极限思想在中学数学中的应用_本科数学毕业论文1 精品

分类号编号毕业论文题目极限思想在中学数学中的应用学院数学与统计学院姓名x x x专业数学与应用数学学号x x x x x研究类型指导教师x x x提交日期2013-5-10原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。

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论文作者签名：年月日论文指导教师签名：极限思想在中学数学中的应用x x（天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，）摘要：众所周知，高中数学中的极限由于自身的抽象性给教与学造成很大麻烦，而中学数学和大学数学在极限方面有较为密切的联系，研究大学数学，并探讨其与中学数学的联系将能对中学数学的教与学产生很大的帮助，本文将对上述问题别进行阐述。

关键字：极限联系教学Limit thinking in the number of secondary schoolsenceeScienceggxxx(School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui 741000，China)Abstract: As we all know, the limit in the high school mathematics teaching and learning due to their own abstraction cause great trouble, and secondary school mathematics and university mathematics limit more closely linked, research university mathematics and explore its links with the secondary school mathematicsthe teaching and learning of mathematics in secondary schools will be able to generate a lot of help. This article will not elaborate.Keywords: limit；contact；teaching目录1．引言 (1)2、极限思想的发展 (2)2.1最早的极限思想 (2)3、极限思想在中学数学中的应用 (2)3.1 在运动变化过程中把握极限位置 (3)3.2利用函数图像把握极限位置 (4)3.3极限思想在函数中的渗透 (5)总结 (9)参考文献 (10)1．引言极限思想是近代数学中一个重要的概念。

在数学中，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那么这个定值就叫做变量的极限。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

