广东省惠州市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题【含答案】
广东省惠州市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题
试卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。 1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,7}M =，集合{5,6,7}N =，
则()U C M N =U （ ）
A ．{5,7}
B ．{2,4}
C ．{1,3,5,6,7}
D ．{1,3,4,6}
2
．函数()f x x
=
的定义域为（ ） A ．1
(,)2-+∞ B ．1[,)2-+∞ C ．1(,0)(0,)2-+∞U D ．1
[,0)(0,)2
-
+∞U 3．已知51log 2x =，0.1
12y ??= ???
，132z =，则（ ） A ．x y z << B ．x z y << C ．y x z << D ．z x y << 4．为了得到函数sin 25y x π?
?
=- ??
?
的图象，
只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移
10π
个单位。
B ．向右平移
10π
个单位。
C ．向左平移5
π
个单位。
D ．向右平移5
π
个单位。
5．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的函数是（ ） A ．1ln
y x
= B ．2x
y =
C ．=cos y x
D ．3
y x =
6．函数sin ln y x x =?的图象大致是（ ）
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A B C D
7．惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如下表所示：
用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A ．2log v t =
B ．
12
log v t = C ．21
2
t v -=
D ．22v t =-
8．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=?，且B C D 、、三点共线， 则下列结论不成立．．．的是（ ） A. 3CD BC =
u u u r
u u u r B. 0CA CE ?=u u u r u u u r
C. AB u u u r 与DE u u u r
共线 D. CA CB CE CD ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r
9．函数()tan 4f x x π?
?=+ ??
?的单调增区间为（ ）
A ．,,2
2k k k Z π
πππ?
?
-
+
∈ ??
?
B ．3(2,2).44k k k Z ππ
ππ-
+∈ C ．3,,44k k k Z ππππ??
-
+∈ ??
?
D ．3,,4
4
k k k Z π
π
ππ?
?
-
+
∈ ??
?
10．有关数据显示，2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨。有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知，如果不采取有效措施，则从（ ）年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨。 （参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）
A ．2018
B ．2019
C ．2020
D ．2021
二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。 11．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πω?ω??
?
=+>>< ??
?
的部分图象如图所示， 下列说法错误．．
的是（ ） t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
A
B
D
C
E
A ．函数()y f x =的图象关于直线6
x π
=-
对称。
B ．函数()y f x =的图象关于点5,012π??
-
???
对称。 C ．函数()y f x =在2,3
6ππ??
-
-????上单调递减。 D ．该图象对应的函数解析式为()2sin 23f x x π?
?
=+
??
?
． 12．下列幂函数中满足条件)0(2
)
()()2(
212121x x x f x f x x f <<+<+的函数是（ ） A. x x f =)( B. 2
)(x x f = C. x x f =
)( D. x
x f 1)(=
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。 13．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x
轴非负半轴重合，终边经过点()
P ， 则cos α=_________．
14．已知向量()1,1a =r
，向量()2,0b =r ，则3a b +=r r _________．
15．已知1cos()5πα-=
，则sin 2πα?
?+ ??
?=__________．
16．已知函数()
()
212()1log x x f x x x
若直线y=m 与函数f (x )的图象只有1个交点，则实数m 的取值范围是_________．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分） （1）已知12
cos 13
θ=
，(,2)θππ∈，求sin θ的值． （2）若5410a b ==，求
21
a b
+的值． 18．（本小题满分12分）
已知函数()b f x ax x
=+
，且()()51222f f ，=-=-．
（1）求()f x 的解析式；
（2）证明()f x 在区间(0,1)上单调递减．
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，点()1,2--A ，()2,3B ，()2,1C --.
（1）设实数t 满足()
AB tOC OC -⊥u u u v u u u v u u u v
，求t 的值；
（2）若以线段AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，
求向量AD u u u r 与u u r
CB 的夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分） 已知函数()sin(2)6
f x x π
=+
．
（1）请用“五点法”画出()f x 在一个周期上的图象；
（2）求()f x 在区间5[2,
]2
π
π上单调性． 21．（本小题满分12分）
在竞争激烈的市场环境中，产品的售价至关重要，它将影响产品的销量，进而影响生产成本、品牌形象等。惠州市某公司根据多年的市场经验，总结得到了其生产的产品A 在一个销售季度的销量y （单位：万件）与单件售价x （单位：元）之间满足函数关系
()()146162221621x x y x x ?-≤≤?=??-<≤?
