2014-2015年四川省绵阳市梓潼中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

2014-2015学年四川省绵阳市梓潼中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知A（3，5）、B（4，7）、C（﹣1，b）三点在同一直线上，则b的值为（）A．b=﹣2 B．b=2 C．b=﹣3 D．b=32．（5分）点A（1，2，3）关于xOy平面的对称点为A1，则A1坐标为（）A．（1，2，﹣3）B．（﹣1，﹣2，﹣3）C．（﹣1，﹣2，3） D．（1，﹣2，3）3．（5分）椭圆16x2+9y2=144长轴长是（）A．4 B．3 C．8 D．64．（5分）方程x2+y2+x+2my+m2+m﹣1=0表示圆，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜0 B．﹣2＜m＜ C．m＞D．m＜5．（5分）圆O1：（x+1）2+（y﹣1）2=4与圆O2：（x﹣2）2+（y﹣4）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离6．（5分）已知双曲线C1：﹣=1；C2：﹣=1，则双曲线C1，C2中的相同的量可以是（）A．实轴长与顶点坐标B．渐近线方程与焦距C．离心率与渐近线方程D．对称轴与焦点坐标7．（5分）抛物线y=x2到直线2x﹣y=4距离最近的点的坐标是（）A．（，）B．（1，1） C．（，）D．（2，4）8．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．4 B．4 C．8 D．89．（5分）已知椭圆=1的上焦点为F，直线x+y﹣1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则AF+BF+CF+DF=（）A．2 B．4 C．4 D．810．（5分）过双曲线﹣=1（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在答题卡中的横线上．11．（5分）直线的倾斜角为．12．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是．13．（5分）已知实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，则的取值范围是．14．（5分）已知直线l：=1，M是l上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，P在AB连线上，且满足=2的点P的轨迹方程为．15．（5分）以下四个关于圆锥曲线的结论中：①双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；②已知抛物线y2=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y12+y22的最小值不存在；③双曲线=1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为内切或外切；④椭圆=1的左右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|值为；其中结论正确的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知点P（2，﹣1）．（1）求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；（2）求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？17．（12分）根据下列条件，分别求出相应椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，长轴是短轴的3倍且经过点A（3，0）；（2）已知一个焦点是F（1，0），且短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形．18．（12分）已知直线l1：（3+a）x﹣4y=5﹣3a；l2：2x﹣（5+a）y=8（1）a为何值时，l1⊥l2？（2）当a=0时，求圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0关于直线l1对称的圆的方程．19．（12分）已知圆C经过三点O（0，0）；A（1，1）；B（4，2）（1）求圆C的方程；（2）经过点M（1，﹣4）的直线l被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程．20．（13分）已知动圆M与直线y=3相切，且过定点F（0，﹣3），（1）求动圆圆心M的轨迹方程G；（2）经过点F（0，﹣3）的直线交（1）中曲线G于A，B两点，证明：+=．21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l2：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB的面积S的最大值．（其中O为坐标原点）．2014-2015学年四川省绵阳市梓潼中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知A（3，5）、B（4，7）、C（﹣1，b）三点在同一直线上，则b的值为（）A．b=﹣2 B．b=2 C．b=﹣3 D．b=3【解答】解：∵A（3，5）、B（4，7）、C（﹣1，b）三点在同一直线上，∴k AB=k AC．∴，解得b=﹣3．故选：C．2．（5分）点A（1，2，3）关于xOy平面的对称点为A1，则A1坐标为（）A．（1，2，﹣3）B．（﹣1，﹣2，﹣3）C．（﹣1，﹣2，3） D．（1，﹣2，3）【解答】解：由题意可得：点A（1，2，3）关于xoy平面的对称点的坐标是A1（1，2，﹣3）．故选：A．3．（5分）椭圆16x2+9y2=144长轴长是（）A．4 B．3 C．8 D．