2020-2021学年江苏省扬州中学高二下学期期中考试数学(理)试卷
江苏省扬州中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断.
【详解】
∵根据函数的求导公式可得，∵ ，∴A错；∵ ，∴B错；∵ ，C错；D正确.
【点睛】
本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数.
3．B
【分析】
直接利用二项展开式的通项公式求得展开式中a3b2的系数.
【详解】
解：（a+b）5的展开式的通项公式为：Tr+1 •a5﹣r•br；
A．20B．10C．5D．1
4．已知 ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
5．在某项测试中，测量结果 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512020+a能被13整除，则a＝（）
A．0B．1C．11D．12
7．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的值的范围是：3.1415926＜ ＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（）
10．将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（）
A． B．
C． D．18
11．已知 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）
A．7B．8C．9D．10
12．函数f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（）
【详解】
解：512020＝（52﹣1）2020＝（1﹣52）2020
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．﹣的值为（）A．3B．9C．12D．152．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种3．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．244．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为（）A．B．C．D．5．函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名7．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜48．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i＝1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i＝1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i＝1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
扬州中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)
12.如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD 丄底面ABCD , PD DC , E 是PC 的中点.则二面角B DEC 的平面角的余弦值江苏省扬州中学2015-2016学年第二学期期中考试高二(理科)数学试卷2016419一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1 .复数z 丄的共轭复数是 _______________________ .1 i2.命题“ x=n ”是“ sinx=0 ”的 _________________ 件.3•设异面直线h, 12的方向向量分别为 a (1,1,0),b (1,0, 1),则异面直线h,丨2所成角 的大小为 __________________ .2 5 34.在(X -)的二项展开式中，X 的系数是 _______________________ .X5•某团队有6人入住宾馆中的 6个房间，其中的 301与302对门，303与304对门，305 与306对门，若每人随机地拿了房间钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为f (x)已知可导函数f (x)的导函数f'(x)满足f'(x) f(x)，则不等式」e9. ___________________________________ 甲、乙、丙三人站在共有7级的台阶上，若每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不区分 站的位置 则不同的站法总数为 . 10. 已知：(X 2)8a 0 a 1(x 1) a 2(x 1)2 a 8(x1)8,其中 (i 0,1,28)为实常数，则a 12a 2g 8a &__________________ .11. 某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6节课，要求数学课排在前 3节,体育课不排在第1节，则不同的排法种数为 ________ __ (以数字作答)•凹的解集e6. 1k 31an2(n 1)通过计算f (1), f (2), f (3)的值，推测出f(n)7. 8. 设 f(k) -—k 1 k 2 若数列a n 的通项公式1(k N )，那么 f(k 1) 2k(n N ),记 f (n)(1 aj(1f(k) a 2)(1 a n )，试2y；x取值范围是___________ .14•我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日亘原理：即两个等高的几何体,被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
【精准解析】江苏省扬州市2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷 含解析
2020-2021学年江苏省扬州市高二（下）期中数学试卷一、单选题（每小题5分）.1．已知复数z满足z（1+2i）＝3+i，则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．在的展开式中，x2的系数是（）A．60B．﹣60C．60D．﹣603．将0，1，2，3，4，5这6个数组成无重复数字的五位偶数的个数为（）A．360B．312C．264D．2884．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CC1＝，若点M为A1B1的中点，则直线AM与直线CB1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．5．曲线y＝x•e x+x2在x＝0处的切线方程为（）A．y＝x+1B．y＝2x C．y＝x D．y＝3x+16．今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过22021天后是（）A．星期三B．星期四C．星期五D．星期六7．函数的大致图象是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝x+a cos x，对于任意x1、x2∈R（x1≠x2），都有恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．[1﹣，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，1﹣]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0B．i+i2+i3+i4＝0C．若z＝（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第二象限D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则|z﹣1+i|的最小值为110．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为729B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为240x311．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段AB1上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）A．平面BCM⊥平面A1AB1B．三棱锥B﹣MB1C体积最大值为C．当M为AB1中点时，直线B1D与直线CM所成的角的余弦值为D．直线CM与A1D所成的角不可能是12．对于定义域为R的函数f（x），f′（x）为f（x）的导函数，若同时满足：①f（0）＝0；②当x∈R且x≠0时，都有xf′（x）＞0；③当x1＜0＜x2且|x1|＝|x2|时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）为“偏对称函数”．下列函数是“偏对称函数”的是（）A．f1（x）＝e2x﹣e x﹣xB．f2（x）＝e x+x﹣1C．f3（x）＝D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中15题第一空2分，第二空3分）。
扬州中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题含解析
