江苏省扬州中学2015-2016学年高二数学上册期中试题

江苏省扬州中学2015— 2016学年第一学期期中考试

高二数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）

1 .已知命题p :"一x ：= R,e x::: 0"，则一p 是 ______________________________ .

2. ____________________________________________________ 命题若am2v bm2,则a v b”的逆命题为___________________________________________________ 命题.（填"真”、“假”）

2 2

3. ________________________________________________________________________ 若椭圆乞+红=1的一个焦点坐标为（1,0），则实数m的值等于______________________________ .

5 m

2

4?“ x<1 ”是“ 0CXV1 ”成立的________________ 条件.（从充要”、充分不必要” 必

要不充分"中选择一个正确的填写）

5 ?在正方体ABCD - A1B1C1D1中，过A1C1B的平面与底面ABCD的交线为I，则直线l与AG的位置关系为.（填“平行”或“相交”或“异面”）

2

6. 与双曲线X2-红=1有共同的渐近线，且过点（2, 2）的双曲线方程为

4

7. 设I, m是不同的直线，a, __________________________ 丫是不同的平面，则下列命题正确的是

①.若I丄m , m l a,贝y I丄a或I //a ②.若I丄Y a丄丫，贝U l // a或I a

③.若I //a, m// a,则I // m或I与m相交④.若I //a, a丄B,则I丄B或I二3

&若一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，则该圆锥的高为 ________________

2015.11

9.已知点A是椭圆X22

=1 a b 0 上一点, F为椭圆的一个焦点,

AF =c（c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是_____________

2 2

X V

10.若F1, F2是双曲线1的两个焦点，P是双曲线

9 16

上的一点，且PF1?PF2|=64，则N F1PF2= ____________ .

2

X 2

11. 点P（X, V）为椭圆9+V2=1上的任意一点，贝y X - 3y的最

大值为_______________ .

12.

如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，

滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径

r =3.10毫米，滴管内液体忽略不计.如果瓶内的药液恰好

13. ____________________________________________ 在正三棱锥S—ABC中，M , N分别是棱SC、BC的中点，且MN丄AM ,若侧棱SA= . 3, 则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 .

2 2

14.如图所示，A,B,C是双曲线爲一爲=i(a . 0,b 0)上的三个点，AB a b

经过原点0 , AC经过右焦点F ,若BF _ AC且| BF |=|CF |，则该

双曲线的离心率是________________ 二、解答题(本大题共6小题，共90分?

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

15. (本小题满分14分)

设命题p: a尸{y | y = . -x22x 8, x ?= R},命题q :关于x的方程x2 x - a = 0

有实根. (1 )若p为真命题，求a的取值范围；

(2)若“p q ”为假命题，且’p q ”为真命题，求a的取值范围.

16. (本小题满分14分)

如图：已知正方形ABCD的边长为2,且AE丄平面CDE , AD与平面CDE所成角为30。(1)求证：AB //平面CDE ; (2 )求三棱锥D-ACE的体积.

A

17. (本小题满分14分)

已知命题p :点M (1,3)不在圆(x ■ m)2■ (y -m)2= 16的内部，命题q :'曲线

2 2 2 2

C1:务十一=1表示焦点在x轴上的椭圆”命题s:曲线C?:^—+—y一= 1 m 2m +8 m —t m —t — 1

表示双曲线

(1 )若“p 且q ”是真命题，求 m 的取值范围；

(2)若q 是s 的必要不充分条件，求 t 的取值范围.

18.(本小题满分16分) 2 2

已知椭圆C : ：x 2 -y

2 = 1 (a b 0)两个焦点之间的距离为

a b

2

，且其离心率为于

(1 )求椭圆C 的标准方程； (2 )若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点 B 的直线与椭圆另一个交点为 A,且满足

T T . BA BF =2，求? ABF 外接圆的方程. 19.(本小题满分16分) 如图，已知四棱锥 P — ABCD 的底面是直角梯形， / ABC =Z BCD = 90° AB = BC = PB = PC =2CD = 2,侧面PBC 丄底面 (1) 求证：CE //平面ADP ; (2) 求证：平面 PAD 丄平面 (3) 棱AP 上是否存在一点 N ,使得平面 DMN 丄平面

AN

若存在，求出 一N

的值；若不存在，请说明理由.