6【解答】解：椭圆16x2+9y2=144即为椭圆=1，则a=4，b=3，即有2a=8．故选：C．4．（5分）方程x2+y2+x+2my+m2+m﹣1=0表示圆，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜0 B．﹣2＜m＜ C．m＞D．m＜【解答】解：方程x2+y2+x+2my+m2+m﹣1=0即（x+）2+（y+m）2=﹣m，它表示圆时，应有﹣m＞0，得m＜．故选：D．5．（5分）圆O1：（x+1）2+（y﹣1）2=4与圆O2：（x﹣2）2+（y﹣4）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离【解答】解：∵圆O1：（x+1）2+（y﹣1）2=4的圆心（﹣1，1），半径为2；圆O2：（x﹣2）2+（y﹣4）2=9，圆心坐标（2，4），半径为：3，∴两个圆的圆心距为：=3，又两个圆的半径差为：3﹣2=1，半径和为：5，∵∴两个圆的位置关系是相交．故选：C．6．（5分）已知双曲线C1：﹣=1；C2：﹣=1，则双曲线C1，C2中的相同的量可以是（）A．实轴长与顶点坐标B．渐近线方程与焦距C．离心率与渐近线方程D．对称轴与焦点坐标【解答】解：双曲线C1：﹣=1的渐近线方程为：；焦距为：2．C2：﹣=1，的渐近线方程为：；焦距为：2．则双曲线C1，C2中的相同的量是：渐近线方程与焦距．故选：B．7．（5分）抛物线y=x2到直线2x﹣y=4距离最近的点的坐标是（）A．（，）B．（1，1） C．（，）D．（2，4）【解答】解：设P（x，y）为抛物线y=x2上任一点，则P到直线的距离d===，∴x=1时，d取最小值，此时P（1，1）．故选：B．8．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A．4 B．4 C．8 D．8【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴焦点F（1，0），准线l方程为x=﹣1，∵直线AF的斜率为，直线AF的方程为y=（x﹣1），当x=﹣1时，y=2，由可得A点坐标为（﹣1，2）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为2，代入抛物线方程，得P点坐标为（3，﹣2），∴|PF|=|PA|=3﹣（﹣1）=4．故选：B．9．（5分）已知椭圆=1的上焦点为F，直线x+y﹣1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则AF+BF+CF+DF=（）A．2 B．4 C．4 D．8【解答】解：如图：两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，FD．由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1（其中F1是椭圆的下焦点）为平行四边形，所以AF1=FD，同理BF1=CF．所以AF+BF+CF+DF=AF+BF+BF1+AF1=4a=8．故选：D．10．（5分）过双曲线﹣=1（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．【解答】解：∵若=（+），∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF∴PF′⊥PF∵PF﹣PF′=2a∴PF=PF′+2a=3a在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2即9a2+a2=4c2∴离心率e==．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在答题卡中的横线上．11．（5分）直线的倾斜角为150°．【解答】解：由题意化直线的方程为斜截式y=x﹣，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，则tanα=，可得α=150°故答案为：150°12．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是．【解答】解：由题意可知∴p=∴焦点坐标为故答案为13．（5分）已知实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，则的取值范围是[﹣，] ．【解答】解：由题意可得，=表示圆（x﹣2）2+y2=3上的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，设为k，故此圆的切线方程为y=kx，再根据圆心（2，0）到切线的距离等于半径，可得r==，平方得k2=3求得k=±，故的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]．14．（5分）已知直线l：=1，M是l上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，P在AB连线上，且满足=2的点P的轨迹方程为．【解答】解：设P（x，y），M（m，n），则A（m，0），B（0，n），=（x﹣m，y），=（﹣x，n﹣y），由=2，得（x﹣m，y）=2（﹣x，n﹣y），，得，代入=1，得．故答案为：．15．（5分）以下四个关于圆锥曲线的结论中：①双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；②已知抛物线y2=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y12+y22的最小值不存在；③双曲线=1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为内切或外切；④椭圆=1的左右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|值为；其中结论正确的序号为①③④．