求函数极限方法的探讨 毕业论文
极限求解方法及应用论文
极限求解方法及应用论文极限求解方法是数学分析中的重要概念，用于研究一个函数在某一点或无穷远处的行为。
它在物理学、工程学以及经济学等领域中有广泛的应用。
首先，我们来讨论一下极限定义及其求解方法。
极限可以分为左极限和右极限。
设函数f(x)在a点的定义域中不存在函数值，当x无限接近于a时，如果f(x)的取值无限接近于一个确定的实数L，则称L为函数f(x)在x=a处的左极限，记作lim(x→a-) f(x) = L。
同理，如果当x无限接近于a时f(x)的取值无限接近于一个确定的实数L，则称L为函数f(x)在x=a处的右极限，记作lim(x→a+) f(x) = L。
当且仅当左极限等于右极限并且都存在时，函数f(x)在x=a处的极限存在，即lim(x→a) f(x) = L。
极限求解方法主要包括极限的基本四则运算法则、极限的夹逼定理、函数的连续性等。
极限的四则运算法则指出，对于两个函数f(x)和g(x)以及常数a和b，当lim(x→a) f(x)存在，lim(x→a) g(x)存在，那么：1. lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)2. lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)3. lim(x→a) [af(x)] = a * lim(x→a) f(x)4. lim(x→a) [f(x)g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)5. lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（前提是lim(x→a) g(x) 不为零）极限的夹逼定理是极限求解中常用的方法之一。
它描述了当一个函数夹在两个函数之间时，这个函数的极限等于这两个函数的共同极限，即：如果对于任意的x都有g(x) ≤f(x) ≤h(x)，同时lim(x→a) g(x) = lim(x→a) h(x) = L，则lim(x→a) f(x) = L。
浅谈函数极值的求法及应用毕业论文
本科毕业论文论文题目：浅谈函数极值的求法及应用目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、对一元函数极值问题的简单回顾 (2)（一）一元函数极值的定义 (2)（二）一元函数极值的必要条件 (2)（三）一元函数极值的充分条件 (2)（四）一元函数求极值的现实应用 (3)二、多元函数极值的求法 (4)（一）多元函数的简单介绍 (4)1.多元函数极值的定义 (4)2.多元函数极值的必要条件 (4)3.多元函数极值的充分条件 (4)4.多元函数极值的应用——“牧童”经济模型 (5)（二）多元函数条件极值 (7)grange数乘法 (7)grange数乘法的步骤 (8)3.多元函数条件极值的必要条件 (9)4.多元函数条件极值的充分条件 (9)grange法求多元函数极值的应用——一个价格决策模型 (10)参考文献 (15)附录 (16)浅谈函数极值的求法及应用于淼摘要：在日常的生产生活、经济管理以及经济核算中，我们往往要考虑到在前提条件一定的情况下，怎样才能保证以最小的投入获得最高回报的问题。
这些问题都可以转化为函数中求最大（小）的问题。
在求最值的问题中，我们就用到了函数极值的概念，所以函数极值的讨论具有非常重要的现实意义。
本文首先对一元函数极值做了简单回顾，然而现实生活中的问题往往是复杂的，所以本文进一步研究了多元函数极值的求法Lagrange数乘法，并相应地给出了具体的现实模型以及matlab程序对应用加以说明。
关键词：极值;多元函数;条件极值;极值应用中图分类号：O1Introduction to the calculational methods and application of absoluteextremes of functionYu MiaoAbstract: In daily production and life, economic management and accounting, we often have to think about how to get a maximum return at the minimum investment on issues such as profit maximization under certain circumstances. These problems can be converted to a function for the largest (smallest) problem. In seeking the absolute extremes of function, we used the concept of function extreme. So the discussions on function extreme hold a very important practical significance.At first, this passage made a simple review on calculational methods of extreme value of the function of one variable; the problem is often complicated in real life, however. So in this paper, further research on the extremes for multivariate function are given though laser number multiplication, and correspondingly gives the concrete reality model for application. Keywords:absolute extremes; multivariate function; extremes with a condition;application一、对一元函数极值问题的简单回顾（一）一元函数极值的定义定义1 设)(x f 是定义在),(b a 上的函数，),(0b a x ∈,若存在一点0x 的某个邻域),(),(0b a x O ⊂δ,使得,),(),()(00δx O x x f x f ∈≤,那么，称0x 是)(x f 的一个极大值点，)(0x f 就是其相应的极大值。
数学学年论文毕业论文求极限的方法
在数学中，极限是一种重要的概念，能够帮助我们研究函数和序列的性质。
求解极限是数学学年论文或毕业论文中的一部分。
下面我将介绍几种常用的求极限的方法。
一、代入法代入法是求解极限最为简单的方法之一，其基本思想是将极限中的变量替换为一些特定的常数值，然后计算函数在该值处的函数值。
如果该函数在该点的函数值存在，则该值即为极限值。
