§2.4 差商与Newton插值公式
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计算方法 Newton插值
或者表示成
f[x0 , x1..., xn]
n k0
f(xk ) , ω(xk )
其中ω(xk
)
n
(xk
i0
xi)
ik
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi ) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。
这种求解差商的方法的优点是直接使用公式， 缺点是计算量较大。
计算方法 (Numerical Analysis)
第2次 Newton 插值
1. 牛顿插值多项式的概念 2. 差商及其性质 3. 牛顿插值多项式的系数与误差余项的导出 4. 利用牛顿插值多项式近似求解的例子
牛顿插值多项式的概念
§3 均差与牛顿插值多项式
拉格朗日插值多项式的优点与缺点
➢ 优点：结构对称，使用方便。
无x n ,将出现在系数中 （3.12）
其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数。
它满足以下的递推公式：
Nn(x) Nn1(x) an(x x0 )(x x1) …(x xn1)
➢ 牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另 一种表示形式,
➢ 与Lagrange多项式相比 • 它克服了“增加一个节点时整个计算工作重 新开始”的缺点, • 节省乘除法运算次数, • 在Newton插值多项式中用到的差商等概念， 又与数值计算的其他方面有密切的关系.
a2
f( x2 ) f( x0 ) a1( x2 x0 ) ( x2 x 0 ) ( x2 x1)
f[x0, x 2 ] f[x0, x1] ( x2 x1)
f[x0, x 2 ] f[x1, x0 ] ( x2 x1)
f[x1, x 0, x 2 ]
多项式的插值多项式与Newton插值知识点
多项式的插值多项式与Newton插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的一个重要概念，它用于将给定的一组数据点拟合为一个多项式函数。
在多项式的插值问题中，给定n + 1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中xi不相等，yi可以是任意实数，要求找到一个n次多项式P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。
插值多项式的目的是通过已知的数据点，找到一个多项式函数，从而能够在这些数据点上精确地插值。
Newton插值是一种常用的插值方法，它采用了差商的概念。
差商是一种用于表示多项式系数的方法，通过递推关系可以快速计算出插值多项式的系数。
为了使用Newton插值，首先需要计算出差商表。
差商表的第一列是给定的数据点的纵坐标值，第二列是相邻数据点的差商，第三列是相邻差商的差商，以此类推。
差商表的对角线上的元素即为插值多项式的系数。
插值多项式的计算过程可以通过以下步骤来完成：1. 根据给定的数据点，构建差商表。
2. 根据差商表的对角线上的元素，计算插值多项式的系数。
3. 根据插值多项式的系数，构建插值多项式。
在实际应用中，多项式的插值多项式可以用于数据的拟合和插值计算。
通过插值多项式，我们可以通过已知数据点推断出未知数据点的值，从而实现对数据的预测和估计。
总结起来，多项式的插值多项式与Newton插值是数值分析中常用的方法。
它们通过利用已知的数据点，构建插值多项式来拟合数据，从而实现数据的预测和插值计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点选择适合的插值方法，并利用插值多项式进行数据的分析和处理。
Newton插值算法
Newton 插值的算法实现Lagrange 插值公式结构紧凑，便于理论分析。
利用插值基函数也容易到插值多项式的值。
Lagrange 插值公式的缺点是，当插值节点增加，或其位置变化时，全部插值基函数均要随之变化，从而整个插值公式的结构也发生变化，这在实际计算中是非常不利的。
下面引入的Newton 插值公式可以克服这个缺点。
1、问题描述当n=1时，由点斜式直线方程知，过两点00(,())x f x 和11(,())x f x 的直线方程为1010010()()()()().f x f x N x f x x x x x −=+−−若记 100110()()[,],f x f x f x x x x −=−则可把1()N x 写成10010()()[,]().N x f x f x x x x =+−显然，1()N x 就是一次Lagrange 插值多项式1()L x 。
由于1()y N x =表示通过两点00(,())x f x 和11(,())x f x 的直线，因此一次插值亦称为线性插值。
当n=2时，进而记120121*********[,][,]()()[,],[,,]f x x f x x f x f x f x x f x x x x x x x −−==−−类似地，构造不超过二次的多项式2001001201()()[,]()[,,]()().N x f x f x x x x f x x x x x x x =+−+−−容易检验，这样的2()N x 满足插值条件200211222()(),()(),()().N x f x N x f x N x f x ===因此，2()N x 就是二次Lagrange 插值多项式2()L x 。
二次插值的几何解释是，用通过三点00(,())x f x ，11(,())x f x ，22(,())x f x 的抛物线2()y N x =来近似所考察的曲线()y f x =，因此这类插值亦称为抛物线插值。
差商与牛顿基本插值公式