江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A.4B.5C.6D.82.直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A.a b c-+-B.a b c-+C.a b c-++D.a b c+-r r r3.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A.23B.13C.19D.1184.设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A.5B.6C.7D.85.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A.1115B.415C.215D.7156.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.1- B.1- C.2D.37.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）A.6B.3C.3D.68.23(2ln3)1ln3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A.a c b <<B.c a b <<C.a b c<< D.b a c<<二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9.已知空间向量()2,1,1a =-- ，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（）A.()2//a b a+B.5a =C.()56a a b⊥+D.a 与b夹角的余弦值为6-10.已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<,则下列结论正确的是()A.12()()E E ξξ<B.12()()E E ξξ>C.12()()D D ξξ<D.12()()D D ξξ>11.已知)66016xa a x a x -=+++ ，则（）A.20log 3a = B.016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C.3a =-D.)251236360a a a++++= 12.如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A.若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B.OAB 的面积OAB S 是定值1C.线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB +是定值4D.设OMNOABS S λ=△△，则2λ≥三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则()E X =_________.X 123P0.2a0.514.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60，则1AC uuu r的长为________.15.若(2)(0)na x a ->的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a的取值范围为___________.16.已知函数()e ln xaf x a x x x =+--，0a >．当a=1时，函数()f x 在点P （1，()1f ）处的切线方程为________；若()1,x ∈+∞，()0f x ≥，则实数a 的最大值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.（1）计算：5488858927A A A A +-；（2）若33210n n A A =，求正整数n .18.已知()727012712x a a x a x a x -=++++ .求：（1）1237a a a a ++++ ；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++L .19.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与P ，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为925．（1）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．20.如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（1）证明：平面ACD ⊥平面AEF ；（2）若60BCD ∠=︒，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面A E G 与平面ACD 所成的锐二面角最小.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>的上顶点为B ，左焦点为F ，P 为椭圆C 上一点，()2,0A ，且3AB PA =，BF BP ⊥．（1）求椭圆C 的方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相切，过A 作l 的垂线，垂足为Q ，试问OQ 是否为定值？若是定值，求OQ 的值；若不是，请说明理由．22.设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若34ea ≥，证明：()0f x <.江苏省扬州中学2021-2022学年度第二学期期中试题高二数学试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（）A.4B.5C.6D.8【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：由题意可知，从甲地经乙地到丙地所有可能的交通方式的种数为236⨯=种.故选：C2.直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a = ，CB b = ，1CC c =，则1A B = （）A.a b c-+-B.a b c-+ C.a b c-++ D.a b c+-r r r 【2题答案】【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算直接可得解.【详解】由已知得111A B A A AB C C CB CA a b c =+=+-=-+-，故选：A.3.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 是（）A.23B.13 C.19 D.118【3题答案】【答案】A 【解析】【分析】因为两个独立事件A 和B ，所以()()()P AB P A P B =⋅,(()(),P AB P A P B =()()(),P AB P A P B =结合1()()()(),()()9P A P B P A P B P A P B ==,()1(),P A P A =-()1(P B P B =-即可求出答案.【详解】由题设条件可得,1()()((),(()9P A P B P A P B P A P B ==,又()1()()1()P A P A P B P B =-=-且,解得1(()3P A P B ==.所以2()1(3P A P A =-=.故选：A.4.设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A.5B.6C.7D.8【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据二项式系数的性质得到a ，b 的值，列出方程求出m .【详解】2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为2m m C ，故2m ma C =，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为21m m C +或121m m C ++，两者相等，不妨令21m m b C +=，则有221158m mm m C C +=，解得：7m =.故选：C5.青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为13,35，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（）A.1115B.415C.215D.715【5题答案】【答案】A 【解析】【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是131********⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A6.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.1B.1C.2D.3【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用2POF V 为等边三角形，构造焦点三角形12F PF ，根据几何关系以及椭圆定义，得到,a c 的等量关系，即可求得离心率.【详解】连接1F P，根据题意，作图如下：因为2POF V 为等边三角形，即可得：12OF OP OF c ===，则122190,60F PF PF F ∠=︒∠=︒则112sin 603PF F F c =︒⨯=，由椭圆定义可知：21223PF a PF a c c =-=-=，故可得：3131c a ==+．故选：A.7.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则直线1AD 与平面BDE 所成角的正弦值为（）A.336B.33C.33D.36【7题答案】【答案】D 【解析】【分析】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面BDE 的一个法向量()1,1,2m =-，进而可求直线1AD 与平面BDE 所成角.【详解】以点D 为原点，DA ，DC ，1DD分别为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,1E ，()10,0,2D ，所以()2,2,0DB = ，()0,2,1DE = ，()12,0,2AD =-，设平面BDE 的一个法向量(),,m x y z=，则00m DB m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z =，所以平面BDE 的一个法向量()1,1,2m =-，设直线1AD 与平面BDE 所成角为θ，所以1sin cos ,6AD m θ==．