中考数学考前训练：《二元二次方程组》专题测试及答案
人教版初中数学方程与不等式之二元二次方程组经典测试题含答案解析
人教版初中数学方程与不等式之二元二次方程组经典测试题含答案解析一、选择题1．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩【答案】12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.【详解】22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩①②, ①式左边分解因式得，()20x y x y -++=（），∴x-y+2=0或x+y=0，原方程组转化为以下两个方程组：（i ）22208x y x y -+=⎧⎨+=⎩或（ii ）22+08x y x y =⎧⎨+=⎩ 解方程组（i ）得，12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，解方程组（ii ）得，3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩, 所以，原方程组的解是:12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.2．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．3．解方程组：【答案】，． 【解析】【分析】先由①得x=4+y ，将x=4+y 代入②，得到关于y 的一元二次方程，解出y 的值，再将y 的值代入x=4+y 求出x 的值即可.【详解】解：由①得：x =4+y ③，把③代入②得：（4+y ）2-2y 2=（4+y ）y ，解得：y 1=4，y 2=-2，代入③得：当y 1=4时，x 1=8，当y 2=-2时，x 2=2， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，. 【点睛】本题考查了解高次方程.4．解方程组：222920x xy y x y ⎧++=⎨--=⎩． 【答案】5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】【分析】先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【详解】22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．5．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩．【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可．【详解】由①得25y x =-+．③把③代入②，得22(25)70x x x --+++=．整理后，得2760x x -+=．解得11x =，26x =．由11x =，得1253y =-+=．由26x =，得21257y =-+=-．所以，原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩.6．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元【解析】【分析】根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．【详解】解：设实际销售运动衣x 套,实际每套运动衣的利润是y 元.根据题意 ，可列方程组()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩解得：1212800800,2020x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩(舍去)， 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．7．222620x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【解析】【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．【详解】解：原方程组变形为()()2620x y x y x y -=⎧⎨-+=⎩∴2620x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或260x y x y -=⎧⎨+=⎩∴原方程组的解为 42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 故答案为：42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【点睛】 本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．8．解方程组：231437xy y y x ⎧-=⎨-=⎩①② 【答案】32x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】由②得出y=7+3x③，把③代入①得出3x(7+3x)-(7+3x)2=14，求出x ，把x=-3代入③求出y 即可．【详解】解：由②得：y=7+3x(3)，把③代入①得：3x(7+3x)-(7+3x)2=14，解得：x=-3，把x=-3代入③得：y=-2， 所以原方程组的解为32x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键．9．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩.【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】【分析】把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.【详解】解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①② 由①得，4y x ＝﹣③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝整理，得2240x x ﹣﹣＝解得：1211x x ＝＝，把1x ＝③，得1413y ＝﹣（把1x ③，得2413y ＝﹣（所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.10．21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩【答案】10x y =-⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y ，求出未知数x 的值后，进而求得这个方程组的解．【详解】解：由①得：1y x =+③把③代入②，得22(1)20x x x -+-=,整理得：220x x --=，解得11x =-，22x =．当11x =-时，1110y =-+=当22x =时，2213y =+=∴原方程组的解为1110x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．11．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①②将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．12．前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%．【解析】【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可．【详解】设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，根据题意得 ()()()()21210161210101 3.2x x y x x y ++-+=⎧⎪⎨+++=+-⎪⎩ 解得8020%x y =⎧⎨=⎩80+12=92（万元），答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%，故答案为：92，80，20%．【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键．13．解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩．【答案】1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【解析】【分析】先由②得(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩最后分别解这两个方程组即可． 【详解】解：2226691,x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，所以原方程组变为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩解这两个方程组得：41x y =⎧⎨=⎩，16575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以原方程组的解为1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【点睛】此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．14．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②【答案】5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.【详解】2220{25x xy y x y --=+=①②由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩.15．解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩【答案】1122x y =⎧⎨=-⎩; 2222x y =-⎧⎨=⎩；3322x y =⎧⎨=⎩；4422x y =⎧⎨=⎩. 【解析】 试题分析：方程整理为：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解得1122x y =⎧⎨=-⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩ ，3322x y =⎧⎨=⎩，4422x y =-⎧⎨=-⎩.16．（探究证明）(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H.，求证：=EF AD GH AB； （结论应用） (2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若11=15EF GH ，求BN AM； （联系拓展）(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DN AM 的值．【答案】（1）证明见解析；(2)1115；（3）45.【解析】分析：(1)过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，根据矩形的性质证明△PDA∽△QAB；(2)根据(1)的结论可得BNAM；(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，SC＝x，DS＝y，在Rt△CSD，Rt△ARD中，用勾股定理列方程组求出AR，AB，结合(1)的结论求解.详解：(1)如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT＋∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.∴AP ADBQ AB＝，∴EF ADGH AB＝.(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，∴由(1)的结论可得EF ADGH AB＝，BN ADAM AB＝，∴1115 BN EFAM GH＝＝.(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得DN AR AM AB＝．设SC ＝x ，DS ＝y ，则AR ＝BS ＝5＋x ，RD ＝10﹣y ，∴在Rt △CSD 中，x 2＋y 2＝25①，在Rt △ARD 中，(5＋x )2＋(10﹣y )2＝100②，由②﹣①得x ＝2y ﹣5③，222525x y x y ⎧⎨-⎩＋＝＝，解得34x y ⎧⎨⎩＝＝，50x y -⎧⎨⎩＝＝(舍)， 所以AR ＝5＋x ＝8，则84105DN AR AM AB ＝＝＝.点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程仍然适用于一般图形.17．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；（3）如图3，若CE≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，CE=43，求AC BC的值．【答案】（1）见解析;（2）6 ; （3）57. 【解析】【分析】（1）只要证明△ECH ∽△BCD ，可得EC BC =CH CD，即可推出CE•CD=CH•BC ； （2）如图2中，连接AH ．只要证明△AEH ∽△HFB ，可得AE HF =EH FB ，推出FH 2=6，推出6，即可解决问题．（3）只要证明△ECF ∽△BCA ，求出CF 即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴EC CH BC CD=，∴CE•CD=CH•BC．（2）解：如图2中，连接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，∴∠BHC=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12（180°﹣∠BAC）=90°+12BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AEH=∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AE EH HF FB=，∴FH2=6，∴HE=HF=6，∴EF=26．（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，∴HM=HN=52，， ∵∴∵S △HCF ：S △HCE =FH ：EH=FC ：EC ， ∴x（）：， 又∵x 2=y 2+（52）2， 解得∴∵∠CEF=∠B ，∠ECF=∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ， ∴EC CF BC AC=，∴AC CF BC EC ===57． 【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．18．一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.【答案】306【解析】【分析】设百位数字是x ，个位数字是y ．则依据“两个数字的和为9；这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9”列出方程组．【详解】设百位数字是x ，个位数字是y ．则9100339x y y x xy +⎧⎨++⎩＝＝，解得36x y ⎧⎨⎩＝＝，90x y ⎧⎨⎩＝＝（不符合题意，舍去）． 答：这个三位数是306．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．19．()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】3022x y =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】运用代入法进行消元降次，即可得解.【详解】()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②由①，得8x y +=-③将③代入②，得6424x +=，解得30x =-④将④代入①，得22y =∴方程组的解为3022x y =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.20．解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩【答案】1131x y =⎧⎨=⎩ 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程，再分别与方程②组成方程组，解二元一次方程组即可得到答案．【详解】解：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②，由①得：x 3y 0-= 或 x y 0+=原方程组化为： 302x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或02x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：1131x y =⎧⎨=⎩ 或 2211x y =⎧⎨=-⎩ ∴ 原方程组的解为1131x y =⎧⎨=⎩ 或 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握利用因式分解降次是解题关键．。
