图形结构(Graphs).共78页
graph的复数形式
graph的复数形式什么是graph在计算机科学中，图（graph）是一种非常重要的数据结构。
图由节点（vertex）和边（edge）组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以用来解决许多实际问题，比如社交网络分析、路线规划、电子商务推荐等。
graph的复数形式“graph”一词是一个可数名词，它的复数形式是”graphs”。
当我们需要描述多个图时，就可以使用”graphs”这个词。
例如，在一个大型社交网络中，有许多不同的图。
每个图代表一个用户或者一组用户之间的关系。
我们可以说：“这个社交网络中有很多graphs”。
图的种类在计算机科学中，有许多不同类型的图。
下面介绍几种常见的图类型：1. 无向图（Undirected Graph）无向图是最简单的图类型之一。
它的边没有方向性，意味着从一个节点到另一个节点可以沿着任意方向移动。
2. 有向图（Directed Graph）有向图也被称为有向网络或有向关系。
它的边具有方向性，意味着从一个节点到另一个节点只能沿着特定方向移动。
3. 加权图（Weighted Graph）加权图是指每条边都有一个与之相关联的权重或者成本。
这些权重可以表示节点之间的距离、时间、成本等。
4. 无环图（Acyclic Graph）无环图是指不存在回路或环的图。
换句话说，从一个节点出发，沿着任意路径都不会回到起点。
5. 有环图（Cyclic Graph）有环图是指存在至少一个回路或环的图。
从一个节点出发，沿着某些路径可以回到起点。
图的应用图在许多领域中被广泛应用，包括计算机科学、网络分析、运输规划等。
下面介绍一些常见的应用场景：1. 社交网络分析社交网络分析使用图来研究人际关系和社交网络结构。
通过构建用户之间的关系图，可以分析用户之间的联系强度、社群结构以及信息传播路径。
2. 路线规划在地理信息系统中，使用图来进行路线规划是一种常见方法。
通过将道路和交叉口表示为节点，并将道路连接表示为边，可以使用各种算法找到最短路径或最快路径。
图形结构
无向图的邻接矩阵
A ○
A
B
C
D
B ○ D ○
C ○
0 1 A 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 A 1 B 1 C 0 D
有向图的邻接矩阵
无向图的邻接表
A ○
VA
C ○
B A A A
C C B B
D D D C
∧ ∧ ∧ ∧
B ○ D ○
VB
VC
VD
有向图的邻接表
A ○
VA VB
B C B ∧ ∧
C
∧
B ○
C ○ VC
邻接表的若干说明
• 邻接表中每个表结点均由两个域组成，一个是 邻接点域(adjvex)，用以存放与顶点Vi相邻接 的顶点在图中的位置；其二是链域(next)，用 以指向依附于顶点Vi的下一条边所对应的结点。 • 如果用邻接表存放网络中的信息，则还需要在 结点中增加一个存放权值的域。 • 在每个链表设一表头结点，一般这些表头结点 本身以向量的形式存储。
图的基本术语(4)
强连通图与强连通分量：在有向图中, 若对于每一 对顶点v和v’, 都存在一条从v到v’和从v’到v的 路径, 则称此图是强连通图。有向图中极大强连通 子图叫做强连通分量。例子见P61 。 生成树：一个连通图的生成树是一个极小连通子图， 它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n1条边。如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0， 其余顶点的入度为1，则是一棵有向树。一个有向 图的生成森林是由若干棵有向树组成，含有图中全 部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的 弧。
第六章图论Graph
2.3 图中的基本术语 1. 设 G = (V, E) 是无向图。
1) 任取 eE，若 e = {vi , vj}，则称 vi , vj 是 e 的端点。并称
e 与 vi , vj 关联。
2) 任取vi , vj V，若 {vi , vj}E，则称 vi , vj 相邻。
3) 任取 ei，ej E，若 ei，ej 有公共的端点，则称 ei，ej 邻接。 4) 以同一结点为两个端点的边称为自环。 5) 若 ei，ej 有相同的两端点，则称 ei，ej 是平行边。 6) 若 G 中有平行边，则称 G 为多重无向图。 7) 若 G 中无平行边，无自环，则称 G 为简单无向图。
i1
i1
其中 ∣V∣= n，∣E∣= m。
证：由于每条有向边都对应一个入度和一个出度，如一个结点 具有一个出度（或入度），则它必关联一条有向边，并通过此有 向边与另一结点相邻，且为此结点提供一入度（或出度）。所以 在有向图中，入度之和等于出度之和，并等于边数。即有
n
n
de(v g)de(v g)m
i1
