例说数学解题的思维过程
数学思维的培养路径——以六年级下册“选择策略解决实际问题”的教学为例
精品案例数学思维的培养路径———以六年级下册“选择策略解决实际问题”的教学为例文|苏锦川“选择策略解决实际问题”属于六年级下册第三单元的内容。
学生在之前已经学习过“从条件出发或从问题出发分析数量关系”“解决问题的一般步骤”“列表整理条件和问题”“画图描述和分析问题”“用列举、转化、假设等策略解决问题”。
本单元的任务是根据现实情境中提出的问题和已知条件，引导学生从多个角度分析题意，运用多元化的解题策略解决问题，并结合自身喜欢的策略和题目要求，完整解决实际问题。
●教学目标1.初步感受解决问题的完整过程，学会运用恰当的策略分析问题中的条件，探索解决问题的策略，培养良好的模型意识。
2.通过对比分析各种解决问题的策略，积累解决问题的经验，切身感受画图、假设、转化等策略的优越性，直观感受根据问题选择策略的过程，发展几何直观和应用意识。
3.通过经历完整的探究活动，获得解决问题的成功经验，培养乐于与他人分享和交流的积极态度，培养用数学语言解释周围事物的意识。
●教学重点学会用画图呈现已知条件，运用恰当的策略解决分数问题。
●教学难点根据实际问题需要选择恰当的解答策略，发展模型意识和应用意识。
●教学过程一、回顾旧知，整理策略谈话：相信同学们小学六年积累了不少解决问题的策略，你都知道哪些策略？举例说一说。
学生结合自身生活和学习经历说出解决问题的策略，教师及时对学生的回答进行评价、鼓励，引导他们说明解决什么类型题目时，运用了哪种策略。
师生一起整理回顾（边整理边简要板书）：①正向推理；②逆向推理；③列表整理；④画图；⑤列举；⑥转化；⑦假设；⑧替换。
揭题：今天我们继续学习如何根据实际问题选择恰当的方法解答问题，感受同一个问题，选择的策略不同，解决问题的过程就不一样，但是最后结论相同。
怎么样？想一起探究吗？（设计意图：引导学生复习旧知，为后续的选择策略奠定知识基础。
与学生一起整理策略并简要板书，便于后续学生参照板书选择策略。
）二、合作探究，运用策略1.教学例1。
解答数学习题的思路和方法
解答数学习题的思路和方法引言数学是一门需要逻辑思维和解决问题能力的学科，对于许多学生来说，解答数学习题常常是一项困难的任务。
然而，只要我们掌握了解题的思路和方法，解决数学问题就会变得更加容易和有趣。
本文将介绍一些解答数学习题的常用思路和方法，帮助读者提高数学解题能力。
思路一：明确问题的要求在解答数学习题之前，我们首先需要明确问题的要求。
这包括理解问题中的数学概念和定义，确认需要求解的未知量，以及明确问题所要求的解题方法。
通过仔细阅读问题并提出问题的具体要求，可以帮助我们建立起解题的基本框架。
思路二：分析问题的关键信息一旦我们明确了问题的要求，接下来就需要分析问题中的关键信息。
这些关键信息可能是已知条件、问题的约束条件、相关公式或定理等。
通过分析问题中的关键信息，我们可以找到解题的线索和方向，帮助我们更好地理解问题并构建解题的思路。
思路三：寻找合适的数学公式和定理解答数学习题通常离不开数学公式和定理的应用。
在分析问题的关键信息之后，我们要寻找与问题相关的合适的数学公式和定理。
这些公式和定理可以帮助我们建立起解题的数学模型，从而更好地处理问题。
思路四：化繁为简，抽象问题有时候，数学习题可能会给出非常复杂的信息和条件，让人感到困惑。
在这种情况下，我们可以尝试化繁为简，将问题中的复杂部分进行简化或抽象，以便更好地理解问题和找到解题的思路。
通过减少问题的复杂性，我们可以更容易地解决问题并找到正确的答案。
思路五：运用数学思维和创造力解答数学习题常常需要一定的数学思维和创造力。
有时候，我们需要灵活地运用已知的数学知识和方法，或者采用不同的角度和思路来解决问题。
通过培养自己的数学思维和创造力，我们可以提高解答数学习题的能力，并且更好地理解和掌握数学知识。
方法一：列出问题的数学模型解答数学习题时，我们可以根据问题的要求和提供的信息，将问题抽象为数学模型。
数学模型是用数学语言和符号来描述问题的方式，可以帮助我们更好地理解和解决问题。
几种实例探究初中数学证明题解题思路方法
几种实例探究证明题解题思路方法几种实例探究证明题解题思路方法习题思路分析三种方法：习题思路分析三种方法：逆向分析法、正向推导法和综逆向分析法、正向推导法和综合 法 1、等量代换转化规则。
、等量代换转化规则。
2、只具部分全等条件需引辅助线构造全等三角形规则；、只具部分全等条件需引辅助线构造全等三角形规则；3、取近求远规则；、取近求远规则；4、截长法和补短法；、截长法和补短法；5、只具部分全等条件需引辅助线构造全等三角形规则；、只具部分全等条件需引辅助线构造全等三角形规则；6、取近求远规则；、取近求远规则；7、截长法和补短法；、截长法和补短法； 1、逆向分析法:从命题的结论出发,找出结论成立所需要的条件,如果所找到的条件不是题中所给的已知条件,再把所找到的条件作为结论,再找新结论成立所需要的条件,这样继续下去,一直推到题中所给的已知条件为止.逆向分析法就是从求证推到已知的逻辑思维方法.证(解）题时的顺序与逆向分析的推理顺序相反。
解）题时的顺序与逆向分析的推理顺序相反。
2.正向推导法:从命题的已知条件出发,根据已学过的定义、公理、定理等进行逻辑推理与判断得出新结论,如果新结论不是题中要证的结论,再用已知条件与新结论进行逻辑推理与判断,再得新结论,这样继续下去,一直到得出的新结论就是所要证的结论为止。
正向推导法就是从已知条件推到求证的逻辑思维方法。
证(解）题的顺序与正向推导的推理顺序相同的.3.综合法:就是逆向分析与正向推导同时并用的思维方法,也可以说是“两头凑”的思维方法.说明:在使用逆向分析法图解时要加“?”,因为结论的成立尚需证明,因此它的成立还是个问号.当最后推到已知条件或公理,定理等时,因为它是成立的,所以“?”才可以终止.而使用正向推导法图解时,就不加“?”了,因为它是从已知条件出发,推出的结论都是成立的.典例剖析典例剖析例1：如图,P 为△ ABC 内任一点,求证:PA+PB+PC>1:PA+PB+PC>1/2(AB+BC+AC)./2(AB+BC+AC).思路探索:在证明线段和（或差)的不等式时,总是把各有关线段“等代转化”在一个或几个三角形中,然后用三角形三边关系定理来解决.现将用逆向分析一正向推导法结合的综合法探索证题思路的过程用图解表示如下:等量代换转化规则等量代换转化规则在探索证(解)题途径的过程中,当停滞不前时,一旦能找到等量可代,总是使审题发生转折性的变化,而大大前进一步,称为“等量代换转化”,简称“等代转化”“等代规则”是具有普遍性的规则,它是探索较复杂命题的证(解)题途径的一个非赏重要的不可缺少的有力工具和手段希望同学们要特别注意掌握和自觉应用。