【解答】解：对于①双曲线=1的焦点为（，0），椭圆+y2=1的焦点为（，0），故正确；对于②已知抛物线y2=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B （x2，y2）两点，则当直线与x轴垂直时y12+y22的最小值为32，故错误；对于③设以线段PF1、A1A2为直径的两圆的半径分别为r1、r2，若P在双曲线坐支，如图所示，则|O1O2|=|PF2|=（|PF1|+2a）=|PF1|+a=r1+r2，即圆心距为半径之和，两圆外切．若P在双曲线右支，同理求得|O 1O2|=r1﹣r2，故此时，两圆相内切．故正确；对于④椭圆=1的左右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的周长为：20，由内切圆周长为π，可得内切圆半径为：，故△ABF2的面积为：5，即c|y1﹣y2|=3|y1﹣y2|=5，则|y1﹣y2|值为；故正确；故答案为：①③④三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知点P（2，﹣1）．（1）求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；（2）求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【解答】解：（1）①当l的斜率k不存在时显然成立，此时l的方程为x=2．②当l的斜率k存在时，设l：y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0，由点到直线的距离公式得，=2，解得k=，∴l：3x﹣4y﹣10=0．故所求l的方程为x=2或3x﹣4y﹣10=0．（2）即与OP垂直的直线为距离最大的．∵，∴k l=2．∴直线为2x﹣y﹣5=0．最大距离d==．17．（12分）根据下列条件，分别求出相应椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，长轴是短轴的3倍且经过点A（3，0）；（2）已知一个焦点是F（1，0），且短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形．【解答】解（1）因椭圆的焦点在y轴上，设其方程为：（a＞b＞0）∵椭圆过点A（3，0）∴∴b=3又2a=3•2b∴a=9∴方程为（2）由△FMN为正三角形则c=|OF|=|MN|=×b=1∴b=a2=b2+c2=4故椭圆方程为：故答案为：（1）（2）18．（12分）已知直线l1：（3+a）x﹣4y=5﹣3a；l2：2x﹣（5+a）y=8（1）a为何值时，l1⊥l2？（2）当a=0时，求圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0关于直线l1对称的圆的方程．【解答】解：（1）要使l1⊥l2 ，需（3+a）•2+（﹣4）•[﹣（5+a）]=0，求得a=﹣．（2）当a=0时，直线l1：3x﹣4y﹣5=0，圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0 即（x+2）2+（y﹣6）2=1，设圆心C（﹣2，6）关于直线直线l1：3x﹣4y﹣5=0的对称点为D（a，b），则由，求得，故圆C关于直线l1对称的圆的方程为+=1．19．（12分）已知圆C经过三点O（0，0）；A（1，1）；B（4，2）（1）求圆C的方程；（2）经过点M（1，﹣4）的直线l被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程．【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则由圆C经过三点O（0，0）；A（1，1）；B（4，2），可得，求得，可得圆C的方程为x2+y2﹣8x+6y=0．（2）由于圆心C（4，﹣3），半径为5，弦长为4，故圆心C到直线l的距离为．再根据直线l经过点M（1，﹣4），可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y+4=k （x﹣1），即kx﹣y﹣4﹣k=0，则由=，求得k=2，或k=﹣，故直线l的方程为2x﹣y﹣6=0，或x+2y+7=0．20．（13分）已知动圆M与直线y=3相切，且过定点F（0，﹣3），（1）求动圆圆心M的轨迹方程G；（2）经过点F（0，﹣3）的直线交（1）中曲线G于A，B两点，证明：+=．【解答】解：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到F（0，﹣3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以F（0，﹣3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其轨迹G的方程为x2=﹣12y；（2）设经过点F（0，﹣3）的直线方程为x=ty﹣3，再设A（x 1，y1），B（x2，y2），则|AF|=3﹣y 1，|BF|=3﹣y2，+=①，联立，得t2y2﹣（6t﹣12）y+9=0，则，代入①，得+=．21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l2：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB的面积S的最大值．（其中O为坐标原点）．【解答】解：（Ⅰ）由右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为，得，解得c=1，又e=，所以a=2，b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程得到：（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，因此，，所以AB中点M（，），又M在直线l 1上，得3×+=0，因为m≠0，所以k=1，故，，所以|AB|==•=，原点O到AB的距离为d=，得到S=≤，当且仅当m2=取到等号，检验△＞0成立．所以△OAB的面积S的最大值为．。