故选：D.8.23(2ln3)1ln3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A.a c b<< B.c a b <<C.a b c<< D.b a c<<【8题答案】【答案】A 【解析】【分析】构造函数ln ()x f x x =，应用导数研究其单调性，进而比较2(3e af =，()b f e =，(3)c f =的大小，若ln x t x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，构造2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，利用导数确定()0>g x ，进而得到212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令ln ()xf x x=，则222ln 3(33e e af e ==，ln ()e b f e e ==，ln 3(3)3c f ==，而21ln ()x f x x -'=且0x >，即0x e <<时()f x 单调增，x e >时()f x 单调减，又2133e e <<<，∴b c >，b a >.若ln xtx =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，即2121ln ln x x t x x -=-，1212ln x x x x t+=，令2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=>+，即()g x 在(1,)+∞上递增，∴()(1)0g x g >=，即在(1,)+∞上，2(1)ln 1x x x ->+，若21x x x =即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，故122ln tt x x >，有212x x e >∴当23x =时，213e e x >>，故21()()(3)3e f f x f <=，综上：b c a >>.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9.已知空间向量()2,1,1a=--，()3,4,5b=，则下列结论正确的是（）A.()2//a b a+B.5a = C.()56a a b⊥+ D.a 与b夹角的余弦值为6-【9题答案】【答案】BCD 【解析】【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.【详解】对于A 选项：2(1,2,7)ab +=-，不存在λ，使得2a b a λ+=，故A 错误；对于B选项：55a ====，故B 正确；对于C 选项：56(8,19,35)a b += ，6)281191350a b ⋅+=-⨯-⨯+⨯=，则(56)a a b ⊥+，故C 正确；对于D选项：a ==，b == 6455a b ⋅=--+=-所以c 6os ,a b a b a b⋅===-，故D 正确；故选：BCD.10.已知随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=.若12102p p <<<,则下列结论正确的是()A.12()()E E ξξ< B.12()()E E ξξ> C.12()()D D ξξ< D.12()()D D ξξ>【10题答案】【答案】AC 【解析】【分析】由已知得12102p p <<<，2111112p p <-<-<，由期望公式求出1122(),()E p E p ξξ==，再根据方差公式求出12,()()D D ξξ，作差比较大小，由此能求出结果．【详解】∵随机变量i ξ满足()()1,01,1,2i i i i P p P p i ξξ====-=，12102p p <<<，∴2111112p p <-<-<，又()()1111101E p p p ξ=⨯+⨯-=，2222101E p p p ξ=⨯+⨯-=（）（），∴12()()E E ξξ<,又()()()()2221111111101D p p p p p p ξ=-+--=-，()()()()2222222222101D p p p p p p ξ=-+--=-，所以()()()()()22121122211210D D p p p p p p p p ξξ-=---=-+-<，所以12()()D D ξξ<．故选：AC.11.已知)66016xa a x a x =+++ ，则（）A.20log 3a = B.016,,a a a ⋯这7个数中只有3个有理数C.3a =-D.25123636a a a ++++= 【11题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】根据二项式定理对选项逐一判断【详解】由二项式定理知展开式的通项公式为61606r r r r TC x r r N-+=-≤≤∈(),,对于A ，令0x =，得608a ==，则20log 3a =，A 正确．对于B ，016,,a a a ⋯这7个数中，当r 为偶数时，对应0246,,,a a a a 为有理数，B 错误．对于C ，()33336C1a=-=-C 正确．对于D ，对)66016x a a x a x=+++ 两边同时求导，得)55126626x a a x a x --=+++ ，令x =251236360a a a ++++= ，D 正确．故选：ACD12.如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，连NO 、MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，OMN 与OAB 的面积分别记为OMN S △、OAB S ．则下列说法正确的是（）A.若记直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k 的大小是定值14-B.OAB 的面积OAB S 是定值1C.线段OA 、OB 长度的平方和22OA OB+是定值4D.设OMN OABS S λ=△△，则2λ≥【12题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】设直线MN 的方程为1y kx =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率公式可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用弦长公式可判断C 选项；利用三角形的面积公式结合基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线2C 的焦点为()0,1F ，若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩可得2440x kx --=，216160k ∆=+>，则124x x =-，121212121164y y x x k k x x ===-，A 对；对于B 选项，设10k >，则20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得x =，不妨设点A在第三象限，则A ⎛⎫ ⎝，设点B在第四象限，同理可得B ⎛⎫，点B 到直线OA 的距离为d =，OA =，所以，1111122112122OABk k S OA d k k +=⋅==+△，B 对；对于C 选项，()()22221222221212414133241414141k k OA OB k k k k +++=+=++++++()()()()2222121222221212344234422254424141k k k k k k kk ++++=+=+=++++，C 错；对于D 选项，1214OMN OABOM ONx x S S OB OA ⋅===⋅△2≥=，当且仅当112k=±时，等号成立，D 对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则()E X =_________.X 123P 0.2a 0.5【13题答案】【答案】2.3【解析】【分析】先由概率总和为1求出参数a ，再根据期望公式即可求得结果.【详解】由题，由概率性质，()()()1231P X P X P X =+=+==，可解得0.3a =，故()10.220.330.5 2.3E X =⨯+⨯+⨯=，故答案为：2.314.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60，则1AC uuu r的长为________.【14题答案】【解析】【分析】由已知可得11AB AD AA === ，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，利用空间向量数量积的运算求出21AC 的值，即可得解.【详解】由已知可得11AB AD AA ===，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠= ，由空间向量数量积的定义可得11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，所以，()22222111112226AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅=，因此，1AC =.15.若(2)(0)n a x a ->的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a 的取值范围为___________.【15题答案】【答案】(,104【解析】【分析】根据给定条件，求出幂指数n 的值，再求出第r +1项的系数，列出不等式并求解作答.【详解】因(2)n ax -的展开式中各项的二项式系数之和为256，则2256n =，解得8n =，(2)n a x -的展开式中第r +1项的系数为88(1)(2)C r r r a --⋅，N,8r r ∈≤，而0a >，则当r 为奇数时，第r +1项的系数为负，当r 为偶数时，第r +1项的系数为正，由仅有展开式的第5项的系数最大得：446288442688(2)C (2)C (2)C (2)C a a a a ⎧>⎨>⎩，化简整理得：215108a <<，解得104a <<，所以a的取值范围为,)104.故答案为：,)104【点睛】关键点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解二项式问题先正确求出通项公式，再结合具体条件推理计算作答．