《平均变化率》
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高中数学人教B版选修2—2第一章1.1.1《函数的平均变化率》优秀教案
1.1.1 《函数的平均变化率》教案教学目的：理解函数的平均变化率，为进一步学习导数的概念做好准备.重点难点：数学符号语言的理解.学科素养：用所学探索未知，通过数学定义的教学，体会数学研究的手段方法.一、引入与新课：【提出问题】问题1：春游爬山的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁。
怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度？【抽象概括】假设图一是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．我们先假定一小段山路是直的（曲化直）。
设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)（如图二）．问题2：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 提示：自变量x 的改变量为x 1－x 0，记作Δx =x 1－x 0，函数值y 的改变量为y 1－y 0，记作Δy ＝y 1－y 0. 问题3：根据Δx 与Δy 的大小能否判断山坡陡峭程度？提示：图三可知，Δy 相同，Δx 不同，山坡AB 与BC 陡峭程度不同；图四可知，Δy 不同，Δx 相同，山坡AB 与BC 陡峭程度也不同。
所以根据Δx 与Δy 的大小不能判断山坡陡峭程度图一 图二图三图四问题4：观察图三和图四，可以用怎样的数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：观察图三和图四可知，两边山坡的倾斜的角度可以刻画山路的陡峭程度。
联想到直线的倾斜角的定义，可知1010tan y y y k x x xθ-∆===-∆可近似地刻画． 【解决问题】显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比Δy Δx的绝对值越大，山坡越陡，反之，山坡越缓．现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？一个很自然的想法是将弯曲山路分成许多小段（分割），每一小段山坡可视为平直的。
《函数平均变化率》课件
函数平均变化率的性质
函数平均变化率与函数的斜率有着密切的关系，我们将深入探讨这一性质。此外，我们还将讨论函数平 均变化率是否具有单调性。
实际应用
函数平均变化率在实际应用中具有广泛的用途。我们将通过两个应用案例来探讨其在统计个人收入变化 率和计算公司股价变化率中的应用。
如何优化平均变化率
优化平均变化率的计算结果需要考虑统计样本的影响，并学习如何剔除异常 值。这将使我们能够得到更准确的结果。
结论
函数平均变化率在数据分析中起着重要的作用。我们将总结其意义，并探讨 其在数据分析中的实际应用。
参考文献
为了更深入地了解函数平均变化率，我们准备了一些参考文献，供您进一步 研究和学习。
《函数平均变化率》PPT 课件
欢迎来到《函数平均变化率》课件！在本课程中，我们将探讨函数平均变化 率的概念、计算变化率是指函数在某个区间内的平均变化速度。我们将介绍它的定 义以及一些常见的应用场景。
如何计算函数平均变化率
函数平均变化率可以通过使用定义公式来计算。我们将提供详细的计算示例， 帮助您更好地理解计算过程。
人教版九年级数学课件《实际问题与一元二次方程(二)平均变化率问题》
特别强调：增长率不可为负，但可以超过1.
变式练习
人教版数学九年级上册
1.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的 百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得 (1 x)2 = 1 2
解这个方程，得
x1 =1+
2 2
,
x2
答：不能. 甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元， 乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元， 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
题后反思
人教版数学九年级上册
结合上面的例题和练习，思考下面问题：
问题2 从上面的药品年平均下降额的大小能否说明乙种药
解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意， 列方程，得
6 000 ( 1－y )2 = 3 600.
解方程，得
y1≈0.225，y2≈－1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
题后反思
人教版数学九年级上册
结合上面的例题和练习，思考下面问题：
问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？
x1=0.1, x2=-1.1,
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
达标检测
人教版数学九年级上册
4.菜农小李种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发 销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，小李为 了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2元的价格对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率；
2.某商店卖同一种商品第一个月的单价为10元，第二个月比第一个月
【数学】1.1.1《函数的平均变化率》课件(新人教B版选修2-2)
x 2 − x1
O
x1
x2
x
思考 观察函数f ( x) ( 的图象图 . . ),平均 变化率 ∆f f (x ) − f (x ) = ∆x x −x ? 表示什么
图 . −
如 把 径 表 为 积 的 数那 果 半 r 示 体 V 函 , 么 r(V ) = V
π
.
当 气 积 从 增 到 L时 气 半 增 了 空 容 V 加 , 球 径 加 r( ) − r( ) ≈ . (cm), r( ) − r( ) 气 的 均 胀 为 球 平 膨 率 ≈ . (dm/ L). − 类 地当 气 量 L增 到 L时 气 半 似 , 空 容 从 加 , 球 径 增 了 ( ) − r( ) ≈ . (dm), 加 r r( ) − r( ) 气 的 均 胀 为 球 平 膨 率 ≈ . (dm/ L). − 可 看 ,随 气 体 逐 变 ,它 平 膨 以 出 着 球 积 渐 大 的 均 胀 逐 变 了 率 渐 小 . V V , 思考 当空气的容量从 增加到 时气球的平 ? 均膨胀率是多少
第 章 导 一 数
h(t ) = − . t + . t + 表 . 示如何求他在某时刻的 速 度?他距水面的最大 ? 高度是多少
你看过高台跳水比赛吗 ? 照片中锁定了运动员比 . , 赛的瞬间 已知起跳 s后 运动员相对于水面的高 度 h (单位: 的 化 问 随 可 . 富 彩 变 率 题 处 见 让 们 其 的 个 题开 变 我 从 中 两 问 , 始 化 与 数 学 吧 率 导 的 习 !