小学生数学11种抽象思维法
小学生数学11种抽象思维法抽象思维又分为：形式思维和辩证思维。
客观现实有其相对稳定的一面，我们就可以采用形式思维的方式；客观存在也有其不断发展变化的一面，我们可以采用辩证思维的方式。
形式思维是辩证思维的基础。
形式思维能力：分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理。
辩证思维能力：联系、发展变化、对立统一律、质量互变律、否定之否定律。
小学数学要培养学生初步的抽象思维能力，重点突出在：(1)思维品质上，应该具备思维的敏捷性、灵活性、联系性和创造性。
(2)思维方法上，应该学会有条有理，有根有据地思考。
(3)思维要求上，思路清晰，因果分明，言必有据，推理严密。
(4)思维训练上，应该要求：正确地运用概念，恰当地下判断，合乎逻辑地推理。
1、对照法如何正确地理解和运用数学概念？小学数学常用的方法就是对照法。
根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。
这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。
例1：三个连续自然数的和是18,则这三个自然数从小到大分别是多少？对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。
例2：判断题：能被2除尽的数一定是偶数。
这里要对照除尽和偶数这两个数学概念。
只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断。
2、公式法运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。
它体现的是由一般到特殊的演绎思维。
公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。
但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。
例3：计算59x37+12x59+5959x37+12x59+59运用加法计算法则 运用数的组成规则运用乘法分配律 =3000-50运用乘法计算法则 =2950运用减法计算法则3、比较法 通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。
解题思维培养
解题思维培养解题思维是指在面对问题时，运用逻辑、分析和创造性思维，寻找解决问题的方法和策略的能力。
它是培养学生综合能力的关键之一，也是现代社会对人才的要求之一。
一、了解解题思维的重要性解题思维在日常生活、工作和学习中都扮演着重要的角色。
无论是解决数学题、面对实际问题、还是思考人生困惑，都需要具备良好的解题思维能力。
在现代社会中，解题思维更是成为各行各业人才的必备素质。
二、培养解题思维的方法1. 培养逻辑思维能力逻辑思维是解题思维的基础。
通过学习数学、语文等学科，以及进行逻辑思维训练，可以培养和提高自己的逻辑思维能力。
逻辑思维能力的提升可以帮助我们理清问题，找出解决问题的有效路径。
2. 加强问题分析能力在解决问题的过程中，首先需要对问题进行深入的分析。
我们可以采用分解问题、归纳总结等方法，将复杂的问题拆解成更容易理解和解决的小问题。
通过不断的练习和实践，我们可以逐渐提高自己的问题分析能力。
3. 培养创造性思维创造性思维是解决问题中的关键能力。
我们需要从不同的角度思考问题，寻找非常规的解决方案。
可以通过开展头脑风暴、思维导图等活动，培养和提高创造性思维能力。
这种能力对于创新和发展是至关重要的。
4. 培养团队合作意识在解决复杂问题时，团队的力量是不可忽视的。
与他人合作解决问题，可以吸收不同的观点和经验，推动问题的解决和创新。
通过参与团队合作项目，培养团队合作意识，可以进一步提高解题思维能力。
5. 培养持之以恒的精神解决问题需要持之以恒的精神和坚持不懈的努力。
我们需要不断的尝试和实践，遇到困难时不畏惧，勇于面对并持续寻求解决办法。
长期坚持可以锻炼我们的毅力和耐心，使解题思维能力得到更好的培养和发展。
三、案例分析：数学问题解决过程以解决一个数学问题为例，来说明解题思维的培养过程。
假设有一道关于三角函数的数学题目：已知一个直角三角形的斜边长为5，其中一个锐角的正弦值为0.6，求另一个锐角的余弦值。
1. 问题分析首先需要理解题目的要求和限定条件。
数学思维定势的例子
数学思维定势的例子数学思维定势的例子数学思维定势的两面性在数学教学中，思维定势在考虑问题和解决问题的过程里存在两面性，既有积极的一面，也有消极的一面。
其积极的一面表现在知识技能的正迁移上，如快速掌握数学公式，在条件不变的情况下，可以更迅速对同类的题型做出正确判断，并顺利解决。
其消极的一面表现为知识和经验的负迁移，常常使学生不能及时适应问题的细小变化，对于新问题，越是信赖一种解题原则，就越会固执地用旧方法解题，而不去尝试用其他方法解题，造成解决问题的失误。
思维定势的消极影响，促使学生产生思维上的惰性，限制了学生的创新思维和发散思维的培养，在一定程度上已成为提高学生解题能力的一个瓶颈，阻碍了学生由知识向能力转化的速度。
数学思维定势的消极例子例1 等腰三角形中两边长分别为2和5，求这个三角形的周长。
一些学生知道等腰三角形两边长已知有可能产生两种情况：1两腰为2，底边为5故周长为92两腰为5，底边为2故周长为12其实①中的情况不符合三边关系定理，是不存在的，所以本题的解只有②一种情况，而并不是两种情况。
2、机械套用数学原理或公式例2在初次学习勾股定理时，不少学生往往会机械套用定理的表达式：而忽视该表达式成立的条件：2三角形是直角三角形。
1 分别表示两直角边，c表示斜边。