16.已知函数()e ln x a f x a x x x =+--，0a >．当a=1时，函数()f x 在点P （1，()1f ）处的切线方程为________；若()1,x ∈+∞，()0f x ≥，则实数a 的最大值为________．【16题答案】【答案】①.(e 1)1y x =--②.e 【解析】【分析】求导，代入1x =求出(1)e 1f '=-，用点斜式求出切线方程；（2）对函数变形，利用同构及函数单调性得到e a x x ≤，参变分离构造新函数，通过其单调性求出极值，最值，进而求出实数a 的最大值.【详解】由题意当1a=时，()e ln 2x f x x x =+-，1()e 2xf x x'=+-，则(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为(e 1)1y x =--．因为(1,),()0x f x ∈+∞≥，即e ln 0x a a x x x +--≥，则ln ln e e a a x x x x -≥-，令()ln ,1m t t t t =->，故11()10tm t t t-'=-=<，在(1,)+∞上恒成立，故()m t 在(1,)+∞上单调递减，故e a x x ≤，得ln a x x ≤，即ln x a x≤，记()(1)ln xx x x ϕ=>，则2ln 1()(1)ln x x x xϕ-'=>，当(1,e)x ∈时，()0x ϕ'<，当(e,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，故函数()ϕx 在(1,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增，故()ϕx 的最小值是(e)e ϕ=，故e a ≤，即实数a 的最大值是e ．故答案为：(e 1)1y x =--；e .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.（1）计算：5488858927A A A A +-；（2）若33210n nA A =，求正整数n .【17题答案】【答案】（1）1；（2）8.【解析】【分析】（1）（2）按照排列数公式计算即可.【详解】（1）54888589272876547876518765432198765A A A A +⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯；（2）∵33210n nA A =，∴2(21)(22)10(1)(2)⨯-⨯-=⨯⨯-⨯-n n n n n n ，又3n ≥，化简得42510n n -=-，解得8n =.18.已知()727012712x a a x a x a x -=++++ .求：（1）1237a a a a ++++ ；（2）1357a a a a +++；（3）0127a a a a ++++L .【18题答案】【答案】（1）2-（2）1094-（3）2187【解析】【分析】（1）分别令0x =、1x =可求得0a 、01234567+++++++a a a a a a a a 的值，即可求得1237a a a a ++++ 的值；（2）分别令1x =、1x =-，将所得两式作差可求得1357a a a a +++的值；（3）分析可知当k 为偶数时，0k a >，当k 为奇数时，0k a <，然后令1x =-可得出所求代数式的值.【小问1详解】解：令0x =，则01a =，令1x =，则()7012345671211a a a a a a a a +++++++=-⨯=-，①因此，()12372370102a a a a a a a a a a ++++++++=+-=- .【小问2详解】解：令1x =-可得70123456732187a a a a a a a a ++=-=-+--，②①-②可得13571218710942aa a a --+++==-.【小问3详解】解：()712x -的展开式通项为()()177C 2C 2k kk k kk Tx x+=⋅-=⋅-，则()7C 2kk ka=⋅-，其中07k ≤≤且N k ∈，当k 为偶数时，0k a >；当k 为奇数时，0k a <.所以，7012345601234567732187a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++=+++==----.20.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与P ，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为925．（1）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．【20题答案】【答案】（1）91100（2）910【解析】【分析】（1）利用对立事件的概率去求解四次投球中至少一次命中的概率；（2）先求得概率P 的值，再去列两人得分之和的分布列求数学期望．【小问1详解】记“这四次投球中至少一次命中”为事件C ，则“这四次投球均未命中”是事件C 的对立事件，则()1199112225100P C =-⨯⨯=【小问2详解】依题意，29(1)25P -=，则25P =记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则1213(),(),()()2525P A P B P A P B ====甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2，()()13302510P P AB ξ===⨯=，()()()13121125252P P AB P AB ξ==+=+=，()()1212255P P AB ξ===⨯=，则ξ的分布列为：ξ012P31012153119()012102510E ξ=⨯+⨯+⨯=22.如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（1）证明：平面ACD ⊥平面AEF ；（2）若60BCD ∠=︒，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面A E G 与平面ACD 所成的锐二面角最小.【22题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）点G 为BD 的中点时.【解析】【分析】（1）由面面垂直可得AE⊥平面BCD ，得出CD ⊥AE ，再由CD ⊥EF 可得CD ⊥平面AEF ，即可得出平面ACD ⊥平面AEF ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当0,cos y =θ最大，θ最小，即可得出此时点G 为BD 的中点.【小问1详解】(1)因为△ABC 是正三角形，点E 是BC 中点，所以AE ⊥BC ，又因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD =BC ，AE ⊂平面ABC ，所以AE⊥平面BCD ，又因为CD ⊂平面BCD ，所以CD⊥AE ，因为点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF //BD ，又因为BD⊥CD ，所以CD ⊥EF ，又因为CD ⊥AE ，AE ∩EF E =，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ，又因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面AEF .【小问2详解】在平面BCD 中，过点E 作EH ⊥BD ，垂足为H ,设BC =4，则EA =，DF =FC =l ，E F 以{,,}EH EF EA为正交基底，建立如图空间直角坐标系E -xyz ,则(0,0,0),(0,0,(1,(1,E A C D -,设(1,,0)G y ，则(0,0,(1,EA AD ==- ,(2,0,0),(1,,0)CD EG y ==，设平面AEG 的法向量为1111(,,)n x y z →=,由1100n EA n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1110x yy ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令11y =-，故1(,1,0)n y →=-，设平面ACD 的法向量为2222(,,)nx y z →=，则2200n CD n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即2222200x x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，则2(0,2,1)n →=,设平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角为θ,则12cos |cos ,||n n →→=<>==θ，当0,cos y =θ最大，此时锐二面角θ最小，故当点G 为BD 的中点时，平面AEG 与平面ACD 所成的锐二面角最小.24.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，左焦点为F ，P 为椭圆C 上一点，()2,0A ，且3AB PA = ，BF BP ⊥．（1）求椭圆C 的方程．（2）若直线:ly kx m =+与椭圆C 相切，过A 作l 的垂线，垂足为Q ，试问OQ是否为定值？若是定值，求OQ的值；若不是，请说明理由．【24题答案】【答案】（1）22184x y +=；（2）是定值，OQ =【解析】【分析】（1）设出点P 的坐标，进而根据3AB PA →→=求出它的坐标代入椭圆方程，再根据BF BP ⊥，结合斜率公式求得答案；（2）联立22184y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简，根据判别式为0得到k ,m 的关系，再联立()12y x k y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩求出点Q 的坐标，进而求出答案.【小问1详解】设()00,P x y ，易知()0,B b ，因为3AB PA →→=，所以()()002,32,b x y -=--，所以083x =，03b y =-．