二、夹逼定理夹逼定理是数学分析中常用的一种方法，可以用来求解一些函数在其中一点处的极限。
夹逼定理的原理是，如果一个函数f(x)在其中一点x0附近能够找到两个较为简单的函数g(x)和h(x)，并且满足g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，那么在x0处，这三个函数的极限也有相应的关系，即lim(g(x)) ≤ lim(f(x)) ≤ lim(h(x))。
三、无穷小量法无穷小量法是求解极限的一种重要方法，它的原理是当变量趋向无穷大或者趋向零时，一些函数的变化可以近似看作是一个无穷小量。
通过将待求极限中的变量作适当的变换，将其表示为无穷小量与一些已知极限之间的关系，然后求解已知极限，最后根据变换的关系得到待求极限。
四、洛必达法则洛必达法则是求解极限中常用的方法之一，其基本思想是用导数的求导法则来求解函数的极限。
具体来说，如果在其中一点x=a处，函数f(x)和g(x)都满足条件lim(f(x))=lim(g(x))=0或lim(f(x))=lim(g(x))=∞，且g'(x)≠0，则该极限lim(f(x)/g(x))存在。
通过求解lim(f'(x)/g'(x))，可以得到lim(f(x)/g(x))的值。
五、级数展开法级数展开法是一种将待求极限变换为级数求和的方法，它适用于一些函数无法直接求解极限的情况。
通过将函数f(x)在其中一点进行泰勒级数展开，然后利用级数的性质，可以得到该函数在该点处的极限。
在实际应用中，以上多种方法可以相互结合使用，根据具体问题的性质来选择合适的方法。
求函数极限的方法与技巧6篇
求函数极限的方法与技巧6篇第1篇示例：求函数极限的方法与技巧在学习数学的过程中，函数极限是一个非常重要的概念。
通过求函数的极限，我们可以了解函数在某一点的变化趋势，从而掌握函数的性质和特征。
在实际应用中，求函数极限也是解决数学问题和物理问题的基础。
那么，如何求函数的极限呢？下面我们就来讨论一下求函数极限的方法与技巧。
我们来说一说函数极限的定义。
对于函数f(x)，当自变量x趋于某一值a时，如果函数值f(x)无限接近于某一确定的常数L，那么常数L 就是函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
换句话说，就是当x无限接近a时，f(x)的取值无限接近L。
要求函数的极限，就是要找到这个L。
1. 代入法：对于一些简单的函数，我们可以直接代入a的数值，求出f(a)的值。
如果f(a)存在且有限，那么这个值就是函数在点a处的极限。
2. 因子分解法：对于一些复杂的函数，我们可以通过因子分解来求得函数的极限。
根据函数的性质，我们可以将函数分解为一些简单的分式或者根式，从而求得极限的值。
3. 夹逼定理：对于一些特殊的函数，我们可以利用夹逼定理来求得函数的极限。
夹逼定理是一种通过两个较为简单的函数来夹逼待求函数的极限的方法，通过和两个函数比较来逼近待求函数的极限值。
4. 利用导数：对于一些连续的函数，我们可以利用导数来求得函数的极限。
通过求导数，我们可以得到函数的切线斜率，从而得到函数在某一点的变化趋势。
除了以上的方法与技巧，还有一些注意事项需要我们在求函数极限时要注意：1. 涉及无穷大的极限时，要格外注意函数的性质，以及无穷大的表示方式。
2. 找出函数的不确定形式，通过化简或者变形来求得函数的极限。
3. 对于有理函数的极限，要特别注意分母为0的情况，以及分子、分母次数的关系。
4. 要熟练掌握常用函数的极限形式，比如指数函数、对数函数、三角函数等。
5. 在求导数时，要注意一阶导数、高阶导数等，以及导数的性质和规律。
求极限的方法 毕业论文
求极限的方法摘 要：本文系统地介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。
关键词：极限、方法、类型、洛比达法则、定积分 一 引言高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。
高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。
由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的。
极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。
反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。
针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。
二 具体方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限)(lim 0x f x x →和)(lim x g xx →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ⋅当0x x →时也存在且①[])()()()(lim lim lim 0.0x g x f x g x f x x x x x →→→±=±②[])()()()(lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅又若0)(lim 0≠→x g x x ，则)()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()()(lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→=利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如∞∞、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。
求函数极限的方法 毕业论文
JISHOU UNIVERSITY本科生毕业论文题 目：求函数极限的方法作 者： 学 号： 所属学院： 专业年级：指导教师：职 称：完成时间：独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
论文题目：作者签名：日期：年月日论文版权使用授权书本人完全了解吉首大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。
同意吉首大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。