同理可证 ak f x0 , x1,, xk k 0,1,2,, n
可以得到 n 次牛顿插值多项式为
N n x f x0 f x0 , x1 x x0 f x0 , x1 , x2 x x0 x x1 f x0 , x1 , , xn x x0 x x1 x xn 1
定义 f x 在点 x0 , x1 ,, xm 处的 m 阶差商为
f x0 , x1 ,, xm
f x1 ,, xm x0 , x1 ,, xm1 xm x0
j 0
m
x
j
x0 x j x j 1 x j x j 1 x j xm
n 次牛顿插值多项式为
Nn x a0 a1 x x0 a2 x x0 x x1 an x x0 x x1 x xn1
定义零阶差商为
f xi f xi
定义 f x 在点 xi , x j 处的一阶差商为
f xj
通过上式可以发现差商具有对称性，即任意调换节点的次序，不会影响差商的值，例如
f x0 , x1, x2 f x1, x2 , x0 f x1, x0 , x2
通过满足插值条件 Nn xi f xi
i 0,1,2,, n ，有
return;
已知函数表
x
x
用线性插值得
100 10
121 11
144 12
169 13
115 N1 115 10.7143
用抛物线插值得
115 N 2 115 10.7228
可以得到 n 次牛顿插值多项式为
N n x f x0 f x0 , x1 x x0 f x0 , x1 , x2 x x0 x x1 f x0 , x1 , , xn x x0 x x1 x xn 1
定义 f x 在点 x0 , x1 ,, xm 处的 m 阶差商为
f x0 , x1 ,, xm
f x1 ,, xm x0 , x1 ,, xm1 xm x0
j 0
m
x
j
x0 x j x j 1 x j x j 1 x j xm
n 次牛顿插值多项式为
Nn x a0 a1 x x0 a2 x x0 x x1 an x x0 x x1 x xn1
定义零阶差商为
f xi f xi
定义 f x 在点 xi , x j 处的一阶差商为
f xj
通过上式可以发现差商具有对称性，即任意调换节点的次序，不会影响差商的值，例如
f x0 , x1, x2 f x1, x2 , x0 f x1, x0 , x2
通过满足插值条件 Nn xi f xi
i 0,1,2,, n ，有
return;
已知函数表
x
x
用线性插值得
100 10
121 11
144 12
169 13
115 N1 115 10.7143
用抛物线插值得
115 N 2 115 10.7228
牛顿插值
§4 Newton’s Interpolation
注：
由唯一性可知 Nn(x) ≡ Ln(x)， 只是算法不同，表达 ， 只是算法不同， 形式不同，故其余项也相同， 形式不同，故其余项也相同，即
f ( n +1) (ξ x ) ωn +1 ( x ) f [ x, x0 , ... , xn ]ωn +1 ( x ) = ( n + 1) !
+ f [ x , x0 , ... , xn ]( x − x0 )...( x − xn−1 )( x − xn )
Nn(x)—n次多 次 项式，满足： 项式，满足： Nn(xi)= f(xi)
ai = f [ x0, …, xi ]
Nn(x) ≡ Ln(x)，??? ，
Rn(x)—插值余项， 插值余项， 插值余项 满足R ， 满足 n(xi)=0， i=0,…,n
差分计算可通过构造差分表得到
xk f ( xk ) =fk ∆fk x0 f0 x1 f1 x2 f2 x3 f3 x4 f4
增加
1
t
t(t-1)/2! t(t-1)(t-2)/3!
∆2 fk
2
∆3 fk ∆4 fk
3 4
∆f0 ∆f1 ∆f2 ∆f3 ∆f4
∆2 f0 ∆3 f0 ∆4 f0 ∆5 f0 ∆ f1 ∆ f1 ∆ f1 ∆ f2 ∆ f2
f ( k ) (ξ ) f [ x 0 , ... , x k ] = , ξ ∈ ( x min , x max ) k!
实际计算过程为
f (x0) f (x1) f (x2) … f (xn−1) − f (xn) f [x0, x1] f [x1, x2] …… …… f [xn−1, xn] − f [xn, xn+1]
计算方法-第2章-插值法均差与牛顿插值公式
f1 f0 x1 x0
f2 f0 f1 f0
x2 x0
x1 x0
x2 x1
依次可得到 a3, a4 , , an 。为写出系数的一般表达式，
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4
现引入差商（均差）定义。
一、差商(均差)
定义2. 设f (x)在互异的节点 xi 处的函数值为 fi ,i 0,1,, n 称
4 15 13
4
7 12 -1
-3.5
-1.25 12
2.3.2 牛顿插值公式
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13
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Rn(x)
f (x) Nn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x)
f [x, x0 , x1 ,, xn ]n1(x)
我们称 Nn(x) 为牛顿(Newton)均差插值多项式。
f [x1 , x2 ]
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ]
三阶差商
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
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二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的.