探究 计算运动员在 ≤ t ≤
观 这段时间
, : 里的平均速度并思考下面的问题
( ) 运动员在这段时间里是 ? 静止的吗 ( ) 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程——平均变化率》PPT
x1 0.225, x2 1.775(不合题意,舍去)
答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%
知识点二 年平均下降率
设 一 两 依乙年年题种后后意药乙乙得品种种，成药药6本品品00的成成0（年 本 本1平 为 为-y均）2下=63降6，0600率00000（为（元 元1y1-,，y-y））2 解方程得 y1≈0.225，,y2≈-1.775 答:乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5.% 比较：两种药品成本的年平均下降率（相同）
增则长它(们或的降数低量)n关次系后可的表量示是为b,_a_(_1__x_)_n___b____
2注意： （1）1与x的位置不要调换； （2）解这类问题列出方程一般用直接开平方 法。
1.将练习2与练习3中所列方程解答完整. 2.教科书22页6题
(2013·广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了 “一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
活动一 两年前生产 1吨甲种药品的成本是
5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元, 随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种 药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的 成本是3600元，哪种药品成本的年平均下 降率较大?
思考:成本下降额与成本下降率有何区别？成本下降额较 大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增 长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多 少捐款？
解：(1)设捐款增长率为x，则10 000(1＋x)2＝12 100，解方 程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，故捐款 的增长率为10%
(2)12 100×(1＋10%)＝13 310(元)
答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%
知识点二 年平均下降率
设 一 两 依乙年年题种后后意药乙乙得品种种，成药药6本品品00的成成0（年 本 本1平 为 为-y均）2下=63降6，0600率00000（为（元 元1y1-,，y-y））2 解方程得 y1≈0.225，,y2≈-1.775 答:乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5.% 比较：两种药品成本的年平均下降率（相同）
增则长它(们或的降数低量)n关次系后可的表量示是为b,_a_(_1__x_)_n___b____
2注意： （1）1与x的位置不要调换； （2）解这类问题列出方程一般用直接开平方 法。
1.将练习2与练习3中所列方程解答完整. 2.教科书22页6题
(2013·广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了 “一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
活动一 两年前生产 1吨甲种药品的成本是
5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元, 随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种 药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的 成本是3600元，哪种药品成本的年平均下 降率较大?
思考:成本下降额与成本下降率有何区别？成本下降额较 大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增 长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多 少捐款？
解：(1)设捐款增长率为x，则10 000(1＋x)2＝12 100，解方 程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，故捐款 的增长率为10%
(2)12 100×(1＋10%)＝13 310(元)
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》2-1-1平均变化率
北师大版高中数学选修2 北师大版高中数学选修2-2 第二章《变化率与导数》 第二章《变化率与导数》
§1 变化的快慢与变化率
周至县第三中学 数学组 马周科
1 © Synopsys 2012 1
一、学习目标： 学习目标：
1、理解函数平均变化率的概念； 理解函数平均变化率的概念； 2、会求给定函数在某个区间上的平 均变化率，并能根据函数的平均变化 均变化率， 率判断函数在某区间上变化的快慢。 率判断函数在某区间上变化的快慢。
物体从某一时刻开始运动， 表示此物体 物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体 经过时间t走过的路程 走过的路程， 经过时间 走过的路程，在运动的过程中测得了 一些数据，如下表. 一些数据，如下表
t(秒 ) s( 米 )
0 0
2 6
5 9
10 13 15 … 20 32 44 …
物体在0 物体在0～2秒和10～13秒这两段时间内， 秒和10～13秒这两段时间内， 10 秒这两段时间内 哪一段时间运动得更快？ 哪一段时间运动得更快？
2 © Synopsys 2012 2
• 二、学习重点： 学习重点：
• 从变化率的角度重新认识平均速度的概念， 从变化率的角度重新认识平均速度的概念， 知道函数平均变化率就是函数在某区间上 变化的快慢的数量描述。 变化的快慢的数量描述。
• 教学难点： 教学难点：
• 对平均速度的数学意义的认识
• 三、学习方法： 学习方法：
f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
数学 应用
某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示, 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分 12个月的体重变化如图所示 别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重 别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重 12 的平均变化率. 的平均变化率.
§1 变化的快慢与变化率
周至县第三中学 数学组 马周科
1 © Synopsys 2012 1
一、学习目标： 学习目标：
1、理解函数平均变化率的概念； 理解函数平均变化率的概念； 2、会求给定函数在某个区间上的平 均变化率，并能根据函数的平均变化 均变化率， 率判断函数在某区间上变化的快慢。 率判断函数在某区间上变化的快慢。
物体从某一时刻开始运动， 表示此物体 物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体 经过时间t走过的路程 走过的路程， 经过时间 走过的路程，在运动的过程中测得了 一些数据，如下表. 一些数据，如下表
t(秒 ) s( 米 )
0 0
2 6
5 9
10 13 15 … 20 32 44 …
物体在0 物体在0～2秒和10～13秒这两段时间内， 秒和10～13秒这两段时间内， 10 秒这两段时间内 哪一段时间运动得更快？ 哪一段时间运动得更快？
2 © Synopsys 2012 2
• 二、学习重点： 学习重点：
• 从变化率的角度重新认识平均速度的概念， 从变化率的角度重新认识平均速度的概念， 知道函数平均变化率就是函数在某区间上 变化的快慢的数量描述。 变化的快慢的数量描述。
• 教学难点： 教学难点：
• 对平均速度的数学意义的认识
• 三、学习方法： 学习方法：
f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
数学 应用
某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示, 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分 12个月的体重变化如图所示 别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重 别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重 12 的平均变化率. 的平均变化率.