最新2001年河南专升本高等数学真题和详细答案

2001年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试一、选择题 （每小题1 分，共30 分，每小题选项中只有一个是正确的，请 将正确答案的序号填在括号内）. 1．函数 )y x=-的定义域为（ ） A ．[0，3） B ．（0，3） C ．（0，3] D. [0，3] 2．已知 2211f x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 等于（ ） A ．22x + B ．()22x + C ．22x - D. ()22x -3．设()1cos 2f x x =-，2()g x x =，则当0→x 时，()x f 是()g x 的（ ）A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶但不等价无穷小4．对于函数24(2)x y x x -=-，下列结论中正确的是（ ）A ．0x =是第一类间断点，2x =是第二类间断点；B ．0x =是第二类间断点，2x =是第一类间断点；C ．0x =是第一类间断点，2x =是第一类间断点；D ．0x =是第二类间断点，2x =是第二类间断点.5．设()02f '= ，则()()limh f h f h h→--的值为（ ）A ．1B ．2C ．0D ．4 6．设cos xy e =，则dy 等于（ ）A ．sin xxe e dx - B ．sin xxe e - C ．sin xxe e dx D ．sin xe dx - 7．已知椭圆的参数方程为cos ,(0,0)sin ,x a t a b y b t =⎧>>⎨=⎩，则椭圆在4t π=对应点处切线的斜率为（ ）A ．b aB ．a bC ．b a -D ．ab-8．函数()y f x =在点0x 处可导是它在0x 处连续的（ ） A ． 充分必要条件 B ．必要条件 C ． 充分条件 D ．以上都不对9．曲线323y x x =-的拐点为（ ）A ．(1,2)-B ．1C ．(0,0)D ．(2,4)- 10． 下列函数中，在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A ． y x = B ．3x C ．2x D ．1x11．设()F x 是()f x 的一个原函数，则()2f x dx ⎰等于（ ）A ．()12F x C + B ．()122F x C + C ．()F x C + D ．()12F x C +12．下列式子中正确的是（ ）A ．()()dF x F x =⎰B ．()()d dF x F xC =+⎰C ．()()df x dx f x dx dx=⎰ D ．()()d f x f x dx =⎰ 13．设1210I x dx =⎰，2120x I e dx =⎰，则它们的大小关系是（ ）A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．12I I ≥14．定积分203tan limxx tdt x →⎰等于（ ）A ．+∞B ．16 C ． 0 D ． 1315．下列广义积分中收敛的是（ ） A．1+∞⎰B．1+∞⎰C ．11dx x +∞⎰D ．11ln dx x+∞⎰16．0x y →→ ）A ． 0 B.12 C ．12- D ．+∞17．设3z xy x =+，则11|y x dz ==等于（ ）A ． 4dx dy +B ．dx dy +C ．4dx dy +D ．3dx dy + 18．函数()22,221f x y x y x y =+--+的驻点是（ ）A ．()0,0B ．()0,1C ．()1,0D ．()1,1 19．平面3250x y z +-+=与240x y z ---=的位置关系是（ ） A ．平行 B ． 垂直 C ．重合 D ． 斜交 20．设(){}222,|,0D x y xy R y =+≤≥，则在极坐标系下，()22Df x y dxdy +⎰⎰可表示为（ ）A.()2Rd f r dr πθ⎰⎰ B.()222Rd f r rdr ππθ-⎰⎰C.()2Rd f r rdr πθ⎰⎰ D.()220Rd f r dr πθ⎰⎰21．设级数()11nn u ∞=-∑收敛，则lim n n u→∞等于（）A ．1B ．0C ．+∞D ．不确定 22．下列级数中收敛的是（ ） A．1n ∞= B ．123n n n ∞=∑ C ．12n n n ∞=∑ D ．21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑23．设正项级数1nn u∞=∑收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）A ．1nn nu∞=∑ B．1n ∞= C ．11n n u ∞=∑ D ．21n n u ∞=∑24．下列级数中，条件收敛的是（ ）A ．211sin n n ∞=∑ B ．211(1)n n n ∞=-∑ C．1(1)n n ∞=-∑ D ．11(1)2n n n ∞=-∑ 25．设幂级数n n nx a∑∞=0（n a 为常数， ,2,1=n ）在点2x =处收敛，则该级数1x =-处（ ）A 发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．敛散性无法判定26．某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ）A ．sin y C x =B ．12sin cos yC x C x =+C ．sin cos y x x =+D ．()12cos y C C x =+27．下列常微分方程中为线性方程的是（ ） A ．x yy e-'= B ．sin yy y x '+=C ．()22x dx y xy dy '=+D ．20xxy y e'+-=28．微分方程y x '''=的通解是（ ）A ．42123124y x C x C x C =+++ B ．