但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多 项式在节点处不可导等缺点.
牛顿插值公式
f(x0)=-56, f [x0, x1] = 40, f [x0, x1, x2] = –13, f [x0, x1, x2, x3] = 2 , f [x0, x1, x2, x3, x4] = 0
N4(x) = –56 + 40(x + 2) –13(x + 2)(x + 1) + 2(x + 2)(x + 1) x
一阶差商 f [ x j , x j1]
f ( x j1) f ( x j ) x j1 x j
f ( x j ) f ( x j1) x j x j1 x j1 x j
( j = 0,1,…,n-1 )
二阶差商
f [x j , x j1, x j2 ]
f [x j1, x j2 ] f [x j , x j1] xj2 xj
函数值的计算: N4(x) = –56 + (x + 2) [40–(x + 1) [13 +2 x]]
f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1](x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ](x x0 )(x x1 ) f [ x0 , x1, , xn ](x x0 )(x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1, , xn , x](x x0 )(x x1 ) ( x xn )
a0 a1( x1 x0 )
f ( x1 )
a0 a1( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )(x2 x1 ) f ( x2 )
解下三角方程组过程中引入符号
f [ x0 , x1 ]
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
f [ x1 , x2 ]
N4(x) = –56 + 40(x + 2) –13(x + 2)(x + 1) + 2(x + 2)(x + 1) x
一阶差商 f [ x j , x j1]
f ( x j1) f ( x j ) x j1 x j
f ( x j ) f ( x j1) x j x j1 x j1 x j
( j = 0,1,…,n-1 )
二阶差商
f [x j , x j1, x j2 ]
f [x j1, x j2 ] f [x j , x j1] xj2 xj
函数值的计算: N4(x) = –56 + (x + 2) [40–(x + 1) [13 +2 x]]
f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1](x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ](x x0 )(x x1 ) f [ x0 , x1, , xn ](x x0 )(x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1, , xn , x](x x0 )(x x1 ) ( x xn )
a0 a1( x1 x0 )
f ( x1 )
a0 a1( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )(x2 x1 ) f ( x2 )
解下三角方程组过程中引入符号
f [ x0 , x1 ]
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
f [ x1 , x2 ]
数值分析牛顿插值法
m fim m!hm
f [x0 , x1 ,
, xk ]
k f0 k!hk
k fk k!hk
华长生制作
19
1.Newton向前(差分)插值公式
如果节点 x0 , x1 , , xn是等距节点 ,即
xk
x0
k h, k
0,1,
,n,h
b
a n
Newton插值基本公式为
n
Nn(x) f0 f [x0 , x1 , , xk ]k (x) k 1
fk fk 1 fk k 0,1, ,n 1 为f (x)在 xk 处的一阶向前差分
fk fk fk1 k 1,2, ,n 为f (x)在 xk 处的一阶向后差分
2 fk fk 1 fk 为f (x)在 xk 处的二阶向前差分
2 fk fk fk 1 为f (x)在 xk 处的二阶向后差分
x1 f ( x1 )
f [ x0 , x1 ] f [x1 , x2 ]
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ] f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
若将x xi ,(i 0,1, , n)视为一个节点 ,则
f [x0 , x1 ,
, xk , x]
f [ x0 , x1 ,
, xk ] f [x0 , x1 , xk x
, xk 1 , x]
f [x0 , x1 , , xk 1 , x] f [x0 , x1 , , xk ] f [x0 , x1 , , xk , x]( x xk )
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称为函数f (x)在x0、x1 、xk 点的二阶差商.