NP

ABCD ，点M 在AB 上，且AM : MB =1: 2 , E 为PB 的中点. FAB

; C

M

B

2 2

V2

笃 + ■y 2 = 1

a b 0的离心率为——，直线 a b 2

线AC ，BD 相交于点 M ，直线AD ，BC 相交于点N . (1 )求a , b 的值； (2)求证：直线MN 的斜率为定值.

命题、 校对、审核 —、_、

?数学备课组

答案：

X

2假

.平行6.

2

x 2

y ’

1.

x R, e - 0.

3. 4

4.必要不充分

5

—

1

3 12

7. ② 8. 、3 9.

5-1

10. 11. 3 2

12

75 1

3

.9二 14.

10

2

3

2

15. .解：(1)由题意得，y 亠 x 2 2x 8 = . -(x - -1)2 9 [0,3]

故p 为真命题时a 的取值范围为[0,3].

1

(2)故q 为真命题时a 的取值范围为a _--

4 由题意得，p 与q —真一假，从而

0 ^a 乞3

当p 真q 假时有

1 a 无解； L 4

20.(本小题满分16分) 1

1

: y =2X

与椭圆 E 相交于A ，B 两点,

AB=4. 5，C , D 是椭圆E 上异于A ，B 两点，且直

如图，在平面直角坐标系

xoy 中，椭圆E ：

a ::: 0 或 a 3 1

当p 假q 真时有 1 . a 3或- 一_ a ::: 0 .

a 4 I 4

1

二实数a 的取值范围是,0) (3,--?).

4

16、证明：

(1) 正方形 ABCD 中，AB // CD , 又AB 二平面CDE CD 平面CDE 所以AB//平面CDE (2) 因为AE L 平面CDE AD 与平面CDE 所成角为30「.NADE =30。

.AE -1

因为AE _平面CDE ，且CD 平面CDE ，所以AE _ CD ,

又正方形 ABCD 中，CD _ AD ,且 AE“ AD =A , AE 、AD 平面 ADE , 所以CD _平面ADE ,又DE 平面ADE , 所以 CD _ DE . CD =2,DE =

1 1 c 」J3

-V DKCE =V A _CDE

2=31 = 3 2

3

17?解:

2 2

(1 )若 p 为真：(1 m) (3-m) _16

解得m _ -1或m _ 3

解得-4 ：. m ：：： -2 或 m 4

若“p 且q ”是真命题，则 解得 一4 ：：： m ：：： -2 或 m ? 4

(2)若 s 为真，则(m -t)(m - t -1) ：： 0，即 t ::: m ： t 1 由q 是s 的必要不充分条件，

则可得{m |t :: m ::: t 一 = {m | -4 ：： m ：： -2或 m 4}

t > -4

即丿

或t Z 4

t +1 兰—2

■-

解得 一4 乞t 乞-3或t -4

c =1,a - 2 , - b =;；a 2 -c 2 =1 ,

2

椭圆C 的标准方程是〉y 2"

若q 为真：则

广

2

m :>2m+8 2m +8 a 0

J

18.解:

（n ）由已知可得 B （0,1）, F （1,0）, 设 A （X 0,y 。），则 BA =（X o ,y 。-1）,BF

即 A （0,-1）或 A （-,1）

3 3

为（o, _1）时，OA = OB| = OF =1, AABF

的外接圆是以O 为圆心，以1为半径的

圆，该外接圆的方程为 x 2 ? y 2 = 1 ；

4 1

当

A

为(

-，3)

时，k BF —k AF ，，所以的是直角三角形，其外接圆是以线段

BA

2 2 2 J 5

为直径的圆?由线段BA 的中点(-,-)以及BA = —5可得 ABF 的外接圆的方程为

3 3 3

2 2 2 2 y （yq

综上所述， ABF 的外接圆的方程为x 2 y^1或（X-?）2 ? （y-2）2二5.

3 3 9

19. 证明：（1）取棱AP 中点F ，连接DF , EF

1

EF 为 PAB 的中位线 EF // AB ，且 EF AB CD // AB ,且 2

1

CD AB ? EF // CD ，且EF 二CD .四边形EFDC 为平行四边形，.CE // DF 2

?/ DF?平面 ADP, CE?/平面 ADP 「. CE// 平面 ADP ⑵由（1）可得.CE // DF

?/ PC = BC , E 为 PB 的中点??? CE 丄 PB

?/ AB 丄BC ,平面 PBC 丄平面 ABCD ，平面PBC 门平面 ABCD = BC , AB?平面 ABCD ? AB 丄平面 PBC 又T CE?平面PBC ? AB 丄CE

又??? CE 丄PB , AB APB = B , AB,PB?平面 PBC ? CE 丄平面 PAB 又??? CN // DF ? DF 丄平面FAB 又T DF 平面FAD

?平面FAD 丄平面PAB

或：先证明 AB 丄 PB , AB = PB = 2 ? BF 丄 PA ,且 BF = 2, AF = PF = 2,

在梯形 ABCD 中，/ ABC =Z BCD = 90°, AB = BC = 2CD = 2 , ? AD = BD = 5 再证明 PO 丄 OD ,且 PO = .'3 , OD = 2 ? PD = . 5 ? PD = AD = 5 ? FD 丄 AP , FD = PD 2— PM 2= , 3

2 2 2

? BD = FD + FB BF 丄 FD ,再证明 BF 丄平面 PAD .

, BA BF =2 ，

得:

Xo =0 y = —1

y o

即x 0 =1 y 0 ， 代入

4 3 1 3

2 X

2 y

°

=1

，

AN 4

⑶ 存在，

。证明：取BC 中点O ,连结AO 交MD 于Q ,连结NQ ,在平面ABCD

NP 7

AN AQ

丽 w NQ 〃为等腰:PBC 底边上的中点,

ABCD , PO 二平面 PBC ，平面 PBC 一 平面 ABCD = BC —平

面ABCD 幕NQ 二平面DMN ,.平面DMN 丄平面ABC

故椭圆方程为■' + 丁 =1 ;

2b 2 b 2

1

y 2

(x 4)

2k 1

y —2 = k2 (x_4)

2k 1k^1

-4k 1k^8k^2 y =

由题意，不妨设点 A 在第一象限, 点 B 在第三象限,

由* 1 咒

X - 2 2 解得A (兰Z! b , 斗j

3 讪； 又 AB=

4 ", 所以OA=2砺，即里b 2+丄b 2=20,解得b 2

=12 ; 3 3 (2) 2 由（1）知，椭圆E 的方程为—

24 2 + 厶=1 ,从而 A (4, 2) , B (- 4,- 2); 12 ①当 CA , CB , DA , DB 斜率都存在时, 设直线CA ， DA 的斜率分别为k i ，k 2，C （ x o , y o ）， 显然 y

o -2

k i ^k; k 1 k CB : X o — 4 y 。2

X o 4

2 8启

__ 2_ 2 一

2

x ° -16 x -16

y 。2

-4 所以

2k/ 同理k DB =

于是直线AD 的方程为y - 2=k 2 （x - 4）, 直线BC 的方程为y+2=

:

(x+4)；

从而点N 的坐标为（8汗2

「8

?一4 - 4k 1 k 2 _8k 2 2

2賦+1 2* 1

8k<|k 2 ~'8k 2 ~'4 用k 2代k 1, &代k 2得点M 的坐标为（

2k 1k 2 +1

-■4k 1k 2 ~'8匕■ 2

2k 1k 2 1 )

；

中由平几得仝=4 ,

QO 7

.PO _ BC PBC 丄底面

PO _ 平面 ABCD . NQ 20.

解：（"因为匸…,

所以 C

=

，即 -

鼻：'，所以几赤；

8k 〔k2 _8匕 _4

2k 1k 2 1

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。

东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂，

帘卷西风， 人比黄花瘦。

k

MN -4规2 -8k 2 2 -4环2 -8匕 2

2k !k 2 +1 2k !k 2+1 8K —k 2) 〔

8k i k 2-8k i -4 8k 1k 2-4k 2-4 8(k 2_kJ 2k 1 k 2 1 2k 1 k 2 1 即直线 ②当CA , CB , DA , DB 中，有直线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在， 故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而 C (4,- 2); 仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB =-丄； MN 的斜率为定值-1; 此时

1 4

CA : x=4, DB : y+2= - —!- (x+4),它们交点 M (4, _一 _2 ); 2k 2 k 2

BC : 4 y= - 2, AD : y - 2=k 2 (x - 4),它们交点 N ( 4 — — , - 2), k

2 从而 由①②可知，直线 MN 的斜率为定值-1;

k|MN = - 1也成立;