定义8 设 G = (V, E)是简单有向图。若E=(VV)\{(v,v)|vV}， 则称 G 为有向完全图。
在 n 个结点的有向完全图中，每个结点的度数为 2(n1)，且边 数为 n(n1) 。
定义9 设G = (V, E) 和设G' = (V', E')是两个图。(无向，有向) 1) 若 V' V 且 E' E，则称 G' 为 G 的子图。 2) 若 V' V 或 E' E，则称 G' 为 G 的真子图。 3) 若 V' = V 且 E' E，则称 G' 为 G 的生成子图。 当（V' = V 且 E' = E） 或（ V' = V 且 E' =）时，称这两个 子图为平凡子图。
图形的层次结构
图形的层次结构现实世界中的客观对象都有一定的组织结构,用图形学来描绘实际的对象需要确定一定的图形结构(几何模型)现实中的对象往往有层次结构，描述这些对象的几何模型也具有层次结构利用层次结构，可以方便地对图形进行编辑和绘制本章给出了几种常见的图形层次结构几种常见的图形层次结构，，包括PHIGS PHIGS结构和许多应用系统中常用的面向对象的结构和许多应用系统中常用的面向对象的层次结构层次结构。
5.1 图形的层次结构概述图形结构也称为几何模型，是由有明确定义的几何元素，如点、线、面等及其相互间连接关系组成。
基本图素点、线、面等称为基本图素/图元，基本图素之间的连接关系称为拓扑关系。
在层次结构中，由基本元素构成的对象可用来构成更复杂的对象，这类对象也称为基本元素。
图形层次结构的组成部分几何及其附属属性物体及组成物体的基本元素的几何属性和其他影响外表的属性，如颜色、线形和线宽等。
拓扑关系基本元素之间的连接关系，拓扑关系可以用树结构或邻接矩阵表示，也可由其内在的几何定义表示。
特定的属性，如速度、温度等。
与物体及基本元素相对应的数据值和属性，如电子文本和描述文字。
自底向上的设计方法图形结构常常是层次的计算机硬件结构图是由很多诸如运算器、控制器及存储器部件等部件组成的，每一部件又由一些标准的单元电路、门电路及触发器组成。
图形设计时，往往用自底向上的方法设计复杂的层次结构图 首先由基本的图形元素如线、圆弧等构建形成门、窗和楼梯(高一层的图素)，再由直线段、圆弧等基本元素和门、窗、楼梯等高一层的图素形成房间和层等更高一层的结构，最后组成一栋楼房，或子图。
(block)或子图这些高层图素一般称为块块(block)或子图只要在图形结构中存在结构相同的部分，而这些部分又在图形结构中出现多次，就可把这样的部分组成块。
实例：逻辑电路图设计中的层次结构 在该结构中，与门、非门及或门电路是基本电路，分别由不同的基本图素线段及圆弧构成。
数据结构 图
0 0
由于没有规定 访问邻接点的顺序， 广度优先序列不唯一。
则图的所有顶点的度数之和 = 2*e
V2
V3
（每条边对图的所有顶点的度数之和 “贡献” 2度）
3 路径、回路(环)
无向图G1=（V1，E1）中的顶点序列v1,v2,… ,vk,若 (vi,vi+1)E1 ( i=1,2,…k-1), v =v1, u =vk, 则称该序 列是从顶点v到顶点u的路径；若v=u，则称该序 列为回路；在G1中，v0,v1,v2,v3 是v0到v3的路径； v0,v1,v2,v3 , v0是回路； 有向图G2=（V2，E2）中的顶点序列v1,v2,… ,vk, <vi,vi+1>E2 (i=1,2,…k-1),若v =v1, u =vk,则称该 序列是从顶点v到顶点u的路径；若v=u，则称该序 V0 V1 V1 列为回路；在G2中， V0 V2 v0, v2, v3是v0到v3的路径 v0,v2,v3,v0是回路； V3 V4 V2 V3 无向图G1 有向图G2
V2
V3
非 强 连 通 图
5 子图
设有两个图G=（V，E）、G1= （V1，E1）， 若V1 V，E1 E，E1关联的顶点都在V1中， 则称 G1是G的子图；
例
V0 V2 V3 (a) V4 V3 (b) V1
下列 (b)、(c) 是 (a) 的子图
V0 V2 V4 V3 (c) V1
图
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例
9/10/2012
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例
9/10/2012
56
例
9/10/2012
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邻接链表-时间需求
假设每个指针和整数均为2字节长，则 一个n顶点图的邻接链表所需要的空间 为2(n+m+1)，其中对于无向图，m=2e； 而对于有向图，m=e。 邻接链表便于进行边的插入和删除操 作。确定邻接表中顶点的数目所需要 的时间与表中顶点的数目成正比。
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关联/邻接
当且仅当(i, j) 是图中的边时，顶点 i 和j 是邻接的(adjacent)。边(i, j) 关联(incident)于顶点i 和j。