因为P 在椭圆C 上，所以22264991b a b+=，所以28a =．因为BF BP ⊥，所以12b b c ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，所以22b c =．因为222a b c =+，所以28a =，224b c ==，故椭圆C 的方程为22184x y +=．【小问2详解】联立方程组22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124280k x kmx m +++-=，则()()222216412280k m k m ∆=-+-=，得2284m k =+．当0k =时，直线l 的方程为2y =±，OQ =当0k ≠时，直线AQ 的方程为()12y x k=--，联立方程组()12y x k y kx m⎧=--⎪⎨⎪=+⎩，得Q 的坐标为2222,11km m k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()()()()222222222224111km m k m OQk k k -++=+=+++．因为2284m k =+，所以22284481k OQ ++==+，所以OQ =故OQ为定值，且OQ =．【点睛】本题第（2）问运算量较大，但充分体现了“设而不求”的思想，本题可以作为范题进行归纳总结.26.设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若34e a≥，证明：()0f x <.【26题答案】【答案】（1）1ey x =--（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得e ()ln xf x x x=-，即可得到()1f ，再求出函数的导函数，即可求出()1f '，最后利用点斜式求出切线方程；（2）依题意即证2e ln 0x a x x x ->，令2e ()x a g x x=、ln ()x h x x=，,()0x ∈+∞，利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而得证；【小问1详解】21解：当1a =时e ()ln x f x x x=-，所以()1e 1ln1e 1f =-=-，又()21e 1()x x f x x x -'=-，所以()11f '=，即切点为()1,e -，切线的斜率1k =，所以切线方程为()()e 11y x --=-，即1ey x =--【小问2详解】解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当34e a ≥时，2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x <⇔-<⇔->，令2e ()x a g x x =，,()0x ∈+∞，所以3e ())(2x a x x g x'-=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，当2x =时，22min3e 4e 1()(2)4e 4e a g x g ==≥⋅=，令ln ()x h x x =，,()0x ∈+∞，所以21ln ()x h x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，当e x =时，max 1()(e)e h x h ==，因此，0x ∀>，min max 1()()()()eg x g x h x h x ≥≥=≥，而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：0∀>，()()g x h x >成立，即2e ln 0x a x x x->成立，所以()0f x <.。
2020-2021学年江苏省扬州中学高二第二学期期中考试物理(选修)【含答案】
2020-2021学年江苏省扬州中学高二第二学期期中考试物理（选修）2021.04试卷满分：100分考试时间：75分钟注意事项：1. 作答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码。
2. 将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂）。
3. 考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意。
（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中。
）1．关于物体的内能，下列叙述中正确的应是（ ） A ．温度高的物体比温度低的物体内能大 B ．物体的内能不可能为零C ．内能相同的物体，它们的分子平均动能一定相同D ．物体的内能与物体的温度、体积、物态和分子数都无关2．物体在水平面上做直线运动，其动量随时间变化的图像如图所示，则下列说法正确是（ ） A ．00~2t 物体运动方向与002~3t t 的运动方向相反B ．002~3t t 与003~4t t 时间内物体受到的合外力大小相等，方向相反C ．00~3t 时间内物体受到的合外力的冲量为零D ．002~4t t 时间内物体受到的合外力的冲量为零3．我国已开展空气中PM2.5浓度的监测工作，PM2.5是指空气中直径小于2.5微米的悬浮颗粒物，可在显微镜下观察到，它漂浮在空中做无规则运动，很难自然沉降到地面，吸入后会进入血液对人体形成危害。
矿物燃料燃烧时废弃物的排放是形成PM2.5的主要原因，下列关于PM2.5的说法中正确的是A ．PM2.5在空气中的运动属于分子热运动B ．PM2.5的无规则运动说明了空气分子做分子热运动C ．PM2.5的质量越大，其无规则运动越剧烈D ．温度越低，PM2.5的无规则运动越剧烈4．一弹簧振子的位移y 随时间t 变化的关系式为0.1sin(2.5)m y t π=，则（ ） A ．弹簧振子的振幅为0.2m B ．弹簧振子的频率为0.8HzC ．在0.2s t =时，振子的运动速度最大D ．在任意0.4s 时间内，振子通过的路程均为0.2m5．如图描述了一定质量的理想气体压强p 随体积V 变化的图像，O 、a 、b 在同一直线上，ac 与横轴平行，下列说法正确的是（ ） A ．a 到b 过程，外界对气体做功B ．c 到a 过程，气体向外界放出热量大于气体内能的减少量C ．b 到c 过程，气体释放的热量大于气体内能的减少D ．a 点时气体的内能等于b 点时气体的内能6．如图所示，质量相等的A 、B 两个球，原来在光滑水平面上沿同一直线相向做匀速直线运动，A 球的速度是6 m/s ，B 球的速度是-2 m/s ，A 、B 两球发生对心碰撞。
江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数 在[0，π]上的平均变化率为( )
A．1B．2C．πD．
2．复数z满足 ，则复数 的虚部为（）
A．﹣1B．1C．iD．﹣i
A． B． C． D．
8．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）
A．48种B．72种C．96种D．144种
9．设函数f（x）在R上可导，其导函数为 ，且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，则函数y＝x 的图象可能是（）
（1）记花圃的面积为 ，求 的最大值；
（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边 、 处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰 、 不铺设，求 满足什么条件时，会使总造价最大.
21．已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.
A． B．
C． D．
10．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）
扬州市扬州大学附属中学高二年级第二学期数学学科阶段检测 1(月考)(后附答案解析)
扬大附中高二年级春学期数学学科阶段检测1一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1．下列求导运算正确的是（）A ．()'sin cos x x=-B ．'1ln xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()'1x x xee-=D ．()'12x x=2．202320222021202019841983⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯等于（）A ．402023C B ．412023C C ．402023A D ．412023A 3.81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A.70B.56C.28D.70-4．有4名新冠疫情防控志愿者，每人从3个不同的社区中选择1个进行服务.则不同的选择办法共有（）种.A.81B.64C.16D.95．平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，则平面α与平面β的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么（）A ．AE BC AE CD ⋅<⋅B ．AE BC AE CD⋅=⋅ C ．AE BC AE CD⋅>⋅ D ．AE BC ⋅ 与AE CD ⋅不能比较大小7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，12AC CC ==，M 是11A B 的中点，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若11A B C M ⊥，则异面直线CM 与1A B 所成角的余弦值为（）A ．23B ．33C ．23D ．73（第7题）图）8.已知函数()()22e xf x x ag x x =-+=，，若对任意的[]21,1x ∈-，存在11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A.[]e 1,4+ B.[e ，4]C.1e,4e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D.1e 1,4e⎡⎤++⎢⎥⎣⎦二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9.