初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编附答案解析(1)
初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编附答案解析(1)一、选择题1．解方程组：226021x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩【答案】2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．【详解】原方程组变形为(3)(2)021x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩， ∴3021x y x y +=⎧⎨+=⎩或2021x y x y -=⎧⎨+=⎩∴原方程组的解为2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．2．解方程组：⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2{1x y ==-；（2）3{45x y z ===【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.（1）2{1x y ==- ； (2) 3{45x y z ===“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.3．已知A ，B 两地公路长300km ，甲、乙两车同时从A 地出发沿同一公路驶往B 地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A 地相距105km 的C 处取回货物，于是甲车立即原路返回C 地，取了货物又立即赶往B 地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到达B 地，两车的速度始终保持不变，设两车山发x 小时后，甲、乙两车距离A 地的路程分别为y1(km)和y2(km)．它们的函数图象分别是折线OPQR 和线段OR ．（1）求乙车从A 地到B 地所用的时问；（2）求图中线段PQ 的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（3）在甲车返回到C 地取货的过程中，当x= ，两车相距25千米的路程.【答案】（1）5h （2）90360y x =-+（3）67h 30或77h 30【解析】（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再求甲车从A 地到B 地所花时间；即可求出乙车从A 地到B 地所用的时间；（2）由题意可知，求出线段PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x 的值.（1）解：由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为180290÷=（km/h ） 甲车行驶的总路程为： ()2180105300450⨯-+=（km)甲车从A 地到B 地所花时间为： 450905÷=（h ）又∵两车同时到达B 地，∴乙车从A 地到B 地所用用的时间为5h.（2）由题意可知，甲返回的路程为18010575-=（km)，所需时间为575906÷=（h ），517266+=.∴Q 点的坐标为（105， 176）.设线段PQ 的解析式为： y kx b =+， 把（2，180）和（105， 176）代入得： 1802{171086k b k b =+=+，解得90360k b =-=，， ∴线段PQ 的解析式为90360y x =-+.（3）6730 h 或7730“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数型结合的思想解答问题．4．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1⎧--=⎨+=⎩【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩即可． 【详解】由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，x 3y 3∴-=，解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．5．解方程组【答案】原方程组的解为：， 【解析】【分析】把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.【详解】 解：把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，x 2+4x =0，解得：x =-4或x =0，当x =-4时，y =-3，当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.6．已知113 2x y =⎧⎨=-⎩是方程组22x y mx y n⎧+=⎨+=⎩的一组解，求此方程组的另一组解.【答案】22-2 3x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】先将113 2x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y mx y n⎧+=⎨+=⎩中求出m、n的值，然后再求方程组的另一组解．【详解】解：将113 2x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y mx y n⎧+=⎨+=⎩中得：131mn=⎧⎨=⎩，则方程组变形为：22131x yx y⎧+=⎨+=⎩，由x+y=1得：x=1-y，将x=1-y代入方程x2+y2=13中可得：y2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为：22-2 3x y =⎧⎨=⎩.【点睛】用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m和n的值是解题的关键.7．解方程组：222920x xy yx y⎧++=⎨--=⎩．【答案】5212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252xx⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.【解析】【分析】先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【详解】22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．8．(1)解方程组：22120x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2)解方程组：51121526x y x y x y x y ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分别求出对应的x 的值即可；（2）设1A x y =+，1B x y=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．【详解】解：（1）由1x y -=得：1x y =+，将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()221120y y y y +-+-=， 整理得：2201y y --=，解得：1y =或12y =-， 将1y =代入1x y -=得：2x =， 将12y =-代入1x y -=得：12x =， 故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； （2）设1A x y =+，1B x y=-， 则原方程组变为：5121526A B A B +=⎧⎨-=⎩， 解得：656A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴66516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 经检验，1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是方程组的解． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．9．解方程组：22694(1)23(2)x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩ 【答案】1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将①中的x 2 -6xy+9y 2分解因式为：（x-3y ）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可【详解】解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，∴x ﹣3y ＝±2，∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩解得1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则10．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩【答案】1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩【解析】【分析】根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．【详解】解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩①②， 由①，得x=17+y③，把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，解之，得y 1=-15，y 2=-2．把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．故原方程组的解为1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩. 【点睛】本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．11．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm 、16cm 、20cm.【解析】【分析】设两直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12a b ⎧⎨⎩， 经检验，=12=16a b ⎧⎨⎩和=16=12a b ⎧⎨⎩cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.【点睛】 此题运用三角形面积表示出1=962ab12．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．【详解】 222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．13．已知()22221(0)0,0x y a b a b x my n m n ⎧+=>>⋯⋯⎪⎨⎪=+≠≠⋯⋯⎩①② 求证：()()2222222220a b m y mnb y n a b +++-=． 【答案】详见解析【解析】【分析】先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．【详解】证明：把②代入①，得2222()1my n y a b++=， ()222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．14．（1）解方程组：221104100x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩【答案】（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.【详解】（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①②由②410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --=解得：3y =或139y = 将3y =代入②12100-+=，解得：x =将139y =代入②1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② +①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.15．()()22244922120x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩ 【答案】117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，4430x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：()()22244922120x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩①②将①因式分解得：2(2)9x y -=，∴23x y -=或23x y -=-将②因式分解得：(24)(23)0x y x y +-++=∴240x y +-=或230x y ++=∴原方程化为：23240x y x y -=⎧⎨+-=⎩或23230x y x y -=⎧⎨++=⎩或23240x y x y -=-⎧⎨+-=⎩或23230x y x y -=-⎧⎨++=⎩解上述方程组得：117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，4430x y =-⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为：117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，4430x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．16．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩ 【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.【详解】解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，解这个方程，得121,4x x ==，把11x =代入（3），得13y =，把24x =代入（3），得29y =，所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.17．如图在矩形ABCD 中，AB= n AD,点E 、F 分别在AB 、AD 上且不与顶点A 、B 、D 重合， AEF BCE ∠=∠, 圆O 过A 、E 、F 三点。