32123112y x C x C x C =+++ C ．42123112y x C x C x C =+++ D ．32123118y x C x C x C =+++29．微分方程40y y ''-=的通解是（ ） A ．2212xx y C eC e -=+ B ．()212x y C C x e =+C ．212xy C C e =+ D ．12cos 2sin 2y C x C x =+30．对于微分方程22y y x ''-=利用待定系数法求特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ） A ．*2.y ax bx c =++ B ．()*22y x ax bx c =++ C ．()*y x ax b =+ D ．()*2y x ax bx c =++二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 1．()1lim 1sin xx x →+=________．2．设()33xf x x =+，则()()40f=________．3．曲线arctan 2y x =在()0,0点的法线方程为________．4．sin x xe e dx ⎰=________．5．由曲线2,0,1y x y x ===所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积是_______． 6．设 yxz x y =+，则zx∂=∂________． 7．交换积分()11,xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I =________．8.幂级数15nn x ∞=-的收敛半径为________．9．幂级数02!n nn x n ∞=∑的和函数()s x 为________．10． 方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=①的通解为________． 三、计算题 （每小题4 分，共36 分） 1．求极限0ln cot lim ln x xx+→ 2．求函数12(12)xy x +=+的导数.3．已知 (),z f xy x y =+且f 可微分，求,z z x y∂∂∂∂. 4．计算2ln(1)x x dx +⎰.5．计算1.6．计算2DI xy dxdy =⎰⎰，其中D 为224,0x y x +==所围的右半圆. 7．计算积分()3(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L 是曲线2y x =上从点()0,0到点()1,1之间的一段有向弧.8．求过点(1,1,1,)P 且平行于平面1:2340x y z π-+-=与2:60x y z π+--=的直 线方程． 9．将函数()2123f x x x=-+展开为麦克劳林级数，并写出收敛区间． 四、应用题 （每小题5分，共 10 分）1．某工厂生产某产品需两种原料A 、B ，且产品的产量z 与所需A 原料数x 及B 原料数y 的关系式为2287z x xy y =++.已知A 原料数x 的单价为1万元/吨，B 原料数的单价为2万元/吨.现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？2．已知位于第一象限的凸曲线经过原点(0,0)和点()1,1A 且对于该曲线上的任一点(),P x y ，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为3x ． 求曲线弧的方程．五、证明题 （4 分）证明方程203021x xdt e t --=+⎰在区间()0,1内有唯一实根.答案1，【答案】A. 【解析】要求0x ≥；ln(3)x -要求30x ->，即 3.x <取二者之交集，得0 3.x ≤<应选A.2，【答案】C.【解析】因为2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2()2f x x =-，应选C.3，【答案】D.【解析】因为()()2220001(2)1cos 22lim lim lim 2x x x x f x xg x x x→→→-===，所以由定义知，()x f 是()g x 的同阶但不等价无穷小.选D.4，【答案】B ．【解析】 因为204lim(2)x x x x →-=∞-，故0x =第二类间断点，且0x =为无穷型间断点； 又因为22224(2)(2)2limlim lim 2(2)(2)x x x x x x x x x x x x→→→--++===--，故2x =是第一类间断点，且为可去型间断点.所以选B ．5，【答案】D. 【解析】()()0limh f h f h h→--()()()0(0)0lim h f h f f h f h →----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()[]000()(0)00limlim h h f h f f h f h h→→+--+-=+- ()()00 4.f f ''=+=选 D.6，【答案】A.【解析】因为(cos )sin ()sin xxxxxy e e e e e '''==-=-，所以sin xxdy y dx e e dx '==-， 故选A. 7，【答案】C. 【解析】cos dy b t dt = ，sin dx a t dt =- ，所以=dx dy =dt dx dt dy cot .bt a- 故椭圆在4t π=对应点处切线斜率为4b y a π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，应选C.8，【答案】选C. 9，【答案】A.【解析】 ()236f x x x '=-；()()6661f x x x ''=-=-.令()0f x ''=，得1x =；无二阶不可导点.又当1x <时，()0f x ''<，而当1x >时，()0f x ''>，故(1,2)-为拐点，选A.10，【答案】C ． 