如△ABC中，已知a=3,b=4,求c的值。
对于这个问题不少学生给出答案：c=5但是思维缜密的学生否定了，原因是这不是直角三角形。
数学思维定势的消极影响产生的原因1.日常生活概念的干扰。
例如在几何初步知识教学中，学生往往易受词的生活意义的影响，如果词的生活意义与几何概念的科学意义一致，有利于概念的形成，反之则起负迁移作用。
如“垂直”在日常概念中总是下垂，是由上而下，所以当学生在接受“自线外一点向直线作垂线”时就由于日常生活经验的干扰，只能理解点在上方，线在下方这一种情况，以致产生认为点在其它方位时作垂线是不可能的错觉。
2.原有书写格式的干扰。
数学解题中转化思维的十种策略(完整版)实用资料
数学解题中转化思维的十种策略（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）数学解题中转化思维的十种策略数学活动的实质就是思维的转化过程，在解题中，要不断改变解题方向，从不同角度，不同的侧面去探讨问题的解法，寻求最佳方法，在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题；3、直观化原则，即将抽象总是具体化。
策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径。
例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种。
A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了。
解：10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选（D）。
策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗。
例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（）A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选（A）。
策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生。
例3：在等差数列中，若，则有等式（成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立。
什么叫数学解题
什么叫数学解题主题是：●什么是题；什么是解题.●数学解题的基本过程；（四步骤）●学会解题的基本程式；（四阶段）引例1 请给小学生说清：211111?333n -++++→引例2 如何由“猜价格游戏”提炼出连续函数和它的应用——二分法？1 什么叫数学题1-1 数学题的基本含义给数学题作出一个严格的界定是一件困难的事情，我们就把数学上回答起来有困难需要解决的事情作为数学题的宽松界定．（1）界定．数学题(简称题)是指数学上要求回答或解释的事情，需要研究或解决的矛盾．其之所以成为数学题（而不是语文题、化学题等）还因为它须运用（或构建）数学概念、理论、方法等数学内容才能解决．（2）解释．对数学家而言，仅当命题的真假未被判定时才成为问题，如“哥德巴赫猜想”，而一旦解决了就称为“定理”(公式)，不成为问题了．这更多地体现了“需要研究或解决的矛盾”．在数学教学中，则把结论已知的命题也称为题，因为它对学生而言，与数学家所面临的问题，情景是相似的、性质是相同的，这时候的数学题是指：为了实现教学目标而要求师生们解答的题目，重点在“要求回答或解释的事情”上．内容包括一个待进行的运算、一个待推理的证明、一个待完成的作图、一个待建立的概念、一个待论证的定理、一个待解决的实际问题等．呈现方式有课堂上的提问、范例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的作业、测验、考试以及师生共同进行的探究性、研究性课题等．（3）特别提示．有人认为，上课的前半部分是讲概念、定理，后半部分做的才是题，其实，如何构建概念、如何论证定理也是题！比如，如何构造有理数（无穷数集）与直线（无穷点集）的对应，从而建立数轴的概念，就是一道题.通过改造直线（主要是加上三要素：原点、单位和方向），然后，把整数“放”在格点上，把两整数之间的分数“放”在相应两格点之间，建立起数轴，就是解了一道数学题；学生在这个数学活动中，学到了数轴的概念，感悟了“集合与对应的思想”、体验了“数形结合的思想”，经历了数学化的提炼过程等，就是在学习解题.又如，如何由“猜价格游戏”提炼出连续函数和它的应用——二分法？就是一道题．下来，设商品的价格为c元，它在a元与b元之间，人猜的价格为x元，得连续函数()f a f b<>．“人猜对”对=-，定义域为[],a b；并且()()f x x c0,0应着方程()0f x=的根……（略），就是解了一道数学题.学生在这个数学活动中，学到了二分法，看到连续函数的应用，感悟了“函数与方程的数学思想”，“近似逼近的数学思想”，“数形结合的数学思想”，“特殊与一般的数学思想”，“程序化地处理问题的算法思想”等，经历了数学化的提炼过程，就是在学习解题，就是在通过学习数学去学会思维．1-2 数学题的深入理解（1）数学题的实质．（两要素、三特征、一统一）数学题的标准形式包括两个最基本的要素：条件与结论，条件是问题解决的起点，结论是问题解决的目标，问题的关键在于，达到目标相对于问题解决者来说存在一定的障碍．因此，问题具有目标性，障碍性和相对性，问题的实质是：从初始状态到目标状态之间的障碍，由现有水平到客观需要之间的矛盾（图1）．图1在问题情景中，“未知的”一方面像空着的位置，需要加以填充，另一方面又由“已知的”客观决定着，构成“已隐蔽地确定”与“未明显地给出”的统一．解题的思维活动，正是从已明确地给予的、已知的东西出发，去发现隐蔽存在的、待求解（证）的结论．这是一个积极而生动的发现过程、创造过程．（2）两类数学题．（练习题、问题）①结构良好的封闭题．在数学教学中，出于巩固知识内容和熟练常规思路的目的，大多使用结构良好的封闭题，其内容是熟知的，形式是标准的，方法是现成的，答案是确定的，条件恰好不多不少．学生通过对教材的模仿和操作性练习，基本上就能完成．