初中数学中考复习：49二元二次方程组(含答案)
中考总复习：二元二次方程组--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．下列方程中，是二元二次方程的是（）A 、x 2+=1B 、x 2–y 2=1C 、x 2+3x–4=0D 、2．利用代入法解方程组，消去x 可得方程（ ）A 、y 2+17y+60=0 B 、y 2-17y+60=0C 、2y 2+17y+120=0 D 、2y 2-17y+120=03．下列各对未知数的值中，是方程组的解的是（）A 、B 、C 、D 、4. 如果 是方程组的一组解，那么这个方程组的另一组解是（ ）A 、B 、C 、D 、5．方程组有两组不同的实数解，则（ ）A 、≥B 、＞C 、＜＜D 、以上答案都不对6．方程组的解有（ ）组. A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题7．二元二次方程2x 2+3xy －6y 2+x －4y=3中，二次项是 ，一次项是 ，常数项是_______________.8. 若(2x 2-3y 2-10y+5)2+=0，则x= ，y=9．已知方程组是关于x 、y 的二元二次方程组，则k= .10．方程组的解是.11．已知是方程组的一个解，那么这个方程组的另一个解是.12. 已知和是方程的两个解，则.;三、解答题13. 解下列方程组：（1）（2）14. 已知方程组的一个解是，求m及另一个解.15. k为何值时，方程组只有唯一解？16. 已知：矩形的面积是，对角线长，那么矩形的长和宽是多少？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】A、D选项均含有分式；C选项中仅含有一个未知数.2.【答案】B3.【答案】A【解析】将各选项代入原方程，看是否满足方程的左右两边相等.4.【答案】A.【解析】将代入方程组求得，再解方程组.5.【答案】B【解析】两个方程消去y得，，方程组有两组不同的实数解，需要△＞0，即1+4m＞0，所以＞.6.【答案】D.二、填空题7．【答案】2x，3xy，－6y；x，－4y；－3.8.【答案】x=2，y=1.【解析】根据平方数和二次根式的非负性列方程组，解这个方程组即可.9.【答案】3；【解析】根据二元二次方程组的定义，最高次数应该是2，所以要求k-1=2，所以k=3.10.【答案】.【解析】可以采用代入法消元.11.【答案】.【解析】将代入原方程组求得，所以原方程组是，再解此方程组即可.12.【答案】1或-3【解析】将和分别代入方程得，，解得或，所以a＋b=1或-3.三、解答题13.【答案与解析】（1）解：由①得，x=2y……③，将③代入②整理得，,解得，，将分别代入③式得，，所以原方程组的解为.（2）解：①式左边分解因式得，，∴x-y+2=0或x+y=0，原方程组转化为以下两个方程组：（i）或（ii），解方程组（i）得，解方程组（ii）得，,所以，原方程组的解是14.【答案与解析】∵方程组的一个解是，将代入方程组得，m=4，∴原方程为，采用代入消元解得，∴m=4，另一组解是15.【答案与解析】由（2）得，y=x-k（3）将（3）代入（1）得，，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即，解得，k=.所以当k=时，方程组只有唯一解.16.【答案与解析】设矩形的长是xcm，宽是ycm. 由题意得，，解得，，，考虑到实际情况，长应该大于宽，所以符合题意.答：矩形的长是4cm，宽是3cm.。
中考数学一轮复习《二元二次方程组及其解法》练习题(含答案)
中考数学一轮复习《二元二次方程组及其解法》练习题（含答案）一、单选题1．下列方程组中，属于二元二次方程组为（ ）A ．02x y x y +=⎧⎨-=⎩；B ．1232x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩；C．11x x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩；D ．324x xy =⎧⎨=⎩．2．下列说法正确的是（ ） A ．x 2＝0是二项方程 B ．23x x +是分式方程C ．x 2+y ＝1是二元二次方程D ．x 2＝0是无理方程3．下列说法正确的是（ ） A ．330x x -=是二项方程B ．223x y +=是二元二次方程C ．223x x -=是分式方程D．230x -=是无理方程4．下列说法正确的是（ ）．A ．232541x x ++=是分式方程B ．25312x x y ⎧-=⎨=⎩是二元二次方程组C2=是无理方程 D ．6230x x +=是二次方程5．方程组2213x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是（ ） A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．12x y =-⎧⎨=-⎩C ．32x y =⎧⎨=⎩D ．12x y =⎧⎨=⎩6．下列方程组是二元二次方程组的是（ ）A ．2322y x xy x =⎧⎨+-=⎩B ．2013xy x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ C ．531x y x y +=⎧⎨-=-⎩D．23y y x ==-⎪⎩7．下列说法正确的是（ ）A ．20x x -=是二项方程B ．1423x x--=是分式方程 C22x -=D ．2 4xy =是二元二次方程8．已知点(),P a b 在经过原点的一条直线l 上，且22132143a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则22-a b ab 的值为（ ）A ．32B ．83C ．0D ．1-9．下列说法正确的是（ ）A ．232541x x ++=是分式方程B ．25312x x y ⎧-=⎨=⎩是二元二次方程组C2=是无理方程 D ．6230x x +=是二项方程10．下列方程中，没有实数解的是（ ）A ．22513x y x y +=-⎧⎨+=⎩ B ．57x y xy +=-⎧⎨=⎩C ．22517x y x y +=-⎧⎨+=⎩ D ．56x y xy +=-⎧⎨=-⎩11．在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，若6,10,6AB BD AC ===，则ABCD 的面积（ ） A ．20B ．24C ．40D．12．若实数x ,y 满足22227{3x y xy x y xy ++=+-=，则20222022x y +的值是（ ） A ．202221+B ．202221-C ．202221-+D ．202221--二、填空题13．写出一个二元二次方程_______________，使得该方程有一个解是21x y =⎧⎨=-⎩．14．已知方程组2231420x y x y x y -=⎧⎨-++=⎩，消去y ，化简后所得到的方程是________． 15．写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组___________，使它的解是34x y =⎧⎨=⎩和34x y =-⎧⎨=-⎩．16．方程组2232108710x x y y ⎧--=⎨+-=⎩的解为 ___．17．将二元二次方程22694x xy y -+=化为二个二元一次方程为______．18．关于x 、y 的方程组22340x y m y x y -=⎧⎨-++=⎩有实数解，则m 的取值范围是 ___．19．解方程组2213x y x y +=⎧⎨-=⎩的结果为_____． 20．方程组56x y xy -=⎧⎨=-⎩的解是_________．三、解答题21．解方程组：22340x y x y +=-⎧⎨-=⎩22．解方程组：2222441x y x xy y ⎧-=⎨++=⎩23．解方程组：22222241929x xy y x x xy y y ⎧+++=⎨++-=⎩24．已知多项式21x ax ++与2x b +的乘积中含2x 项的系数为4，含x 项的系数为2，求a b +的值．25．阅读材料：小强同学在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，采用了一种“整体代换”解法：解：将方程②变形：4105x y y ++=，即()2255x y y ++=…③，把方程①代入③得：235y ⨯+=即1y =-，把1y =-代入方程①，得4x =，所以方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．请你解决以下问题(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组351661135x y x y +=⎧⎨+=⎩；(2)已知x ，y 满足方程组2222232464951x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩（i ）求xy 的值；（ii ）求出这个方程组的所有整数解．26．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断分式方程12111x x+=-+“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于x ，y 的方程：224928x y -=和234x y -=，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由； (3)已知关于x ，y 的二元一次方程：()14y k x =+-和3y x k =-（其中k 为常数）是“相伴方程”，求k 的值。
方程与不等式之二元二次方程组知识点训练含答案
方程与不等式之二元二次方程组知识点训练含答案一、选择题1．解方程:22310x y x y ⎧-=-⎨++=⎩【答案】12x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y ，代入方程1，得到一个关于y 的一元二次方程，求出y 值，进而求x ．【详解】 解：()()2231102x y x y ⎧-=-⎪⎨++=⎪⎩ 由（2）得：1x y =--（3）把（3）代入（1）：22(1)3y y ---=-∴2y =-∴1x =原方程组的解是12x y =⎧⎨=-⎩【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．2．直角坐标系xOy 中，有反比例函数)0y x =＞上的一动点P ，以点P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切时，求OP 2的值．（2）设圆P 运动时与x 轴相交，交点为B 、C ，如图2，当四边形ABCP 是菱形时， ①求出A 、B 、C 三点的坐标．②设一抛物线过A 、B 、C 三点，在该抛物线上是否存在点Q ，使△QBP 的面积是菱形ABCP 面积的12？若存在，求出所有满足条件的Q 点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）32）①A（0，3B（2，0），C（6，0）；②存在，满足条件的Q点有（0，314，1638，36，0）．【解析】【分析】（1）当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA＝PK，进而得出PK2，即可得出OP2的值；（2）①连接PB，设AP＝m，过P点向x轴作垂线，垂足为H，则PH＝sin60°BP3=，P（m3），进而得出答案；②求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的Q点坐标即可．【详解】解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO＝∠OKP＝90°．又∵∠AOK＝90°，∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°．∴四边形OKPA是矩形．又∵AP＝KP，∴四边形OKPA是正方形，∴OP2＝OK2+PK2＝2PK•OK＝2xy＝3=3（2）①连结BP，则AP＝BP，由于四边形ABCP为菱形，所以AB＝BP＝AP，△ABP为正三角形，设AP＝m，过P点向x轴作垂线，垂足为H，则PH＝sin60°BP3=，P（m，32m），将P点坐标代入到反比例函数解析式中，32＝3解得：m＝4，（m＝﹣4舍去），故P （4，），则AP ＝4，OA ＝OB ＝BH ＝2，CH ＝BH ＝2，故A （0，B （2，0），C （6，0）；②设过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）（x ﹣6），将A 点坐标代入得，a =，故解析式为2y x x 63=-+ 过A 点作BP 的平行线l 抛物线于点Q ，则Q 点为所求．设BP 所在直线解析式为：y ＝kx +d ，则204k d k d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：k d ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故BP所在的直线解析式为：y =-故直线l的解析式为y =+l与抛物线的交点是方程组263y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩解得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，2214x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故得Q （0，Q （14，同理，过C 点作BP 的平行线交抛物线于点Q 1，则设其解析式为：y =+e ，则0＝e ，解得：e ＝﹣，故其解析式为：y =﹣其直线与抛物线的交点是方程组2y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩可求得Q 1（8，6，0）．