如图是()y f x =的导数()y f x '=的图象，则下面判断错误的是（）A ．在(3,1)-内()f x 是增函数B ．在(3,4)内()f x 是减函数C ．在2x =时()f x 取得极小值D ．当4x =时()f x 取得极大值10．若3221213A 2A 6A x x x +++≤+，则正整数x 的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．511．现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（）A ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B ．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D ．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种12．如图，底面ABCD 是边长为2的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．点P 为半圆弧 AD 上（不含A ，D 点）的一动点．下列说法正确的是（）A ．BP PD ⋅的数量积不恒为0B ．三棱锥P BCD -体积的最大值为23C ．存在点P ，使得AB PB DB DP⋅=⋅D ．点A 到平面BPD 的距离取值范围为(2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(110)(102)A B -，，，，，，点C 满足2AC AB =，则点C 的坐标为．14.已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是21y x =+，则()()11f f '+=．15.设()20121nn n x a a x a x a x +=++++ ，若23a a =，则n =．16.将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为()1,2,,7i a i = ，若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个；若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a = ，AD b =，1AA c =.（1）用a ，b ，c 表示BM ；（2）求BM 的长.18．（本小题满分12分）（1）计算：()2973100100101C C A +÷；（2）计算3333412C C C +++ .（均要求写出必要的数学式，结果用数字作答）19．（本小题满分12分）已知函数()325f x x ax bx =-++，在2x =-和23x =处取得极值.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]4,1-上的最大值.20．（本小题满分12分）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11C D 与AB 的中点.（1）求11A B 与截面1A ECF 所成角的正弦值；（2）求点B 到截面1A ECF 的距离．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且π2PAD ∠=，点F 为棱PC 上的点，平面ADF 与棱PB 交于点E .（1）求证：//EF AD ；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD 与平面ADFE 所成锐二面角的大小.条件①：2AE 条件②：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件③：PB FD ⊥.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.22．（本小题满分12分）已知函数()2e xf x ax =-（e 是自然对数的底数，a ∈R ）.（1）设()f x 的导函数为()f x '，试讨论()'f x 的单调性；（2）当e a =时，若0x 是()f x 的极大值点，判断并证明()0f x 与3e4大小关系.扬大附中高二年级春学期数学学科阶段检测1参考答案1．D 【详解】对于A 选项，()sin cos x x '=，A 选项错误；对于B 选项，211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，()ln x x a a a '=，C 选项错误；对于D 选项，'=D 选项正确.故选：D.2．D 【详解】根据排列数公式可得：412023202320222021202019841983A ⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=.故选：D.3.【答案】A 【详解】根据题意，81+x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式的通项为2888181C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令820r -=，解可得4r =，则有458C 70T ==；即81+x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为70.故选：A.4．A.【详解】解：每名新冠疫情防控志愿者都有3种不同的选择方法，根据分步计数原理可知，不同的选择方法共有4381=（种)．故答案为：81．5．【答案】C 【详解】 平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，∴6m n =- ，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．C 【详解】∵E 是BC 的中点，AB AC =，∴AE BC ⊥ ，即0AE BC ⋅= ．不妨设空间四边形的各边和对角线长均为1，又AB ，AC ，AD 两两之间的夹角均为60°，∴()()12AE CD AB AC AD AC ⋅=+⋅- ()12AB AD AB AC AC AD AC AC =⋅-⋅+⋅-⋅ 104=-<．故AE BC AE CD ⋅>⋅．故选：C 7．【答案】A8.【答案】B 【详解】解：()2e xg x x =的导函数为()()22e e 2e xxxg x x x x x '=+=+，由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ，所以对于任意的2[1,1]x ∈-，()[]20,e g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-，则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，由题意，得][[0,e 4a ⊆-，]a ，可得40e a a -≤<≤，解得e 4a ≤≤．故选：B.9．ACD 【详解】3(3,)2x ∈--时，()0f x '<，此时()f x 在3(3,)2--单调递减3(,2)2x ∈-时，()0f x '>，此时()f x 在3(,2)2-单调递增(2,4)x ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(2,4)单调递减(4,5)x ∈时，()0f x '>，此时()f x 在(4,5)单调递增()f x 在2x =处左增右减，故在2x =时()f x 取得极大值()f x 在4x =处左减右增，故在2x =时()f x 取得极小值综上可知：B 正确故选：ACD 10.【答案】ABC3221213A 2A 6A x x x +++≤+，即为()()()()()31122161132212x x x x x x x x x x ⎧+-≤++++⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎩，解得24x ≤≤，又因N x +∈，所以不等式的解集为{}2,3,4.11．BCD 【详解】对于A ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44256=种放法，故A 错误；对于B ，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有()2242118C A ⋅+=种放法，故B 正确；对于C ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有112314323422144C C C A C A ⋅⋅⋅⋅=种放法，故C 正确；对于D ，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若()2,1,4,3代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：()2,1,4,3，()4,1,2,3，()3,1,4,2，()2,4,1,3，()3,4,1,2，()4,3,1,2，()2,3,4,1，()3,4,2,1，()4,3,2,1，共9种放法，故D 正确.故选：BCD.12．【答案】BD 【详解】因为半圆面APD ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，由面面垂直的性质可知，AB ⊥平面APD ，,,AB AP AB PD AP PD ⊥⊥⊥.对于A ，()0BP PD AP AB PD AP PD AB PD ⋅=-⋅=⋅-⋅=，故A 错误；对于B ，设点P 到平面BCD 的距离为h ，则111222213323332P BCD BCD V S h h h -=⋅=⨯⨯⨯=≤⨯=△，当点P 为 AD 中点时，取等号，故B 正确；对于C ，22()||(0,4)DB DP DP PA AB DP DP PA DP AB DP DP ⋅=++⋅=+⋅+⋅=∈()24AB PB AB AB AP AB AB AP ⋅=⋅-=-⋅= ，即不存在点P ，使得AB PB DB DP ⋅=⋅，故C 正确；对于D ，因为2||||cos ||DB DP DB DP PDB DP ⋅=⋅∠=，所以cos ||4PDB DP ∠=，所以1||||sin 2BDP S BD DP PDB =⋅∠= △因为22cos ()DP DA DP DA ADP DP PA PD PA DP DP DP ⋅=⋅∠=⋅-=⋅+= ，所以cos 2DP ADP ∠=，设点P到平面ABD 的距离为1h ，点A 到平面BPD 的距离为2h，则1||sinh DP PDA DP =⋅∠== A BPD P ABD V V --=，所以22133h =，设(0,2)DP t =∈ ，则2h =28(4,8)t -∈，所以2h ∈，故D 正确；故选：BCD13．