题目的挑战性不是没有，而是还不算很强，这类题目可以称为常规“练习题”．②问题解决的问题．作为数学教育口号的“问题解决”，对问题的障碍性和探究性都提出了较高的要求，倡导情境、开放和非常规．1988年第6届国际数学教育大会的一份报告指出：“一个(数学)问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境．”这类题目可以称为“问题”．而“问题解决”则是指：综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩研究型数学题常规练习题教学型问题解决的问题 日常教学既需要常规“练习题”又需要启发创新精神的“问题”．下面是几个“好问题”的例子．1-3 深入理解数学题的示例例1 如图2，表示某人从家出发任一时刻到家的距离()S 与时间()t 之间的关系，请根据图象编两个故事．（编题或创设情境也是题也是题） 图2讲解1 在新疆的一次听课中（2004年），同学们说的故事很多，也得到教师的完全认可，但抽象出来的运动特征基本上都是：①在OP 上匀速直线运动；②在PQ 上静止；③在QR 上匀速直线运动．课后与教师交流时，我问为什么“在PQ 上静止？”，教师认为，到家的距离不变，所以是静止．我说，到家的距离不变就是“到定点（家）的距离为定长（不变）”，这样的点一定是定点吗？教师立即反应过来．这里的认识封闭在于，面临“到一定点的距离为定长”的数学情景时，只想到静止、想不到运动（轨迹！圆周运动，空间为球），数与形的双向流动不够通畅．从知识上看，可能还有“距离”与“路程”的混淆：随着时间的推移而路程不变，当然是静止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也可能是运动．（封闭1）值得注意的是，当进一步问会有多少种运动方式时，对“静止或运动”也存在认识封闭现象，普遍没有考虑到在圆周上既可以运动又可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回又可以另路返回．（封闭2）讲解2 这是一个体现问题解决的“好问题”，接受性，障碍性，探究性，情景性，开放性全都体现了：（1）自然涉及“圆”的概念和逻辑“或”，触及“明确知识的认识封闭现象”，并且有明显的3个层次．①一种情况：在PQ上静止．有静无动，能背熟圆的定义，面临圆的情景时看不见圆．②两种情况：看到PQ静止时全静止，看到PQ运动时全运动．有进无退，逻辑“或”对PQ的全程．③无数种情况：看到PQ静止或圆周运动，可以前进也可以后退，有静有动，有进有退；逻辑“或”对PQ的每一点．（2）考察了数学的核心知识——函数，广泛涉及：①函数的概念，包括定义域、值域、对应关系．②函数的表示方法，突出了一次函数的解析式与图象这两种表示法．③一次函数的增减性与图象形状的关系．④通过生活情景和图象很自然的出现分段定义函数．()3, 013, 1 2 93, 23t x S t x t x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-<≤⎩⑤可考察学生分析实际情景，认识函数变化规律的基本能力．（3）设计为开放题．①需要将一次函数的图象和性质赋予实际意义，而学生根据自己的生活体验和对数学知识的理解，编拟出来的实际情节将是不惟一的．②每个学生都可以回答问题，但不同的水平到达不同的层次．例2 “糖水加糖变甜了”（糖水未饱和），请以这一生活常识为背景提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明．（提炼命题也是题）讲解 这是一个好问题：（1）来源于日常生活中再简单不过的常识（托儿所小孩子都知道的生活现象），沟通生活与数学的联系非常自然．但是，“糖水”里有数学吗？能提炼出数学命题吗？能提炼出什么数学命题呢？如此等等，思维的齿轮启动了，趣味性、启发性与探究性都有了．（2）含有“真分数不等式”的必要因素与必要形式，提供了一个简单而又典型的“数学建模”过程：①怎样进行“变甜、变淡”状态的数学描述——用不等式；②怎样进行“甜、淡”本身的数学描述——用浓度；③怎样进行“加糖”的数学描述——分子、分母同时加一个正数．这就得到：若0>>a b ，0>m ，则mb m a b a ++<．由此还可得， ()12x f x x+=+在0x >上是增函数． （3）可以有分析法、综合法、反证法、放缩法，构造图形、构造定比分点、构造复数、构造函数等二三十种多种证明方法，非常典型．（如1211a m x x a m b b m b m b λλ+++=↔+++，又如，由定积分的几何意义可得11ln ln ln ln b b m a a m b b m a a m dx dx x x a a m b b m ++++>⇒>⇒<++⎰⎰，即a m a b m b +>+．）（4）情境本身有很大的拓展空间：①将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同．由这一情境可得等比定理：331231212123123123a a a a a a a a a b b b b b b b b b ++==⇒===++．②将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡．这又是托儿所小孩都知道的事实，但这里有“中间不等式”的必要因素与必要形式：对011>>a b ，022>>a b ，有222121112211b a b b a a b a b a b a <++<⇒<．③取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个大呢？这已经是一个有挑战性的问题了，需比较⎪⎪⎭⎫⎝⎛+221121b a b a 与2121b b a a ++的大小，而这两者的关系是不确定的．例3 进行解题活动，逐一完成下述问题．例3-1 （1）你今年28岁，每年长1岁，从今年算起，第3年几岁？第5年几岁？第n 年几岁？（这一问太容易了，逐年相加便得第n 年为()281n +-岁）（2）设某人n 小时走了n a 米，第1小时走了1a 米，以后每小时都走d 米，则（逐小时相加）()11n a a n d =+-．