故所求满足条件的Q 点有（0，14，8，6，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正方形的判定以及菱形的性质等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题．3．已知A ，B 两地公路长300km ，甲、乙两车同时从A 地出发沿同一公路驶往B 地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A 地相距105km 的C 处取回货物，于是甲车立即原路返回C 地，取了货物又立即赶往B 地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到达B 地，两车的速度始终保持不变，设两车山发x 小时后，甲、乙两车距离A 地的路程分别为y1(km)和y2(km)．它们的函数图象分别是折线OPQR 和线段OR ．（1）求乙车从A 地到B 地所用的时问；（2）求图中线段PQ 的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（3）在甲车返回到C 地取货的过程中，当x= ，两车相距25千米的路程.【答案】（1）5h （2）90360y x =-+（3）67h 30或77h 30【解析】（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再求甲车从A 地到B 地所花时间；即可求出乙车从A 地到B 地所用的时间；（2）由题意可知，求出线段PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x 的值.（1）解：由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为180290÷=（km/h ） 甲车行驶的总路程为： ()2180105300450⨯-+=（km)甲车从A 地到B 地所花时间为： 450905÷=（h ）又∵两车同时到达B 地，∴乙车从A 地到B 地所用用的时间为5h.（2）由题意可知，甲返回的路程为18010575-=（km)，所需时间为575906÷=（h ），517266+=.∴Q 点的坐标为（105， 176）.设线段PQ 的解析式为： y kx b =+， 把（2，180）和（105， 176）代入得： 1802{171086k b k b =+=+，解得90360k b =-=，， ∴线段PQ 的解析式为90360y x =-+.（3）6730 h 或7730“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数型结合的思想解答问题．4．解方程组：22120y x x xy y -=⎧⎨--=⎩． 【答案】21x y =-⎧⎨=-⎩，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程分解因式可得：x ﹣2y =0或x +y =0，分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可．【详解】解：22120y x x x y -=⎧⎨--=⎩①② 由②得：（x ﹣2y ）（x +y ）=0x ﹣2y =0或x +y =0原方程组可化为11200y x y x x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩， 解得原方程组的解为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩， ∴原方程组的解是为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩，．【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．5．计算：（1（2）解方程组：3534106x yx y-=-⎧⎨-+=⎩（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：6234 2111 32x xx x-≥-⎧⎪--⎨-<⎪⎩【答案】（1）12-；（2）35xy=⎧⎪⎨=⎪⎩；（3）21137x-≤≤.【解析】【分析】(1)先求开方运算，再进行加减；（2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再在数轴上表示解集.【详解】解：（1）原式=-3+4-32=12-（2）353 4106x yx y-=-⎧⎨-+=⎩①②①×2+②，得x=0把x=0代入①式 y=3 5所以，方程组的解是35 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩（3）6234 211132x xx x-≥-⎧⎪⎨---<⎪⎩①②由①式得，x≥-2 3由②式得，x＜11 7所以，不等式组的解集是211 37x-≤≤，把解集在数轴上表示：【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组.解题关键点：掌握相关解法.6．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1•k 2＝﹣1．解决问题：①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m 的值是____；②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值．【答案】（1）y ＝﹣12x 2+12x+1；（2）①-12；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（35. 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标；（3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值【详解】解：（1）将A ，B 点坐标代入，得10(1)11(2)a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，抛物线的解析式为y ＝211x x 122-++；（2）①由直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，得2m ＝﹣1，即m ＝﹣12；故答案为﹣12；②AB 的解析式为1122y x =+当PA ⊥AB 时，PA 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，联立PA 与抛物线，得21112222y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=--⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩（舍），614x y =⎧⎨=-⎩，即P （6，﹣14）；当PB ⊥AB 时，PB 的解析式为y ＝﹣2x+3，联立PB 与抛物线，得21112223y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩（舍）45x y =⎧⎨=-⎩，即P （4，﹣5），综上所述：△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）如图：，∵M （t ，﹣12t 2+12t+1），Q （t ，12 t+12）， ∴MQ ＝﹣12t 2+12 S △MAB ＝12MQ|x B ﹣x A | ＝12（﹣12t 2+12）×2 ＝﹣12t 2+12， 当t ＝0时，S 取最大值12，即M （0，1）． 由勾股定理，得AB设M 到AB 的距离为h ，由三角形的面积，得h． 点M 到直线AB． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键7．解方程组：22+2-0110x y x y ⎧=⎨-+=⎩ 【答案】：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】【分析】把(2)変形后代入(1)便可解得答案【详解】22+2-1010x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩①②由②得:x=y-1代入①得:12023y y =⎧⎪⎨=⎪⎩,分别代入②得:12113x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 故原方程组的解为：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【点睛】此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则8．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ （2）217,11 1.x y x y x y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩ 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ 把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①② 所以①＋②得：36x y =+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-， 所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．9．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元【解析】【分析】根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．【详解】解：设实际销售运动衣x 套,实际每套运动衣的利润是y 元.根据题意 ，可列方程组()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩解得：1212800800,2020x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩(舍去)， 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．10．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩ 【答案】1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】【分析】根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．【详解】解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩①②， 由①，得x=17+y③，把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，解之，得y 1=-15，y 2=-2．把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．故原方程组的解为1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩. 【点睛】本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．11．解方程组:223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩【答案】1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；【解析】【分析】由代入消元法，消去一个未知数x ，得到关于y 的一元二次方程，然后用公式法解出y 的值，然后计算出x ，即可得到方程组的解.【详解】解：223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由②得：3x y =+③，把③代入①，得22(3)3(3)40y y y y +-+-=，整理得：26390y y +-=，∵2494692250b ac ∆=-=+⨯⨯=>，∴用求根公式法，得y =， 解得：1=1y ，232y =-； ∴14x =，232x =； ∴方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.12．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】【分析】由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①② 由②得：（x +2y ）2＝9，即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩． 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩；得1111x y =⎧⎨=⎩； 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．13．已知()22221(0)0,0x y a b a b x my n m n ⎧+=>>⋯⋯⎪⎨⎪=+≠≠⋯⋯⎩①② 求证：()()2222222220a b m y mnb y n a b +++-=． 【答案】详见解析【解析】【分析】先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．【详解】证明：把②代入①，得2222()1my n y a b++=， ()222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．14．（1）解方程组：221104100x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩【答案】（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.【详解】（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①②由②410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --= 解得：3y =或139y = 将3y =代入②12100-+=，解得：x =将139y =代入②1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②+①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.15．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩ 【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①② 将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．16．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩ 【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.【详解】解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，解这个方程，得121,4x x ==，把11x =代入（3），得13y =，把24x =代入（3），得29y =，所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.17．