正态分布的概念
正态分布——概念、特征、广泛应用
正态分布——概念、特征、广泛应用一、概念指变量的频数或频率呈中间最多，两端逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。
正态分布的由来正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。
高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
但随着各种理论的深入研究，高斯理论的卓越贡献日显重要。
1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。
一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
2．正态曲线及其性质3．标准正态曲线标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率。
4．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。
只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
5．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
这种认识便是进行推断的出发点。
关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
二、正态分布的特征均数处最高以均数为中心，两端对称永远不与x轴相交的钟型曲线有两个参数：均数——位置参数，标准差——形状（变异度）参数。
统计学 正态分布
正态分布曲线的数学函数表达式： 如果随机变量 的分布服从概率密度函数：
( X − µ)2 1 , − ∞ < X < ∞ f (X ) = exp − 2 2σ σ 2π π＝ .14159， 是以 .72818为底的自然对数指数 3 exp 2 X ~ N(µ,σ 2 ), µ为X的总体均数，σ为总体标准差 f ( X )称为概率密度函数（probabilit y density function ） 以f ( X )为纵坐标，X为横坐标，绘制的曲线就是 正态曲线（norm curve ） al
为伽玛函数； 圆周率； 式中 Γ(•)为伽玛函数； 圆周率； V 为 自由度（ freedom）， ），是 自由度（degree of freedom），是t分布的 唯一参数； 为随机变量。 唯一参数；t为随机变量。 为纵轴, 以t (•)为横轴，f(t)为纵轴,可绘制t分布 Γ 为横轴， 曲线。 曲线。
查t 界值表
举例： 举例：
， α t ①ν =10 单 =0.05， 0.05,10 =1.812 ，则有
P(t ≤ −1.812) = 0.05 或 P(t ≥1.812) = 0.05
， α t ②ν =10 双 =0.05， 0.05/2,10 = 2.228 ，则有
P(t ≤ −2.228) + P(t ≥ 2.228) = 0.05
（正态分布是对称分布，但对称分布不一定是正态分布） 正态分布是对称分布，但对称分布不一定是正态分布） 2. 实 际 频 数 分 布 ： 中 间 频 数 多 ， 两 端 越 来 越少， 越少，且左右大致对称 理论频数分布：正态分布曲线。 理论频数分布：正态分布曲线。
4 频数分布逐渐接近正态分布示意
正态分布概念
图2-4 频数分布与正态分布曲线示意图
一、正态分布的概念和特征
1.正态分布曲线的数学函数表达式：
X服从的概率密度函数f（x）
f (X)
1
1( X )2
e2
2
(-＜X＜ )
X为连续随机变量，μ为X值的总体均数， σ2 为总体方差，记为X~N（ μ ， σ2）
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝σ
解析：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线 x＝20
对称，最大值为 2
1 ，所以 π
μ＝20，
1＝ 2π·σ 2
1 ，解得 π
σ＝
2.于是概率密度函数的解析式为 f(x)＝2 1πe－x－4202，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝( 2)2＝2.
正态分布 (Normal distribution)
正态分布
概述
正态分布是描述连续型变量值分布 的曲线，医学上许多资料近似服从正态 分布。
正态分布在统计推断上有重要的作用。 直方图的频数分布与正态分布
（见图2-4）
频数（f）
25 20 15 10
5 0
2.30～ 2.90～ 3.50～ 4.10～ 4.70～ 5.30～
(5)最值性:当 x=μ时, f, ( x)取得最大值
1
2
σ越大，曲线越“矮胖”,表示总体的分布越
分散;反之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体
的分布越集中．
(6) 几 何 性 : 参 数 μ 和 σ
y
的统计意义:E(x)=μ,曲
线的位置由μ决定
;D(x)=σ2, 曲 线 的 形 状
由σ决定.