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6 6
第二章 插值法
一般地，k-1阶差商的差商
f [ x0 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1 ,, xk ] x k x k 1
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1010
第二章 插值法
性质3 若f(x)在[a,b]上存在n阶导数, 且节点x0 , x1 ,…,
xn∈[a,b] ,则至少存在一点 [a, b] 满足下式
f ( n ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xn ] n!
f ( x 3 ) f ( x0 ) 1 1 a3 a a 1 2 x x x3 x2 x x 3 0 3 1
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1212
第二章 插值法
2.4.2 牛顿插值公式 N n ( x) a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )( x xn1 )
a0 f ( x0 )
1616
第二章 插值法
f ( x ) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
f [ x , x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x , x0 , x1 ]( x x1 )
f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ]( x x2 )
1414
第二章 插值法
利用差商表的最外一行，构造Newton插值多项式
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , , xn ]( x x0 )( x xn1 )
且有如下递推形式
N n ( x ) N n1 ( x ) f [ x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn1 )
f [ x0 , x1 , x2 ]
…
… xn , f ( xn ) f [ xn1 , xn ] f [ xn2 , xn1 , xn ] …
f [ x0 , , xn ]
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5 5
第二章 插值法
2.4.1 差商及其基本性质 定义1 称
f ( x0 ) f ( x1 ) f [ x0 , x1 ] x0 x1
为 f (x)在x0、x1点的一阶差商. 一阶差商的差商
f [ x0 , xk ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x1
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8 8
第二章 插值法
性质1 差商可以表示为函数值的线性组合，即
f ( xk ) f [ x0 , x1 , , xn ] k 0( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
…
… xn , f ( xn ) f [ xn1 , xn ] f [ xn2 , xn1 , xn ] …
f [ x0 , , xn ]
计算原则： 任意一个k(k>=1)阶差商的数值等于一个分式的值， 分子为该数左侧的数减去左上侧的数之差，分母为同 行最左侧的插值节点值减去这一行往上数第k个插值 节点值之差。
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1515
第二章 插值法
牛顿插值公式推导二：
设x是[a，b]上一点，由一阶差商定义得 f ( x ) f ( x0 ) f [ x , x0 ] x x0
得
f ( x ) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
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1717
第二章 插值法
f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn1 ) f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn )
f [ x, x0 ,, xn1 ] f [ x0 , x1 ,, xn ] f [ x, x0 ,, xn ]( x xn )
依次把后式代入前式，最后得 f ( x ) f ( x0 ) f [ x , x0 ]( x x0 )
f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x , x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x , x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 )
{ x0 , x1 , xn1 }
且 Nn ( xi ) Nn1 ( xi ) f ( xi ) ,
i 0， 1,n
为实数
qn1 ( x) an1 ( x x0 )( x xn )
同样 Nn ( x ) Nn1 ( x ) qn ( x )
qn ( x) an ( x x0 )( x xn1 )
an f [ x0 ,, xn ]
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1313
第二章 插值法
构造差商表
一阶 二阶 n阶
x0 , f ( x0 )
x1 , f ( x1 ) f [ x0 , x1 ]
x2 , f ( x2 ) f [ x1 , x2 ]
an , k n 推论：若f ( x ) P ( x ), f [ x0 ,, xk ] 0, k n
n
例1 f (x)=－6x8+7x5－10, 求f [1,2, …,9]及f [1,2, …,10]. 解 f [1,2, …,9]=-6, f [1,2, …,10]=0.
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4 4
第二章 插值法
这样： a f ( x ) 0 0
f ( x1 ) f ( x0 ) a1 x1 x0 1 f ( x2 ) f ( x0 ) a2 a1 x2 x1 x2 x0
同理，由二阶差商定义 f [ x , x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x , x0 , x1 ] x x1 得 f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ]( x x1 )
如此继续下去，可得一系列等式
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f ( x1 ) f ( x0 ) a1 f [ x0 , x1 ] x1 x0
1 f ( x 2 ) f ( x0 ) a2 a1 x 2 x1 x 2 x0
英1642-1727 1 f [ x2 , x0 ] f [ x1 , x0 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x 2 x1
称为f (x)在x0 , x1 , …, xk点的 k阶差商 一般f(xi) 称为f(x) 在xi点的零阶差商，记作f[xi]。
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7 7
第二章 插值法
f[xi,xj,xk]是指
f[xi , xk]- f[xi , xj] f[xi , xj , xk]= xk- xj
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] 例如：f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1 一般的,可定义区间[xi, xi+1 ,…, xi+n]上的n阶差商为
f [ xi ,..., xi n 2 , xi n ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n1 ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n ] x i n x i n 1
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1111
第二章 插值法 一阶 二阶 n阶
x0 , f ( x0 )
差 商 表
x1 , f ( x1 )
f [ x0 , x1 ]
x2 , f ( x2 ) f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
第四节
差商与Newton插值公式
1
第二章 插有严格的规律性,便于记忆. 缺点 : 不具有承袭性 ,即每当增加一个节点时 ,不仅 要增加求和的项数,而且以前的各项也必须重新计算. 为了克服这一缺点 , 本讲将建立具有承袭性的插值 公式—Newton插值公式.