而高等数学中的极限思想与我们高中所学到的极限知识有什么联系呢？找到其中的联系能让我们更快地接受和研究极限思想。

极限理论是微积分理论的核心内容，是数学分析的理论基础，在现代数学中着广泛的应用。

极限包括数列极限和函数极限。

当把数列看作一自然数为自变量的函数是，数列极限也被看作函数极限。

现代数学对极限是这样定义的：对任意的ε＞0，总存在N （自然数），使得N 时，n a a ε-<恒成立，称数列{}n a 的极限是啊，记作lim n a a =.0,ε∀>总存在M>0,使得当,(),x M f x A ε>-<恒成立，则称当x 趋于无穷，函数以A 为极限.0,ε∀>总存在M>0,使得当M x >时，恒成立ε<-A x f )(，则称当X 趋于,∞函数 F(x)以A 为极限. 记作lim ()x f x A →∞=0,ε∀>总存在0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<恒成立，则称当0x x →时，函数()f x 以A 为极限，记作lim ()x f x A →∞=.微积分的创立是世界数学史上最大的事件之一，通常认为是牛顿和布莱尼次创立了微积分，但作为微积分基础的极限论起源可追至我国春秋时期，它的发展经历了漫长的过程，直到十九世纪才的以完善.2、极限思想的发展2.1最早的极限思想极限思想在我国很早就产生.早在先秦时期，许多思想家就开始探讨无穷大、无穷小以及无穷分割等问题，战国后期，诸子更是就这些问题展开争鸣.<<秋水>>一文有云：“何以只毫末之足以定细之倪？”<<天下篇>>记载：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一.”着实际上就是数学史上无穷大和无穷小的概念雏形.对于无穷分割有无可能的思考，<<庄子>>提出了一个著名命题：一尺之槌，日取其半，万世不竭.”这个作为无穷分割的经典论断，至今在微积分的教学中还经常使用，今天可抽象成一个无穷数列；1，1/2，1/4……由此可见，这个表达不仅反映了我们祖先的极限思想，还给我们提供了一个无穷小量的实例.2.2 极限思想的早期应用在我国，将无穷思想创造性的应用到数学中，当属魏晋时期的刘辉.他在注解<<九章算术>>是创立了“割圆术”，即用圆的内切正多边形的面积去无限逼近圆面积的方法.最后的到割之弥细，失之弥少的结论,有了割圆术这样的方法，在利用勾股定理进行严密推算，就得到了圆周率的估计值.在古希腊，“穷竭法”是古希腊人研究数学的一种方法.公元三世纪，安提芬在研究“化圆为方”问题时，提出了使用边数不断增加的圆内切正多边形面积“竭穷”圆面积的思想.后来欧多克斯用竭穷的思想证明了球的体积与直径成正比的结论.之后，竭穷思想一路发展，它所包含的无穷小量的概念被牛顿所引用，成了微积分的基础.3、极限思想在中学数学中的应用极限思想是研究变量在无限变化中的趋势的思想，使用无限逼近的方式，从有限认识无限，用不变认识变，用近似认识精确的辩证思想.极限思想是高考的核心，对于某些问题，如能灵活应用极限思想，不仅能降低问题难度，优化解题过程，而且对培养学生的创造性思维有极大帮助.极限思想作为一种重要的解题思想，在解题中经常遇到，下面我们结合实例谈谈利用极限思想解题的几种方法.3.1 在运动变化过程中把握极限位置例1 以知三棱锥的的底面是边长为1的正 三角形，两条侧面棱为213，试求第三条侧棱的取值范围.分析：固定底面正三角形，让两腰的长均为213的侧面等腰三角形绕着其底边旋转，当该等腰三角形与底面共面时有两种情况，这就是第三条侧棱的两个极限位置.底面正三角形和侧面等腰三角形的高分别为3,23，则第三条棱的最小趋于3-23=23，最大趋于23+3=323故此题的答案为（23，323）.例2 锐角三角形ABC 的边长BC=1，AC=2，求AB 的取值范围分析：本题如果考虑使用正弦定理势必将比较繁琐，但如果依据已知条件构造锐角三角形，让AC 固定，BC=1，B 点在以C 为圆心、半径为1的圆周上运动，于是得到如图所示的两个极限位置.经计算知AB 分别为5、3，故所求为（3，5 ）.例3 已知01x y a <<<<，则有（ ）（A ）0)(log <xy a （B ） ()0log 1a xy << （C ）1log ()2a xy << （D ）log()2xy > 分析：当a x →时，由题意a y →，此时2a xy →，log (),2log →xy 故可排除（A ）、（B ），当时o y →，由题意0→x ，此时0→xy ，又10<<a ，则()∞→xy log ，故排除（C ），选（D ）.点拨：以上两例都是适当借助极限思想，用运动的观点对问题进行的定性分析，这肯定比定量运算寻找答案要简单的多.3.2利用函数图像把握极限位置函数图像式函数性质的一种直观反映，有些问题涉及到,o x x x →∞→时对应的函数值，可以通过图像的变化趋势进行合理推算得到答案.例3已知函数2()1x y f x x ==+,若 lim x y a →∞=， li m y x b →∞=，则a,b 各为多少.分析:函数的自变量在无限变化过程中，其函数值()f x 无限趋近一个常数而这个无限的趋势就通过一个有限来刻画.反过来，当Y 变化时，其自变量就趋近某个常数，以上这些性质都可以在函数图像上反映出来，如图，函数21x y x =+的图像是两条双曲线，渐进线为1,2x y =-=，由图易知a=2,b=-1.例4 给出下列图像，其中可能为函数432()(,,,)f x x ax bx cx d a b c d R =++++∈ T 图像的是（ ）分析：按常规的解题方法，我们会想到求函数倒数'32432y x ax bx c =+++，但接下来仍需不知如何处理，其实，这道题若从极限的角度考虑，问题会很简单.当x →∞时，'y =∞，所以，当x →∞时图像时上升的，排除第四个答案，在令0,0a b c y ===>不是恒成立的排除第二个答案，故选一和二.点拨：适当的借助函数图像能把抽象的数学性质直观化，具体化.在解答过程中，涉及到考虑0,,x x x x →+∞→-∞→对应的函数值，并由此判断函数或函数图像的变化趋势，此时极限对整体认识问题起着重要的作用.3.3极限思想在函数中的渗透例5 设()1,10-∈a ，定义),2,1(21211⋯⋯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n a a n n , 求()n n n a -∞→14lim . 分析：函数极限所具有的性质与数列极限极为相似.与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论. 中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型.即∞-∞∞∞，，00 .但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四则运算法则.其解答过程不免显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法则等重要解题方法，这使某些问题的解决显得更简便快捷.于()1,1cos -∈θ，故可取()πθθ,0,cos 0∈=a ,于是有2cos 2cos 1211θθ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a ， 22121122cos 22cos 121θθ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a ， n n a 2cos θ=，因此有()n n n a -∞→14lim =n n n n n nn 2cos 12sin 4lim 2cos 14lim 2θθθ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→ =2222sin 2cos 1lim ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n n n θθ. 由于22cos 1lim 22θθθ=+∞→n n ，122sin lim 2=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→nn n θθ, 所以()21214lim 22θθ=⋅=-∞→n nn a .例6 计算下列极限.（1）、n n n 2s i n l i m π∞→；（2）、n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→2111lim分析：此题形式抽象，对于刚刚接触极限的高中生来说难度较大，如果我们在教学中适当渗透罗洛比达有关法则，在这里将会有很大便利性.利用公式计算,因为,001sin lim sin lim =⋅=⋅=∞→∞→xx x x x x x ππππ且数列{}n 严格递增无上界. 由归结原则，n n n 2sin lim π∞→=0.（2）、(),111112∞→→⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n e n n n n n 另一方面，当1≥n 时有 112112222111111111+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n n n n n n n n n n n n , 取⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+=,2,1,12n n n x n ，由归结原则，有 e x n x n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞←∞→11lim 11lim ； e x x n n x x x n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→++∞→1121122211lim 11lim ； 由迫敛性推得：n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→2111lim =e . 点拨:函数极限所具有的性质与数列极限极为相似.与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论. ①1sin lim 0=→xx x ②e x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 运用这两个结论，可以解决高中难以解答的问题.SC3.4用极限思想解决立体几何中的有关问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例7 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ， o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 : 如图所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，当0SO →时，S 无限靠近于O ，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 180.当SO →∞时，正三棱锥S ABC -无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o 60.所以α的取值范围为o o (60180)，，故本题选B .点拨：从这个例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助。