即第1小时走了1a 米：11a a =，第2小时走了21a a d -=米，第3小时走了32a a d -=米，……第n 小时走了1n n a a d --=米，得这人n 小时的路程是这n 个小时路程的总和：()()11121nn k k k a a a a a n d -==+-=+-∑．（3）由此作类比，则等差数列的通项公式为()11n a a n d =+-．这里，通过生活现实的比喻、不仅得出了坚信不疑的结论，而且终生难忘．（4）作类比，求解下题：例3-2 设()(),f n g n 是关于自然数n 的两个表达式，如果（1）()()11f g >，（2）当2n ≥时，()()()()11f n f n g n g n -->--，则()()f n g n >．讲解 设想,f g 是两个小孩（小红、小明），如果1岁时f （小红）比g （小明）高，以后每年f （小红）都比g （小明）长得快，则无论什么时候都有f （小红）比g （小明）高．学生从这个比喻中，很容易明白问题的结论，并感悟证明．证明 由已知有()()()()()()()()()()11,2121,3232,f g f f g g f f g g >->-->-……()()()()1212f n f n g n g n --->---，()()()()11f n f n g n g n -->--相加 ()()f n g n >．（提炼交叉消去法也是题）例4 类比猜想：211111?333n -++++→ 例4-1 （背景题：2010高考数学江西卷理科第4题） 2111lim 1333n n →∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭（ ）． ()53A ()32B ()2C ()D 不存在讲解 这应该是高中甚至大学生思考的问题吧？但大家听完我数形结合的演示之后，一定会对自己充满信心．（作图表示，直观提炼极限也是题）（1）直观演示．如图3，13⨯的矩形中每个小矩形的面积为1，将其三等分，给两个同学（小王、小李）各放一等分（实现求和的第1项），老师留下中间的小矩形；将中间小矩形三等分，给小王、小李各放一等分（实现求和的第2项），老师留下中间的小矩形；……如此类推，则老师中间留下的部分面积趋于0，而两个同学小矩形面积之和各趋于全面积的一半，有211113lim 13332n n -→∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭．……………图3（2）半具体、半抽象．如图4，对3长的线段三等分，取一份；对取出的1长线段三等分，取一份；对取出的13长线段三等分，取一份；……如此类推，被取出的线段越来越短，无限接近于0．当中间的线段趋向于0时，两边的线段之和各趋于全长的一半，即211113lim 13332n n -→∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭．……………… 图4（3）应用．你能再找出211113lim 13332n n -→∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭的几何解释吗？●如图5，三个全等的等边三角形组成一个面积为3的等腰梯形，将其三等分，左右各有一个等边三角形（实现求和的第1项），留下中间的等边三角形；将中间的等边三角形作三等分线（实现求和的第2项），留下中间的小三角形；……如此类推，则中间留下的小三角形面积趋于0（三等分线趋向于等边三角形的中线），而左右两边三角形面积之和趋于全面积的一半，有211113lim 13332n n -→∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭． 图5●改图5中的等腰梯形为面积等于3的等边三角形．（4）变式推广：011k k n n n ∞==-∑()2,n n N +≥∈的直观演示． 讲解 取一条n 长线段，将其n 等分，把1n -等份分别给1n -个同学121,,n A A A -（实现求和的第1项），留下1等份；将留下的小线段n 等分，把1n -等份分别给1n -个同学121,,n A A A -（实现求和的第2项），留下1等份；……如此类推，则留下的小线段越来越短、无限接近于0，而1n -个同学121,,n A A A -的小线段之和越来越长、无限接近于n ，于是，每个同学的小线段之和趋于1n n -． 例5 阅读下述事实，先给出数学解释，然后对自身的解题活动写一篇认知分析小论文．（1）事实：网上发布了“明天的气温是今天气温2倍”的信息，各地有不同的反应：●一位南方的网友作出的第一反应是：“明天升温了”； ●一位北方的网友作出的第一反应是：“明天降温了”； ●另一位北方的网友作出的第一反应是：“明天的气温没有变化”．请从数学上解释为什么会有不同的反应．（2）认知分析小论文：在上述数学活动中，无论你作出了何种解释，你一定都进行了认真的数学思考，并积累起数学活动经验．请把你做了什么、怎样做的、做得怎么样等进行自觉的反思与理论的小结，然后写成不少于600字的教育叙事，充分展示你的数学功底和教育理论修养．（2009年本科师范生选修课考试题）（解释生活现象也是题）讲解 这个问题的数学背景是实数的三岐性．设今天的气温为x ，则明天的气温为2x （用字母表示数），将两天的气温作比较，有0, 020, 00, 0x x x x x x >>⎧⎪-===⎨⎪<<⎩时时时 所以，位于不同环境的人作出了不同的反应．学生在写作小论文时谈到了：● 网友获得的不仅仅是“明天的气温是今天气温2倍”，人对输入的信息总是以已有知识经验为基础，对信息进行主动选择、推理、判断，从而建构起关于事物及其过程的表征．（建构主义）●体现了数学与生活的联系．●体现了环境与认知的关系．●数学建模、“数感”的培养等．例6 ()2x f x -=是指数函数吗？（2010-10-东芝杯）（概念的理解也是题）讲解：一种观点认为是，它就是指数函数()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，完全符合指数函数的定义：()0,1x y a a a =>≠．