解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩【答案】1122x y =⎧⎨=-⎩; 2222x y =-⎧⎨=⎩；3322x y =⎧⎨=⎩；4422x y =⎧⎨=⎩. 【解析】试题分析：方程整理为：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解得1122x y =⎧⎨=-⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩ ，3322x y =⎧⎨=⎩，4422x y =-⎧⎨=-⎩.18．解方程： 【答案】【解析】 解：原方程组即为···································· （2分）由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分） 解得，························································ （2分） 代人得19．解方程组：22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩【答案】111,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】首先将由22230x xy y --=得30x y -=或0x y +=，分别与223x xy y -+=求解即可. 【详解】解： 22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩①② 由①得30x y -=或0x y +=，原方程组可化为22303x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩；2203x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩解这两个方程组得原方程组的解为11321,21,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2232121,7x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩331,1,x y =-⎧⎨=⎩441,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】 此题考查二元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②【答案】11613{113x y ==-,221{1x y ==. 【解析】【分析】 先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩． 故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。
初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编附答案解析
初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编附答案解析一、选择题1．222620x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【解析】【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．【详解】解：原方程组变形为()()2620x y x y x y -=⎧⎨-+=⎩ ∴2620x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或260x y x y -=⎧⎨+=⎩∴原方程组的解为 42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 故答案为：42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【点睛】本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．2．解方程组：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩. 【答案】1121x y =⎧⎨=-⎩，2212x y =⎧⎨=-⎩，3321x y =-⎧⎨=⎩，4412x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可． 试题解析：解：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②由①得：（x ﹣y ）2=9所以x ﹣y =3③，x ﹣y =﹣3④③②与④②联立得：22223355x y x y x y x y -=-=-⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩，解方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，得：12122112x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，； 解方程组2235x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得：34342112x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 所以原方程组的解为：3124312422111122x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，． 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．3．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】 先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=． 原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．4．解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩． 【答案】1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【解析】【分析】先由②得(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩最后分别解这两个方程组即可． 【详解】解：2226691,x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，所以原方程组变为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩解这两个方程组得：41x y =⎧⎨=⎩，16575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以原方程组的解为1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【点睛】此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．5．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0-=---=． 【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】 注意到22x xy 2y --可分解为，从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解.【详解】 解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=， ∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩.解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2=-⎧⎨=-⎩. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.6．解方程组：（1）4{526y x x y =-+= ；（2） 358{32x y x y +=-= 【答案】（1）22x y =⎧⎨=-⎩；（2）【解析】 方程组利用加减消元法求出解即可．解：(1) ①代入②得x =2把x =2代入①得y =-2 ∴(2) ①-②得y =1把y =1代入①得x =1∴“点睛”本题通过“代入”“加减”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.7．k 为何值时，方程组2216x y x y k ⎧+=⎨-=⎩只有唯一解？ 【答案】k=42±.【解析】【分析】将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.【详解】2216(1)(2)x y x y k ⎧+=⎨-=⎩由（2）得， y=x-k （3）将（3）代入（1）得，2222160x kx k -+-=，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即22(2)42(16)0k k --⨯⨯-=，解得，k=±.所以当k=±2216x y x y k⎧+=⎨-=⎩只有唯一解. 【点睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．8．解方程组：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩【答案】1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将第1个方程变形为x ＋2y ＝3，x ＋2y ＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩①② 方程①可变形为()229x y +=得：23x y +=，23x y +=-它们与方程②分别组成方程组，得； 230x y x y +=⎧⎨+=⎩或230x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 所以，原方程组的解是1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．9．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个. 问甲、乙两人每天各做多少个零件？【答案】甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.【解析】试题分析：根据题意，设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件，然后根据根据题目中的两种工作方式列出方程组，解答即可.试题解析：设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件. 根据题意，得解这个方程组，得 答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.10．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y 1=32 ,y 2 =−32； ②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.11．解方程组：222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】先由②得x ＋y ＝0或x−2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩，然后解这两个方程组即可．【详解】 222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩， 由②得：（x ＋y ）（x−2y ）＝0，x ＋y ＝0或x−2y ＝0， 原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩， 解得：12121412x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，. 【点睛】此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．12．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩.【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】【分析】把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.【详解】解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①②由①得，4y x ＝﹣③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝整理，得2240x x ﹣﹣＝解得：1211x x ＝＝，把1x ＝③，得1413y ＝﹣（把1x ③，得2413y ＝﹣（所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.13．解方程组： 222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩． 【答案】1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，这样原方程组化成两个二元二次方程组，求出每个方程组的解即可.【详解】 222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩①②由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，原方程组化为：①2203260x y x xy x y -=⎧⎨-+++=⎩，②2203260x y x xy x y +=⎧⎨-+++=⎩， 解方程组①得： 1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩，方程组②无解， 所以原方程组的解为： 1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查解二元二次方程组，难度不大，熟练掌握二元二次方程组求解是解题关键.14．解方程组： 2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩． 【答案】1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】【分析】根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可【详解】2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩①②由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，2x ﹣3y ＝±4，即原方程组化为23234x y x y -=⎧⎨-=⎩和23234x y x y -=⎧⎨-=-⎩， 解得： 1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 即原方程组的解为：1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩． 