常微分方程(王高雄)第三版 2.4

3. 利用积分因子法求解微分方程
3 2 3 x y d x 2 x y x d y 0.
9 x xy 4. 求解一阶隐式微分方程 y . 2 y 2

由此可得原微分方程的参数形式的通解 (t ) d t c, x (t ) y (t ), c为任意常数.
另外, 若k为方程F( y, 0) 0的根, 则易知
y k也是原方程的解. 若上面得到的参数形式的 解不能包含此常数解, 则需将其补充到通解中.
2p
2
二 、 不显含 y (或 x )的方程
1 形如
dy F ( x, ) 0, dx
(11)
dy 设p , 则(11)变为: F ( x, p) 0, dx
则方程F(x, p) 0表示Oxp平面上的一条曲线, 将其 参数化为
x (t ), p (t ),
(9)
dy 1 引进参数 p , 则方程 (9)变为 dx
0
dx 1 2 将上式两边对y求导, 并以 代入, 得 dy p 1 f f dp , (10) p y p dy
0
x f ( y, p),
这是关于变量 y , p 的一阶微分方程 。
解上述方程, 根据其解的不同形式可给出原
dy 3 dy y 0. 例3 求解方程 ( ) 2 x dx dx
dy 3 y( ) dx 解: 方程变形为: x dy 2 dx 3 y p dy , ( p 0). 设p , 代入方程得 : x dx 2p dx 1 上式两边对y求导, 并以 代入, 得 dy p 2 dp 3 dp p(1 3 p ) (y p ) 1 dy dy , 2 p 2p
由于
dy pdx tan t cos tdt sin tdt,
y sin tdt cost c
积分得
故原方程参数形式的通解为

x sin t y cos t c
可以消去参数 t , 得通解为
x ( y c) 1.
2 2
2. 形如F y, y 0的方程的解法 令
§2.4 一阶隐方程与参数表示
一阶隐式方程 ( y '未能解出或相当复杂 )
F x, y, y 0.
求解— 采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型. 主要研究以下四种类型
(1)
y f ( x, y ),
' '
(2) x f ( y, y ),
'
(3) F ( x, y ) 0,
方程的三种形式的解:
(i) p ( y, c), (ii) y ( p, c), (iii) ( y, p, c) 0,
x f y, ( y, c)
y ( p, c), x f ( p, c), p ( y, p, c) 0, x f y, p
(4) F ( y, y ) 0,
'
一 、 可解出 y (或 x )的方程
1 形如
dy y f ( x, ), dx
( 2)
10 引进参数p y ' , 则方程(2)变为
y f ( x, p),
0
(3)
dy 2 将(3)两边对 x求导, 并以 p代入, 得 dx
f f dp p , x p dx
(4)
这是关于变量 x , p 的一阶微分方程 。
d y f f p p d x x p x
解上述方程, 根据其解的不同形式可给出原方程的 三种形式的解: (i) p ( x, c),
y f x, ( x, c)
x ( p, c), y f ( p, c), p ( x, p, c ) 0, y f x, p
即
pdy ydp 2 p dp 0,
3
4
解以上微分方程得: 2 yp p 4 c, 因而: y c p , 故方程的通解参数形式为 c 3 2 x 4 p 2 4 p ( p 0为参数, c为任常数).
3 c p y
2p
此外, 还有解y 0.
dy p y dx
则方程F(y, p) 0表示Oyp平面上的一条曲线, 将其 参数化为
y (t ), p (t ),
利用上述参数方程及dy pdx可得 (t ) d t d x, (t ) 然后两边积分得到
(t ) x d t c, (t )
利用上述参数方程及dy pdx可得
d y (t ) (t ) d t ,
然后两边积分得到
y (t ) (t ) d t c,
由此可得原微分方程的参数形式的通解
x (t ), (t ) d t c, y ( t ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy 2 例5 求解微分方程 y (1 ( ) ) 1. dx
2
作业
P69 1
1. 设 y C1cosx C2sinx, 其中C1, C2为任意
常数, 验证它为方程 y'' y 0的通解.
d y 1 y2 2. 将方程 化为线性方程, 然后 dx 2y 用常数变易法求解.
(ii) x ( p, c), (iii) ( x, p, c) 0,
dy dy y 0 的解. 例1 求方程 2x dx dx
3
dy 2 dy x . 例2 求解方程 y ( ) x dx dx 2
2
2 形如
dy x f ( y, ), dx
c为任意常数.
dy dy 例4 求解方程 x 1 ( )2 , dx dx
解
这是不显含 y的隐式方程
dy 设p , 则方程变为 : dx
p x 1 p ,
2
引入参数t , 把方程表为参数形式
令p tan t ,

2
t

2
, 代入方程得
x sin t.
p tan t , x sin t