另一种观点认为不是，它是()2y f y =与y x =-的复合函数．它与()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭相等，只表明它们是两个相等的函数． 第三种观点认为，取决于对表达式()2xf x -=中的1-先与x 运算还是与2运算：()()1222x x x ---⎧⎪=⎨⎪⎩，若()2x y -=则是复合函数，若()12x y -=则是指数函数．分歧的实质是对函数概念的理解．我们说，（1）指数函数的定义是说：只要定义域为全体实数，对应关系能表达为指数形式()0,1x y a a a =>≠的函数都叫做指数函数．（2）代数式注重外形，函数注重对应关系的本质，两者是不同的．对代数式422211x x x +++根据外形称为分式，虽然它等于整式21x +；而函数()422211x x f x x ++=+不应称为分式函数，其对应关系是“自变量的平方加1”．同一个对应关系可以有不同的表达方式（列表、图象、多个解析式），只要定义域也相同就是一个函数，而不是“两个相等的函数”．所以，我们 赞成()2xf x -=是指数函数．同理可以讨论函数()22log f x x =是不是对数函数．这几个小例子已经从单纯解答别人的题转变到也自己提出问题（编题、猜想、提炼命题），已经从单纯获得结果转变到兼而经历过程（提炼二分法、理解数形结合），已经从形式化习题的形式化解法转变到也提炼方法、理解概念、提供解释，已经从单纯算答案转变到也写教育叙事．而对这几个数学题的讲解亦已经涉及到解题和解题教学了．2 什么叫解题2-1 数学解题的基本含义解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案．这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题的解的活动．小至一个学生算出作业的答案，一个教师讲完概念的构建与定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论，一个数学技术应用于实际、构建出适当的模型等，都叫做解题．“如何给出一个非ε-语言极限的定义”这是一个题，张景中院士给出了“极限概念的非ε-语言定义法”就是解了一个题．请注意，我们认为“概念的构建和学习、定理的发现与证明”等都是在解题．这种界定很好理解，但只是对解题作了形式上的描述，而对数学解题的实际过程或思维实质缺少揭示（背熟了也不会解题）．出于对解题的过程与性质的不同认识，人们还对解题谈了很多更具实质性的看法．2-2 数学解题的多维理解（1）常规的数学题包括两个要素：条件与结论．解题就是沟通条件与结论之间的联系（论证），又包括解和解题依据（论据），因此解题一共有4个要素：①条件，②结论，③解（沟通条件与结论的联系），④解题依据．（2）解题就是将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过程．（3）解题是一种心理活动，即面临新情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理办法的一种心理活动．（4）波利亚说：解题就是“解决问题”，即求出问题的答案．“掌握数学就是意味着善于解题”．波利亚的《怎样解题表》把解题分解为4个步骤：弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾．（5）如果把解题看成是问题解决的一项工作，那么，我们可以从问题解决的角度来认识什么叫解题:问题解决是一种心理活动;问题解决是一个过程;问题解决是一个目的;问题解决是一种能力．（6）唐以荣教授认为解题的规律是连续化简：指在合乎逻辑的前提下，连续地把原题转化为比较容易的题目，一直到所得的新题目已经成为一项基础知识为止．待解题→中继题 →……→基本题（7）弗里德曼认为：解数学题，这就是要找到一种一般数学原理的序列{}()1k f k n ≤≤，把这些原理用于习题的条件()x 或者条件的推论()()k f x ，得到习题所要的东西()y ，即习题的答案：)(121x f f f f y n n -=（8）如图6所示，数学解题就是解题者在数学思想方法的指导下，运用数学基础知识和数学基本技能分析问题、解决问题的过程．它是促使学生熟练掌握基础知识、基本技能、基本方法，积累基本经验，发展智力，特别是数学思维能力，培养良好的心理品质的重要手段．图6121n n T T T T T -→→→→→（9）解题是这样一个三位一体的工作：有用捕捉、有关提取、有效组合．这三个步骤往复循环、依信息的反馈而由大脑来调节．图7（10）解题就是消除目标差的过程．如果我们把系统的现状与系统运动要达到的目标之间的差异称为目标差，那么，解题的本质就在于设计一个目标差不断减少的过程．即通过系统不断地控制后果与目标作比较，使得目标差在一次又一次的控制中慢慢减少，最终达到解题的目的．（11）在解题坐标系上，解题是图8连结条件与结论间的一条折线．（参见图8）（12）解题的心理机制是这样一个扩散——激活的过程：在问题的条件及结论的启发下，激活记忆网络中的一些知识点，然后沿接线向外扩散，依次激活新的有关知识，同时，要对被激活的知识进行筛选、组织、评价、再认识和转换，使之协调起来，直到条件与结论之间的线索接通，建立起逻辑演绎关系．（参见图8）．这些看法，在下面的展开中都会（或重或轻）有所体现，大家可以参照某个（些）看法指导解题，并最终形成自己的解题观点．引例1 为加强环保，矿泉水厂实行空瓶兑换回收政策：3个空瓶可以换1瓶矿泉水．现有10瓶矿泉水，问根据“回收政策”最多还可喝几瓶矿泉水？引例2 已知三个方程()22240,21160,23100x mx x m x x mx m -+=--+=+++=中至少有一个方程有实根，求实数m 的取值范围．3 数学解题的基本过程解题就是寻找问题的答案，我们把寻找问题答案的活动叫做解题过程．解题过程不仅仅是“书写表达”，它应该包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤，通常有四个自然的阶段（看题、想题、写题、回题）：理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思．