【点睛】本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组15．解方程组222221690x xy y x y ⎧-+=⎨=-⎩． 【答案】1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】 解：222221690x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩①②由①，得(x ﹣y )2＝16，所以x ﹣y ＝4或x ﹣y ＝﹣4．由②，得(x +3y )(x ﹣3y )＝0，即x +3y ＝0或x ﹣3y ＝0所以原方程组可化为：430x y x y -=⎧⎨+=⎩，430x y x y -=⎧⎨-=⎩，430x y x y -=-⎧⎨+=⎩，430x y x y -=-⎧⎨-=⎩解这些方程组，得1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩．所以原方程组的解为：1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元一次方程组是解题的关键.16．解二元二次方程组210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩【答案】121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩ 【解析】【分析】把方程①变形为y=1-x ，利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．【详解】解：210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩①②， 把①变形y ＝1﹣x ，代入②得x 2﹣（1﹣x ）﹣2x ﹣1＝0，化简整理得x 2﹣x ﹣2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣1，把x ＝2代入①得y ＝﹣1，把x ＝﹣1代入①得y ＝2，所以原方程组的解为：121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩． 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．17．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm 、16cm 、20cm.【解析】【分析】设两直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12a b ⎧⎨⎩， 经检验，=12=16a b ⎧⎨⎩和=16=12a b ⎧⎨⎩cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.【点睛】 此题运用三角形面积表示出1=962ab18．解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩【答案】1122x y =⎧⎨=-⎩; 2222x y =-⎧⎨=⎩；3322x y =⎧⎨=⎩；4422x y =⎧⎨=⎩. 【解析】试题分析：方程整理为：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得1122x y =⎧⎨=-⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩ ，3322x y =⎧⎨=⎩，4422x y =-⎧⎨=-⎩.19．（探究证明）(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H.，求证：=EF AD GH AB； （结论应用） (2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若11=15EF GH ，求BN AM； （联系拓展）(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N分别在边BC，AB上，求DNAM的值．【答案】（1）证明见解析；(2)1115；（3）45.【解析】分析：(1)过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，根据矩形的性质证明△PDA∽△QAB；(2)根据(1)的结论可得BNAM；(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，SC＝x，DS＝y，在Rt△CSD，Rt△ARD中，用勾股定理列方程组求出AR，AB，结合(1)的结论求解.详解：(1)如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT＋∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.∴AP ADBQ AB＝，∴EF ADGH AB＝.(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，∴由(1)的结论可得EF ADGH AB＝，BN ADAM AB＝，∴1115 BN EFAM GH＝＝.(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得DN AR AM AB＝．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5＋x，RD＝10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2＋y2＝25①，在Rt△ARD中，(5＋x)2＋(10﹣y)2＝100②，由②﹣①得x＝2y﹣5③，222525x yx y⎧⎨-⎩＋＝＝，解得34xy⎧⎨⎩＝＝，5xy-⎧⎨⎩＝＝(舍)，所以AR＝5＋x＝8，则84105DN ARAM AB＝＝＝.点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程仍然适用于一般图形.20．解方程组：22444{10x xy yx y-+=++=①②．【答案】11{1xy==-，2243{13xy=-=．【解析】试题分析：由①得出x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2．原方程可化为：22{1x yx y-=+=-，22{1x yx y-=-+=-．解得，原方程的解是11{1xy==-，2243{13xy=-=．考点：高次方程．。
初中数学方程与不等式之二元二次方程组专项训练解析含答案
初中数学方程与不等式之二元二次方程组专项训练解析含答案一、选择题1．解方程组：222449 x xyx xy y⎧+=⎪⎨++=⎪⎩【答案】123434 120033,,,3333 22x xx xy yy y==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩【解析】【分析】由第一个等式可得x（x+y）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y）2=9可得出x和y的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y1=32,y2=−32；②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3，解得：33xy=-=⎧⎨⎩或33xy==-⎧⎨⎩.综上可得,原方程组的解是123434 120033,,,3333 22x xx xy yy y==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩.【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.2．解方程组：2222295x xy yx y⎧-+=⎨+=⎩.【答案】112 1x y =⎧⎨=-⎩，2212xy=⎧⎨=-⎩，3321xy=-⎧⎨=⎩，4412xy=-⎧⎨=⎩【解析】试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可．试题解析：解：2222295x xy yx y⎧-+=⎨+=⎩①②由①得：（x﹣y）2=9所以x﹣y=3③，x﹣y=﹣3④③②与④②联立得：22223355x y x y x y x y -=-=-⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩， 解方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，得：12122112x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，； 解方程组2235x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得：34342112x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 所以原方程组的解为：3124312422111122x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，． 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．3．解方程组：222023x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩． 【答案】原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【解析】分析：由①得出（x+y ）（x-2y ）=0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．详解：222023x xy y x y ⎧--⎨+⎩＝①＝② 由①得：（x+y ）（x-2y ）=0，x+y=0，x-2y=0，即原方程组化为023x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，2023x y x y -⎧⎨+⎩＝＝， 解得：1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．4．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=． 原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．5．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0-=---=． 【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】 注意到22x xy 2y --可分解为，从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解.【详解】 解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=， ∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩. 解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2=-⎧⎨=-⎩. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.6．解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩.【答案】1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解.【详解】由方程①，得x ＝3y③，将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，整理，得y 2＝2，解这个方程，得y 1，y 2④，将④代入③，得x 1＝，2x ＝﹣所以，原方程组的解是11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【点睛】该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.7．222620x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【解析】【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．【详解】解：原方程组变形为()()2620x y x y x y -=⎧⎨-+=⎩ ∴2620x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或260x y x y -=⎧⎨+=⎩∴原方程组的解为 42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ .故答案为：42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【点睛】本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．8．解方程组：2241226x y x y ⎧-=⎨+=⎩①②． 【答案】41x y =⎧⎨=⎩． 【解析】【分析】将①分解因式可得(2)(2)12x y x y -+=，再将将②代入③后得22x y -=，然后与②组成可得【详解】解：由①得(2)(2)12x y x y -+=．③将②代入③，得22x y -=．④得方程组2226x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得41x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是41x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．9．解方程组：222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】先由②得x ＋y ＝0或x−2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩，然后解这两个方程组即可．【详解】222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩， 由②得：（x ＋y ）（x−2y ）＝0，x ＋y ＝0或x−2y ＝0， 原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩， 解得：12121412x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，. 【点睛】此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．10．解方程组：222449{0x xy y x xy ++=+=. 【答案】0{1.5x y ==，3{3x y =-=，0{ 1.5x y ==-，3{3x y ==-. 【解析】【分析】先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可．