正态分布的相关概念
正态分布的相关概念
一、正态分布的基本概念
正态分布是一种常见的概率分布，它描述了许多自然现象和统计数据的分布情况。
正态分布曲线呈钟形，中间高，两边低，左右对称。
二、正态分布的参数
正态分布有两个参数，即均值（μ）和标准差（σ）。
均值决定了分布的中心位置，而标准差决定了分布的宽度。
三、正态分布的性质
正态分布具有以下基本性质：
1.集中性：正态分布曲线在均值处达到最高点，向两侧逐渐下降。
这意味着大多数数据值都集中在均值附近。
2.对称性：正态分布曲线关于均值对称，即对于任何x，都有p(x)=p(-x)。
这意味着正态分布不受符号影响。
3.均匀分布：在远离均值的地方，正态分布的概率密度逐渐减小，但不会为0。
这意味着在远离均值的地方仍然有可能出现数据值，但概率较小。
4.渐进性：当数据量足够大时，经验分布趋向于正态分布。
这意味着随着数据量的增加，数据的分布情况越来越符合正态分布。
5.偏态性：正态分布是略微偏左的，这是因为负值比正值出现的概率稍大。
但在某些情况下，可能会出现偏态分布。
四、正态分布的应用
正态分布在统计学中有着广泛的应用。
例如，在生物医学领域，
许多生理指标（如身高、体重）的分布都呈现出正态分布的特点。
此外，在金融领域，许多金融指标（如收益率、波动率）也服从正态分布。
五、正态分布的变种
除了基本形态的正态分布外，还有许多基于正态分布的变种。
例如，t分布、F分布等都是基于正态分布的变形。
这些变种在统计学中也有着广泛的应用。
心理学中正态分布名词解释
心理学中正态分布名词解释
正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是心理学中常用的一个概念。
它是一
种对于自然界种种现象（例如身高、体重、智力测验分数等）的分布进行建模的数学方式。
正态分布具有以下特征：首先，它是一个连续的概率分布，可以用一个钟形曲
线来表示。
钟形曲线的峰值对应着分布的平均值，而曲线的宽度则与分布的标准差有关。
其次，正态分布是一个对称分布，即曲线左右两侧的形状是完全相同的。
最后，它具有一个重要性质，即约68%的数据落在平均值加减一个标准差的范围内，约95%的数据落在平均值加减两个标准差的范围内，约99.7%的数据落在平均值加减三个标准差的范围内。
正态分布在心理学研究中有着广泛的应用。
研究人员可以使用正态分布来描述
整体人群在某种特征上的分布情况，例如智力分数在一个年龄段内的分布。
此外，正态分布也可以用于推断统计，帮助研究人员进行假设检验、置信区间估计等等。
总结来说，正态分布是心理学中一种常见的分布模型，它可以帮助研究人员更
好地理解和描述一些心理现象的分布特征。
通过对正态分布的研究，我们可以更深入地认识人类行为和心理特征的统计规律。
正态分布的概念
正态分布的概念
正态分布，也称为高斯分布，是概率统计学中最常见的一种分布模式。
它在许多自然和社会现象中都具有重要的应用，是数据分析和建模的基石之一。
正态分布的概念可以通过以下几个方面来说明：
概率密度函数：正态分布可以通过概率密度函数来描述，其数学表达式为：
f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))
其中，μ是均值，σ是标准差，e是自然对数的底。
概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性。
均值和标准差：正态分布的均值确定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
均值和标准差的不同取值会导致不同形状的正态分布。
中心极限定理：正态分布具有重要的统计性质。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，无论原始数据的分布是什么样的，样本均值的分布会近似服从正态分布。
举例说明：正态分布可以在许多实际情况中得到应用。
例如，在人口统计中，身高和体重往往服从正态分布。
在财务领域，股票收益率的变动也通常近似服从正态分布。
另外，许多测量误差、温度变化、考试成绩等都可以用正态分布进行建模和分析。
正态分布的重要性在于它提供了一种统计工具，可以帮助我们描述和理解真实世界中的现象。
通过正态分布的概念和特性，我们可以
对数据进行分析、判断概率和进行推断。
这使得正态分布成为了概率统计学中最为重要的工具之一。
正态分布——概念特征广泛应用
正态分布——概念特征广泛应用正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是概率论中一种非常重要的分布。
它在统计分析和科学研究中得到了广泛的应用。
正态分布具有许多独特的特征，它的形状是对称的，呈现出一个钟形曲线，其均值、方差和标准差等统计量能够完全描述它的特征。
正态分布的概念：正态分布是一种连续型的概率分布，它的概率密度函数可以通过以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * √(2 * π))) * exp(-((x - μ) ^ 2) / (2 *σ ^ 2))其中，μ表示正态分布的期望值或均值，σ表示正态分布的标准差，π是圆周率。
正态分布的特征：1.对称性：正态分布呈现出对称的特点，也就是说，在均值两侧的概率曲线是完全相同的，即左右对称。
2.唯一性：正态分布具有唯一的均值和标准差。
均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的形状和宽度。
3.分布范围：正态分布的取值范围是无限的，即负无穷到正无穷。
4.弱偏态性：正态分布的偏态系数为0，即偏度为0。