完整把握这个基本过程是一种科学的解题习惯，需要教师去身体力行，并切实传授到学生．应该说，大家对这个自然的过程并不陌生，问题在于，能不能够给学生说清楚、讲明白、做到位．比如：大家都知道解题的首要前提是审题，但审题“审什么、怎么审”能够给学生说清楚、讲明白、做到位吗？大家都知道解题的思维核心是思路探求，但探求“探什么、怎么探”能够给学生说清楚、讲明白、做到位吗？大家都知道解题的最终呈现是书写，但书写“写什么、怎么写”能够给学生说清楚、讲明白、做到位吗？大家都知道学会解题的好途径是反思，但反思“思什么、怎么思”能够给学生说清楚、讲明白、做到位吗？3-1 理解题意理解题意也叫做审题，主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标、及沟通起点与目标之间联系的更多信息．特别要抓好“审什么的三个要点和怎么审的四个步骤”．（1）“审什么的三个要点”是：要点1：弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件就是要把它们都找出来；其次，也是更重要的，是弄清条件的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系；有时，明显写出的条件是非实质的，还要清醒地排除．题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好了行进中的加油站．要点2：弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．题目的结论有的是明显给出的，如“求证”题（还有选择题等），关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数学概念有关；而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解”题、探索题（还有填空题等），这时的弄清结论，就是要弄清“求解”（探索）的性质或范围，它们与哪些数学关系、哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向．题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导解题方向．弄清了结论就等于弄清了行动的目标、也随身带上了纠正偏差的指南针．数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配的、受实践的目的制导的．要点3：弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上，继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些联系就表现为题目的结构．为了更接近问题的深层结构，审题不仅开始于解题工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与结果的反思．应该是循环往复、不断深化的过程．题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示．（2）“怎么审的4步骤”是：步骤1：读题——弄清字面含义．审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么，按每分钟阅读300 ~ 400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题用不了一分钟，但未必读懂了，因而，还应该从语法结构、逻辑关系上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个，这是读题最实质性的工作．其次要从答题形式、数据要求上。
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例说数学解题的思维过程
陕西师范大学数学系 罗增儒
在数学教学中暴露思维过程早就引起了人们的关注。暴露概念的形成过
程，暴露命题的
发现过程，暴露证明的探究过程等，包括暴露这些过程中犯错误的真实
活动，但是，这种暴
露大多停留在可见事实的陈述上，而内在思维性质的细致揭示不多，也
常常进行到思路初步
打通、结论初步得出时就停了下来。本文想从解题分析的角度提供一个
简单例子，展示内在
的思维过程，并在证明得出之后仍继续进行下去。先给出题目：
两直线被第三条直线所截，外错角相等，则两直线平行。
1.浮现数学表象
通过认真阅读，我们接收到题目所提供的信息，首先在脑子里出现了一
个图形(几何型
表象)，与这个图形相伴随的是一个问题(代数型表象)：由数量关系去
确定位置关系。
在问题的牵引下，思维的齿轮开始启动，有3 个展开的起点。
(1)由图形表象，我们回想起“三线八角”基本图形，回想起与此图形
有关的命题，如
两直线被第三条直线所截，有：
1）同位角相等⇔ 两直线平行；
2）内错角相等⇔ 两直线平行。
……
这些命题的附图，在我们脑海里逐幅浮现出来。
(2)由条件∠ 1= ∠ 2(数量关系)所唤起的问题有：
1）由角的相等关系能得出什么?
2）图1 中有与∠ 1 相等的角吗?
3) 图1 中有与∠ 2 相等的角吗?
……
一开始，“由条件能推出什么”是一道开放性问题，我们不知道该往哪
些地方推进，但
随着对结论思考的深化，会慢慢明朗起来。
(3) 由结论AB∥CD(位置关系)所唤起的问题有：得出直线平行需要什么
条件?题目提供
了这样的条件没有？如果不是直接提供，那么间接提供没有？
……
由此激活了记忆储存中的相关知识，并又激活更多的记忆储存(扩散)：
1) 同位角(内错角)相等，则两直线平行；进而问
2) 什么是同位角(内错角)？图1 中有同位角(内错角)吗?有相等的同位
角(内错角)吗?
3) 己知条件的相等角能导出“同位角(内错角)相等”吗？
……
这是表象的一个有序深化的过程。
2.产生数学直感
上述三方面的思考，促使我们更专注于图形，图中有3 条直线，8 个
角，8 条射线，1 条
线段，其中哪些信息对于我们解题是有用的，哪些是多余的呢？(这相