，产品A 的单件成本C （单位：元）与销量y 之间满足函数关系
30
C y
=
． （1）当产品A 的单件售价在什么范围内时，能使得其在一个销售季度的销量不低于5万件？ （2）当产品A 的单件售价为多少时，一个销售季度的总利润最大？
(注：总利润=销量(?单件售价－单件成本))
22．（本小题满分12分）
若函数()f x 在定义域内存在实数0x ，使得()001()(1)f x f x f +=+成立，则称函数()f x 有漂移点0x ．
（1）试判断函数()2
f x x =及函数()1
f x x
=
是否有漂移点，并说明理由； （2）若函数()ln (0)1a f x a x ??
=> ?+??
有漂移点，求a 的取值范围。
惠州市2019-2020学年第一学期期末考试 高一数学试题参考答案与评分细则（初稿）
1．【解析】{1,3,5,6,7}M N ?=，则(){2,4}U C M N ?=.故选B ．
2．【解析】由2100
x x +≥??≠?，解得12x ≥-且0x ≠．所以函数定义域为1
[,0)(0,)2-?+∞，
故选D
3．【解析】因为1
0.1
3511log 0,()(0,1),2122
x y z =<=∈=>，即x y z <<，故选A.
4．【解析】sin(2)sin[2()]5
10
y x x π
π
=-=-
，因此要把sin 2y x =图象向右平移
10
π
个单
位．故选B ．
5．【解析】对于选项A ，1
ln
y x
=为偶函数，但在区间(0,)+∞上单调递减，故错误； 对于选项B ，2x
y =为偶函数，当0x >时，可化为2x
y =，满足在区间(0,)+∞上单调递，故正确；
对于选项C ，cos y x =为偶函数，但在区间(0,)+∞上没有单调性，故错误； 对于选项D ，3
y x =为奇函数，故错误．故选B ．
6．【解析】()sin()ln sin ln ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 为奇函数，函数的图象关于原点对称，故排除B ，C ；函数的最小正零点为1，当01x <<时，()f x 为负值，故排除D ，故选A ．
7．【解析1】由表可知：v 是关于t 的增函数；且增幅随t 的增大而增大，故只有C 满足要求。
【解析2】作出散点图，由函数拟合可知只有C 满足要求。 【解析3】由表可知：v 是关于t 的增函数；所以B 不适合； 对于A:22log 1.992,log 230.3,log 42;≈≈= 故A 不接近；
对于C 22221,9913141 5.111.5,4,7.5,12.52222----≈==≈,
26.121
18.2.2
-≈C 接近； 对于
D:2 1.992 1.98,2324,2426,2 5.128.2,?-=?-=?-=?-=
2 6.12210.24?-=，D 不接近；故选C
8．【解析】设BC DE m ==，则3,2CD AB m AC EC m ==
==，90ACE ∠=?，
3CD BC ∴=u u u v u u u v ，0CA CE ?=u u u v u u u v ，//AB DE u u u v u u u v
，故A 、B 、C 成立；
而22cos60CA CB m m m ?=??=o u u u v u u u v ，223cos303CE CD m m m ?=??=o u u u v u u u v
，
即CA CB CE CD ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r
不成立，故选D.
9．【解析】令242k x k π
π
π
ππ-
<+
<+
，得344
k x k ππ
ππ-
<<+，k Z ∈，故选C ．
10．【解析】设快递行业产生的包装垃圾为y 万吨，n 表示从2015年开始增加的年份数，由
题意可得3
400(150%)400()2
n
n
y =?+=?，3400()40002
n
?>，得3()102
n
>， 两边取对数可得(lg3lg 2)1n ->，∴(0.47710.3010)1n ->，得0.1761n >，解得
5.682n >，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.故选D ．
二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。
11．【解析1】将图象往左延伸一个周期，可知ABC 都不成立。 由函数的图象可得2A =，由
124312
πππ
ω?=-，得2ω=．再由最值得2212
2
k π
π
?π?
+=+
，k Z ∈
又2
π
?<
，得3π
?=
，得函数()2sin 23f x x π??=+ ??
?，故选项D 不能选。故选ABC ．
【解析2】由函数的图象可得2A =，由
124312
πππω?=-，得2ω=．再根据最值得2212
2
k π
π
?π?
+=+
，k Z ∈,又2
π
?<
，得3
π
?
=
，得函数()2sin 23f x x π?
?
=+
??
?
， 当6
x π
=-
时，()0f x =，不是最值，故A 不成立；当512
x π
=-
时，()2f x =-，不等于零，故B 不成立；
3+22+22
3
2k x k π
π
πππ≤+
≤
得7++1212
k x k ππππ≤≤，k Z ∈，故C 不成立；对比选项D 可知不能选。故选ABC ．
12．【解析】由题意可知，当0x >时，()f x 的图象是凹形曲线. 对于A ，函数()f x x =的图象是一条直线，故当210x x >>时，1212()()
()22
x x f x f x f ++=
； 对于
B ，函数2
()f x x
=的图象是凹形曲线，故当210x x >>时，
1212()()
(
)22
x x f x f x f ++<
；
对于
C ，函数()f x =
的图象是凸形曲线，故当210x x >>时，
1212()()
(
)22
x x f x f x f ++>
； 对于D ，在第一象限，函数1
()f x x
=的图象是一条凹形曲线，故当210x x >>时， 1212()()
(
)22
x x f x f x f ++<
，故本题答案选BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。 13．32-．52．1
5
- 16．3（2分），{}[)02,+∞U （3分）
【注】①1450 ②16题第一个空写成2log 8不给分。 ③16题第二个空也可以写成：{}0或[)2,+∞，0m =或2m ≥，0m =或[)2,m ∈+∞。
但写成以下形式不给分：[)02,+∞U
，0m =2m ≥U ，0m =[)2,+∞U 。
13．【解析】由三角函数的定义可得22
33cos 2
(3)1α=
=-
-+，故答案为：3
2-.
14．【解析】由题得3=(7,1)a b +r r ，所以22
3715052a b +=+==r r 故答案为：5215．【解析】由()1cos 5πα-=
，得1cos 5α=-，sin 2πα?
?+ ??
?=1 cos 5α=-，故答案为：1
5
- 16．【解析】2(8)log 83f ==，作出函数()f x 的图象，如图所示， 若直线y m =与函数()f x 的图象只有1个交点， 则2m ≥或0m =，故答案为：3，{}[)02,+∞U
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分） 【解析】（1）【解法1】由题可知3(
,2)2
π
θπ∈…………………………………1分 则sin 0θ< ………………………………………………2分 根据同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=得 …………3分
2sin 1cos θθ=--分
5
13
=-
………………………………………………………5分 【解法2】由题可知θ终边在第四象限，……………………………………………1分
可设θ终边过点()12y ，，其中0y <…………………………………2分
r =
13=得=5y -…………………………3分 根据三角函数的定义sin y
r
θ=
可得 ……………………………………4分 sin θ5
13
=-
………………………………………………………………5分 【注】本小题解答过程如果用勾股数5、12、13简单过程得到结果，最多给2分。 （2）【解法1】根据题设得5log 10a =，4log 10b =……………………………6分
1lg5a =，1
lg4b =……………………………………………………………7分 所以21
2lg5lg4a b
+=+………………………………………………………8分
2lg5lg4=+………………………………………………………9分 =lg1002=………………………………………………………10分
【解法2】根据题设得lg51a =，lg41b = ……………………………6分 因为0a ≠，0b ≠，所以1lg5a =，1
lg4b
=………………………………7分 所以
21
2lg5lg4a b
+=+………………………………………………………8分 2lg5lg4=+………………………………………………………9分 =lg1002=………………………………………………………10分
18．（本小题满分12分）
【解析】（1）由已知有2
5222a b b a +=??
?--=-??
…………………………………………………2分
解得1a =，1b = …………………………………………………………4分 ∴()1
f x x x
=+
（0x ≠）………………5分【注：没有写出0x ≠不扣分】 （2）证明：设任意12,(0,1)x x ∈，且12x x < …………………………………………6分 则()()121212
11
f x f x x x x x -=-+
-………………………………………7分
()121211x x x x ??
=-- ??
?…………………………………8分
()
121212
1
x x x x x x -=-……………………………………9分【注③】 又12,(0,1)x x ∈，且12x x < 所以120x x -<，121x x <，1210x x -< …10分【注③】 ∴()
121212
1
0x x x x x x -->，即12()()f x f x > ……………………………11分 所以()f x 在(0,1)上单调递减．……………………………………………12分 【注】①用12,x x 两个特殊值验证12()()f x f x >的证明过程，第二问得0分。 ②正确作出函数图象，说明()f x 在(0,1)上单调递减，第二问只得3分。 ③若做差后变形不彻底，即解答过程无“9分”点，且在“10分”点处对12
1
10x x -<的说明不充分，第二问最多可得4分。 19．（本小题满分12分）
【解析】（1）由题设知()2,1OC =--u u u v ，()3,5AB =u u u v
，…………………………2分 ()32,5AB tOC t t -=++u u u v u u u v
，………………………………………3分
由()AB tOC OC -⊥u u u v u u u v u u u v 得
()
0AB tOC OC -?=u u u v u u u v u u u v ，………………4分 即()()()()232+150t t -+-+=，……………………………5分
所以11
5
t =-
.………………………………………………………6分 （2）由题设知()1,1AC =-u u u v
，……………………………………………………7分
则()2,6AD AB AC =+=u u u v u u u v u u u v ，
()4,4CB AB AC =-=u u u v u u u v u u u v …………………8分
故AD =u u u v
，CB =u u u v
9分
设向量AD uuu v 与CB u u u v 的夹角为θ，故
cos AD CB AD CB
θ?=?u u u v u u u v u u u v u u u v .……………………10分
=
=
………11分 所以，向量AD uuu v
与CB u u u v
的夹角余弦值为5
……………………………12分 20．（本小题满分12分） 【解析】：（1）列表如下：
………………3分
()f x 在11,1212ππ??
-????
上的图象如图所示： ………………………………………………6分
【注】①正确列表可得3分；无列表，则不给这3分。
1分。
1分。
（2）【解法1】由Z ∈）…………………7分
得36
k x k ππ
ππ-≤≤+ （k Z ∈）………………………………………8分
,36k k ππππ??-+????I 52,=2ππ??????
132,6ππ?
?????
……………………………9分 所以()f x 在区间132,
6ππ?
?
???
?
上单调递增…………………………………10分 同理，()f x 在区间135,62ππ??
???
?上单调递减………………………………12分 【解法2】
52,2x ππ??∈????24,5666x πππππ?
????+∈++ ????
???………………………………………7分
令26t x π
=+，根据复合函数单调性知sin y t =在4+
,4+
6
2π
πππ??
???
?
上单调递增，……8分
所以4246
6
2
x π
π
π
ππ+
≤+
≤+
得1326
x π
π≤≤
…………………………………………9分 所以()f x 在区间132,6ππ?
?
???
?
上单调递增……………………………………………………10分
同理，()f x 在区间135,62ππ??
???
?上单调递减…………………………………………………12分
【注】①对于单调区间端点的开闭问题，说明如下： 1、结论也可以写成下面两种形式，不扣分。
()f x 在区间132,6ππ??????上单调递增，在区间135,62ππ??
??
?上单调递减。 或写成：()f x 在区间132,
6
ππ?
????
?上单调递增，在区间135,62ππ??
????
上单调递减。 2、区间端点写成下列3种形式（即已知区间端点为开或极值点处都开），共扣1分。
()f x 在区间132,6ππ?? ???上单调递增，在区间135,62ππ??
????上单调递减。 或写成：()f x 在区间132,6ππ?? ???上单调递增，在区间135,62ππ??
???
上单调递减。
或写成：()f x 在区间132,
6
ππ?????
?上单调递增，在区间135,62ππ??
??
?上单调递减。 ②如果是通过图象法说明单调性的解法，正确画出函数图象（1分）并写出单调区间（各1分），
无其余解答过程，这种解法最多得3分。 21．（本小题满分12分）
【解析】（1）由5y ≥得，145
2
616
x x ?
-≥???≤≤?………………………………………………1分
或2251621x x -≥??<≤?
……………………………………………2分
解得616x ≤≤或1617x <≤.…………………………………………3分 即617x ≤≤.……………………………………………………………4分 答：当产品A 的售价[]6,17x ∈时，其销量y 不低于5万件。……5分
（2）由题意，总利润30L y x y ??
=?- ???……………………………………………………7分
30xy =-()
()()()28306162
22301621x x x x x x ?--≤≤?
=??--<≤?
…………………………8分 当616x ≤≤时，()2
11468682
L x =-
-+≤，当且仅当14x =时等号成立. ………9分 当1621x <≤时，L 单调递减，()()22301622163066L x x =--
【解析】（1）函数2
()f x x =有 “飘移点”，函数1
()f x x
=
没有“飘移点”， ………………………1分
证明如下：设2
()f x x =在定义域内有“飘移点”0x ，则22200(1)1x x +=+，解得
00x =，………2分
所以函数2
()f x x =在定义域内有“飘移点”是0；…………………………………………3分
设函数1()f x x
=有 “飘移点”0x ，则001111x x =++，即2
0010x x ++=，方程无实根，…4分
与题设矛盾，所以函数1
()f x x
=没有飘移点………………………………………………5分 （2）函数()ln(
)(0)1a
f x a x =>+的定义域是()1+-∞，
， 因为函数()ln()(0)1
a
f x a x =>+有 “飘移点”， 并设“飘移点”为0x ，
则有
00ln(
)ln()ln 212
a a a
x x =+++………………………………………………………………6分 化简可得：00()212a a a x x =++可得：2
0022(1)
a a x x =++………………………………………7分
因为0a >，所以：00122(1)
a
x x =++，所以：0(2)22a x a -=-…………………………8分
因为当2a =时，方程无解，即2a ≠，所以0222
a
x a -=-……………………………………9分
因为函数()ln()(0)1
a
f x a x =>+定义域是()1+-∞，
， 所以：
2212a a ->--，即02
a
a <-，……………………………………………………………10分
因为0a >，所以20a -<即： 02a <<……………………………………………………11分
所以当02a <<时，函数()ln()(0)1
a
f x a x =>+有 “飘移点” ……………………………12分