【答案】(314)--，，14.【答案】5【详解】由导数的几何意义可得()12f '=，将点M 的坐标代入切线方程可得()12113f =⨯+=，因此，()()115f f '+=.故答案为：5.15.【答案】5【详解】(1)n x +展开式第1r +项1C rrr n T x +=，∵23a a =，∴23C C n n =，∴235n =+=.16.【答案】144；62若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有4343A A 144⋅=个；从1，2，3，4，5，6中选出1个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有16C 个；从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有26C 个；从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有36C 个；从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有46C 个；从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在1的右侧，其余排在1的左侧，得到先减后增的数列有56C 个；故满足条件的总个数为：1234566666C C C C C 62++++=个．17．【答案】(1)()12BM c b a =+- ，(2)172(1)由题意得()()1111111111111222BM BB B M AA B D AA A D A B c b a =+=+=+-=+-（2）所以1122BM c b a =+-=172==18．【答案】（1）16；（2）15n =.【详解】（1）原式()3233333101100100101101101101333311 6=+÷=÷=÷==C C A C A A A A A .（2）由33343334124412C C C C C C +++=+++ ，而11!!(1)!C C C ()!!(1)!(1)!(1)!!n n n m m m m m m m n n m n n m n n -+++=+==--+--+，所以43343444125121313!C C C C C C 7159!4!+++=++=== 19．【答案】（1）∵()325f x x ax bx =-++，∴()232f x x ax b '=-+，∵在2x =-和23x =处取得极值，∴()20203f f '⎧-=⎪⎨⎛⎫'= ⎪⎪⎝⎭⎩，即212402232033a a b a b ++=⎧⎪⎨⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎪⎝⎭⎩,解得2a =-，4b =-，经检验适合题意，∴()32245f x x x x =+-+（2）∵()2344f x x x '=+-，∴由()0f x ¢=，解得2x =-或23x =，当x 在[]4,1-上变化时，()f x ¢和()f x 的变化如下：x4-()4,2--2-22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭232,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()f x ¢+-+()f x 11-递增极大值()213f -=递减极小值295327f ⎛⎫=⎪⎝⎭递增4∴所以当4x =-时，函数()f x 取得最小值()411f -=-，当2x =-时，函数取得极大值同时也是最大值()213f -=，故函数()f x 在[]4,1-上的最大值为13和最小值为11-.20．【答案】以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(F a ，2a ，0)，(B a ，a ，0)，(0C ，a ，0)，1(A a ，0，)a ，(0E ，2a，)a ，1(B a ，a ，)a ，则1(A E a - ＝，2a ，0)，1(0A F ＝，2a，)a -，11(0A B = ，a ，0)，设平面1A ECF 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020x y y z -=⎧⎨-=⎩，取1x =，则(1n = ，2，1)，设11A B 与截面1A ECF 所成角为θ，则11111126sin ,36n A B a cos n A B a n A B θ⋅⨯＝＜＞＝＝＝，∴11A B 与截面1A ECF 所成角正弦值为63．(2)由(1)知(0FB ＝，2a，0)，平面1A ECF 的一个法向量为(1n = ，2，1)，∴点B 到截面1A ECF 的距离||||66||141n FB a d a n ⋅===++21．【答案】(1)证明见解析(2)π3【详解】（1）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ,所以//AD 平面PBC ，又因为平面ADF 与PB 交于点E .AD ⊂平面ADFE ，平面PBC ⋂平面,ADFE EF =所以//EF AD .（2）选条件①②侧面PAD 为等腰直角三角形，且π,2PAD ∠=即2PA AD ==，PA AD ⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ,则PA ⊥平面ABCD ，又ABCD 为正方形，所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0)A P CB D 因为2AE =E 为PB 的中点，则(1,0,1)E 从而：(2,2,2),(0,2,0),(1,0,1)PC AD AE =-==，设平面ADFE 的法向量为：(,,)n x y z = ，则020n AE x z n AD y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，可得(1,0,1)n =- 设平面PCD 的法向量为：(,,)n a b c = ，则2202220n PD b c n PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令1b =，可得(0,1,1)n = 所以1cos ,2PB n PB n PB n ⋅== 则两平面所成的锐二面角为π3选条件①③侧面PAD 为等腰直角三角形，且,2PAD π∠=即2,PA AD PA AD==⊥,AD AB PA AB A ⊥⋂=，且两直线在平面内，可得AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥.又因为,,PB FD AD FD D ⊥⋂=且两直线在平面内，则PB ⊥平面ADFE ,AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点又因为2AE =PAB 为等腰直角三角形，下面同①②选条件②③侧面PAD 为等腰直角三角形，且2PAD π∠=，即2,PA AD PA AD ==⊥平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PA ⊂平面PAD ,则PA ⊥平面,ABCD ABCD 为正方形，所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥.又因为,,PB FD AD FD D ⊥⋂=且两直线在平面内，则PB ⊥平面ADFE ，AE ⊂平面,ADFE 则PB AE ⊥因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点.下面同①②22．(1)答案见解析(2)()034ef x <，证明见解析（1）∵()2e xf x ax =-，∴()e 2x f x ax '=-令()()e 2x f x axg x '=-=，则()e 2x g x a '=-.①若0a ≤，则()e 20xg x a '=->，所以单调递增；②若0a >，则当(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，所以()g x 所以单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 单调递增；综上，当0a ≤时，()f x '在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时()f x '在(,ln 2)a -∞单调递减，在(ln 2,)a +∞单调递增.（2）由（1）知，当e a =时，()'f x 在,l )e (n 2-∞上单调递减，在ln 2e (,)+∞上单调递增；∵()()ln 2e 2e 1ln 2e 0f '=-<，且124(0)10,()e e 0,(4)e 8e 012f f f ''=>=-<'=->故()'f x 存在两个零点01,x x 且()0110,,(ln 2e,42x x ∈∈.()'f x 的符号及()f x 的单调性如下表所示：x ()0,x -∞0x ()01,x x 1x ()1,x +∞()f x '+0-0+()f x ↗极大↘极小↗由于0x 是()f x '的一个零点，故()000'e 2e 0x f x x =-=，所以00e 2e xx =于是，()()022*******e e 2e e e 2x f x x x x x x =-=-=-+∵010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2003024x x <-+<所以()()20003e e 24f x x x =-+<.。
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考点：1.奇函数的性质；2.恒成立问题的处理方法.