【解析】（1）．x 在0=x 处不可导，故x 在()1,1-内不可导，排除A ； （2）．3x 在端点1x =-及1x =处的值不相等，排除B ；（3）．1x 在0x =处无定义，故1x在[]1,1-上不连续，排除D.选C.11，【答案】B ．【解析】()2f x dx ⎰()()1122(2).22f x d x F x C ==+⎰ 选B ．12，【答案】D. 13，【答案】C.【解析】因为当[]0,1x ∈时，21x ≤，而21x e≥，且2x e 不恒等于2x ，故12I I <，选C.14，【答案】D.【解析】 203tan limxx tdt x →⎰222200tan 1lim lim .333x x x x x x →→===选D.15，【答案】A. 【解析】1+∞⎰()32112lim 12012x x dx +∞-+∞⎡⎤==-=--=--=⎢⎥⎣⎦⎰，故1+∞⎰收敛，选 A.16，【答案】B.【解析】00x y →→0012x y →→==，选 B.17，【答案】C. 【解析】23zy x x∂=+∂；z x y ∂=∂.故()23.z z dz dx dy y x dx xdy x y ∂∂=+=++∂∂所以，114|y x dz dx dy ===+. 选C ．18，【答案】D. . 【解析】 由方程组()(),220,,220,x y f x y x f x y y '=-=⎧⎪⎨'=-=⎪⎩ 得1,1,x y =⎧⎨=⎩ 故驻点为()1,1.选D.19，【答案】B.【解析】 平面 3250x y z +-+=的法向量为{}13,2,1n =-；平面240x y z ---=法向量为{}21,2,1n =--.因为12.0n n =，所以1n ⊥2n ，平面3250x y z +-+=与240x y z ---=垂直，选B .20，【答案】C.21，【答案】A ．【解析】因为()11nn u ∞=-∑收敛，故由级数收敛的必要条件知()lim 10n n u →∞-=所以，()lim 1lim 110 1.n n n n u u →∞→∞=--=-=选A.22，【答案】B. 【解析】 （1）n ∞=1121n n∞==∑为112p =<的p—级数，故1n ∞=发散，排除A ；（2）123n n n ∞=∑123nn ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为公比213q =<的等比级数，故收敛，选B ；（3）记2(1,2,...)n n u n n ==，因为1lim 2lim 211n n n nu nu n ρ+→∞→∞===>+，故由达朗贝尔比值审敛法知12n n n ∞=∑发散，排除C ；（4）因为211n n ∞=∑为21p =>的p —级数，故211n n ∞=∑收敛；又143n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑为公比的等比级数，故143nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑发散.所以由级数的性质知21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑发散.23，【答案】D. 【解析】（1）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n nu n ∞∞===∑∑发散，排除A ；（2）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n ∞∞===∑发散，排除，选B ；（3）记21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但2111n n n n u ∞∞===∑∑发散，排除C ； （4）因为1n n u ∞=∑收敛，故lim 0n n u →∞=；所以由2lim lim 0n n n n nu u u →∞→∞==，且1n n u ∞=∑收敛知，21n n u ∞=∑也收敛.选D.24，【答案】C. 【解析】（1）211sin n n ∞=∑211sin n n ∞==∑，因为2211limsin 1n n n →∞=且211n n∞=∑收敛，故211sin n n ∞=∑绝对收敛，排除A ；（2）211(1)nn n ∞=-∑211n n ∞==∑收敛，故211(1)n n n ∞=-∑绝对收敛，排除B ； （3）11(1)2nn n ∞=-∑112n n ∞==∑收敛，故11(1)2n n n ∞=-∑绝对收敛，排除D ；（4）记1,2,...)n u n ==，则显然{}n u 单减，且lim 0n n u →∞=，所以由莱布尼兹审敛法知1(1)n n ∞=-∑收敛；但1(1)nn ∞=-∑1n ∞==发散，故1(1)n n ∞=-∑条件收敛.25，【答案】C.【解析】由题意，n n n x a∑∞=0在点2x =处收敛，故由Abel 收敛定理知，n n n x a ∑∞=0在22x <=的点x 处均绝对收敛，又因为12-<，所以n n n x a∑∞=0在点1-=x 处绝对收敛.选C.26，【答案】B . 由通解的定义知，应选B .27，【答案】D . 所谓线性方程，指的是未知函数及其各阶导数都是一次的，据此定义知，应选D .28，【答案】A . 【解析】21122y xdx x C ''==+⎰； 23112112226y x C dx x C x C ⎛⎫'=+=++ ⎪⎝⎭⎰； 34212123112624y x C x C dx x C x C x C ⎛⎫=++=+++⎪⎝⎭⎰29，【答案】A .【解析】微分方程40y y ''-=的齐次方程的特征方程为240r -=所以，特征根为：122, 2.r r =-=故通解为2212x x y C eC e -=+，选A.30，【答案】A ．【解析】微分方程22y y x ''-=的齐次方程的特征方程为 220r -=所以，特征根为：12r r ==这里右端项()220xf x x x e ==，因为0λ=非特征根，故可设 ()*022.y x ax bx c ax bx c =++=++故选A.