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例-邻接，关联
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关联/邻接
在有向图中，有时候对邻接和关联的 概念作更精确的定义非常有用。 有向边(i, j) 是关联至（incident to）顶点j 而关联于（incident from） 顶点i。顶点i 邻接至（adjacent to） 顶点j，顶点j邻接于（adjacent from） 顶点i。 对于无向图来说，“至”和“于”的 含义是相同的。
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生成树
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例
会议，此次大会上的所有发言人都只 会说英语，而参加会议的其他人说的 语言是{L1,L2,…,Ln}之一。翻译小组 能够将英语与其他语言互译。
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二分图
可以将顶点集合分成两个子集A和B， 这样每条边在A中有一个端点，在B中 有一个端点，具有这种特征的图叫作 二分图(bipartite graph)
图的基本概念Graphs
●
Petersen 图可以这样 定义： V={ 集合 {1,2,3,4,5} 的 所有二元子集 } E={ ab| a 和 b 的交集 是空集 }
●
●
Petersen 图的性质
●
(1)Petersen 图是 10 阶 3 正则的 (2)Petersen 图有 15 条边 (3)Petersen 图的任意两个不相邻的不同顶点 x 和 y 恰有一个公共邻点 (4)Petersen 图的直径是 2
直到 10 阶的所有连通图 .au/people/bdm/data/graphs.html 其中 10 阶的连通图数据 30M
●
●
简单图的矩阵表示
●
给定一个 n 阶简单图 G ， V(G)={v1,v2, ..., vn } ， 定义它的邻接矩阵 A(G) 为一个 n 阶方阵
●
●
●
奇度点的个数是 0 或 2 → G 存在欧拉迹 若奇度点个数是 0 ，则由定理存在欧拉回，当然 也是欧拉迹。 若奇度点个数是 2 ，设这两个点为 x 和 y 。考虑 图 G'=G + xy 。则 G' 的顶点全为偶度点，所以 存在欧拉回。把加上的边 xy 全掉后，就得到一 条 G 的欧拉迹 .
●
若
V G =∅
，称图 G 为空图。
●
●
一般，我们只考虑顶点集非空的图。 若
●
V G ≠∅ , E G =∅
● ●
●
称图 G 为零图。
相邻 和 关联
●
两个顶点称为相邻的 (adjacent) ，若它们是某一 条边的两个端点。 若顶点 v 是边 e 的一个端点，称 e 和 v 是关联的 (incident) 。
第7章图(Graphs)
7.1 图的概念及术语
v1 v3 有向边<v3, v4> V3：始点， v4: 终点 v2 v4
图的构成： • 结点集：V={v1,v2,v3,v4}, • 有向边集：E={<v1,v3>,<v1,v2>,<v3,v4>,<v4,v1>}
7.1 图的概念及术语
v1 v3 v2 v4 v1 v2
v3
为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。 • 路径长度 –非带权图的路径长度是指此路径上的边数。 –带权图的路径长度是指路径上各边的权之和
7.1 图的概念及术语
• 简单路径 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重 复, 则称这样的路径为简单路径。 • 回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。 • 连通图与连通分量 在无向图中, 若从顶点v1到顶 点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。 • 如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是连 通图。 • 非连通图的极大连通子图叫做连通分量.
7.1 图的概念及术语
v1
v2
v4Βιβλιοθήκη v3路径: (1) <v1, v3>, <v3, v4> (简单路径)
(2) <v1, v3>, <v3, v4>, <v4, v1> (环)
(3) <v3, v4>
7.1 图的概念及术语
• 路径: 在图 G＝(V, E) 中, 若存在边的序列 (vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj) 则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj )
v4 v5