2 1微分方程的建立与求解

r(t)
?
?
cn ? 1
d dt
r(t)
?
cn r (t )
?
0
②齐次解 rh (t) 形式：Ae? t函数的线性组合
令 r(t) ? Ae? t代入上式化简得特征方程
c0? n ? c1? n?1 ? ? ? cn?1? ? cn ? 0
有n个根? 1,? 2 ,? ,? n 特征根
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iv)互感M：
M
+ i1 v1
L1
-
i2 + v2 L
2
-
v1
?
L1
di1 dt
?
M
di2 dt
v2
?
L2
di2 dt
?
M
di1 dt
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②机械元件
i) 摩擦系数： Ff ? f ?v
? ii) 弹性系数： Fk ? k v(t)dt
?
m1m2 k
d 3v2 dt3
? e(t)
?
d 3v2 dt3
?
m1 f2 ? m2 f1 m1m2
d 2v2 dt2
?
(m1 ? m2)k ? m1m2
f1 f2
dv2 dt
?
(
f1 ? f2 m1m2
)
v2
(t)
?
ke(t) / m1m2
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元件约束特性→网络拓扑约束(方程) →微分方程
1．元件约束特性
①电路元件
i)电阻R：
iR
+v _
i
ii)电感L ：
+
L
v_
v ? Ri
i
?
1 L
?vdt
v ? Ldi / dt
iii)电容C： i C +v_
i ? C dv dt
v
?
1 C
?idt
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③各种特征根情况下的齐次解形式
i) 互不相同实根：rh (t ) ? A1e? 1t ? A2e? 2t ?
? Ane? nt
ii) ? 1为k重特征根，与? 1 有关的齐次解部分：
( A1t k ? 1 ? A2t k ? 2 ? ? Ak )e? 1t
?
v1 ? v2 ?
f2 k
dv2 dt
?
m2 k
d 2v2 dt 2
(3)
由(2)还可得：
?k
(v1 ? v2 )dt ?
f 2 v2
?
m 2
dv2 dt
(4)
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把(3)和(4)代入(1)可得：
e(t) ?
f2(v2 ?
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第二章 连续时间系统的时域分析
本章主要研究内容： ? 微分方程的建立与求解 ? 零输入、零状态、冲激、阶跃响应 ? 卷积、算子
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信号与系统 —signals and systems 一、微分方程的建立
*时间域进行，不变换 *直观，物理概念清楚 *其它变换域方法基础 *重新得到关注和重视
R
?
v1 (t )
?
uv1 (t )
R + _ e(t)
+C v1(t)
_
+
+
_uv1(t) v0(t)
_
e(t) ?
v1 (t )
?
RC
dv1 (t ) dt
?
uRC
dv1 (t ) dt
e(t) ? v0 (t) ? RC (1? u) dv0 (t)
uu
dt
?
RC (1?
u)
dv0 (t) dt
6．线性时不变系统的微分方程特点
①一般形式：线性常系数微分方程
c0
dn dt n
r(t) ?
c1
d n?1 dt n?1
r(t)
?
?
cn?1
d dt
r (t )
?
cnr(t )
?
E0
dm dt m
e(t) ?
E1
d m?1 dt m?1
e(t)
?
?
Em?1
d dt
e(t)
?
Eme(t)
②若组成系统的元件线性、参数恒定且 无初始储能， 则系统为线性时不变系统
iii) 质量：
F ? m dv(t) dt
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2．网络拓扑约束
①电路系统
N
? i)KVL： vk ? 0 k ?1
N
? ii)KCL ： ik ? 0M
?i) Fi ? 0 i?1
N
? ii) vk ? 0 k?1
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3．不同性质系统可用相同微分方程描述
数学模型，数学抽象，无物理意义
<例见书上P43~P44>
4．电路类微分方程建立例子
[例1]：求下面电路的微分方程
解: C两端电压
? 1
C
e ?t ?? v1(t)dt
C
L
+
-+
-
e(t)
r(t)
vc(0-)=0
iL(0-)=0
0-:激励加入前的时刻
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二、微分方程的经典时域求解法 （齐次解+特解法）
1．齐次解（自由响应）
①齐次方程：
c0
dn dt n
r(t) ?
c1
d n?1 dt n?1
iii) ? 1与? 2为共轭复根 p ? qj（一重），对应齐次解部分：
( A1 cos qt ? A2 sin qt )e pt
iv)? 1 与? 2 为共轭复根 p ? q（j k重），对应齐次解部分为： [(A1tk?1 ? A2tk?2 ? ...? Ak )cosqt? (B1tk?1 ? B2tk?2 ? ...? Bk )sinqt]ept
?
v0
(t)
?
ue(t)
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5．机械类微分方程建立例子
[例2]：理想火箭推动器模型的微分方程
输入:推进力 e(t)
火箭
载荷
m1
k
m2
输出:荷载舱速度 v2 (t)
摩擦系数f1 摩擦系数f2
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解：
? ?
??
e(t
)
?
f1v1 ? k
(v1
?
v2 )dt
?
m1
dv1 dt
? ?
? ??
k
(v1 ? v2 )dt ?
f 2v2
?
m2
dv 2 dt
(1) (2)
由(2)可得：
? ? k v1dt ? k
v2dt ?
f2v2
?
m 2
dv2 dt
f2 k
dv1 ? m2 dt k
dv2 ) ? dt
f2v2
?
m2
dv2 dt
?
m1
(
dv2 dt
?
f2 k
dv2 dt
?
(m2
/k)
d 3v2 dt 3
)
f2v2
?
m2
dv2 dt
?
f1v2 ?
f1 f2 k
dv2 dt
?
f1m2 k
d 2v2 dt2
?
m1
dv2 dt
?
m1 f2 k
d 2v2 dt2