填空1，【答案】填e .【解析】()10lim 1sin x x x →+=()sin 11sin 0lim 1sin x x x x x e e →⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦.2，【答案】填4ln 3.【解析】()233ln3x f x x '=+；()263ln 3x f x x ''=+；()363ln 3x f x '''=+； ()()443ln 3x fx =.所以，()()440ln 3f =.3， 【答案】填20x y +=.【解析】()221221(2)14y x x x''==++ ；故切线斜率为()02y '=.所以法线方程为 10(0)2y x -=--，即 20x y +=.4，【答案】填cos x e c -+【解析】sin x x e e dx ⎰ ()sin cos .x x x e d e e c ==-+⎰5， 【答案】填15π.【解析】 ()212015V x dx ππ==⎰.6，【答案】填1ln y x yxy y -+. 【解析】1ln y x z yx y y x -∂=+∂.7，【答案】填()100,yI dy f x y dx =⎰⎰. 【解析】积分区域D 是由直线,1y x y ==及y 轴所围成的三角形区域，交换积分次序后()100,y I dy f x y dx =⎰⎰.8，【答案】填1.【解析】记1,2,...)n u n ==，因为1lim 1n n n n a a ρ+→∞===，所以收敛半径为1 1.R ρ==9，【答案】填2x e .【解析】由展式()0,,.!nx n x e x n ∞==∈-∞+∞∑知()20022.!!nn n x n n x x e n n ∞∞====∑∑10，【答案】填tan .tan .x y C =【解析】①式可化为22sec sec tan tan x y dx dy x y=- ② ②两边积分，得 22sec sec tan tan x y dx dy x y=-⎰⎰，即 11(tan )(tan )ln tan ln tan ln .tan tan d x d y x y C x y =-⇒=-+⎰⎰也就是ln tan .tan ln .x y C =所以原方程的通解为tan .tan .x y C =计算题1，【解析】0ln cot lim ln x x x +→（洛必达）201cot .(csc )lim 1x x x x+→-=-----------------------------------------2分 0lim sin .cos x x x x+→=- ------------------------------------------3分 0lim 1cos x x x x +→=-=---------------------------------------------4分 2，【解析】()ln 12ln(12)y x x =++ --------------------------------------------------1 分上式两端关于x 求导，得()11.2ln(12)(12)..1212y x x x y x ⎡⎤''=++++⎢⎥+⎣⎦-------------------------2分 即1.2ln(12)2y x y '=++ ----------------------------------------------------3分 所以[]()[]122ln(12)212.2ln(12)2.x y y x x x +'=++=+++---------------4分3，【解析】由微分形式的不变性知()()12..dz f d xy f d x y ''=++-------------------------------------------------------2分即()()12dz f ydx xdy f dx dy ''=+++()()1212yf f dx xf f dy ''''=+++----------------------------------------------- ----4分所以12z yf f x∂''=+∂；12z xf f y ∂''=+∂.---------------------------------------------------5分4，【解析】2ln(1)x x dx +⎰22ln(1)2x x d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰-----------------------------------------------------1分 （分部）2222.ln(1)(ln(1))22x x x d x =+-+⎰----------------------------------------2分 2322.ln(1)21x x x dx x =+-+⎰2322().ln(1)21x x x x x dx x +-=+-+⎰--------3分 222.ln(1)21x x x xdx dx x=+-++⎰⎰ ()222221.ln(1)12221x x x x d x x=+-+++⎰ 22221.ln(1)ln(1).222x x x x C =+-+++------------------------------------4分5，【解析】令tan x t =，则2sec dx dt =----------------------------------------------------1分原式化为2221441cos .sec tan .sec sin t tdt dt t t tππ==⎰⎰------------------------2分24411(sin )sin sin |d t t t ππ==-⎰-----------------------3分3=-=----------------------------------4分 注意：倒数第二步用到(sin arctan =====6， 【解析】 2D I xy dxdy =⎰⎰ 122D xy dxdy =⎰⎰ ------------------------------------------1 分（极坐标）2222002cos .sin .d r r rdr πθθθ=⎰⎰-------------------------------------------3分 2223342200001182cos .sin .2sin .343||d r dr r ππθθθθ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰.-----------4分 7，【解析】 L 的参数方程为2,:01,y x x x x ⎧=→⎨=⎩-----------------------------------------2分 故()3(sin )L x y dx x y dy --+⎰()13220(sin ).2x x x x x dx ⎡⎤=--+⎣⎦⎰()11322003sin .2x x dx x xdx =--⎰⎰ ()114322001sin 4|x x x d x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰12035cos cos1.44|x =-+=-------------4分 8，【解析】1π的法向量是{}12,3,1n =-；2π的法向量是{}21,1,1n =-.--------------1分可取所求直线的方向向量为 {}122312352,3,5111i j ks n n i j k =⨯=-=++=-----------------------------3分故所求直线方程为111.235x y z ---== ------------------------------------------4分9，【解析】()()21111232(1)21f x x x x x x x ===--+--------------------------------1分 其中 ()100111111.,2,22222212122nn n n n x x x x x x ∞∞+==⎛⎫==-=-=-∈- ⎪-⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭∑∑-------------2分 ()011,1,111n n x x x x ∞==-=-∈---∑ -------------------------------------------------------3分 所以()()1011,1,12n n n f x x x ∞+=⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭∑.-------------------------------------------4分应用题1，【解析】本题即为求函数()22,87z f x y x xy y ==++在条件2100x y +=下的条件极值问题.宜用拉格朗日乘数法解之.为此令()()22,,872100F x y x xy y x y λλ=++++-.由 280,14820,1000.x y F x y F y x F x y λλλ'⎧=++=⎪'=++=⎨⎪'=+-=⎩解之，100,3200.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于驻点100200,33⎛⎫⎪⎝⎭唯一，实际中确有最大值.所以，当1003x =吨，2003y =吨时可使该产品的产量最大.2，【解析】 设所求曲线弧的方程为()(01)y y x x =≤≤.据题意，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为 ()()301.2xy x dx x y x x -=⎰ ① ①式两边关于x 求导，得()()()21.32y x y x x y x x '-+=⎡⎤⎣⎦，即 ()()2.6y x x y x x '-=，亦即所以()()1.6y x y x x x'-=- ② ②为一阶线性微分方程，其通解为()116dx dx x x y x e xe dx C ---⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰[]ln ln 666x x e xe dx C x dx C x x C -⎡⎤⎡⎤=-+=-+=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰③ 又将()11y =代入③，得7C =.所以，所求曲线弧方程为267y x x =-+.证明题【解析】 构造函数()20321x x dt f x e t=--+⎰ -------------------------------------------1 分 则()x f 在闭区间 []0,1上连续，在开区间()0,1内可导.因()1002f =-<，而()31024f e π=-->----------------------------------------------2分 故由闭间上连续函数的根值定理知，至少存在一点ξ()0,1∈，使得().0=ξf 即方程()0=x f 在()0,1内至少有一个实根------------------------------3分又()2101x f x e x'=->+，故方程()0=x f 在()0,1内至多有一个实根. ----------4分 因此，方程()0=x f 在()0,1内有且仅有一个实根.注意：证明中用到当()0,1x ∈时，1x e >，且2111x <+，故()2101x f x e x '=->+. .中外合资企业合同范本中外合资经营公司合同第一章总则中国公司和国（地区）注册的公司，根据《中华人民共和国中外合资经营企业法》等中国的有关法律、法规，本着平等互利的原则，通过友好协商，同意在中华人民共和国福建省，共同投资举办合资经营企业，特订立本合同。