13． ；
【解析】
，令 得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以当 时 取得极大值 ，当 时 取得极小值 ，
令 ，得 ，要使 在区间 上有最大值，只需 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ，故答案为 .
2020-2021学年江苏省扬州中学高二下学期期中考试数学（理）试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设全集 ，集合 ， ，则 _________．
2．已知复数 (i为虚数单位)，则z的虚部为_________．
7．已知 ，则 的最大值为___________________
8．若f(x)= 在 上为增函数，则a的取值范围是_
9．用0到9这十个数字组成没有重复数字且能被5整除的三位数的个数为___________
10．若函数定义在上的奇函数，且在 上是增函数，又 ，则不等式 的解集为_____________
10． 或- ；
【解析】
∵函数 定义在 上的奇函数，且在 上是增函数，又 ，
∴ 在 上是增函数，且 ，
∴当 或 时， ，当 或 时， ，（如图）
则不等式 等价为 或 ，
即 或 ，则 或 ，
解得 或- ，故不等式的解集为 或- ，
故答案为 或- .
11．
【分析】
令 ，则 ，当 ，令 ， ，结合图象得出方程无解，当 时，讨论 ， ，结合分段函数的解析式，解不等式即可得出 取值范围.
【详解】
令 ，则
当 时，
令 ， 其图象如下图所示
时， 无解
当 时， 成立，由 ，得
当 时，有 ，解得
当 时，有 ，解得
综上， 取值范围是
故答案为
【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题.
12．
【解析】
试题分析：∵ 是定义在 上的奇函数，∴当 时， ，
而 ，当些仅当 时，“=”成立，∴当 时，要使 恒成立，只需 或 ，又∵ 时， ，∴ ，
(1) 写出该药品一年的利润 (万元)与每包售价 的函数关系式，并指出其定义域；
(2) 当每包药品售价 为多少元时，年利润 最大，最大值为多少？
20．已知函数 .
（1）求函数 的图象在 处的切线方程；
（2）若函数 在 上有两个不同的零点，求实数 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使得对任意的 ，都有函数 的图象在 的图象的下方？若存在，请求出最大整数 的值；若不存在，请说理由.
（参考数据： ， ）.
参考答案
1． ；
【解析】
由题意可得 ，则 ，故答案为 .
2． ；
【解析】
由 ，则 的虚部为 ，故答案为 .
3． ；
【解析】
因为指数函数 经过的定点是 ，所以函数 结果的定点是 ，
故答案为 ．
4． ；
【分析】
由 , ,中找出各式运算量之间的关系,归纳其中的规律,并大胆猜想,得出答案.
3．已知函数 , 且 ,则 必过定点_________.
4．从 ，概括出第 个式子为___________．
5．设 是三棱锥 的底面重心，用空间的一组基向量 表示向量
________________________
6．若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则 ，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为 ，则四面体的体积 ________．
故答案为 .6． ．【析】试题分析：由题意得三角形的面积可拆分成分别由三条边为底，其内切圆半径为高的三个小三角形的面积之和，从而可得公式 ，由类比思想得，四面体的体积亦可拆分成由四个面为底，其内切圆的半径为高的四个三棱锥的体积之和，从而可得计算公式 ．
考点：1．合情推理；2．简单组合体的体积（多面体内切球）．
二、解答题
15．已知集合 ，
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
16．已知复数 为虚数单位.
（1）若复数 对应的点在第四象限，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求 的共轭复数.
17．.已知 是数列 的前 项和，是否存在关于正整数 的函数 ，使得 对于大于1的正整数 都成立？证明你的结论．
11．设函数，则满足 的 的 取值范围是__________.
12．设 为实常数， 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．
若 对一切 成立，则 的取值范围是.
13．若函数 在 上有最大值，则实数 的取值范围是______________
14．已知函数 ，若对任意实数 ，关于 的方程 最多有两个不同的实数解，则实数 的取值范围是___________________________________
【方法点晴】此题主要考查合情推理在立体几何中的运用方面的内容，属于中低档题，根据题目前半段的“分割法”求三角形面积的推理模式，即以三角形的三条边为底、其内切圆半径为高分割成三个三角形面积之和，类似地将四面体以四个面为底面、其内切球半径为高分割成四个三棱锥（四面体）体积之和，从而问题可得解决．
7． ；
【解析】
由 得 ，根据几何意义可得 可以当作以 为圆心， 为半径的圆上， 可以当作 到原点距离的平方，而圆上的点到原点距离的最大值为圆心到直线的距离加半径即 ，则 的最大值为 ，故答案为 .
8．
【解析】略
9．136
【解析】
个位是5的三位数有： （个）；个位是0的四位数有： （个），用0到9这十个数字一共可以组成 个没有重复数字且能被5整除的四位数，故答案为 .
18．已知 是正方形，直线 平面 ，且 .
（Ⅰ）求异面直线 所成的角；
（Ⅱ）求二面角 的大小.
19．某制药厂生产某种颗粒状粉剂，由医药代表负责推销，若每包药品的生产成本为 元，推销费用为 元，预计当每包药品销售价为 元时，一年的市场销售量为 万包，若从民生考虑，每包药品的售价不得高于生产成本的 ，但为了鼓励药品研发，每包药品的售价又不得低于生产成本的
【详解】
；
；
；
；…；
所以猜想: ，
故答案为: .
【点睛】
本题考查的知识点是归纳推理,归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想),属于中档题.
5． ；
【解析】
如图所示，
三棱锥 中，点 是 的重心，∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ ．