江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试卷
2017-2018学年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣1＜0”的否定是．2．（5分）直线2x+y+1＝0在y轴上的截距为．3．（5分）抛物线y2＝4x的焦点坐标为．4．（5分）曲线y＝2x﹣sin x在（0，0）处的切线方程为．5．（5分）在边长为2的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于1的概率为．6．（5分）某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么n＝．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为．8．（5分）已知函数y＝ln（x﹣4）的定义域为A，集合B＝{x|x＞a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知椭圆上的点M到右焦点的距离为2，则点M到左准线的距离为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点，则双曲线的标准方程为．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）是f（x）的导函数，且f（2）＝3，f'（x）＜1，则不等式f（x）＞x+1的解集为．12．（5分）已知A（4，0），B（1，0），动点P满足P A＝2PB．设点P到点C（﹣3，0）的距离为d，则d的取值范围为．13．（5分）斜率为直线l经过椭圆的左顶点A，且与椭圆交于另一个点B，若在y轴上存在点C使得△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为．14．（5分）已知函数f（x）＝x|x2﹣3a|在x∈[0，2]的值域为[0，4m]，则实数m的最小值为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：“椭圆的焦点在x轴上”；命题q：“关于x的不等式3x2+2ax+3≥0在R上恒成立”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题、“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．16．（14分）为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；（3）甲同学的初赛成绩在[90，100]，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在[90，100]的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．17．（14分）已知圆C的半径为3，圆心在y轴正半轴上，直线4x﹣3y﹣9＝0圆C相切．（1）求圆C的方程；（2）过点Q（1，0）的直线l与圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）且AB＝4，求x1x2的值．18．（16分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x（年）（其中x∈N*）的关系为y＝2e x．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值M＝：（其中a为常数．且a＞0）来进行生态环境分析．（1）当a＝1时．求比值M取最小值时x的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M不超过e4时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数a的取值范围．（e为自然对数的底，e＝2.71828…）19．（16分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右准线方程为x＝2，又离心率为，椭圆的左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上异于A、B任意一点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线BP与x轴交于点M，直线AP与y轴交于点N，求证；AM•BN为定值．20．（16分）已知：函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）的极值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣x2，讨论y＝g（x）的单调性；（3）若函数h（x）＝f（x）+x2的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2．设x0＝λx1+μx2，其中常数λ、μ满足条件λ+μ＝1，且μ≥λ＞0．试判断在点M （x0，h（x0））处的切线斜率的正负，并说明理由．2017-2018学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2﹣1＜0”的否定是：∀x∈R，x2﹣1≥0，故答案为：∀x∈R，x2﹣1≥0．2．【解答】解：直线2x+y+1＝0化为：y＝﹣2x﹣1，则在y轴上的截距为﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：∵抛物线y2＝4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p＝2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）4．【解答】解：y＝2x﹣sin x的导数为y′＝2﹣cos x，即有在点O（0，0）处切线斜率为k＝2﹣cos0＝1，可得切线的方程为y＝x．故答案为：y＝x．5．【解答】解：如图，正方形ABCD的边长为2，其中心为O，所有到正方形中心O的距离大于1的点均在以O为圆心，半径为1的单位圆外，易得S正方形＝2×2＝4，S圆＝π×12＝π，故所求概率为，故答案为：．6．【解答】解：∵某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，∴，解得n＝45．故答案为：45．7．【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图，如下；n＝0，s＝1，n＝1，s＝3，n＝2，s＝，n＝3，s＝；此时终止循环，输出s＝．故答案为：．8．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣4＞0，即x＞4，即A＝（4，+∞），若x∈A是x∈B的充分不必要条，则A⊊B，即a＜4，故实数a的取值范围是（﹣∞，4），故答案为：（﹣∞，4）．9．【解答】解：根据椭圆的第二定义可知M到左焦点F1的距离与其到左准线的距离之比为离心率，依题意可知a＝2，b＝∴c＝1，∴e＝，点M到右焦点的距离为2，点M到右准线的距离：4．双曲线左右准线的距离为2×＝8．∴M到左准线的距离为：8﹣4＝4．故答案为：4．10．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，设双曲线的方程为y2﹣x2＝λ，又由双曲线经过点，则有1﹣2＝λ，λ，﹣1，则双曲线的方程为：y2﹣x2＝1．故答案为：y2﹣x2＝1．11．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣x，对g（x）求导，得g′（x）＝f′（x）﹣1，∵f′（x）＜1，∴g′（x）＜0，即g（x）在R上为减函数，∵f（2）＝3，∴g（2）＝f（2）﹣2＝3﹣2＝1，不等式f（x）＞x+1可化为不等式f（x）﹣x＞1，即g（x）＞g（2），由g（x）在R上为减函数得x＜2，∴不等式的解集为{x|x＜2}．故答案为：（﹣∞，2）．12．【解答】解：设点P（x，y），由P A＝2PB，得，整理得到点P的轨迹方程为x2+y2＝4．又C（﹣3，0），如图，由图可知，d的取值范围为[1，5]．故答案为：[1，5]．13．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），设直线AB的方程为y＝（x+a），代入椭圆方程可得（9b2+a2）x2+2a3x+a4﹣9a2b2＝0，设B（x1，y1），C（0，t），即有﹣a+x1＝﹣，可得x1＝，y1＝（x1+a）＝，即B（，），由题意可得k AC k BC＝﹣1，且|AC|＝|BC|，可得•＝﹣1，即﹣a（9ab2﹣a3）＝t（6ab2﹣ta2﹣9b2t），①又a2+t2＝（）2+（﹣t）2，②将②化简可得t＝，代入①化简可得a2＝3b2，则椭圆的离心率为e＝＝＝＝．故答案为：．14．【解答】解：f（0）＝0，对a分类讨论：①a≥时，f（x）＝x（3a﹣x2）＝﹣x3+3ax，x∈[0，2]，f′（x）＝﹣3x2+3a＝﹣3（x+）（x﹣），a≥4时，f′（x）≥0，函数f（x）单调递增，可得x＝2时，函数f（x）取得最大值，f（2）＝﹣8+6a＝4m，∴m＝≥4．4时，可得：x＝时，函数f（x）取得最大值，∴f（）＝﹣a+3a＝2a＝4m，m＝∈．②a≤0时，f（x）＝x（x2﹣3a）＝x3﹣3ax，x∈[0，2]，f′（x）＝+3x2﹣3a≥0，函数f（x）在x∈[0，2]上单调递增，∴f（2）＝8﹣6a＝4m，m＝≥2．③时，f（x）＝x（x+）•|x﹣|＝．x∈时，f′（x）＝﹣3（x+）（x﹣），可得x＝时，f（x）取得最大值，因此f（）＝2a≤4m，解得m≥．x∈（]时，f′（x）＝3（x+）（x﹣），可得x＝2时，函数f（x）取得最大值，f（2）＝8﹣6a≤4m，m≥．令＝，解得a＝1．∴m≥．综上可得：m，可得m的最小值为．故答案为：．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解答】解：（1）p真：椭圆的焦点在x轴上，∴0＜a＜5 …（5分）（2）∵命题“p或q”为真命题、“p且q”为假命题，∴p真q假或p假q真…（7分）q真：∵关于x的不等式3x2+2ax+3≥0在R上恒成立∴△＝4a2﹣4×3×3≤0，解得：﹣3≤a≤3 …（11分）∴或解得：3＜a＜5或﹣3≤a≤0∴实数a的取值范围是3＜a＜5或﹣3≤a≤0．…（14分）16．【解答】解：（1）由频率分布表得：，解得①22；②14；③0.28．…（3分）（2）此次数学史初赛的平均成绩为：65×0.20+75×0.44+85×0.28+95×0.08＝77.4．…（8分）（3）记“甲同学被抽取到”为事件A，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件，满足事件A的基本事件：甲乙、甲丙、甲丁，共3个基本事件，则此次数学史初赛的平均成绩P（A）＝．…（13分）答：此次数学史初赛的平均成绩为77.4，甲同学被抽取到的概率为．…（14分）17．【解答】解：（1）设C（0，m），m＞0，∵直线4x﹣3y﹣9＝0与圆C相切，且圆C的半径为3，∴，解得m＝2或m＝﹣8，∵m＞0，∴m＝2．∴圆C的方程为：x2+（y﹣2）2＝9；（2）若直线AB的斜率不存在，则直线AB：x＝1，∴，不符合题意，舍；若直线AB的斜率存在，设AB：y＝k（x﹣1），∵AB＝4，∴点C到直线AB的距离为，即，化简得：4k2﹣4k+1＝0，解得k＝．联立方程：，消去y得：5x2﹣10x﹣11＝0．∴．18．【解答】解：（1）当a＝1时，M＝（x＞1）．∴，列表，得：∴M在（1，2）上单调减，在（2，+∞）上单调增，∴比值M取最小值时x的值为2．（2）∵M′＝，（a＞0），根据（1）知：M在（1，2）上单调减，在（2，+∞）上单调增，∵确保恰好三年不需要保护，∴，解得．∴实数a的取值范围是（]．19．【解答】解：（1）∵右准线方程为x＝2，离心率为，可得得又a2＝b2+c2解得a＝，b＝1．∴椭圆的方程为：．（2）证明：由（1）知A（﹣，0），B（0，1），设P（x0，y0），则当x0＝0时，M（0，0），N（0，﹣1），|BN|•|AM|＝2ab＝2．当x0≠0时，直线P A的方程为：y＝，令x＝0，得：，故：|BN|＝|1﹣|，直线PB的方程为：y＝，令y＝0，得：，|AM|＝|+|，即|BN|•|AM|＝||＝||＝2为定值．综上所述，|AM|•|BN|为定值为定值2．20．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x﹣lnx，∴f′（x）＝1﹣＝，令f′（x）＝0，则x＝1，列表得：∴f（x）有极小值f（1）＝1，无极大值；…（3分）（2）g（x）＝ax﹣lnx﹣x2，x＞0，∴g′（x）＝a﹣﹣2x＝，设G（x）＝﹣2x2+ax﹣1，①当a≤0时，G（x）＜0恒成立，即g′（x）＜0恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上单调减；②当a＞0且△＝a2﹣8≤0，即0＜a≤2时，G′（x）≤0恒成立，且不恒为0，则g′（x）≤0恒成立，且不恒为0，∴g（x）在（0，+∞）上单调减；③当a＞0且△＝a2﹣8＞0，即a＞2时，G（x）＝0有两个实数根：x1＝，x2＝，且∴x1＞x2＞0，∴当0＜x＜x2或x＞x1时，G（x）＜0，g′（x）＜0；当x2＜x＜x1时，G （x）＞0，g′（x）＞0；∴g（x）在（0，）和（，+∞）上单调减，在（，）上单调增．∴综上：当a≤2时，g（x）在（0，+∞）上单调减；当a＞2时，g（x）在（0，）和（，+∞）上单调减，在（，）上单调增．…（7分）（3）h（x）＝ax﹣lnx+x2，，问题即为判断h′（x0）的符号．∵函数h（x）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，∴，两式相减得：a（x1﹣x1）﹣（lnx1﹣lnx2）+（﹣）＝0，∴a＝﹣（x1+x2）…（9分）∴h′（x0）＝h′（λx1+μx2）＝a﹣+2（λx1+μx2）＝+（2λ﹣1）（x1﹣x2）﹣，∵μ≥λ＞0λ+μ＝1，∴2λ﹣1≤0，∵0＜x1＜x2，∴（2λ﹣1）（x1﹣x2）≥0…（11分）研究：﹣的符号，即判断ln﹣的符号．令t＝，t∈（0，1），ln﹣＝lnt﹣，设H（t）＝lnt﹣，t∈（0，1），∵μ≥λ＞0，0＜t＜1∴t﹣1＜0，λ2t﹣μ2＜0∴H'（t）＞0在（0，1）上恒成立∴H（t）在（0，1）上单调增∴H（t）＜H（1）＝0，即…（14分）∵x1﹣x2＜0∴∴，即h'（x0）＞0∴在点M（x0，h（x0））处的切线斜率为正．…（16分）。
江苏省扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题高二数学
江苏省扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题高二数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．命题“x R ∃∈，210x -<”的否定是_______． 2．直线210x y ++=在y 轴上的截距为________． 3．抛物线24y x =的焦点坐标是______．4．曲线2sin y x x =-在(0,0)处的切线方程为___________________．5．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率______．6．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n 的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么n =____．7．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为__________．8．已知函数()ln 4y x =-的定义域为A ，集合{|}B x x a =>，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为___________．9．已知椭圆22:143x y C +=上的点M 到右焦点的距离为2，则点M 到左准线的距离为____．10．已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且过点，则双曲线的标准方程为_______．11．已知函数()f x 的定义域为R ， ()'f x 是()f x 的导函数，且()23f =， ()'1f x <，则不等式()1f x x >+的解集为_______．12．已知(4,0)A ，(1,0)B ，动点P 满足2PA PB =．设点P 到点(3,0)C -的距离为d ，则d 的取值范围为________．13．斜率为13直线l 经过椭圆()222210b x y a b a +>>=的左顶点A ，且与椭圆交于另一个点B ，若在y 轴上存在点C 使得ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为_______．14．已知函数2()3f x x x a =-在[0,2]x ∈的值域为[0,4]m ，则实数m 的最小值为_____．二、解答题15．已知命题p ：“椭圆2215x ya+=的焦点在x 轴上”；命题q ：“关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2） 若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 16．为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）； （2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩； （3）甲同学的初赛成绩在[90,100]，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在[90,100]的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．17．已知圆C 的半径为3，圆心在y 轴正半轴上，直线4390x y --=圆C 相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)Q 的直线l 与圆C 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 且4AB =，求12x x 的值．18．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2xy e =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ayM x x =-+（其中a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析．（1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底，2.71828e =）19．已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b +=>>的右准线方程为2x =，又离心率为2，椭圆的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 为椭圆上异于,A B 任意一点． （1）求椭圆的方程；（2）若直线BP 与x 轴交于点M ，直线AP 与y 轴交于点N ，求证：AM BN ⋅为定值．20．已知：函数()ln f x ax x =-．（1）当1a =时，求函数()y f x =的极值；（2）若函数()()2g x f x x =-，讨论()y g x =的单调性；（3）若函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<．设012x x x λμ=+，其中常数λ、μ满足条件1λμ+=，且0μλ≥>．试判断在点00(,())M x h x 处的切线斜率的正负，并说明理由．参考答案1．2x R,10x ∀∈-≥ 【解析】试题分析：特称命题的否定为全称命题，并将结论加以否定，因此命题的否定为：“x R ∀∈，均有210x -≥”考点：全称命题与特称命题 2．1- 【解析】将210x y ++=化为21y x =--，所以直线210x y ++=在y 轴上的截距为1-. 3．(1,0) 【解析】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12pp =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.4．y x = 【解析】因为2cos y x =-'，所以曲线2sin y x x =-在()0,0处的切线斜率为2cos01k =-=，即曲线2sin y x x =-在()0,0处的切线方程为y x =，即0x y -=. 5．1−π6【解析】试题分析：本题利用几何概型求解．只须求出满足：OQ≥1几何体的体积，再将求得的体积值与整个正方体的体积求比值即得取到的点到正方体中心的距离小于等于1构成的几何体的体积为：43π×13=43π，所以点到点到正方体中心的距离大于1的几何体的体积为：V =V 正方体-43π×13=8-43π，因此结合几何概型的概率可知为p =8-43π8=1-π6考点：几何概型、球的体积公式、点评：本小题主要考查几何概型、球的体积公式、正方体的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题 6．45 【解析】利用分层抽样的特点，得10200400300200n=++，解得45n =. 7．115【解析】由程序框图，得52123251131,3;2,;3,513353n s n s n s +++=========，即输出的s 值为115. 8．(,4)-∞ 【解析】函数()ln 4y x =-的定义域为()4,A ∞=+，{}()|,B x x a a ∞=>=+，因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，则4a <，即实数a 的取值范围为(),4-∞. 点睛：本题以数集为载体考查充分条件和必要条件的判定.在处理与数集有关的充分条件和必要条件的判定时，往往转化为数集之间的包含关系的判定，已知命题：:,:p x A q x B ∈∈，若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 9．4 【解析】因为椭圆22:143x y C +=上的点M 到右焦点的距离为2，所以M 到左焦点的距离为422-=，即M 的横坐标为0，即点M 到左准线:4l x =-的距离为4.点睛：本题考查椭圆的定义的应用.在处理与圆锥曲线的两焦点问题时，往往利用圆锥曲线的定义合理进行转化，如遇到椭圆或双曲线上的点到准线问题，要考虑两者的第二定义进行合理转化. 10．221y x -= 【解析】设以y x =±为渐近线的方程为22x y λ-=，又因为该双曲线过点(，所以121λ=-=-，即双曲线的标准方程为221y x -=.点睛：本题考查双曲线标准方程的求法.已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程时，要注意巧妙设法，可避免讨论，如：以0mx ny ±=为渐近线的双曲线方程可设为2222(0)m x n y λλ-=≠.11．(),2-∞ 【详解】令()()()1g x f x x =-+，因为()23f =，且()'1f x <，所以()20g =， ()'0g x <， 即()()()1g x f x x =-+在R 上单调递减，且()1f x x >+可化为()()2g x g >，则2x <，即不等式()1f x x >+的解集为(),2-∞.点睛：本题考查利用导数研究不等式的解集.解决本题的关键是合理根据条件（()'1f x <且()23f =）构造函数()()()1g x f x x =-+和()()2g x g >，再利用单调性进行求解.12．[1,5] 【解析】设(),P x y =22+4x y =，因为圆心(0,0)O 到点()3,0C -的距离为3，所以3232d -≤≤+，即15d ≤≤.点睛：本题考查动点的轨迹方程、点到圆上的距离的最值.求动点的轨迹方程最主要的一种方法是直接法，其步骤为：（1）设点；（2）找几何条件；（3）列方程；（4）化简方程；（5）验证，进而得到其关键方程.13【解析】设经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -且斜率为13的直线方程为3x y a =+，联立22222230x y a b x a y a b =-⎧⎨+-=⎩，得2222(9)60a b y ab y +-=，解得22269ab y a b =+，则232222296(,)99ab a ab B a b a b -++，AB 的中点为3222223(,)99a ab M a b a b -++，AB 的中垂线方程为23222233()99ab a y x a b a b -=-+++，令0x =，得232233(0,)9C ab a x a b -+，则322233(,)9a ab CA a a b -=-+，23232222966(,)99ab a ab a CB a b a b --=++，则0CA CB ⋅=，即233223222222933660999ab a a ab ab a a a b a b a b----⨯+⨯=+++，化简，得223a b ，则222c b =，即该椭圆的离心率为c e a ===. 14．12【解析】因为()[]23,0,2f x x x a x =-∈，所以2222[()](3)f x x x a =- []0,2x ∈，，令2,[0,4]t x t =∈，则2322()(3)69g t t t a t at a t =-=-+，()3()(3)g t t a t a =--'，（1）当0a ≤时，()3()(3)0g t t a t a -'=-≥在[0,4]上恒成立，即函数()g t 在[0,4]上单调递增，则22(4)4(43)16g a m =-=，即3222m a =-≥； （2）当0a >时，函数()g t 在[0,]a 单调递增，在[,3]a a 上单调递减，在[3,)a +∞上单调递增，且3(4)()4g a g a a ==，(3)(0)0g a g ==，①若4a ≥时，则()g t 在[0,2]单调递增，则22(4)4(43)16g a m =-=，即3242m a =->；②若44a a ≤<，即14a ≤<时，32max ()()416g t g a a m ===，即m =≥12； ③若44a >，即01a <<时，32max ()(4)4(43)16g t g a m ==-=，即31222m a =-≥； 综上所述，12m ≥，即实数m 的最小值为12.15．(1)3a 5<<(2) 3a 53a 0或<<-≤≤ 【解析】试题分析：（1）利用椭圆的标准方程化简命题p ，即可求解；（2）先根据真值表得到两简单命题的真假，再利用相关数集进行求解.试题解析：（1）p 真：椭圆2215x ya+=的焦点在x 轴上 ∴05a <<（2）∵“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题 ∴p 真q 假或p 假q 真q 真：∵关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立∴()224330a ∆=-⨯⨯≤，解得：33a -≤≤ ∴0533a a a <<⎧⎨-⎩或或0533a a a ≤≥⎧⎨-≤≤⎩或 解得：35a <<或30a -≤≤∴实数a 的取值范围是35a <<或30a -≤≤． 16．(1) ①22；②14；③0.28；(2)77.4（3）12【解析】试题分析：（1）利用频数、频率、容量间的关系进行求解；（2）利用平均数公式进行求解；（3）列出基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解. 试题解析：（1）①22；②14；③0.28；（2）650.20750.44850.28950.0877.4⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）记“甲同学被抽取到”为事件A ，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为： 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件A 的基本事件：甲乙、 甲丙、甲丁，共3个基本事件，则()12P A =. 答：此次数学史初赛的平均成绩为77.4，甲同学被抽取到的概率为12． 17．(1)()2229x y +-=(2) 12115x x =-【解析】试题分析：（1）利用圆心在y 轴正半轴上设出圆心坐标，再利用圆心到直线的距离等于半径进行求解；（2）设出直线方程，利用弦长公式进行求解.试题解析：（1）设()0,C m ，0m >∵直线4390x y --=圆C 相切，且圆C 的半径为3∴3935m --=，解得2m =或8m =- ∵0m > ∴2m =∴圆C 的方程为：()2229x y +-=；（2）若直线AB 的斜率不存在，则直线:1AB x =∴AB =不符合题意，舍； 若直线AB 的斜率存在，设AB ：()1y k x =-∵4AB = ∴点C 到直线:0AB kx y k --==化简得：24410k k -+= ∴12k =联立方程：()()2211229y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得：2510110x x --=∴12115x x =- 18．(1)M 在x 2=时取最小值(2) 13722e ，⎛⎤⎥⎦⎝【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值；（2）利用（1）结论，列出不等式组进行求解. 试题解析：（1）当1a =时，22(1)1xeM x x x =>-+，∴()()()22212'1xx x e M xx --=-+列表得：∴M 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增 ∴M 在2x =时取最小值； （2）∵()()()22212'(0)1xa x x e M a xx --=>-+ 根据（1）知：M 在()1,2上单调减，在()2,+∞上单调增∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴()()()43444122372413M e e ae M e ae M e ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：13722e a <≤ 答：实数a 的取值范围为137,22e ⎛⎤⎥⎝⎦． 19．(1) 2212x y += (2)见解析【解析】试题分析：（1）利用椭圆的准线方程和离心率即可求解；（2）设出点P 的坐标，写出的直线BP AP ，方程，求出点,M N 的坐标，利用两点间的距离公式和点P 在椭圆上进行化简求解.试题解析：（1）∵椭圆的右准线方程为2x = ∴22a c = ∵离心率为2∴a = ∴21,2c a == ∴21b = ∴椭圆的方程为：2212x y +=;（2）方法（一）设点()00,P x y ，则220012x y +=，()(),0,1A B ，即220022x y +=． 当00x =时，()0,1P -，则()0,0M ，()0,1N -∴2AM BN ⋅==∵点P 异于点A∴0x ≠当0x ≠00x ≠时，设直线AP方程为：y x =+，它与y轴交于点N ⎛ ⎝直线BP 方程为：0011y y x x -=+，它与x 轴交于点00,01x M y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴001x AM y =-+-，|1BN == ∴AM BN⋅===为定值．方法（二）若直线BP 斜率不存在，则直线BP 方程为：0x =，此时()0,1P -，则()0,0M ，()0,1N -∴2AM BN ⋅==若直线BP 斜率存在，设直线BP 方程为：1y kx =+，且0k ≠ ∴1,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭且 1AM k =- 则联立方程：22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222140k x kx ++=，解得： 10x =或22421kx k =-+， 即点222421,2121k k P k k⎛⎫-+-⎪++⎝⎭∵点P 异于点A∴2k ≠ ∴22222121421APk kk k k -++===-++ ∴直线AP 的方程为：y x =，则0,N ⎛⎫ ⎝且1BN =+∴AM BN ⋅==20．(1)极小值1，无极大值(2) 当a ≤时，()g x 在()0∞+，上单调减；当a >时，()g x 在0,4a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调减，在,44a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调增（3）在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正. 【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，讨论二次项系数的符号、判别式的符号及两根大小进行求解；（3）先将问题转化为判断()0'h x 的符号，合理构造函数进行证明.试题解析：（1）当1a =时，()ln f x x x =- ∴()11'1x f x x x-=-=，令()'0f x =，则1x =，列表得：∴()f x 有极小值()11f =，无极大值；（2）()2ln g x ax x x =--，0x >∴()2121'2x ax g x a x x x-+-=--=，设()221G x x ax =-+-①当0a ≤时，()0G x <恒成立，即()'0g x <恒成立，∴()g x 在()0,+∞上单调减；②当0a >且280a ∆=-≤，即0a <≤，()'0G x ≤恒成立，且不恒为0，则()'0g x ≤恒成立，且不恒为0，∴()g x 在()0,+∞上单调减；③当0a >且280a ∆=->，即a >，()0G x =有两个实数根：12x x ==，且121210,022a x x x x +=>=> ∴120x x >> ∴当20x x <<或1x x >时，()0G x <，()'0g x <；当21x x x <<时，()0G x >，()'0g x >；∴()g x在0,4a ⎛ ⎪⎝⎭和,4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调减，在⎝⎭上单调增．∴综上：当a ≤()g x 在()0,+∞上单调减；当a >，()g x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调减，在⎝⎭上单调增.（3）()2ln h x ax x x =-+，()1'2h x a x x=-+，问题即为判断()0'h x 的符号． ∵函数()()2h x f x x =+的图象与x 轴交于两点()()12,0,,0A x B x ，且120x x <<∴2111222200ax lnx x ax lnx x ⎧-+=⎨-+=⎩ 两式相减得：()()()22121212ln ln 0a x x x x x x ---+-= ∴()121212ln ln x x a x x x x -=-+-∴()()()01212121''2h x h x x a x x x x λμλμλμ=+=-+++()1212121212ln ln 12(x x x x x x x x x x λμλμ-=-+-++-+)()()12121212ln ln 121x x x x x x x x λλμ-=+----+∵0μλ≥>且1λμ+= ∴210λ-≤ ∵120x x << ∴()()12210x x λ--≥研究：121212ln ln 1x x x x x x λμ---+的符号，即判断112212ln x x x x x x λμ--+的符号．令()12,0,1x t t x =∈，1122121ln ln x x x t t x x x t λμλμ---=-++，设()()1ln ,0,1t H t t t t λμ-=-∈+ ∴()()()()()()()222222121111't t t t H t t t t t t t λμλλλμμλμλμλμ+--+-+=-=-=+++ 方法（一）设()()22221F t t t λλμμ=+-+，其对称轴为：()222121121211222t λλλμλλλλ----===+≥ ∴()F t 在()0,1上单调减，则()()()22212110F t F λλμμλμ>=+-+=+-=，即()'0H t >在()0,1上恒成立 ∴()H t 在()0,1上单调增 ∴()()10H t H <=，即112212ln0x x xx x x λμ--<+ ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x λμ-->-+∴()()12121212ln ln 1210x x x x x x x x λλμ-+--->-+，即()0'0h x >∴在点()()00,M x h x 处的切线斜率为正． 方法（二）()()()()()()2222222121't t t t H t t t t t λμλλμμλμλμ--+-+==++ ∵0μλ≥>，01t << ∴2210,0t t λμ-<-< ∴()'0H t >在()0,1上恒成立 ∴()H t 在()0,1上单调增 ∴()()10H t H <=，即112212ln0x x xx x x λμ--<+ ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x λμ-->-+∴()()12121212ln ln 1210x x x x x x x x λλμ-+--->-+，即()0'0h x > ∴在点()()00,M x h x 处的切线斜率为正．。
江苏省扬州市2017~2018学年高二第二学期期末试卷(文科 )(含精品解析)
江苏省扬州市2017~2018学年第二学期期末试卷（文）高二数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.【答案】0.【解析】分析：根据集合的并集的含义，有集合A或B必然含有元素0，又由集合A,B可得得结果.A或B必然含有元素0，0.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的并集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.2. 已知i..点睛：该题考查的是有关复数模的求解问题，根据公式运算即可，属于简单题目.3. 若幂函数，则实数.【解析】∵答案：4. 若点.P点的坐标代入直线方程，利用同角三角函数间.点睛：该题考查的是有关点在直线上的条件是点的坐标满足直线的方程，再者就是同角三角函数关系式中的商关系，注意公式的正确使用.5. _______.【解析】分析：首先；利用图像的对称变换和平移变换，得到函数图像所过的点，此时应用对称点以及平移对坐标的影响，得到相应的点的坐标，求得结果.点睛：该题考查的是有关图像过的点的问题，在解题的过程中，需要用到对称点的坐标与该点坐标之间的关系，以及平移之后点的坐标的变化特点，求得结果.6. 已知i_______..【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算法则化简，求出复数z，进而求得其共轭复数，从而求得结果.，故答案是.点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题，在解题的过程中，需要对复数的除法运算法则灵活掌握，以及共轭复数满足的条件是实部相等，虚部互为相反数.7. _______.【解析】分析：根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出m，利用两行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离.故两平行直线间的距离为点睛：该题考查的是有关两直线平行的条件，以及平行线之间的距离问题，在解题的过程中，需要应用直线平行的条件是斜率相等，截距不等，得到系数直角的关系，之后应用平行线之间的距离公式求得结果.8. _______.【解析】分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得函数取得最大值1.时取得最大值1，所以结合，解得，所以函数的解析式是点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数.9. 通过类比的方法，可求得：在空间中，点______.【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可.到平面的距离点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.10. .【答案】或9.【解析】分析：首先将圆C的方程化为标准方程，根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果.详解：圆C与圆C相切，或或点睛：该题考查的是有关两圆的位置关系的问题，根据两圆相切，得到两圆内切或外切，从而得到两圆心之间的距离所满足的关系式，从而求得结果，在解题的过程中，需要注意相切应分为外切和内切两种情况.11. ______...因为，所以，故函数的值域为点睛：该题以三角函数为载体，考查二次函数在某个闭区间上的值域问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有同角三角函数关系中的平方关系，余弦函数在某个闭区间上的值域，二次函数在某个闭区间上的值域问题，注意对知识点的灵活掌握.12. 与直线M,N,则MN的最小值为______.相切于点，利用函数Q到直线的距离d，即为所求.，解得，求得点Q到直线点睛：该题考查的是应用导数研究曲线上的点与直线上的点之间的距离的最小值，结合图形的特征，可以得到对应的思路是求曲线与直线平行的切线，结合导数的几何意义，从而求得结果，最后应用点到直线的距离求得结果.13. 已知圆心在x轴负半轴上的圆C与y轴和直线C相交于M,N满足则实数m=______.【解析】分析：首先根据圆的特点，求得圆的方程，之后将直线的方程与圆的方程联立，利用韦达定理求得两根和与两根积，之后借助于向量垂直的条件，求得实数m的值.详解：设圆C的圆心是，根据题意可知圆的半径是所以圆C，联立，化简得，，所以，即点睛：该题考查的是有关直线与圆的问题，在解题的过程中，需要注意根据条件，确定圆的方程的时候用到的是圆心到直线的距离等于半径，求得圆心的坐标以及半径长，从而求得结果，之后借助于向量垂直的条件为数量积等于零，从而得答其满足的等量关系式，求得结果.14. 定义在Ra的取值范围是______.【答案】性质确定出a的范围.，即对R上单调递减，，所以，即，，如果与其反函数图像相交，则交点一定在直线R上单调递增，所以，故答案是点睛：该题考查的是有关参数的范围求解的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有构造新函数，应用题的条件确定函数的单调性，利用最值处理存在性问题，结合单调性求得最值，从而求导结果.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. 已知锐角（1（2）（2.【解析】分析：（1）首先利用正弦倍角公式将式子转化，之后应用平方关系将整式转化为分式，上下同除，将式子转化为关于的式子，求解即可；（2式求得结果.详解：（1（2点睛：该题考查的是有关三角恒等变换求值的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式、倍角公式、差角公式，在解题的过程中，正确使用公式是解题的关键.16. 若命题p:关于x q:R上是增函数.（1）若命题是真命题，求实数a的取值范围。
江苏省扬州市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．2．某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有15件，则样本容量n=．3．在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率是．4．根据如图所示的伪代码，如果输入x的值为0，则输出结果y为．5．若f（x）=5sinx，则=．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7．如图，该程序运行后输出的y值为．8．一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为cm3．9．若双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，PF1=3，则PF2=．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若l∥α，l⊥β，则α⊥β．其中真的序号有．（写出所有正确的序号）11．已知抛物线y2=4x的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为．12．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f（x）＜f′（x），则不等式f（x）≥f（2016）e x﹣2016的解集是．13．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为x=﹣4，则该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为．14．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=ae x+（b2﹣3）x在x=0处取得极值，则ab的最大值等于．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[50，100]之间）（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．16．如图，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AB⊥AD．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．（1）求证：CD∥平面MNQ；（2）求证：平面MNQ⊥平面ACD．17．已知p：“存在x∈R，x2﹣2x+m≤0”，q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，r：t＜m＜t+1（1）若“p且q”是真，求m的取值范围；（2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围．18．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）当a=﹣2时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为22，求它在该区间上的最小值．19．椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；（3）设点P（t，0）是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的方程f（x）﹣g（x）+a=0在区间（，e）上有两个不等的根，求实数a的取值范围；（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞kg（x），求实数k的取值范围．2015-2016学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．【考点】的否定．【分析】欲写出的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称的否定是全称，“存在”对应“任意”．2．某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有15件，则样本容量n=75．【考点】分层抽样方法．【分析】设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量【解答】解：设出样本容量为n，∵由题意知产品的数量之比依次为2：3：5，∴=，∴n=75，故答案为：75【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．3．在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率是．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，可得答案．【解答】解：数集（2，4]的长度为2，数集[0，4]的长度为4，∴在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值．4．根据如图所示的伪代码，如果输入x的值为0，则输出结果y为5．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=0，满足条件x≥0，即可求得y的值．【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=0，满足条件x≥0，y=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了伪代码和算法的应用，模拟执行程序，得程序的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．5．若f（x）=5sinx，则=0．【考点】导数的运算．【分析】利用导数计算公式得出解：f′（x）=5cosx，代入计算即可．【解答】解：∵f（x）=5sinx，∴f′（x）=5cosx，∴则′=0．故答案为；0【点评】本题考查了导数的概念，运算，属于计算题，难度不大，准确计算即可．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．7．如图，该程序运行后输出的y值为32．【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟该程序的运行过程，得出程序运行后输出的y值．【解答】解：模拟该程序的运行过程，如下；n=1，n≤3，n=1+2=3，y=23=8；n≤3，n=3+2=5，y=25=32；n＞3，终止循环，输出y=32．故答案为：32．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．8．一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为12πcm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的高，代入圆锥的体积公式即可求出．【解答】解：圆锥的高h==4，∴圆锥的体积V=×π×32×4=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，体积计算，属于基础题．9．若双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，PF1=3，则PF2=7．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a=2，运用双曲线的定义，可得||PF1|﹣|PF2||=2a，解方程即可得到所求距离．【解答】解：双曲线的a=2，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，即有|3﹣|PF2||=4，解得|PF2|=7（﹣1舍去）．故答案为：7．【点评】本题考查双曲线的定义和方程，注意定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若l∥α，l⊥β，则α⊥β．其中真的序号有①④．（写出所有正确的序号）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β；在②中，α与β相交或平行；在③中，l∥α或l⊂α；在④中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在①中，若α∥β，l⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β，故①正确；在②中，若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，故③错误；在④中，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．11．已知抛物线y2=4x的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，由题意可得a的方程，解方程可得a，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣，双曲线=1的左准线为x=﹣，由题意可得=﹣=﹣，解得a=±2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=4，即有渐近线的方程为y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用抛物线的准线方程，考查运算能力，属于基础题．12．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f（x）＜f′（x），则不等式f（x）≥f（2016）e x﹣2016的解集是[2016，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=，求出g′（x），得到g（x）在R递增，从而求出不等式的解集．【解答】解：由f（x）≥f（2016）e x﹣2016，得：≥，令g（x）=，g′（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，∴g（x）在R递增，∴x≥2016，故答案为：[2016，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．13．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为x=﹣4，则该椭圆被直线y=x+1截得的弦长．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意，利用椭圆性质求出椭圆的方程为=1，由此能求出该椭圆被直线y=x+1截得的弦长．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4，=4，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的方程为=1，联立，得7x2+8x﹣8=0，设直线y=x+1与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为：|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质和椭圆弦长公式的合理运用．14．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=ae x+（b2﹣3）x在x=0处取得极值，则ab的最大值等于2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数f′（x），据题意便有f′（0）=a+b2﹣3=0，从而得出a=3﹣b2，从而ab=﹣b3+3b，并且根据a＞0，b＞0，可求出，并设g（b）=﹣b3+3b，求导数，根据导数符号便可判断出g（b）在b=1时取得最大值，这样即可求出ab的最大值．【解答】解：f′（x）=ae x+b2﹣3；∵f（x）在x=0处取得极值；∴f′（0）=a+b2﹣3=0；∴a=3﹣b2；∴ab=（3﹣b2）b=﹣b3+3b；∵a＞0，b＞0；∴3﹣b2＞0；∴；设g（b）=﹣b3+3b，g′（b）=﹣3b2+3=3（1﹣b2）；∴b∈（0，1）时，g′（b）＞0，b时，g′（b）＜0；∴b=1时，g（b）取最大值2；即ab的最大值为2．故答案为：2．【点评】考查函数极值的概念，以及根据导数符号判断函数极值和最值的方法及过程，清楚函数在极值点处的导数为0，注意正确求导．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[50，100]之间）（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率和为1，列出方程，求出a的值；（2）利用组中值，即可估算该班级的平均分；（3）根据成绩为优秀等级有16人，即可求出从该班级40名学生中任选一人，此人成绩为优秀等级的概率．【解答】解：（1）由题（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，∴20a×10=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴a=0.005，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）该班级的平均分为=76.5；（3）成绩为优秀等级有16人，∴从该班级40名学生中任选一人，此人成绩为优秀等级的概率为=0.4【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了概率的计算，是基础题目．16．如图，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AB⊥AD．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．（1）求证：CD∥平面MNQ；（2）求证：平面MNQ⊥平面ACD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用M，Q分别为棱AD，AC的中点，证明MQ∥CD，即可证明CD∥平面MNQ；（2）证明MN⊥平面ACD，即可证明平面MNQ⊥平面ACD．【解答】证明：（1）因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD，…（3分）又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ．…（7分）（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB，又AB⊥CD，AB⊥AD，故MN⊥AD，MN⊥CD．…（9分）因为AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ACD，所以MN⊥平面ACD又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面ACD．…（14分）【点评】本题考查线面平行，平面与平面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．已知p：“存在x∈R，x2﹣2x+m≤0”，q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，r：t＜m＜t+1（1）若“p且q”是真，求m的取值范围；（2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合的真假．【分析】（1）若p为真：△≥0；若q为真：则，若“p且q”是真，求其交集即可得出；（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（﹣1，2），解出即可得出．【解答】解：（1）若p为真：△=4﹣4m≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）解得m≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）若q为真：则﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）解得﹣1＜m＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）若“p且q”是真，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解得﹣1＜m≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（﹣1，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）即（等号不同时成立）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）解得﹣1≤t≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）当a=﹣2时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为22，求它在该区间上的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）求得导数，求得极值点，求出单调区间，可得f（x）的最值，解方程可得a=0，进而得到最小值．【解答】解：（1）f（x）的导数为f′（x）=﹣3x2+6x+9，可得切线的斜率为f′（2）=9，切点为（2，20），所以f（x）在x=2处的切线方程为y﹣20=9（x﹣2），即9x﹣y+2=0．（2）令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，得x=3（舍）或x=﹣1，当x∈（﹣2，﹣1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在x∈（﹣2，﹣1）时单调递减，当x∈（﹣1，2）时f'（x）＞0，所以f（x）在x∈（﹣1，2）时单调递增，又f（﹣2）=2+a，f（2）=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=22，解得a=0．故f（x）=﹣x3+3x2+9x，因此f（﹣1）=﹣5，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣5．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．19．椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；（3）设点P（t，0）是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，利用椭圆简单性质列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由此利用点差法能证明k1+k2=0．（3）当直线l与y轴平行时，Q点的坐标为（x0，0）；当直线l与y轴垂直时，Q点坐标只可能为，再证明对任意直线l，均有即可．【解答】解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，∴，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为．（4分）证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由题意P（1，0），Q（2，0），∵．∴，若y1=y2，则k1=k2=0，结论成立．（此处不交代扣1分）若y1≠y2，则x1y2+x2y1=2（y1+y2），∴．（10分）备注：本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用韦达定理解决也相应给分．解：（3）当直线l与y轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点，如果存在定点Q满足条件，则有，即QC=QD，∴Q在x轴上，可设Q点的坐标为（x0，0）．当直线l与y轴垂直时，设直线与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为，由，有，解得．∴若存在不同于点P不同的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为．（12分）下面证明：对任意直线l，均有．记直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由题意，∵．∴若y1=y2，则k1=k2=0．∴．点B于x轴对称的点B'的坐标为（﹣x2，y2）．∴k Q A=k QB′，∴Q，A，B'三点共线．∴．∴对任意直线l，均有．（16分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查k1+k2=0的证明，考查是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、椭圆与直线位置关系的合理运用．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的方程f（x）﹣g（x）+a=0在区间（，e）上有两个不等的根，求实数a的取值范围；（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞kg（x），求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，由导数小于0，可得减区间，注意定义域；（2）由题意可得﹣a=lnx﹣﹣（x﹣1）在（，e）上有两个实根，令h（x）=lnx﹣﹣（x﹣1），求出导数，求得单调区间、极值和最值，可得a的范围；（3）由题意可得当x∈（1，x0）时，f（x）的图象恒在直线y=k（x﹣1）的上方，求出f（x）的单调区间，画出它们的图象，由直线和曲线相切，求得k，再由直线旋转可得k的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣的导数为f′（x）=﹣（x﹣1）=，（x＞0），由f′（x）＜0，可得x＞，即有f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）由题意可得﹣a=lnx﹣﹣（x﹣1）在（，e）上有两个实根，令h（x）=lnx﹣﹣（x﹣1），h′（x）=﹣（x﹣1）﹣1=，即有h（x）在（，1）递增，（1，e）递减，且h（1）=0，h（）=﹣（1﹣）2﹣＞h（e）=2﹣e﹣（e﹣1）2，由题意可得﹣（1﹣）2﹣＜﹣a＜0，解得0＜a＜（1﹣）2+；（3）由题意可得当x∈（1，x0）时，f（x）的图象恒在直线y=k（x﹣1）的上方，由f′（x）=﹣（x﹣1）=，（x＞0），可得f（x）的增区间为（1，）减区间为（，+∞）；直线y=k（x﹣1）为过定点（1，0）的直线．画出它们的图象，当直线与曲线y=f（x）相切时，切点为（1，0），可得k=f′（1）=1﹣（1﹣1）=1，通过直线绕着定点（1，0）旋转，可得k的取值范围是k≤1．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
2017年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷(含答案解析).doc
2016-2017学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）命题“∃x＞0，”的否定为．2．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．3．（5分）如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为．4．（5分）抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为．5．（5分）将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a的值为．6．（5分）函数的图象在x=1处的切线方程为．7．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为，则m=．8．（5分）“a=3”是“直线2x+ay+1=0和直线（a﹣1）x+3y﹣2=0平行”的条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）9．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则m的取值范围是．10．（5分）圆心在x轴上且与直线l：y=2x+1切于点P（0，1）的圆C的标准方程为．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，且f（﹣3）=1，f'（x）＞2，则不等式f （x）＜2x+7的解集为．12．（5分）若直线与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是．13．（5分）已知函数（a＞0）．若存在x0，使得f（x0）≥0成立，则a的最小值为．14．（5分）如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF=AB，则椭圆的离心率为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：∀x∈R，x2+1≥m；命题q：方程表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．16．（14分）某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会．此学校各年级人数情况如表：（1）若按年级用分层抽样的方法抽取n 个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n 个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为，求x 、y的值．（2）若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率．17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的左焦点为F （﹣1，0），左顶点为A ，上、下顶点分别为B ，C ．（1）若直线BF 经过AC 中点M ，求椭圆E 的标准方程；（2）若直线BF 的斜率为1，BF 与椭圆的另一交点为D ，求点D 到椭圆E 右准线的距离．18．（16分）某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O 在道路上，AB 为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C ，道路上B 点的右边取一点D ，使OC 垂直于CD ，且OD 的长不超过20米．在扇形区域AOC 内种植花卉，三角形区域OCD 内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．（1）设∠COD=x （单位：弧度），将总费用y 表示为x 的函数式，并指出x 的取值范围；（2）当x 为何值时，总费用最低？并求出最低费用．19．（16分）若圆C ：x 2+y 2+Dx +Ey +F=0的半径为r ，圆心C 到直线l ：Dx +Ey +F=0的距离为d ，其中D 2+E 2=F 2，且F ＞0．（1）求F 的取值范围；（2）求d2﹣r2的值；（3）是否存在定圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请写出定圆M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的值域；（3）若a＞0，过原点分别作曲线y=f（x）、y=g（x）的切线l1、l2，且两切线的斜率互为倒数，求证：．2016-2017学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）命题“∃x＞0，”的否定为∀x＞0，．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x＞0，，故答案为：∀x＞0，2．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为15．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5的值；∵S=1+2+3+4+5=15，故输出的S值为15．故答案为：15．3．（5分）如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为．【解答】解：由四边形ABCD是一个5×4的方格纸，知基本事件总数n=5×4=20个小方格，小豆子恰好落在阴影部分内包含怕小方格的个数m=4，∴小豆子恰好落在阴影部分内的概率p=．故答案为：．4．（5分）抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4．【解答】解：物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为，就是这点到抛物线的准线的距离．抛物线的准线方程为：x=﹣1，所以抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为=3﹣（﹣1）=4．故答案为：45．（5分）将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a的值为0.028．【解答】解：根据频率和为1，得（0.006+0.01+a+0.034+0.022）×10=1，解得a=0.028．故答案为：0.028．6．（5分）函数的图象在x=1处的切线方程为y=x+1．【解答】解：f′（x）=2x﹣，f（1）=2，f′（1）=1，故切线方程是：y﹣2=x﹣1，即：y=x+1，故答案为：y=x+1．7．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为，则m=．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±，由一条渐近线方程为，可得m=，故答案为：．8．（5分）“a=3”是“直线2x+ay+1=0和直线（a﹣1）x+3y﹣2=0平行”的充分不必要条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）【解答】解：a=3时，2x+3y+1=0和2x+3y﹣2=0平行，是充分条件，若直线2x+ay+1=0和直线（a﹣1）x+3y﹣2=0平行，则=≠﹣，解得：a=3或a=﹣2，不是必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则m的取值范围是（﹣，0）．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，即为f（x）=m有3个不同实数根．当x≥0时，f（x）=﹣2x≤0；当x＜0时，f（x）=xe x，导数f′（x）=（1+x）e x，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得f（x）在x＜0时由最小值，且为﹣．画出f（x）的图象，可得当﹣＜m＜0，函数f（x）和直线y=m有3个交点，函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点．故答案为：（﹣，0）．10．（5分）圆心在x轴上且与直线l：y=2x+1切于点P（0，1）的圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=5．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∵圆心在x轴上，∴b=0，（1）∵与直线l：y=2x+1切于点P（0，1），∴=﹣，（2），由（1）、（2），得a=2，b=0，又∵P点在圆上，代入圆的方程得r2=5，∴所求圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=5．故答案为（x﹣2）2+y2=5．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，且f（﹣3）=1，f'（x）＞2，则不等式f （x）＜2x+7的解集为（﹣∞，﹣3）．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+7）=f（x）﹣2x﹣7，则F′（x）=f′（x）﹣2，∵f′（x）＞2，∴F′（x）=f′（x）﹣2＞0，∴F（x）=f（x）﹣2x﹣7在R上递增，∵f（﹣3）=1，∴F（﹣3）=f（﹣3）﹣2×（﹣3）﹣7=0，∵f（x）＜2x+7，∴F（x）=f（x）﹣2x﹣7＜0，∴x＜﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3）．12．（5分）若直线与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是[0，）∪（，π）．【解答】解：∵直线与圆x2+y2=1没有公共点，∴＞1，∴k∈（﹣1，1），∴α∈[0，）∪（，π）．故答案为：[0，）∪（，π）．13．（5分）已知函数（a＞0）．若存在x0，使得f（x0）≥0成立，则a的最小值为16．【解答】解：若存在x0，使得f（x0）≥0成立，即存在x0∈（0，]，使得≥0时成立，即存在x0∈（0，]，使得﹣3x4+ax3﹣a2≥0成立，则函数g（x）=﹣3x4+ax3﹣a2（a＞0）的x∈（0，]最大值大于等于0，∵g′（x）=﹣12x3+3ax2当x∈（0，）时，g′（x）＞0当x∈（，]时，g′（x）＜0当x=时，函数f（x）取最大值a﹣4，故a﹣4≥0，解得：a≥16，故答案为：1614．（5分）如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF=AB，则椭圆的离心率为．【解答】解：作另一焦点F′，连接AF′和BF′和CF′，则四边形FAF′C为平行四边形，∴AF′=CF=AB，且AF′⊥AB，则三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′=AB=x，则，即，∴，在三角形AFF′中由勾股定理得（AF′）2+（AF）2=（2c）2，∴．则e=．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：∀x∈R，x2+1≥m；命题q：方程表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）对于任意x∈R，x2+1≥1，若命题p为真命题，则（x2+1）min≥m，所以m≤1；…（5分）（2）若命题q为真命题，则（m﹣2）（m+2）＜0，所以﹣2＜m＜2，…（8分）因为命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个假命题，所以p，q一个为真命题，一个为假命题．…（10分）当命题p为真命题，命题q 为假命题时，，则m≤﹣2，当命题p为假命题，命题q 为真命题时，，则1＜m＜2，综上，m≤﹣2或1＜m＜2．…（14分）16．（14分）某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会．此学校各年级人数情况如表：（1）若按年级用分层抽样的方法抽取n个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为，求x、y 的值．（2）若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率．【解答】解：（1）依题意得：，解得n=66．…（2分）所以高一年级被抽取的人数为66﹣22﹣20=24．所以，解得x=680，y=490．…（6分）（2）若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，设抽取男生的人数为m，则，解得m=2，所以应抽取男生2人，女生3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3．…（8分）记“从中任取2人，至少有1人是男生”为事件A．从中任取2人的所有基本事件共10个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．其中至少有1人为男生的基本事件有7个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）．所以从中从中任取2人，至少有1人是男生的概率为．…（13分）∴至少有1人是男生的概率．…（14分）17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左顶点为A，上、下顶点分别为B，C．（1）若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；（2）若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离．【解答】解：（1）由题意，A（﹣a，0），B（0，b），C（0，﹣b），又F（﹣1，0），∴c=1，直线BF：y=bx+b．∵M为AC的中点，∴，代入直线BF：y=bx+b，得a=3，由a2=b2+c2=b2+1，得b2=8，∴椭圆E的标准方程是；（2）∵直线BF的斜率为1，则，∴椭圆，又直线BF ：y=x +1，联立，解得x=0（舍），或，∵右准线的方程为x=2， ∴点D 到右准线的距离为．18．（16分）某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O 在道路上，AB 为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C ，道路上B 点的右边取一点D ，使OC 垂直于CD ，且OD 的长不超过20米．在扇形区域AOC 内种植花卉，三角形区域OCD 内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．（1）设∠COD=x （单位：弧度），将总费用y 表示为x 的函数式，并指出x 的取值范围；（2）当x 为何值时，总费用最低？并求出最低费用．【解答】解：（1）因为扇形AOC 的半径为10 m ，∠AOC=π﹣x （rad ）， 所以扇形AOC 的面积为，；…（3分）在Rt △COD 中，OC=10，CD=10tanx ， 所以△COD 的面积为S △COD =•OC •CD=50tanx ；…（5分）所以y=100S △COD +200S 扇形AOC =5000（tanx +2π﹣2x ），；…（8分）（注：没有x 的范围，扣1分） （2）设，则，，令f'（x）=0，解得，…（11分）从而当时，f'（x）＜0；当，f′（x）＞0；因此f（x）在区间上单调递减；在区间上单调递增；当时，f（x）取得最小值，且；…（14分）所以y的最小值为（5000+7500π）元；…（15分）答：当时，改造景观的费用最低，最低费用为（5000+7500π）元．…（16分）19．（16分）若圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的半径为r，圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的取值范围；（2）求d2﹣r2的值；（3）是否存在定圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请写出定圆M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则D2+E2＞4F，又D2+E2=F2，且F＞0，所以中F2＞4F，且F＞0，解得F＞4；…（3分）（2）圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为C（﹣，﹣），半径r==，圆心C到直线l的距离为d==||，所以d2﹣r2=﹣=1；…（8分）（3）存在定圆M：x2+y2=1满足题意，下证之：…（10分）1°因为M（0，0）到直线l的距离为=1=R，所以圆M与直线l相切；2°因为CM==，且R+1=+1，而＞+1，即＞，即4＞0，故CM＞R+1，所以圆M与圆C相离；由1°、2°得，存在定圆M：x2+y2=1满足题意．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的值域；（3）若a＞0，过原点分别作曲线y=f（x）、y=g（x）的切线l1、l2，且两切线的斜率互为倒数，求证：．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，定义域为（0，+∞），．令f'（x）＞0，得增区间为（0，1）；令f'（x）＜0，得减区间为（1，+∞）．…（2分）（2）．当时，f'（x）≥0，f（x）在[1，e]上为增函数，故f（1）≤f（x）≤f（e），从而f（x）的值域为[0，1+a﹣ae]；当a≥1时，f'（x）≤0，f（x）在[1，e]上为减函数，故f（e）≤f（x）≤f（1），从而f（x）的值域为[1+a﹣ae，0]；当时，时f'（x）＞0，f（x）递增；时f'（x）＜0，f（x）递减故f（x）的最大值为；最小值为f（1）与f（e）中更小的一个，当时f（e）≥f（1），最小值为f（1）=0；当时，f（e）＜f（1），最小值为f（e）=1+a﹣ae．综上所述，当时，值域为[0，1+a﹣ae]；当时，值域为[0，﹣lna﹣1+a]；当时，值域为[1+a﹣ae，﹣lna﹣1+a]；当a≥1时，值域为[1+a﹣ae，0]．…（8分）（3）设切线l2对应切点为，切线方程为，将（0，0）代入，解得x0=1，，从而．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，lnx1﹣a（x1﹣1）），，得①切线l1方程为，将（0，0）代入，得②将①代入②，得．令，则，m（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），由，，则．而在上单调递减，故；若x1∈（1，+∞），因m（x）在区间（1，+∞）上单调增，且m（e）=0，所以，与题设a＞0矛盾，故不可能．综上所述，．…（16分）。
2017-2018学年江苏省扬州市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知集合A＝{2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2}，则实数a＝．2．（5分）已知i是虚数单位，则|1﹣2i|＝．3．（5分）若幂函数f（x）＝x a的图象经过点（3，），则实数a＝．4．（5分）若＝，则＝．5．（5分）若函数y＝f（x）的图象经过点（1，2），则y＝f（﹣x）+1的图象必经过的点坐标是．6．（5分）已知i是虚数单位，则复数z＝的共轭复数是．7．（5分）用数学归纳法证明：1＝2+3+…n2＝，则等式左端在n＝k+1时比在n＝k 时增加的项数为．8．（5分）点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（1，1，2）到平面x+y+2z+3＝0的距离为．9．（5分）若复数z满足|z﹣1﹣2i|＝2，则|z|的最小值为．10．（5分）x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}＝x﹣|x|表示x的小数部分，已知数列{a n}满足：a1＝，a n+1＝[a n]+，则a2018＝．11．（5分）分别在曲线y＝2lnx与直线y＝2x+3各取一点M，N，则MN的最小值为．12．（5分）某市旅游节分配志愿者工作，组委会将甲乙丙丁戊五名志愿者分配到翻译，导游，司机三个岗位，若每人不准兼职则不同的分配方案有种．13．（5分）设函数f（x）＝c x﹣a x﹣b x，其中c＞a＞0，c＞b＞0，若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．①∃x∈（﹣∞，1），使得f（x）≥0成立；②∀x∈R，a x，b x，c x总能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为直角三角形，则∀n∈N*，f（2n）≥0恒成立；④若△ABC为钝角三角形，则方程f（x）＝0在区间（1，2）必有解；14．（5分）定义在R的函数f（x）满足：f（x）+f（﹣x）＝x2，且当x≥0时，f′（x）＜x．设函数g（x）＝2e x+3x﹣a，若存在x0∈{x|f（x）﹣f（1﹣x）≥x﹣}，使得g[g（x0）]＝x0，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（15分）全集U＝R，函数f（x）＝+lg（3﹣x）的定义域为A，则函数y＝lg2x﹣lgx+a在x∈[1，10]的值域为B．（1）求∁U A；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．16．（15分）若（x﹣）n展开式中的第四项的二项式系数是第二项的二项式系数的5倍，求：（1）n的值；（2）展开式中含x3的项．17．（15分）若命题p：关于x的不等式3x＜a的解集为空集；命题q：函数f（x）＝x3+ax2+x 在R上是增函数．．（1）若命题p∧q是真命题，求实数a的取值范围．（2）设命题m：函数y＝x2+bx+a的图象与x轴有公共点，若￢p是￢m的必要不充分条件，求实数b的取值范围．18．（15分）某中学旅游局欲将一块长20百米，宽10百米的矩形空地ABCD建成三星级乡村旅游园区，园区内有一景观湖EFG（如图中阴影部分）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，O为园区正门，园区北门P在y正半轴上，且PO＝10百米．景观湖的边界线符合函数y＝x+（x＞0）的模型．（1）若建设一条与AB平行的水平通道，将园区分成面积相等的两部分，其中湖上的部分建成玻璃栈道，求玻璃栈道的长度．（2）若在景观湖边界线上一点M修建游船码头，使得码头M到正门O的距离最短，求此时M点的横坐标．（3）设图中点B为仓库所在地，现欲在线段OB上确定一点Q建货物转运站，将货物从点B经Q点直线转运至点P（线路PQ不穿过景观湖），使货物转运距离QB+PQ最短，试确定点P的位置．19．（15分）如图在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+（y﹣2）2＝1，且圆C与y 轴交于M，N两点（点N在点M的上方），直线l：y＝kx（k＞0）与圆C交于A，B两点．（1）若AB＝，求实数k的值．（2）设直线AM，直线BN的斜率分别为k1，k2，若存在常数a使得k1＝ak2恒成立？若存在，求出a的值．若不存在请说明理由．（3）若直线AM与直线BN相较于点P，求证点P在一条定直线上．20．（15分）已知f（x）＝x（lnx﹣ax）．（1）若a＝0，求函数f（x）的单调区间和最小值．（2）若f（x）有两个极值求实数a的取值范围．（3）若x1，x2∈（，1），且x1+x2＜1，比较x1x2与（x1+x2）4的大小，并说明理由．二.数学附加题21．已知（1﹣2x）n＝a0+ax1+a2x2+…+a n x n（n∈N*），且a1＝﹣10（1）求n的值；（2）求a1+a2+…+a n的值．22．在一个口袋中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出3个球，其中白球的个数记为X．（1）求X的概率分布；（2）求X的数学期望．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，M 是PC上一点，且＝λ（λ＞0）．（1）当λ＝3时，求直线PB与直线DM所成角的余弦值；（2）若直线PB与平面MBD所成角的余弦值为，求实数λ的值．24．如图，平面上已有一个边长为1的正方形，现按如图规律作正方形：第一步向右作一个边长也为1的正方形；第二步向下以上面两个正方形的边长之和为边作正方形；第三步向右以左面两个正方形的边长之和为边长作正方形，…，记第n步所作正方形的边长为f （n），n∈N*（1）求f（1）f（3）﹣f2（2）和f（2）f（4）﹣f2（3）的值；（2）试猜想f（n）f（n+2）﹣f2（n+1）的结果，并用数学归纳法证明．2017-2018学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．【解答】解：∵集合A＝{2}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0，1，2}，∴a2＝0，解得实数a＝0．故答案为：0．2．【解答】解：|1﹣2i|＝．故答案为：．3．【解答】解：∵幂函数f（x）＝x a的图象经过点（3，），∴（3）a＝，解得：a＝，故答案为：．4．【解答】解：∵＝，∴n＝4+7＝11．则＝＝55．故答案为：55．5．【解答】解：把函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，再向上平移1个单位，可得函数y ＝f（﹣x）+1的图象．把函数y＝f（x）的图象上的点（1，2）关于y轴对称、再向上平移1个单位，可得点（﹣1，3），故函数y＝f（﹣x）+1的图象必定经过的点的坐标是（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．6．【解答】解：∵z＝＝，∴．故答案为：．7．【解答】解：n＝k时左端为：1+2+3+…+k2，n＝k+1时左端为：1+2+3+…+k2+（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2．故答案为：（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2．8．【解答】解：在空间中，点（1，1，2）到平面x+y+2z+3＝0的距离为：d＝＝．故答案为：．9．【解答】解：由|z﹣1﹣2i|＝2，得|z﹣（1+2i）|＝2．如图：z在以（1，2）为圆心，以2为半径的圆上．则|z|的最小值为|OP|﹣2＝．故答案为：．10．【解答】解：：a1＝，a n+1＝[a n]+，可得a1＝1+（﹣1），a2＝1+＝2+＝3+（﹣1），a3＝3+＝4+＝5+（﹣1），a4＝5+＝6+＝7+（﹣1），…，a n＝2n﹣1+（﹣1），则a2018＝2×2018﹣1+（﹣1）＝4034+，故答案为：4034+．11．【解答】解：设切点是（x0，y0），曲线y＝2lnx，可得，则＝＝2，∴x 0＝1，故切点（1，0），故M（1，0），故M到直线y＝2x+3的距离是：d＝＝，故答案为：．12．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将5人分成3组，若分成2、2、1的三组，有＝15种分组方法；若分成3、1、1的三组，有＝10种分组方法；则有15+10＝25种分组方法；②，将分好的三组全排列，对应三个岗位，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种不同的分配方案．故答案为：150．13．【解答】解：①因为a，b，c是三角形的三条边长，所以a+b＞c，又因为c＞a＞0，c＞b＞0，所以0＜＜1，0＜＜1，所以当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＝c x[1﹣（）x﹣（）x]＜c x（1﹣﹣）＝c x•＞0，故①不正确；②令a＝2，b＝3，c＝4，则a，b，c可以构成三角形的三边长，但a2＝4，b2＝9，c2＝16却不能构成三角形的三边长，故②不正确；③若△ABC为直角三角形，由题意得，c2＝a2+b2，对于n∈N*，f（2n）＝c2n﹣a2n﹣b2n＝（a2+b2）n﹣a2n﹣b2n≥0，故③正确；④因为c＞a＞0，c＞b＞0，且△ABC为钝角三角形，所以a2+b2﹣c2＜0，于是f（1）＝a+b﹣c＞0，f（2）＝a2+b2﹣c2＜0，故函数f（x）在区间（1，2）内存在零点，故④正确．故答案为：③④．14．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝x2∴令F（x）＝f（x）﹣x2，∴f（x）﹣x2＝﹣f（﹣x）+x2∴F（x）＝﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）＝f′（x）﹣x，且当x＜0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣x2≥f（1﹣x）+x﹣x2，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，由g[g（x0）]＝x0可得g（x0）＝g﹣1（x0），而g（x）如果与其反函数相交，则交点一定在直线y＝x上，故有g（x0）＝x0，即h（x）＝2e x+2x﹣a＝0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）＝2e x+3，∴h（x）在R上单调递增．∴h（x）max＝h（）＝2+1﹣a≥0即可，∴a≤2+1故答案为：（﹣∞，2+1]．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．【解答】解：（1）∵集U＝R，函数f（x）＝+lg（3﹣x）的定义域为A，∴A＝{x|}＝{x|1＜x＜3}，∴∁U A＝{x|x≤1或x≥3}．（2）∵函数y＝lg2x﹣lgx+a在x∈[1，10]的值域为B．∴B＝{x|a﹣≤x≤a}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴，解得≤a≤3．∴实数a的取值范围是[，3]．16．【解答】解：（1）由题意，，即n＝7；（2）（x﹣）n＝．其二项展开式的通项＝．令，得r＝3．∴展开式中含x3的项为＝﹣280x3．17．【解答】解：命题p为真，即关于x的不等式3x＜a的解集为空集，可得a≤0；命题q为真，即函数f（x）＝x3+ax2+x在R上是增函数，则f′（x）＝3x2+2ax+1≥0在R 上恒成立，∴△＝4a2﹣12≤0，即﹣．（1）若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围为[，0]；（2）命题m：函数y＝x2+bx+a的图象与x轴有公共点，则△＝b2﹣4a≥0，即．由￢p是￢m的充分不必要条件，得m是p的充分非必要条件，∴（﹣∞，]⊊（﹣∞，0]，∴＜0，∴b∈∅．18．【解答】解：（1）景观湖的边界线符合函数y＝x+（x＞0），令，即x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或4，则玻璃栈道的长度4﹣1＝3，∴玻璃栈道的长度为3百米．…………………………（3分）（2）设，其中x1＞0，则，当且仅当时，即时取等号．∴OM取最小值时M点的横坐标为．…………………………（8分）（3）设Q（m，0）（0≤m≤10），∵P在y轴正半轴上，且PO＝10∴P（0，10）又∵B（10，0）∴在[0，10]上单调减∴点Q越靠近点B，PQ+QB越短．…………………………（11分）∵路线PQ不穿过景观湖∴当直线PQ与边界曲线相切时，PQ+QB最短．设切点为，由得∴切线的方程为∵切线过点P（0，10），∴，解得：∴切线方程为：．令y＝0，得，即点Q在线段OB上且与点O的距离为百米．………………（15分）答：当点Q在线段OB上且与点O的距离为百米时，PQ+QB最短．………（16分）19．【解答】解：（1）∵圆C：x2+（y﹣2）2＝1，∴圆心（0，2），半径r＝1，∵直线l：kx﹣y＝0（k＞0）与圆C相交于A，B两点，且，∴圆心到l的距离为，即，解得：k＝±2，∵k＞0，∴k＝2．（2）∵圆C与y轴交于M，N两点（点N在点M上方）∴M（0，1），N（0，3），∴AM：y＝k1x+1，BN：y＝k2x+3．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AM与圆C方程联立：，化简得：，∴，同理可求：．∵O，A，B三点共线，且，∴，化简得：（3k1+k2）（k1k2+1）＝0，∵k1k2+1≠0，∴3k1+k2＝0，即，∴存在实数，使得k1＝ak2恒成立．（3）设P（x0，y0），∴且k1≠k2 ，∴，由（2）知：k2＝﹣3k1，代入得：为定值．∴点P在定直线上．20．【解答】解：（1）∵a＝0，∴f（x）＝xlnx，x∈（0，+∞）∴f'（x）＝lnx+1，令f'（x）＝0，解得：，列表得：，∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为，；…………（3分）（2）∵f（x）有两个极值点∴在（0，+∞）上有两个不同的零点，且零点左右的f'（x）的符号的相反．………………（5分）设h（x）＝lnx﹣2ax+1，则．当a≤0时，h'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以h（x）在（0，+∞）上单调增，h（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，不合题意；当a＞0时，由，解得：∴时，h'（x）＞0，时，h'（x）＜0∴h（x）在上单调增，则上单调减，若，则，所以，h（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，不合题意；若，，又，（取其他小于0的函数值也可）设H（x）＝lnx﹣x，x∈（1，+∞），则在（1，+∞）上恒成立∴H（x）在（1，+∞）上单调减，∴H（x）＜H（1）＝﹣1，则x＞1时，lnx﹣x＜﹣1∵∴，∴∴h（x）在、上各有一个零点，且零点两侧的函数符号相反∴（若用分离变量做，不取值说明零点存在，扣2分）………（10分）（3）结论：．下面证明：由（1）知：f（x）在上单调减，在上单调增∵，∴f（x1+x2）＞f（x1），即（x1+x2）ln（x1+x2）＞x1lnx1∴，同理∴∵，当且仅当x1＝x2时取等号，且ln（x1+x2）＜0∴，则lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2）∴，∴．………………（16分）二.数学附加题21．【解答】解：（1）∵（1﹣2x）n＝a0+ax1+a2x2+…+a n x n（n∈N*），且a1＝﹣10，T r+1＝＝（﹣2）r x r，∴当r＝1时，＝﹣2n＝﹣10，解得n＝5，∴n的值是5．（2）由（1）（1﹣2x）5＝a0+ax1+a2x2+…+a5x5（n∈N*），∴当x＝0时，a0＝1，当x＝1时，a0+a1+a2+…+a n＝﹣1，∴a1+a2+…+a n＝﹣1﹣1＝﹣2．22．【解答】解：（1）在一个口袋中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出3个球，其中白球的个数记为X．则X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝0.1，P（X＝1）＝＝0.6，P（X＝2）＝＝0.3，∴X的概率分布为：（2）X的数学期望EX＝0×0.1+1×0.6+2×0.3＝1.2．23．【解答】解：（1）取A为原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立坐标系A﹣xyz，设P A＝AB＝1，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）设M（x，y，z），∵＝3，∴（x，y，z﹣1）＝3（1﹣x，1﹣y，﹣z），∴，解的x＝y＝，z＝，∴M（，，），∵＝（1，0，﹣1），＝（，﹣，），∴•＝+0﹣＝，||＝，||＝，设直线PB与直线DM所成角为θ，∴cosθ＝＝＝；（2）设M（x，y，z），直线PB与平面MBD所成角的为θ，∵＝λ，∴（x，y，z﹣1）＝λ（1﹣x，1﹣y，﹣z），∴，解的x＝y＝，z＝，∴M（，，），∴＝（﹣，，），＝（﹣1，1，0），设＝（x，y，z）为平面平面MBD的法向量，则，∴，令x＝y＝1，则z＝1﹣λ，则＝（1，1，1﹣λ），∴•＝1+0+λ﹣1＝λ，||＝，∴cos＜•＞＝||＝＝＝，整理可得3λ2＝4（3﹣2λ+λ2），解得λ＝2或λ＝624．【解答】解：（1）由题意可得f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝3，f（4）＝5，f（5）＝8，…，f（n）+f（n+1）＝f（n+2），则f（1）f（3）﹣f2（2）＝1×3﹣22＝﹣1；和f（2）f（4）﹣f2（3）＝2×5﹣32＝1；（2）由f（1）f（3）﹣f2（2）＝﹣1；f（2）f（4）﹣f2（3）＝1；f（3）f（5）﹣f2（4）＝3×8﹣52＝﹣1；f（4）f（6）﹣f2（5）＝5×13﹣82＝1；…，f（n）f（n+2）﹣f2（n+1）＝（﹣1）n，运用数学归纳法证明：当n＝1时，f（1）f（3）﹣f2（2）＝1×3﹣22＝﹣1；n＝2时，f（2）f（4）﹣f2（3）＝2×5﹣32＝1；猜想成立；假设n＝k即有f（k）f（k+2）﹣f2（k+1）＝（﹣1）k，当k为奇数时，f（k）f（k+2）﹣f2（k+1）＝﹣1，当k为偶数时，f（k）f（k+2）﹣f2（k+1）＝1．当n＝k+1时，且k+1为偶数，则k为奇数，可得f（k+1）f（k+3）﹣f2（k+2）＝﹣f（k）f（k+2）+f2（k+1）＝1；且k+1为奇数，则k为偶数，可得f（k+1）f（k+3）﹣f2（k+2）＝﹣f（k）f（k+2）+f2（k+1）＝﹣1；综上可得n＝k+1时，f（k）f（k+2）﹣f2（k+1）＝（﹣1）k+1，则f（n）f（n+2）﹣f2（n+1）＝（﹣1）n．。
2016-2017学年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷及参考答案与解析
2016-2017学年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上)1.(5分)命题“∃x＞0，”的否定为.2.(5分)根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为.3.(5分)如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为.4.(5分)抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为.5.(5分)将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a的值为.6.(5分)函数的图象在x=1处的切线方程为.7.(5分)若双曲线的一条渐近线方程为，则m=.8.(5分)“a=3”是“直线2x+ay+1=0和直线(a﹣1)x+3y﹣2=0平行”的条件.(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)9.(5分)已知函数，若函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点，则m的取值范围是.10.(5分)圆心在x轴上且与直线l：y=2x+1切于点P(0，1)的圆C的标准方程为.11.(5分)函数f(x)的定义域为R，且f(﹣3)=1，f'(x)＞2，则不等式f(x)＜2x+7的解集为.12.(5分)若直线与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是.13.(5分)已知函数(a＞0).若存在x0，使得f(x0)≥0成立，则a 的最小值为.14.(5分)如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF=AB，则椭圆的离心率为.二、解答题(本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知命题p：∀x∈R，x2+1≥m；命题q：方程表示双曲线.(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围.16.(14分)某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会.此学校各年级人数情况如表：(1)若按年级用分层抽样的方法抽取n个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为，求x、y的值.(2)若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率.17.(14分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F(﹣1，0)，左顶点为A，上、下顶点分别为B，C.(1)若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；(2)若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离.18.(16分)某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O在道路上，AB为直径)，现要在荒地的基础上改造出一处景观.在半圆上取一点C，道路上B 点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米.在扇形区域AOC 内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮.已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元.(1)设∠COD=x(单位：弧度)，将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；(2)当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用.19.(16分)若圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的半径为r，圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0.(1)求F的取值范围；(2)求d2﹣r2的值；(3)是否存在定圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请写出定圆M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由.20.(16分)已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)，g(x)=e x，其中e为自然对数的底数.(1)当a=1时，求函数y=f(x)的单调区间；(2)求函数y=f(x)在区间[1，e]上的值域；(3)若a＞0，过原点分别作曲线y=f(x)、y=g(x)的切线l1、l2，且两切线的斜率互为倒数，求证：.2016-2017学年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上)1.(5分)命题“∃x＞0，”的否定为∀x＞0，.【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x＞0，，故答案为：∀x＞0，2.(5分)根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为15.【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5的值；∵S=1+2+3+4+5=15，故输出的S值为15.故答案为：15.3.(5分)如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为.【解答】解：由四边形ABCD是一个5×4的方格纸，知基本事件总数n=5×4=20个小方格，小豆子恰好落在阴影部分内包含怕小方格的个数m=4，∴小豆子恰好落在阴影部分内的概率p=.故答案为：.4.(5分)抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4.【解答】解：物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为，就是这点到抛物线的准线的距离.抛物线的准线方程为：x=﹣1，所以抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为=3﹣(﹣1)=4.故答案为：45.(5分)将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a的值为0.028.【解答】解：根据频率和为1，得(0.006+0.01+a+0.034+0.022)×10=1，解得a=0.028.故答案为：0.028.6.(5分)函数的图象在x=1处的切线方程为y=x+1.【解答】解：f′(x)=2x﹣，f(1)=2，f′(1)=1，故切线方程是：y﹣2=x﹣1，即：y=x+1，故答案为：y=x+1.7.(5分)若双曲线的一条渐近线方程为，则m=.【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±，由一条渐近线方程为，可得m=，故答案为：.8.(5分)“a=3”是“直线2x+ay+1=0和直线(a﹣1)x+3y﹣2=0平行”的充分不必要条件.(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)【解答】解：a=3时，2x+3y+1=0和2x+3y﹣2=0平行，是充分条件，若直线2x+ay+1=0和直线(a﹣1)x+3y﹣2=0平行，则=≠﹣，解得：a=3或a=﹣2，不是必要条件，故答案为：充分不必要.9.(5分)已知函数，若函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点，则m的取值范围是(﹣，0).【解答】解：函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点，即为f(x)=m有3个不同实数根.当x≥0时，f(x)=﹣2x≤0；当x＜0时，f(x)=xe x，导数f′(x)=(1+x)e x，当﹣1＜x＜0时，f′(x)＞0，f(x)递增；当x＜﹣1时，f′(x)＜0，f(x)递减.可得f(x)在x＜0时由最小值，且为﹣.画出f(x)的图象，可得当﹣＜m＜0，函数f(x)和直线y=m有3个交点，函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点.故答案为：(﹣，0).10.(5分)圆心在x轴上且与直线l：y=2x+1切于点P(0，1)的圆C的标准方程为(x ﹣2)2+y2=5.【解答】解：设圆的标准方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2，∵圆心在x轴上，∴b=0，(1)∵与直线l：y=2x+1切于点P(0，1)，∴=﹣，(2)，由(1)、(2)，得a=2，b=0，又∵P点在圆上，代入圆的方程得r2=5，∴所求圆的标准方程为(x﹣2)2+y2=5.故答案为(x﹣2)2+y2=5.11.(5分)函数f(x)的定义域为R，且f(﹣3)=1，f'(x)＞2，则不等式f(x)＜2x+7的解集为(﹣∞，﹣3).【解答】解：设F(x)=f(x)﹣(2x+7)=f(x)﹣2x﹣7，则F′(x)=f′(x)﹣2，∵f′(x)＞2，∴F′(x)=f′(x)﹣2＞0，∴F(x)=f(x)﹣2x﹣7在R上递增，∵f(﹣3)=1，∴F(﹣3)=f(﹣3)﹣2×(﹣3)﹣7=0，∵f(x)＜2x+7，∴F(x)=f(x)﹣2x﹣7＜0，∴x＜﹣3，故答案为：(﹣∞，﹣3).12.(5分)若直线与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是[0，)∪(，π).【解答】解：∵直线与圆x2+y2=1没有公共点，∴＞1，∴k∈(﹣1，1)，∴α∈[0，)∪(，π).故答案为：[0，)∪(，π).13.(5分)已知函数(a＞0).若存在x0，使得f(x0)≥0成立，则a 的最小值为16.【解答】解：若存在x0，使得f(x0)≥0成立，即存在x0∈(0，]，使得≥0时成立，即存在x0∈(0，]，使得﹣3x4+ax3﹣a2≥0成立，则函数g(x)=﹣3x4+ax3﹣a2(a＞0)的x∈(0，]最大值大于等于0，∵g′(x)=﹣12x3+3ax2当x∈(0，)时，g′(x)＞0当x∈(，]时，g′(x)＜0当x=时，函数f(x)取最大值a﹣4，故a﹣4≥0，解得：a≥16，故答案为：1614.(5分)如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF=AB，则椭圆的离心率为.【解答】解：作另一焦点F′，连接AF′和BF′和CF′，则四边形FAF′C为平行四边形，∴AF′=CF=AB，且AF′⊥AB，则三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′=AB=x，则，即，∴，在三角形AFF′中由勾股定理得(AF′)2+(AF)2=(2c)2，∴.则e=.故答案为：.二、解答题(本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知命题p：∀x∈R，x2+1≥m；命题q ：方程表示双曲线.(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围.【解答】解：(1)对于任意x∈R，x2+1≥1，若命题p为真命题，则(x2+1)min≥m，所以m≤1；…(5分)(2)若命题q为真命题，则(m﹣2)(m+2)＜0，所以﹣2＜m＜2，…(8分)因为命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个假命题，所以p，q一个为真命题，一个为假命题.…(10分)当命题p为真命题，命题q 为假命题时，，则m≤﹣2，当命题p为假命题，命题q 为真命题时，，则1＜m＜2，综上，m≤﹣2或1＜m＜2.…(14分)16.(14分)某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会.此学校各年级人数情况如表：(1)若按年级用分层抽样的方法抽取n个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为，求x、y的值.(2)若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率.【解答】解：(1)依题意得：，解得n=66.…(2分)所以高一年级被抽取的人数为66﹣22﹣20=24.所以，解得x=680，y=490.…(6分)(2)若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，设抽取男生的人数为m，则，解得m=2，所以应抽取男生2人，女生3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3.…(8分)记“从中任取2人，至少有1人是男生”为事件A.从中任取2人的所有基本事件共10个：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).其中至少有1人为男生的基本事件有7个：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3).所以从中从中任取2人，至少有1人是男生的概率为.…(13分)∴至少有1人是男生的概率.…(14分)17.(14分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F(﹣1，0)，左顶点为A，上、下顶点分别为B，C.(1)若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；(2)若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离.【解答】解：(1)由题意，A(﹣a，0)，B(0，b)，C(0，﹣b)，又F(﹣1，0)，∴c=1，直线BF：y=bx+b.∵M为AC的中点，∴，代入直线BF：y=bx+b，得a=3，由a2=b2+c2=b2+1，得b2=8，∴椭圆E的标准方程是；(2)∵直线BF的斜率为1，则，∴椭圆，又直线BF ：y=x +1，联立，解得x=0(舍)，或，∵右准线的方程为x=2， ∴点D 到右准线的距离为.18.(16分)某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O 在道路上，AB 为直径)，现要在荒地的基础上改造出一处景观.在半圆上取一点C ，道路上B 点的右边取一点D ，使OC 垂直于CD ，且OD 的长不超过20米.在扇形区域AOC 内种植花卉，三角形区域OCD 内铺设草皮.已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元.(1)设∠COD=x(单位：弧度)，将总费用y 表示为x 的函数式，并指出x 的取值范围；(2)当x 为何值时，总费用最低？并求出最低费用.【解答】解：(1)因为扇形AOC 的半径为10 m ，∠AOC=π﹣x(rad)， 所以扇形AOC 的面积为，；…(3分)在Rt △COD 中，OC=10，CD=10tanx ， 所以△COD 的面积为S △COD =•OC•CD=50tanx ；…(5分)所以y=100S △COD +200S 扇形AOC =5000(tanx +2π﹣2x)，；…(8分)(注：没有x 的范围，扣1分) (2)设，则，，令f'(x)=0，解得，…(11分)从而当时，f'(x)＜0；当，f′(x)＞0；因此f(x)在区间上单调递减；在区间上单调递增；当时，f(x)取得最小值，且；…(14分)所以y的最小值为(5000+7500π)元；…(15分)答：当时，改造景观的费用最低，最低费用为(5000+7500π)元. …(16分)19.(16分)若圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的半径为r，圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0.(1)求F的取值范围；(2)求d2﹣r2的值；(3)是否存在定圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请写出定圆M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则D2+E2＞4F，又D2+E2=F2，且F＞0，所以中F2＞4F，且F＞0，解得F＞4；…(3分)(2)圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为C(﹣，﹣)，半径r==，圆心C到直线l的距离为d==||，所以d2﹣r2=﹣=1；…(8分)(3)存在定圆M：x2+y2=1满足题意，下证之：…(10分)1°因为M(0，0)到直线l的距离为=1=R，所以圆M与直线l相切；2°因为CM==，且R+1=+1，而＞+1，即＞，即4＞0，故CM＞R+1，所以圆M与圆C相离；由1°、2°得，存在定圆M：x2+y2=1满足题意. …(16分)20.(16分)已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)，g(x)=e x，其中e为自然对数的底数.(1)当a=1时，求函数y=f(x)的单调区间；(2)求函数y=f(x)在区间[1，e]上的值域；(3)若a＞0，过原点分别作曲线y=f(x)、y=g(x)的切线l1、l2，且两切线的斜率互为倒数，求证：.【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=lnx﹣x+1，定义域为(0，+∞)，.令f'(x)＞0，得增区间为(0，1)；令f'(x)＜0，得减区间为(1，+∞).…(2分) (2).当时，f'(x)≥0，f(x)在[1，e]上为增函数，故f(1)≤f(x)≤f(e)，从而f(x)的值域为[0，1+a﹣ae]；当a≥1时，f'(x)≤0，f(x)在[1，e]上为减函数，故f(e)≤f(x)≤f(1)，从而f(x)的值域为[1+a﹣ae，0]；当时，时f'(x)＞0，f(x)递增；时f'(x)＜0，f(x)递减故f(x)的最大值为；最小值为f(1)与f(e)中更小的一个，当时f(e)≥f(1)，最小值为f(1)=0；当时，f(e)＜f(1)，最小值为f(e)=1+a﹣ae.综上所述，当时，值域为[0，1+a﹣ae]；当时，值域为[0，﹣lna﹣1+a]；当时，值域为[1+a﹣ae，﹣lna﹣1+a]；当a≥1时，值域为[1+a﹣ae，0]. …(8分)(3)设切线l2对应切点为，切线方程为，将(0，0)代入，解得x0=1，，从而.设l1与曲线y=f(x)的切点为(x1，lnx1﹣a(x1﹣1))，，得①切线l1方程为，将(0，0)代入，得②将①代入②，得.令，则，m(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增.若x1∈(0，1)，由，，则.而在上单调递减，故；若x1∈(1，+∞)，因m(x)在区间(1，+∞)上单调增，且m(e)=0，所以，与题设a＞0矛盾，故不可能.综上所述，.…(16分)。
江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学答案
扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题 高 二 数 学 参 考 答 案 2018．11．x ∀∈R ，210x -≥ 2．1- 3．(1,0) 4．y x = 5． 14π-6．45 7．1158．(,4)-∞ 9．4 10．221y x -= 11．(,2)-∞ 12．[1,5] 13．1215．解：（1）p 真：椭圆2215x y a+=的焦点在x 轴上 ∴05a << …………5分（2）∵“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题 ∴p 真q 假或p 假q 真………………7分q 真：∵关于x 的不等式23230x ax ++≥在R 上恒成立∴2(2)4330a ∆=-⨯⨯≤，解得：33a -≤≤ ……………………11分 ∴0533a a a <<⎧⎨<->⎩或或0533a a a ≤≥⎧⎨-≤≤⎩或 解得：35a <<或30a -≤≤∴实数a 的取值范围是35a <<或30a -≤≤． ……………………14分 16．解：（1）①22；②14；③0.28； ……………………3分 （2）650.20750.44850.28950.0877.4⨯+⨯+⨯+⨯=； ……………………8分 （3）记“甲同学被抽取到”为事件A ，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为： 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件A 的基本事件：甲乙、 甲丙、甲丁，共3个基本事件，则1()2P A =……………………13分 答：此次数学史初赛的平均成绩为77.4，甲同学被抽取到的概率为12．……………………14分 17．解：（1）设(0,)C m ，0m >∵直线4390x y --=圆C 相切，且圆C 的半径为3∴|39|35m --=，解得2m =或8m =- ∵0m > ∴2m = ……………………5分 ∴圆C 的方程为：22(2)9x y +-=； ……………………7分 （2）若直线AB 的斜率不存在，则直线:1AB x =∴AB =，不符合题意，舍； 若直线AB 的斜率存在，设AB ：(1)y k x =-∵4AB = ∴点C 到直线:0AB kx y k --==化简得：24410k k -+= ∴12k =……………………9分 联立方程：221(1)2(2)9y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得：2510110x x --=∴12115x x =- ……14分18．解：（1）当1a =时，22(1)1xe M x x x =>-+，∴222(1)(2)'(1)x x x e M x x --=-+……………………3分 列表得：…………………6分∴M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增 ∴M 在2x =时取最小值；……………………8分（2）∵222(1)(2)'(0)(1)xa x x e M a x x --=>-+ 根据（1）知：M 在(1,2)上单调减，在(2,)+∞上单调增 ∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴43444(1)22(3)72(4)13M e e ae M e ae M e ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：13722e a <≤ 答：实数a 的取值范围为137(,]22e． ……………………16分19．解：（1）∵椭圆的右准线方程为2x = ∴22a c = ∴a = ∴21,2c a == ∴21b = ∴椭圆的方程为：2212x y+=； ………………6分（2）方法（一）设点00(,)P x y ，则220012x y +=，((0,1)A B ，即220022x y +=．当00x=时，(0,1)P -，则(0,0)M ，(0,1)N -∴2AM BN ⋅==分 ∵点P 异于点A ∴0x ≠当0x ≠00x ≠时，设直线AP方程为：y x =，它与y 轴交于点N直线BP方程为：0011y y x x -=+，它与x轴交于点00(,0)1x M y --∴000|1x AM y =-=-，|1BN ==…………12分∴0||AM BN ⋅==== ……………………16分方法（二）若直线BP 斜率不存在，则直线BP 方程为：0x =，此时(0,1)P -，则(0,0)M ，(0,1)N -∴2AM BN ⋅==………………8分 若直线BP 斜率存在，设直线BP 方程为：1y kx =+，且0k ≠∴1(,0)M k-且1||AM k =-= ………………10分 则联立方程：22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：22(21)40k x kx ++=，解得： 10x =或22421k x k =-+， 即点222421(,)2121k k P k k -+-++ ∵点P 异于点A∴k ≠∴2222121421APk k k k k -++===-++∴直线AP的方程为：y x =+，则(0,N且|1BN == ………………14分∴||AM BN ⋅=⨯= ………………16分 20．解：（1）当1a =时，()ln f x x x =- ∴()11'1x f x-=-=，令()'0f x =，则1x =，列表得：∴()f x 有极小值()11f =，无极大值； ……………………3分 （2）()2ln g x ax x x =--，0x >∴()2121'2x ax g x a x x x-+-=--=，设2()21G x x ax =-+-①当0a ≤时，()0G x <恒成立，即()'0g x <恒成立，∴()g x 在(0,)+∞上单调减；②当0a >且280a ∆=-≤，即0a <≤()'0G x ≤恒成立，且不恒为0，则()'0g x ≤恒成立，且不恒为0，∴()g x 在(0,)+∞上单调减； ③当0a >且280a ∆=->，即a >时，()0G x =有两个实数根：12x x =，且121210,022a x x x x +=>=>∴120x x >> ∴当20x x <<或1x x >时，()0G x <，'()0g x <；当21x x x <<时，()0G x >，'()0g x >；∴()g x在和)+∞上单调减，在上单调增．∴综上：当a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调减；当a >时，()g x在和)+∞上单调减，在上单调增． ……………………7分（3）2()ln h x ax x x =-+，1'()2h x a x x=-+，问题即为判断0'()h x 的符号． ∵函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<∴21112222ln 0ln 0ax x x ax x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 两式相减得：22121212()(ln ln )()0a x x x x x x ---+-=∴121212ln ln ()x x a x x x x -=-+- ……………………9分∴01212121'()'()2()h x h x x a x x x x =+=-+++λμλμλμ121212121212121212ln ln ln ln 11()2()(21)()x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=-+-++=+----+-+λμλλμλμ∵0≥>μλ且1+=λμ ∴210-≤λ ∵120x x << ∴12(21)()0x x --≥λ………………11分 研究：121212ln ln 1x x x x x x ---+λμ的符号，即判断112212ln x x x x x x --+λμ的符号．令12,(0,1)x t t x =∈，1122121ln ln x x x t t x x x t ---=-++λμλμ，设1()ln ,(0,1)t H t t t t -=-∈+λμ∴2222221()(1)11(21)'()()()()t t t t H t t t t t t t +--+-+=-=-=+++λμλλλμμλμλμλμ方法（一）设222()(21)F t t t =+-+λλμμ，其对称轴为：2221212(1)1211222t ----===+≥λμλλλλλλ∴()F t 在(0,1)上单调减，则222()(1)21()10F t F >=+-+=+-=λλμμλμ，即'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln 0x x x x x x --<+λμ ……………14分∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x >∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ……………………16分方法（二）2222222(21)(1)()'()()()t t t t H t t t t t +-+--==++λλμμλμλμλμ ∵0≥>μλ，01t << ∴2210,0t t -<-<λμ ∴'()0H t >在(0,1)上恒成立 ∴()H t 在(0,1)上单调增 ∴()(1)0H t H <=，即112212ln 0x x x x x x --<+λμ ……………14分 ∵120x x -< ∴121212ln ln 10x x x x x x -->-+λμ∴12121212ln ln 1(21)()0x x x x x x x x -+--->-+λλμ，即0'()0h x >∴在点00(,())M x h x 处的切线斜率为正． ……………………16分。
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扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题
高 二 数 学
（满分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．命题“x ∃∈R ，210x -<”的否定是 ▲ ． 2．直线210x y ++=在y 轴上的截距为 ▲ ． 3．抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．
5．在边长为2的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于1的概率为 ▲ ． 6．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n 的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么n = ▲ ． 7．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 ▲ ．
8．已知函数ln(4)y x =-的定义域为A ，集合{|}B x x a =>，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
9． 已知椭圆22
:1x y C +=上的点M 到右焦点的距离为2，则点M 到左准线的距离为 ▲ ．
11．已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 是()f x 的导函数，且(2)3f =，'()1f x <，则不等式
()1f x x >+的解集为 ▲ ．
12．已知(4,0)A ，(1,0)B ，动点P 满足2PA PB =．设点P 到点(3,0)C -的距离为d ，则d 的取值
范围为 ▲ ．
13．斜率为1
3直线l 经过椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点A ，且与椭圆交于另一个点B ，若在y
轴上存在点C 使得ABC △是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率 为 ▲ ．
14． 已知函数2()|3|f x x x a =-在[0,2]x ∈的值域为[0,4]m ，则实数m 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）
已知命题p ：“椭圆22
15x y a
+=的焦点在x 轴上”；命题q ：“关于x 的不等式
23230x ax ++≥在R 上恒成立”．
（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2） 若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
16．（本题满分14分）
为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”
的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：
（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）； （2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；
（3）甲同学的初赛成绩在[90,100]，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在[90,100]的
4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．
17．（本题满分14分）
已知圆C 的半径为3，圆心在y 轴正半轴上，直线4390x y --=圆C 相切． （1）求圆C 的方程；
（2）过点(1,0)Q 的直线l 与圆C 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 且4AB =，求12x x 的值．
18．（本题满分16分）
某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2x y e =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部
门通过实时监控比值2
1
ay
M x x =
-+（其中a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析． （1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；
（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底， 2.71828e =）
19．（本题满分16分）
已知椭圆:E 22
221(0)x y a b a b
+=>>的右准线方程为2x =，椭圆的左顶点为
A ，上顶点为
B ，点P 为椭圆上异于,A B 任意一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线BP 与x 轴交于点M ，直线AP 与y 轴交于点N ，求证：AM BN ⋅为定值．
20．（本题满分16分）
已知：函数()ln f x ax x =-． （1）当1a =时，求函数()y f x =的极值；
（2）若函数()()2g x f x x =-，讨论()y g x =的单调性；
（3）若函数2()()h x f x x =+的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<．设
012x x x λμ=+，其中常数λ、μ满足条件1λμ+=，且0≥>μλ．试判断在点00(,())
M x h x 处的切线斜率的正负，并说明理由．。