偏态系数用于衡量概率分布的非对称性，当偏态系数大于0时，分布呈现正偏态，即右侧的尾部比左侧的尾部更长。
正态分布的广泛应用：1.统计学：正态分布在统计学中得到广泛的应用，特别是在参数估计和假设检验中。
许多常见的统计模型，如回归模型和时间序列模型，都是基于正态分布假设进行建模的。
2.自然科学：正态分布在自然科学中的应用非常广泛。
例如，物理学中的测量误差通常是服从正态分布的，因此在物理实验中，我们常常使用正态分布进行误差处理。
3.金融学：正态分布在金融学中扮演着重要的角色。
金融市场的大多数价格变动和收益率变动都呈现出近似正态分布的特征，这是基于大量的市场参与者和随机性的结果。
4.社会科学：正态分布也在社会科学中得到广泛的应用。
例如，人口统计数据、心理测量、学生考试成绩等，都可以使用正态分布进行描述。
5.质量管理：正态分布还在质量管理中发挥着重要的作用。
许多质量控制方法，如过程控制图、质量能力指数等，都基于正态分布的性质。
正态分布的概念和特点
正态分布的概念和特点
正态分布是一种概率分布，它的特点是集中性、对称性和均匀变动性。
1.集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
2.对称性：正态分布曲线以均数所在的位置为中心左右对称且曲线两段无线趋近于横轴。
3.均匀变动性：正态分布曲线以均数所在的位置为中心均匀向左右两侧下降。
另外，正态分布函数公式如下：μ为均数，σ为标准差。
μ决定了正态分布的位置，与μ越近，被取到的概率就越大，反之越小。
σ描述的是正态分布的离散程度。
σ越大，数据分布越分散曲线越扁平；σ越小，数据分布越集中曲线越陡峭。
以上特点在生产条件不变的情况下，可以广泛应用于产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标的预测，以及同一种生物体的身长、体重等指标，同一种种子的重量，测量同一物体的误差，弹着点沿某一方向的偏差，某个地区的年降水量，以及理想气体分子的速度分量等等。
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1. 正态分布的概念
随机变量X 的概率密度2()2(),()x f x x μσ--=-∞<<+∞，
称X 服从正态分布，
记作),(~2σμN X 。
标准正态分布(0,1)N ，其概率密度22
(),()x x x ϕ-
=-∞<<+∞，分布函数
为
2
2
()t x
x e dt φ-
-∞
=。
2. 设
)
,(~2σμN X ，
则
{}x P X x μφσ-⎛⎫
≤= ⎪
⎝⎭
，
{}b a P a X b μμφφσσ--⎛⎫⎛⎫
<≤=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()x φ的数值有表可查，特别有
(0)0.5,()1,()1()x x φφφφ=+∞=-=-。
3. 设),(~2σμN X ，则2(),()E X D X μσ==。
4. 设),(~2σμN X ，则),(~22σμb b a N bX a Y ++=)0(≠b 。
若),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，X 与Y 相互独立，则
),(~2
22121σσμμ+++N Y X 。
若12,,,n X X X 相互独立，),,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ，则
∑∑∑===n i n
i n i i i i n
i i
i c c c c c N X
c 1
1
21221
)(,(~为常数）
，，， σμ 5. 二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，记作
），，，，（），（γσσμμ222121~N Y X ，其中12(),()
E X E Y μμ==，
2212(),()D X D Y σσ==，(,)r R X Y =。
设(,)X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是0r =。
6. 当n 充分大时，独立同分布的随机变量12,,,n X X X 的和1n
i i X =∑近似服从正态
分布2(,)N n n μσ。
特别是当n 充分大时，若相互独立的随机变量12,,,n X X X 都服从“0-1”分
布，则1
n
i i X =∑服从二项分布(,)B n p ，近似服从正态分布(,)N np npq (1)q p =-,
这时1n i i P a X b φφ=⎛⎫⎛⎫⎧⎫
<≤≈-⎨⎬⎩⎭∑。
例1：分别求正态总体N （μ，σ2）在 （μ－σ，μ＋σ）；（μ－2σ，μ＋2σ）； 例2:某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正态分布N （4，0.25），质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件， 测得它的外直径为5.7cm ，试问该厂生产的这批零件是否合格？
()25.04，服从正态分布由于N ξ由正态分布的性质知，正态分布N （4，0.25）在(4-3×0.5，4+3×0.5) 之外取值的概率只有0.003, ()5.5,5.27.5∉而
例3：公共汽车门的高度是按照保证成年男 子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的。
如果某地成年男子的身高 （单位：厘米）。
则车门应设计为多高?
解：设公共汽车门高设计为x ，由题意P 小于1%，
)(1)(),36,175(~x P x P N <-=≥∴ηηη 也就是,01.0)6
175
(
1<--=x φ,99.06175
(
>-）x φ .98.18833.26175,99.06175(>>->-x x x 即查表得）φ故公共汽车门的高度至少应
设计为189厘米
)()
4()2(.);2()4(.);
2()4(.;1)1(2.)11(,1,3),
,(~.42Φ-Φ-Φ--ΦΦ-Φ-Φ=≤<-==D C B A P D E N ξξξσμξ则已知例
1.
若正态曲线函数为2
)1(2
21)(--
=x e
x f π
，则)(x f ( B ）
A.有最大值，也有最小值
B.有最大值，没有最小值
C.无最大值，也无最小值
D.没有最大值，但有最小值
2.正态总体N(0,1)在区间（-2，-1）和（1，2）上取值的概率分别为p 1、p 2,则C A. p 1>p 2 B. p 1<p 2 C. p 1=p 2 D.不确定
3.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数)(x f 的图象，且8
)10(2
81)(--
=x e x f π
，则这
个正态总体
的均值与标准差分别是（ B ） A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10
4.生产过程中的质量控制图主要依据是（ D ） A ．工艺要求 B ．生产条件要求
C ．企业标准
D ．小概率事件在一次试验中几乎不可能发生原理 5.如果随机变量X ～N(μ，2
σ)，且EX=3，DX=1,则P(-1<X<1)=( D ) A.0.210 B.0.003 C.0.681
D.0.0215
6.已知ξ～N(0, 2
σ)且P(-2<ξ<0)=0.4,则P(ξ>2)=( A ) A.0.1 B.0.2
C.0.3
D.0.4
7.一个随机变量如果是众多的 、 互不相干的 、 不分主次的 偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布.
NCY00001.关于正态曲线，下列说法正确的是 . ②③ ①22)(21)(σμσ
πϕ--
=
x e
x 曲线上任一点M(x 0,y 0)的纵坐标y 0表示X=x 0的概率
②
⎰
∝
-a
dx x )(ϕ表示总体取值小于a 的概率
③正态曲线在x 轴上方且与x 轴一定不相交 ④正态曲线关于x=σ对称
⑤μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中.
HK00001.某镇农民年收入服从N(500,202)(单位：元) ,求此镇农民收入在[500，520]间人数的百分比.
解析：设X 表示此镇农民的收入，
由P(500-20<X ≤500+20)=0.6826
故P(500<X ≤520)
=2
1P(500-20<X ≤500+20)=0.3413
即此镇农民收入在[500，520]间人数约为34.13％.
JY00001. 某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N （4，0.25）.质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
欲判定这批零件是否合格，由假设检验基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是否在（μ-3σ，μ+3σ）内，还是在（μ-3σ，μ+3σ）之外. 由于圆柱形零件的外径ε～N （4，0.25），由正态分布的特征可知，正态分布N （4，0.25）在区间(4-3×0.5，4+3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而)5.5,5.2(7.5∉，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，认为该厂这批产品是不合格的.。