常微分方程(王高雄)第三版课后答案

代回原变量得：cy = 1 + ln y 。 x
e 10：dy = x− y
dx
解：变量分离 ey dy = ex dx
两边积分 ey = ex + c
e dy = x− y
dx
解：变量分离，ey dy = ex dx 两边积分得：ey = ex + c
11. dy = (x+ y)2 dx 解：令x + y = t,则 dy = dt + 1
令x = X − 1 , y = Y + 1 ,则有 dY = 2X − Y '
3
3
dX X − 2Y
令 Y = U，则方程可化为：X dU = 2 − 2U + 2U 2
X
dX
1 − 2U
变量分离
14, dy = x − y + 5 dx x − y − 2
解：令x − y = 5 = t,则 dy = 1 − dt , dx dx
dx dx 原方程可变为：dt = 1 + 1
dx t2
变量分离得： 1 dt = dx, 两边积分arctgt = x + c
t2 +1
代回变量得：arctg(x + y) = x + c
12． dy = 1
dx (x + y)2
解
令x + y = t，则 dy = dt −1，原方程可变为 dt = 1 + 1
≠
0),即(1 +
y2)(1 +
x2)
=
c x2
故原方程的解为（1 + y2）(1 + x2) = c x2
4：(1 + x) ydx + (1 − y)xdy = 0
解：由y = 0或x = 0是方程的解，当xy ≠ 0时，变量分离1 + x dx = 1 − y dy = 0
x
y
两边积分 ln x + x + ln y − y = c,即ln xy + x − y = c,
故原方程的解为ln xy = x − y = c; y = 0; x = 0.
5 : ( y + x)dy + ( y − x)dx = 0
解：dy = y − x , 令 y = u, y = ux, dy = u + x du
dx y + x x
dx
dx
则u + x du = u + 1 , 变量分离，得：− u + 1 du = 1 dx
y= 1 。 1 + ln1 + x
3
dy = 1 + y2 dx xy + x3 y
解：原式可化为：
dy = 1 + y2 •
1
1+ 显然
y2
≠
0, 故分离变量得
y
dy =
1
dx
dx y x + x3
y
1+ y2
x + x3
两边积分得 1 ln1 + 2
y2
=
ln
x
−
1 ln1 + 2
x2
+ ln c (c
令1 + x + 4 y = u，则关于x求导得1 + 4 dy = du ，所以 1 du = u 2 + 9 ，
dx dx
4 dx
4
分离变量 1 du = dx，两边积分得arctg( 2 + 2 x + 8 y) = 6x + c，是
4u 2 + 9
33 3
原方程的解。
16． dy = y 6 − 2x2
dx 2xy5 + x 2 y 2
解： dy = ( y3 )2 − 2x 2 = dy 3 = 3[( y3 )2 − 2x 2 ]，，令y 3 = u，则原方程化为
dx y 2 (2xy3 + x 2 dx
2xy3 + x 2
du
=
3u 2
dx dx
dx t 2
变量分离
t
t2 2 +1
dt
=
dx，两边积分t
−
arctgt
=
x
+
c，代回变量
x + y − arctg(x + y) = x + c
13. dy = 2x − y − 1 dx x − 2 y + 1
解：方程组2x − y −1 = 0, x − 2 y + 1 = 0;的解为x = − 1 , y = 1 33
原方程化为：1 − dt = t ,变量分离(t − 7)dt − 7dx dx t − 7
两边积分
1 2
t2
−
7t
=
−7 x
+
c
代回变量 1 (x− y+5)2 − 7(x − y + 5) = −7x + c.
2
15．
dy dx
=
(x
+ 1)2
+
(4 y
+ 1)2
+ 8xy
+1
解：方程化为 dy = x2 + 2x + 1 + 16 y 2 + 8y + 1 + 8xy + 1 = (x + 4 y + 1)2 + 2 dx
常微分方程习题 2.1
1. dy = 2xy ,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解. dx
解：对原式进行变量分离得
1 dy = 2 xdx , 两边同时积分得： y
e c = 1, 故它的特解为 y = x 2。
x e ln y = 2 + c ,即 y = c x 2 把 x = 0, y = 1代入得
dx u + 1
u2 +1
x
两边积分得：arctgu
+
1 2
ln(1 + u2)
=
− ln
x
+
c。
6：x dy = y + dx
x2 − y2
解：令 y = u, y = ux, dy = u + x du ,则原方程化为：
x
dx
dx
du = x2 (1 − u2) , 分离变量得： 1 du = sgn x • 1 dx
y2
2. dx + (x + 1)dy = 0, 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.
解：对原式进行变量分离得：
− 1 dx = 1 dy,当y ≠ 0时，两边同时积分得；ln x + 1 = 1 + c,即y = 1
Байду номын сангаас
x +1
y2
y
c + ln x + 1
当y = 0时显然也是原方程的解。当x = 0, y = 1时，代入式子得c = 1,故特解是
e 8 : dy = −
y2 +3x
dx
y
解：变量分离，得 y dy = − 1 3x + c
e e y2
3
9 : x(ln x − ln y)dy − ydx = 0
解：方程可变为：− ln y • dy − y dx = 0
x
x
令u = y ,则有：1 dx = − ln u d ln u
x
x
1 + ln u
dx
x
1− u2
x
−
两边积分得：arcsin u = sgn x • ln x + c
代回原来变量，得 arcsin
y
=
sgn
x
•
ln
x
+
−
c
x
另外，y2 = x2 也是方程的解。
7：tgydx − ctgxdy = 0 解：变量分离，得：ctgydy = tgxdx 两边积分得：ln sin y = − ln cos x + c.