当于一道条件过剩、
结论发散的开放题)当然，一开始我们并不清楚，但是目标意识驱使我
们去考虑角的关系,
因为课本中两条直线平行的判定均与角有关，而已知条件又给出了等
角。所以，我们的思考
逐渐集中到：从图形中找同位角(或内错角)，找相等的角，找相等的同
位角(或内错角)。
这时，伴随着问题的需要，图1 被分解出一系列的部分图形(图2 中实
线图)，并凸现在
我们的眼前：
图2
(1 )有与∠ 1 成同位角的角吗？图2-(1)出现， ∠ 1 与∠ 3 会相等吗？
(2) 有与∠ 2 成同位角的角吗？图2-(2)出现， ∠ 2 与∠ 4 会相等吗？
(3) 与∠ 1(或∠ 2)成内错角关系的角，图1 找不到。
(4) 与∠ 1 相等的角除∠ 2 外，还有它的对顶角∠ 4(图2-(3))；与∠ 2
相等的角除∠ 1
外，还有它的对顶角∠ 3(图2-(4))。
……
于是，对图1 的感知，出现了图3 的右方图形。
我们认为，从图1 的8 个角中找出∠ 2 的对顶角∠ 3(或∠ 1 的对顶角
∠
4)，是解题的重
大进展，它能为图形各部分数学关系的沟通起桥梁作用。
3.展开数学想象
对具体形象的感知和判别，使我们看到∠ 3 与∠ 2 成对顶角(图2-(4))
是相等的，而∠ 3
又与∠ 1 成同位角(图2-(1))，这促使我们思考∠ 1 与∠ 3 会不会相
等，也促使我们将已有的表象，∠ 1= ∠ 2 与∠ 2= ∠ 3(或∠ 1= ∠ 4)，产
生新的联结(有逻辑思维的推动)，得
∠ 1= ∠ 3(或∠ 2= ∠ 4 或∠ 3= ∠
4)，从而产生新的表象AB∥CD。
于是，在数量关系∠ 1= ∠ 2 与位置关系AB∥CD 之间，在空旷而缺少联
系的画面上(见图
1)，添上了两个数量关系∠ 2= ∠ 3， ∠ 1= ∠ 3：
再将它们组成和谐的逻辑结构，便得出证明。
4.给出逻辑证明
证明略
这些证明是抽象思维的过程，表达得干净简洁而严密。而获得这些结果
的过程却是历经
“表象——直感——想象”的形象思维过程，在得出AB∥CD 之前，四
个角∠ 1、∠ 2、∠ 3、
∠
4 之间的关系是一个条件与结论都发散的开放题。为了与简捷的逻辑
证明相对照，我们将思考过程(证明1)图示如下：
5.反思解题过程
上述解题的过程，把“题”作为考察的对象，把“解”作为研究的目
标。我们推崇“解
题分析”，是希望解题研究不要停留在这一阶段上，继续把上述解题活
动(包括问题和解)
作为研究对象，探究解题规律，学会怎样解题(基本任务)。具体解题研
究的方法是分析解题
过程。
事实上，给出的证明也是一个思维过程，也需要我们去暴露，并且这种
暴露比前一阶段
的暴露有更高的层次，需要更强的自觉性。是培养思维深刻性与批判性
的极好途径。我们一
再说过，解题教学缺少这一阶段是进宝山而空还。而把这一阶段停留在
检验、回顾、寻找一
题多解、做出若干推广的常识层面上，则是一种损失与浪费。让我们对
证明1 的书写做出具
体结构的分析。
(1) 首先，我们将证明1 分解为三个步骤。
第1 步：从图形中看出∠ 3 与∠ 2 成对顶角，并得出∠ 3= ∠ 2。这是由
位置关系推出数量
关系的过程。
第2 步：把另一已知条件用上，将两个等式∠ 1= ∠ 2、∠ 2= ∠ 3 结合
起来，得出∠ 1= ∠ 3。
这是由数量关系推出新数量关系的过程。
第3 步：从图形中看出∠ 1 与∠ 3 为同位角，其相等可得出AB∥CD。这
是由数量关系推
出位置关系的过程。
(2) 其次，根据上面的整体分解，可将证明1 的书写加以充实：
(3)由于这个图形已经显示出，解题中用到了哪些知识(或方法)，先用
哪些后用哪些，
哪个与哪个作了配合。所以，只须将其再作充实(图7)，便可更自觉、
也更直观地看到，解
题过程是这样一个“三位一体”的工作：有用捕捉、有关提取、有效组
合：
1) 从理解题意中捕捉有用的信息
包括从题目的叙述及题目的附图两方面去充分理解题意。从图7 可见，
这共有3 条信息。
(a)从题目的文字叙述中获取“符号信息”。
∠ 1= ∠
2。 ①
(b)从题目的图形中获取“形象信息”。
∠ 1 与∠
3 为同位角， ②
∠ 2 与∠
3 为对顶角， ③
2) 从记忆储存中提取有关的信息。
这是一批被解题需要激活的知识，并随着解题的进展而扩散，从图7 可
见，这有3 条信
息。
(a)对顶角相等。 ④
(b)等于第三个量的两个量相等(传递性)。 ⑤
(c)同位角相等，则两直线平行。 ⑥
3)把这两方面的信息(共6 条)进行有效的组合，使之成为一个和谐的逻
辑结构(共有3
步推理)。
这样，通过分析解题过程我们看清了，这个题目在解决过程中的知识结
构与逻辑关系，
进一步还归纳出“什么叫解题”的一个可操作回答：从理解题意中捕捉
有用的信息，从记忆
储存中提取有关的信息，并将这两组信息有效组成一个和谐的逻辑结
构。
6. 展开动态想象
也许我们一开始就直感到图形表象有一种对称结构(对称美的召唤)，它
朦朦胧胧只是因
为对称中心没有显化。也许是在解题分析中，由于已证明了AB∥CD，所
以居中的平行线MN
上每一点都是两平行线 AB、CD 的对称中心，而直线EF 上每一点都是
直线本身的对称中心
（见图8），因而图1 本身是中心对称图形。
于是，我们有这样的直感。图8 中若AB 与CD 不平行，必然破坏对称
性。这是一种不充
分的推理，体现了形象思维的特征，同时也揭示了证明的一个新方向。
设EF 上的截点为P、Q，而0 为线段PQ 的中心(图8)。想象会使我们看
到，当图形绕点
O 旋转180°时，射线PE 会与射线QF 重合，又由∠ 1= ∠ 2 知，射线PB
会与射线QC 重合，
从而直线AB 与直线CD 换位，且射线OE 与射线OF 换位。这一想象实际
上已经完成了旧表象到新表象的改造，数量关系∠ 1= ∠ 2(保证了旋转
180°后图形重合)已经转化为位置关系AB∥CD。否则AB 与CD 在左(右)
边有一个交点，则右(左)边也有一个对称的交点，造成AB 和
CD 重合，与已知矛盾。
以上例示，经历了“表象——直感——想象——论证——反思……”的
思维过程，前半
部分主要是形象思维，后半部分主要是逻辑思维，在叙述中强调了把解
题活动作为对象的再
认识。不妥之处，盼批评指正。