的图象为 （ ）A B C D②已知函数)(x f 的图象过点（0，1），则函数)4(-x f 的反函数的图象必过定点（ ）A 、（1，－4）B 、（1，4）C 、（1，0）D 、（4，1）③ 若函数f （x ）的图象与xy )21(=的图象关于直线y=x 对称，则函数)2(2x x f -的单调减区间是 （ ） A 、（1，+∞） B 、（-∞，1] C 、（0，1] D 、[1，2）２、①函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-=)01()10(122x xx x y 的反函数是②、已知R x x f xx∈+=,212)(，则=-)31(1f ___ . ③、已知函数x x f 3)(=的反函数是)(1x f-,且2)18(1+=-a f ,则函数])1,0[(3∈=x y ax 的值域为______________.3、已知函数132)(-+=x x x f ，若函数y=g （x ）与)1(1+=-x f y 的图象关于直线x y =对称，求g （3）的值．４、给定实数a ，a ≠0且a ≠1，设函数)1(11ax R x ax x y ≠∈--=且，证明这个函数的图象关于直线y=x 对称。
高三数学第一轮复习教案第12课时—反函数
第二章 函数——第12课时，反函数一．课题：反函数二．教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(x f y =与)(1x fy -=的性质解决一些问题． 三．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系．四．教学过程：（一）主要知识：1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1()y f x -=互为反函数， 函数()y f x =的定义域为A 、值域为B ，则1[()]()f f x x x B -=∈，1[()]()f f x x x A -=∈；3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称．（二）主要方法：1．求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=，（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=，（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域． （三）例题分析：例1．求下列函数的反函数：（1）()1)f x x =≤-；（2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<；（3）32331y x x x =-++． 解：（1）由1)y x =≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴10)2x y +=≥，∴所求函数的反函数为10)2y x =-≥． （2）当01x ≤≤时，得10)x y -≤≤，当10x -≤<时，得1)x y =<≤，∴所求函数的反函数为10)1)x y x -≤≤=<≤．（3）由32331y x x x =-++得3(1)2y x =-+，∴1)x y R =∈，∴所求反函数为1()1)f x x R -=∈．例2．函数11(,)1ax y x x R ax a-=≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+，∴11()(1)(1)x f x x a x --=≠-+， 由题知：1()()f x f x -=，11(1)1x ax a x ax --=++，∴1a =． 例3．若(2,1)既在()f x =,m n 的值．解：∵(2,1)既在()f x =∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩，∴21==，∴37m n =-⎧⎨=⎩． 例4．（《高考A 计划》考点12“智能训练第5题”）设函数xx x f +-=121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值． 解法一：由121x y x -=+得12y x y -=+，∴11()2x f x x --=+，1(1)3x f x x --+=+， ∴)(x g 与3x y x -=+互为反函数，由23x x -=+，得(2)2g =-． 解法二：由1(1)y f x -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-，∴(2)(2)12g f =-=-．例5．已知函数()y f x =（定义域为A 、值域为B ）有反函数1()y f x -=，则方程()0f x =有解 x a =，且()()f x x x A >∈的充要条件是1()y f x -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且．例6．（《高考A 计划》考点12“智能训练第15题”）已知21()()21x x a f x a R -=∈+，是R 上的奇函数．（1）求a 的值，（2）求()f x 的反函数，（3）对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log x f x k-+>． 解：（1）由题知(0)0f =，得1a =，此时21212112()()021212112x x x xx x x x f x f x ------+-=+=+=++++， 即()f x 为奇函数．（2）∵21212121x x x y -==-++，得12(11)1x y y y +=-<<-，∴121()log (11)1x f x x x -+=-<<-． （3）∵121()log x f x k -+>，∴11111x x x k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，∴111x k x >-⎧⎨-<<⎩， ①当02k <<时，原不等式的解集{|11}x k x -<<，②当2k ≥时，原不等式的解集{|11}x x -<<．（四）巩固练习：1．设21(01)(){2(10)x x x f x x +≤≤=-≤<，则15()4f -= ． 2．设0,1a a >≠，函数log a y x =的反函数和1log ay x =的反函数的图象关于 （ ）()A x 轴对称 ()B y 轴对称 ()C y x =轴对称 ()D 原点对称3．已知函数1()()12x f x =+，则1()f x --的图象只可能是 （ ）第二章 函数——第12课时，反函数()A ()B ()C ()D4．若6y ax =-与13y x b =+的图象关于直线y x =对称，且点(,)b a 在指数函数()f x 的图象上，则()f x = ．五．课后作业：《高考A 计划》考点12，智能训练1，2，3，6，10，12，14． 经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。
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反函数
一、基本知识
1、 反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出yx，若
对于C中的每一个值y，在A中都有唯一的一个值和它对应，那么yx叫以y为
自变量的函数，这个函数yx叫函数y=f(x)的反函数，记作yfx1，通常
情况下，一般用x表示自变量，所以记作xfy1。
注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。
（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；
（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；
2、求反函数的步骤
（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的；
（2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x；
（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。
3、关于反函数的性质
（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；
（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；
（3）y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；
（4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；
（5）f-1[f(x)]=x;
（6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图
象上；
（7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；
二、例题选讲
例1：（考例1）求下列函数的反函数
11321xxxy
22xy
0120132xx
xx
y
练习：（变式一）求下列函数的反函数
2,11212xxxy
10log212xy
x
例2、（考例2）已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x)，求函数y=f(2x-1)+1的反函数。
练习：1、（变式二）已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x)，求函数xfy1的反函数。
2、已知f(x+1)=2x，求11xf。(11xf=23x)
例3、（考例3）（1）已知函数y=ax+b的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则
a= ,b= 。
（2）已知xxxf3131，则541f= 。
练习：（变式三）若f-1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f-1(x)的值域是 。
例4、给定实数a，0a且1a，设函数axRxaxxy1,11且，证明这个函数的图
象关于直线y=x成轴对称图形。
练习：（变式四）若函数bxaxxf212的图像关于直线y=x对称，确定a,b的关系。
例5、设Ra，f(x)为奇函数，且14422xxaaxf
（1）试求f(x)的反函数的解析式f-1(x)及f-1(x)的定义域；
（2）设kxxg1log2，若32,21x时，f-1(x)xg恒成立，求实数k的取值范围。
练习：（变式五）已知函数1,02log2aaxxxfa的反函数f-1(x)，设
2log221anfng
，若Nnngnn233，求a的取值范围。
三、小结
1、求反函数；
2、利用反函数的性质解题；
四、作业：能力提高：7、8、预测