【详解】 2224490x xy y x xy ⎧++=⎨+=⎩①② 由①得：（x+2y ）2＝9，x +2y ＝±3，由②得：x （x+y ）＝0，x ＝0，x +y ＝0，即原方程组化为：230x y x +=⎧⎨=⎩，230x y x y +=⎧⎨+=⎩，230x y x +=-⎧⎨=⎩，230x y x y +=-⎧⎨+=⎩， 解得：01.5x y =⎧⎨=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩， 所以原方程组的解为：01.5x y =⎧⎨=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．11．解方程组： 222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩． 【答案】1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，这样原方程组化成两个二元二次方程组，求出每个方程组的解即可.【详解】222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩①② 由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，原方程组化为：①2203260x y x xy x y -=⎧⎨-+++=⎩，②2203260x y x xy x y +=⎧⎨-+++=⎩， 解方程组①得： 1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩，方程组②无解， 所以原方程组的解为： 1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查解二元二次方程组，难度不大，熟练掌握二元二次方程组求解是解题关键.12．（1）解方程组：221104100x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩【答案】（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①② 由②410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --= 解得：3y =或139y = 将3y =代入②12100-+=，解得：x =将139y =代入②1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② +①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.13．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①② 将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．14．222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩【答案】111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】【分析】首先将二元二次方程进行因式分解，然后组成两个新的二元二次方程，求解即可.【详解】222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩①② 将②因式分解，得()()220x y x y --=∴方程组可化为两个新方程组：21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩∴方程组的解为：111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.15．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm 、16cm 、20cm.【解析】【分析】设两直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12a b ⎧⎨⎩， 经检验，=12=16a b ⎧⎨⎩和=16=12a b ⎧⎨⎩cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.【点睛】 此题运用三角形面积表示出1=962ab16．已知方程组222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩有两组相等的实数解，求m 的值，并求出此时方程组的解.【答案】1m =±,当1m =时 21x y =-⎧⎨=⎩;当1m =-时 21x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】联立方程组，△＝0即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；【详解】解：222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩①② 把②代入①后计算得()222112120m x mx +++=，∵方程组有两组相等的实数解，∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，解得：1m =±， 当1m =时，解得21x y =-⎧⎨=⎩当1m =-时，解得21x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．17．解方程： 【答案】【解析】 解：原方程组即为···································· （2分）由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分） 解得，························································ （2分） 代人得18．某起重机厂四月份生产A 型起重机25台,B 型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.【答案】四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%【解析】【分析】设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可.【详解】解：设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.根据题意 ，可列方程组()()()()2251232513254y x y x ⎧+=+⎪⎨+++⨯=⎪⎩ 解得：x=12,y=0.2答：四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%.【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系.19．()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩【答案】3022x y =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】运用代入法进行消元降次，即可得解.【详解】()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①② 由①，得8x y +=-③将③代入②，得6424x +=，解得30x =-④将④代入①，得22y =∴方程组的解为3022x y =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.20．解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩【答案】1131x y =⎧⎨=⎩ 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程，再分别与方程②组成方程组，解二元一次方程组即可得到答案．【详解】解：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由①得：x 3y 0-= 或 x y 0+=原方程组化为： 302x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或02x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：1131x y =⎧⎨=⎩ 或 2211x y =⎧⎨=-⎩ ∴ 原方程组的解为1131x y =⎧⎨=⎩ 或 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握利用因式分解降次是解题关键．。
初中数学方程与不等式之二元二次方程组专项训练解析附答案(1)
初中数学方程与不等式之二元二次方程组专项训练解析附答案(1)一、选择题1．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.【详解】解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，解这个方程，得121,4x x ==，把11x =代入（3），得13y =，把24x =代入（3），得29y =，所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.2．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①② , 由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．3．解方程组：（1）4{526y x x y =-+= ；（2） 358{32x y x y +=-= 【答案】（1）22x y =⎧⎨=-⎩；（2） 【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．解：(1) ①代入②得x =2把x =2代入①得y =-2 ∴(2) ①-②得y =1把y =1代入①得x =1∴“点睛”本题通过“代入”“加减”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.4．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①②由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．5．解方程组：2256021x xy y x y ⎧+-=⎨-=⎩ ①② 【答案】12216113,1113x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩【解析】【分析】把①方程变形为(6)()0x y x y +-=，从而可得60x y +=或0x y -=，把这两个方程分别和原方程组中的②方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可.【详解】方程①可变形为(6)()0x y x y +-=，得60x y +=或0x y -=，将它们与方程②分别组成方程组，得：（Ⅰ）6020x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩，解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，11x y =⎧⎨=⎩ .6．解方程组：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩. 【答案】1121x y =⎧⎨=-⎩，2212x y =⎧⎨=-⎩，3321x y =-⎧⎨=⎩，4412x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可． 试题解析：解：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②由①得：（x ﹣y ）2=9所以x ﹣y =3③，x ﹣y =﹣3④③②与④②联立得：22223355x y x y x y x y -=-=-⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩， 解方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，得：12122112x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，； 解方程组2235x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得：34342112x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 所以原方程组的解为：3124312422111122x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，． 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．7．解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩【答案】113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】将原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，所以有3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．【详解】原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝， 原方程组变为四个方程组为：3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝， 解这四个方程组为：113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩. 故答案为113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩.8．已知1132x y =⎧⎨=-⎩是方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩的一组解，求此方程组的另一组解. 【答案】22-23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将1132x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩ 中求出m 、n 的值，然后再求方程组的另一组解．【详解】解：将1132x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y m x y n ⎧+=⎨+=⎩中得：131m n =⎧⎨=⎩ ， 则方程组变形为：22131x y x y ⎧+=⎨+=⎩， 由x+y=1得：x=1-y ，将x=1-y 代入方程x 2+y 2=13中可得：y 2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为：22-23x y =⎧⎨=⎩ . 【点睛】用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m 和n 的值是解题的关键.9．已知()22221(0)0,0x y a b a b x my n m n ⎧+=>>⋯⋯⎪⎨⎪=+≠≠⋯⋯⎩①② 求证：()()2222222220a b m y mnb y n a b +++-=． 【答案】详见解析【解析】【分析】先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．