浅谈正态分布的重要性质1

浅谈正态分布的重要性质
摘 要：正态分布是概率论中最常见、最重要的一个分布，原因有三：一、许多实际问题中的变量都服从或者近似服从正态分布；二、正态分布的密度函数和分布函数具有各种优良性质；三、一些重要分布的极限分布为正态分布。

四、一般正态变量都可以变换为标准正态变量，而人们制定了标准正态变量的分布函数值以供查询，这给有关正态分布的计算问题带来了极大的方便。

本文就正态分布的这些特点做简要归纳。

关键词：正态分布；正态变量；性质
以下首先介绍正态分布的定义，接着介绍正态变量的数字特征、曲线性质、
取值范围，然后说明一般正态变量与标准正态变量的关系以及多个正态变量的和分布。

最后介绍正态分布与其他分布的关系。

1正态分布的定义
如果一个连续型随机变量ξ的密度函数为 2
22)(21)(σμσ
π--=
x e
x f ，
其中,(0)μσσ>为常数，那么就称ξ服从正态分布，记作),(~2σμξN .正态分布也叫高斯（Gauss ）分布。

2实际问题中的正态变量
在实际问题中，气象学中的温度、湿度、降雨量，有机体的长度、重量，实验中的测量误差、热力学中理想气体分子的速度、经济学中的众多度量等都服从或者近似服从正态分布. 3 正态变量的重要性质 3.1数学期望和方差
若正态变量),(~2σμξN ，则2,σξμξ==D E .即正态变量的两个参数正是它的期望和方差。

证明 有
dx e
x E x ⎰∞
+∞
---
⋅
=2
22)(21σμσ
πξ
令 σμ
-=
x z ，则
dz e
z E z 2
2)(21
-
∞
+∞
-⎰+=
μσπ
ξ
=
dz e dz ze z z ⎰
⎰
∞
+∞
--∞
+∞
--+
2
2
2222π
μπ
σ
=μ
ξD =2)(ξξE E -=
dx e
x x 2
22)(2
21)(σμσ
πμ--
∞
+∞
-⎰
-
令 σ
μ
-=x y ，则有
ξD =
⎰∞
+∞
--
dy e
y y 2
22
2
2π
σ
⎰∞
+∞
--
-=
)(22
2
2
y e
yd π
σ
=
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+∞-∞+-⎰∞+∞---dy e ye y y 222
222π
σ =
⎰∞+∞
--
dy e
y 2
2
2
2π
σ
=2σ
3.2图形性质
正态分布的密度曲线图形呈钟形，关于μ=x 对称，在μ=x 时取最大值
σ
π21.当μ不变时，σ越大，图形越平、越宽，在μ点附近取值的概率越小；σ
越小，图形越尖、越窄，在μ点附近取值的概率越大。

当σ不变时，μ变大，图形往右移，μ变小，图形往左移.直观地说，正态变量在μ点附近取值概率最大，在远离μ点处取值概率很小。

3.3 ”“σ3法则
若),(~2σμξN ，则有
6866.0)1()1()(=--=+≤≤-φφσμξσμP
9544.0)2()2()22(=--=+≤≤-φφσμξσμP 9974.0)3()3()33(=--=+≤≤-φφσμξσμP
由此可知，正态变量ξ落在区间[]σμσμ3,3+-外的概率不到0.003，这样的事件在数学上被称作小概率事件，在一次试验中被认为是不可能发生的。

即正
态变量几乎一定落在区间[]σμσμ3,3+-内，这被称为”“σ3法则.
3.4 可标准化
引理 设随机变量),(~2σμξN ，则
（1）))(,(~2σμξηa b a N b a ++=，其中(0),a a b ≠为常数. （2）)1,0(~N σ
μ
ξη-=
. 证明 （1）分别记η的分布函数与密度函数为()F y η与()f y η， 先设0a >即有
)()()()()(a b
y F a b y P y b a P y P y F -=-≤=≤+=≤=ξηξξη 若0a <，则有
)(1)()()()(a
b
y F a b y P y b a P y P y F --=-≥=≤+=≤=ξηξξη 将以上两式分别关于y 求导,得 []])(2/[)(221
||1)(||1)(σμξησ
πa b a y e a a b y f a y f +--=-=
故))(,(~2σμξηa b a N b a ++=.
（2）在引理中取1/,/a b σμσ==-，即得 )1.0(~N η.
由这一引理知，若),(~2σμξN ，则它的分布函数()F x 和密度函数()f x 可以分别写成
);()(
)()(σμ
φσμσμξξ-=-≤-=≤=x x P x P x F )(1)()('σ
μ
ϕσ-==x x F x f .
对于任意区间],[21x x 有
)()()(
)(122121σ
μφσμφσμ
σμξσ
μ
ξ---=-≤-≤
-=≤≤x x x x P x x P 这样利用标准正态分布表)1.0(N 就能方便地求出一般正态变量),(2σμN 落在任意区间的概率。

3.5可加性 3.5.1
若),,(~2
11σμξN ),(~2
22σμηN ，二者相互独立，则
=ζ),(~222121σσμμηξ+++N ； 证明 已知ξ和η的密度函数分别是 2
1212)(1
21)(σμξσπ--=
x e
x f ， 2
2222)(2
21)(σμησπ--
=
x e x f
由卷积公式可得ζ的密度函数为 []dx e z f x z x ⎰
+∞
∞
---+--=2
//)(/)
(2
12222212
121)(σμσμζσπσ
整理得 dx e z f c bx ax
⎰
+∞
∞
-+--=
)
2(212
21)(σπσζ
其中)11(212221σσ+=a ， )(212
2
2
211σμσμ-+=z b ， ))((212222212
1σμσμ-+=z c . 而积分
a
b
ac c bx ax
e a
dx e /)()
2(2
2
--∞
+∞
-+--=
⎰
π
,
得
[][
])
(2/)(2
2
2
1222122121)(σσμμζσσπ++--+=
z e
z f
因此ηξζ+=服从),(2
22121σσμμ++N .
由数学归纳法容易得知对任意有限个正态变量仍具有可加性。

即有如下
定理：
3.5.2 若),(~2
i i i N σμξ，n 2,1，，⋯⋯=i .而且它们彼此都相互独立，则
),(~1
21
1
∑∑∑====n
i i n i i n i i N σμξη.
3.6 n 个独立同分布的随机变量和的中心极限定理
由以上可知任意有限多个相互独立的正态变量的和仍是正态变量，不仅如此，多个非正态变量的和虽不是正态变量，但当个数很多时依然可认为是服从正态分布，因为有如下定理：
3.6.1 林德贝格-勒维（Lindeberg-Levy ）定理
若 ,,21ξξ是一列独立同分布的随机变量，且a E k =ξ，2σξ=k D )0(2>σ，
,2,1=k ，则有
dt e
x n na P x
t n
k k n ⎰
∑∞
--
=+∞
→=⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤
-2
12
21lim π
σξ
证明 设a k -ξ的特征函数为)(t ϕ，则
∑
∑==-=-n
k k n
k k
n
a
n
na
11
σξσξ
的特征函数为
n
n t ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡)(
σϕ 又因为2)(,0)(σξξ=-=-a D a E k k ，所以 2)0(,0)0(σϕϕ-=''=' 于是特征函数)(t ϕ有展开式
)(2
)0()0()0()(22
t o t t t +''+'+=ϕϕϕϕ=)(211222t o t +-σ
从而对任意固定的t ，有。