【详解】证明：把②代入①，得2222()1my n y a b++=， ()222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．10．解方程组：2223,44 1.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】111,1;x y =⎧⎨=⎩221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可.详解：2223441x y x xy y ①②+=⎧⎨-+=⎩ 由②得：()221x y -=即：21x y -=或21x y -=-所以原方程组可化为两个二元一次方程组：23,21;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 23,21;x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 分别解这两个方程组，得原方程组的解是111,1;x y =⎧⎨=⎩ 221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.11．解方程组：22694(1)23(2)x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩ 【答案】1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将①中的x 2 -6xy+9y 2分解因式为：（x-3y ）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可【详解】解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，∴x ﹣3y ＝±2，∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩解得1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则12．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩【答案】1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】【分析】 根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．【详解】解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩①②， 由①，得x=17+y③，把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，解之，得y 1=-15，y 2=-2．把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．故原方程组的解为1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩. 【点睛】本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．13．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个. 问甲、乙两人每天各做多少个零件？【答案】甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.【解析】试题分析：根据题意，设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件，然后根据根据题目中的两种工作方式列出方程组，解答即可.试题解析：设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件. 根据题意，得解这个方程组，得 答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.14．解方程组：222232()x y x y x y ⎧-=⎨-=+⎩. 【答案】111,1x y =⎧⎨=-⎩；223232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；331252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】分析：把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，转化为两个一次方程，再分别和第一方程组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解.详解：由方程222()x y x y -=+可得，0x y +=，2x y -=；则原方程组转化为223,0.x y x y ⎧-=⎨+=⎩（Ⅰ）或 223,2.x y x y ⎧-=⎨-=⎩ （Ⅱ）， 解方程组（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩， 解方程组（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩， ∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ 331,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；（2）将两个新的方程组消去y ，即可得到关于x 的一元二次方程.15．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．【详解】222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．16．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】【分析】由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①② 由②得：（x +2y ）2＝9，即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩． 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩；得1111x y =⎧⎨=⎩； 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．17．解方程组： 222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩． 【答案】1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，这样原方程组化成两个二元二次方程组，求出每个方程组的解即可.【详解】222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩①② 由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，原方程组化为：①2203260x y x xy x y -=⎧⎨-+++=⎩，②2203260x y x xy x y +=⎧⎨-+++=⎩， 解方程组①得： 1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩，方程组②无解， 所以原方程组的解为： 1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查解二元二次方程组，难度不大，熟练掌握二元二次方程组求解是解题关键.18．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②． 【答案】110{1x y ==-，2243{13x y =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．19．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；（3）如图3，若CE≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，CE=43，求AC BC的值．【答案】（1）见解析;（2）26 ; （3）57. 【解析】【分析】（1）只要证明△ECH ∽△BCD ，可得EC BC =CH CD，即可推出CE•CD=CH•BC ； （2）如图2中，连接AH ．只要证明△AEH ∽△HFB ，可得AE HF =EH FB ，推出FH 2=6，推出HE=HF=6，即可解决问题．（3）只要证明△ECF ∽△BCA ，求出CF 即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A ，∠ECF=∠ACB ，∴∠CEF=∠B ，∵∠ECH=∠DCB ，∴△ECH ∽△BCD ，∴EC CH BC CD=，∴CE•CD=CH•BC．（2）解：如图2中，连接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，∴∠BHC=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12（180°﹣∠BAC）=90°+12BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AEH=∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AE EH HF FB=，∴FH2=6，∴HE=HF=6，∴EF=26．（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，∴HM=HN=52，53，∵3∴3322213EM HM+∵S△HCF：S△HCE=FH：EH=FC：EC，∴x13（53）：3，又∵x2=y2+（52）2，解得y=53或33（舍弃），∴CF=2037，∵∠CEF=∠B，∠ECF=∠ACB，∴△ECF∽△BCA，∴EC CF BC AC=，∴203743AC CFBC EC===57．【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．20．解方程：【答案】【解析】解：原方程组即为····································（2分）由方程（1）代人（2）并整理得：·······························································（2分）解得，························································（2分）代人得。
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知识考点：
了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组（Ⅱ）。
精典例题：
【例1】解下列方程组：
1、⎩
⎨⎧=+--=-01101222x y x y x ； 2、⎩⎨⎧==+6
7xy y x ； 3、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0
23102222y xy x y x 分析：（1）（2）题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；（2）题也可用根与系数的关系求解。
（3）为Ⅱ型方程组，应将0232
2=+-y xy x 分解为0=-y x 或02=-y x 与1022=+y x 配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。
答案：（1）⎩⎨⎧-==1011y x ， （2）⎩⎨⎧==1611y x ，⎩⎨⎧==6122y x （3
【例2】已知方程组⎩⎨⎧+==+--2
01242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。
分析：由②代入①得到关于x 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。
略解：由②代入①并整理得：01)42(2
2=+-+x k x k ⎪⎩⎪⎨⎧>+-=--=∆≠016164)42(0222k k k k 即⎩⎨⎧<≠1
0k k ∴当k ＜1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。
【例3】方程组⎩⎨⎧=+=+5
2932y x y x 的两组解是⎩⎨⎧==1111βαy x ，⎩⎨⎧==2222βαy x 不解方程组，求
1221βαβα+的值。
分析：将x y -=5代入①得x 的一元二次方程，1α、2α是两根，可用根与系数的关系，将115αβ-=，225αβ-=代入1221βαβα+后，用根与系数的关系即可求值。
探索与创新： 【问题】已知方程组⎩⎨⎧+==n
x y x y 242的两组解是⎩⎨⎧==1111y y x x 和⎩⎨⎧==2222y y x x 且011≠x x ，1x ≠2x ，设 （1）求n 的取值范围；
（2）试用含n 的代数式表示出m ；
（3）是否存在这样的n 值，使m 的值等于1？若存在，求出所有这样的n 值，若不存在，请说明理由。
略解：（1）将②代入①化简，由⎩⎨⎧≠>∆0
021x x ⇒n ＜且n ≠0 （2（n ＜且n ≠0＝ （3
跟踪训练：
一、填空题：
1、方程组⎩⎨⎧--=+=3212x x y x y 的解是 。
2、方程组⎩
⎨⎧=+=-123422y x y x 的解是 。
3、解方程组⎩⎨⎧=--=+0
)3)(2(2022y x y x y x 时可先化为 和 两个方程组。
4的解是 。
5、方程组⎩⎨⎧==+b xy a y x 的两组解为⎩⎨⎧==1111b y a x ，⎩⎨⎧==2
222b y a x ，则2121b b a a -＝ 。
二、选择题：
1、由方程组⎩⎨⎧=+++-=-0
4)1()1(122y x y x 消去y 后得到的方程是（ ） A 、03222=--x x B 、05222=+-x x
C 、01222=++x x
D 、09222=++x x
2、方程组⎩⎨⎧=-+++=+0320
2y x x y x 解的情况是（ ）
A 、有两组相同的实数解
B 、有两组不同的实数解
C 、没有实数解
D 、不能确定
3、方程组⎩⎨⎧=--=-+0
0122m x y y x 有唯一解，则m 的值是（ ）
A 、以上答案都不对
4、方程组⎩⎨⎧+==m x y x y 2
有两组不同的实数解，则（ ）
A 、m ≥、m ＞＜m ＜、以上答案都不对 三、解下列方程组：
1、⎩
⎨⎧=-=+15522y x y x ； 2、⎩⎨⎧=+=+257
22y x y x
3、⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-0
352122222y xy x y xy x ； 4、⎩
⎨⎧==+127xy y x ； 5、⎩⎨⎧==+6
1322xy y x
四、m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+m
y x y x 2022有两组相同的实数解，并求出这时方程组的解。
参考答案
一、填空题：
二、选择题：ABCB
三、解下列方程组：
1、⎩⎨⎧==14y x ；
2、⎩⎨⎧==4311y x ，⎩⎨⎧==342
2y x ； 3、⎩⎨⎧-==2111y x ，⎩⎨⎧=-=2122y x ，。