(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)论文题目：学生签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (2)2 求函数极限的方法 (2)2.1 利用定义求极限 (2)2.2 利用迫敛性求极限 (4)2.3 利用归结原则求极限 (4)2.4 利用洛比达法则求极限 (5)2.5 利用泰勒公式求极限 (7)2.6 用导数的定义求极限 (8)2.7 利用定积分求极限 (9)2.8 利用级数收敛的必要性求极限 (10)2.9 利用Stolz公式求极限 (10)3 总结 (13)参考文献 (13)求函数极限的方法欧阳枭（吉首大学数学与统计学院，湖南吉首 416000 ）摘要：函数极限是高等数学的重要组成部分，它是微积分的理论基础，所以求函数极限成为这一部分的重中之重.灵活掌握函数极限的求法是学好高等数学的基础.函数的极限有很多种求法，比如: 利用函数极限的定义、利用泰勒公式、利用洛必达法则、利用级数收敛性、利用Stolz公式等.关键词: 函数极限; 洛必达法则; 泰勒公式; 级数收敛性; Stolz公式.The Counting Methods of Function LimitOuyang Xiao( College of Mathematics and Statistics, Jishou University Jishou Hunan 416000 ) Abstract:Function limit which is an important part of advanced mathematics, is the theoretical basis of calculus, Therefore, counting the function limit is a top priority for it. The flexibility to master the counting methods of the function limit is the foundation of learning advanced mathematics well. There are various ways to counting the function limit, such as using the definition of function limit, the Taylor's formula, the L'Hopital's rule, the series convergence, the Stolz formula and so on.Key words:The function limit; the L'Hopital's rule; the Taylor's formula; the series convergence; the Stolz formula1 引言在自然科学、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段.既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢？这个方法就是极限.在数学分析与微积分学中，极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文将通过一些典型例题来讨论求函数极限的方法.2 求函数极限的方法2.1 利用定义求极限定义2.1.1(x 趋于a 时的函数极限)]4[：函数()x f 在点a x =的空心邻域内有定义，A 是一个确定的数，若对任意的正数0>ε，存在0>δ，使得当δ<<a x －0时，都有()ε<A x f －，则称x 趋向于a 的极限存在，且为A ，记作()A x f ax =→lim .下面举例说明如何根据定义来求这种函数极限，我们要特别注意δ的值是如何确定的，它和ε有什么关系.例2.1.1 证明 ()4221=+x x →lim证： ε∀＞0， ()12422－－x x =+＜ε成立，解得 1-x ＜2ε 取,2εδ=于是存在,2εδ=:x ∀0 ＜1－x ＜δ ,有()422－+x ＜ε故 ()4221=+x x →lim注：一般δ的取值要依赖于ε，但它不是由ε唯一确定的.在上例中还可以把δ取得更小一些，这取决于函数式放缩的程度.定义2.1.2(x 趋向∞时的函数极限)]4[：设f 为定义在[)∞+,a 上的函数，A 为定值，若对任给正数ε，存在正数M (≥a ）使得当x ＞M 时有 ()A x f －＜ε.则称函数f 当x →∞+时以A 为极限，记作()A x f x =+∞→lim 或()()∞→→+x A x f .x 趋向于∞-时的函数极限的定义与定义2.1.2相似，只要把定义中的x ＞M 改为M x －<即可.下面同样举例说明用定义求这种函数极限的方法.例2.1.2 证明 ∞→+n lim n n n n 23122++－=31 分析 这是一个关于自变量n 趋向于无穷大的函数极限，n 相当于定义中的x ，先将函数式适当放大，再根据函数定义求证函数极限.证： ()2221153323332n n n n n n n +-=++－－， 当 2,530,n n >->0332322>>+n n n n －，有()222115513239333n n n n n n nn n +=<+－－5－≤－， 0>ε∀，⎭⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎩⎨⎧=∃ε1,2max N 当N n >时，有2211,323n n n n ε+-<+－ 故 +∞→n lim n n n n 23122++－=31注 1 在上式中运用了适当放大的方法，这样求解比较简便.但要注意这种放大必须要“适度”，这样才能根据给定的ε来确定N ，同时要注意此题中的N 不一定非要是整数，只要是正数即可.注 2 函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律.2.2 利用迫敛性求极限我们常说的迫敛性或夹逼定理]4[：若(),0a U x ∈∀有()()(),x h x g x f ≤≤且()().lim lim b x h x f ax ax ==→→ 则()b x g ax =→lim .例 2.2.1 求极限⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 222...2211lim 分析： 即∑=++=nk n kn n k C 12，易知⎭⎬⎫⎩⎨⎧++k n n k 2关于k 单调递增. 即得 nn n n C n n n n ++<<++2221当时+∞→n ，上式左、右两端各趋于0和1，似乎无法利用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩. 解： 对∑=++nk k n n k12各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变. 就得如下不等关系：()()()121122121212+++=++<<++=++∑∑==n n n n n n k C n n n k n n nk n n k 令时+∞→n ，上式左、右两端各趋于21，得 21...2211lim 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2.3 利用归结原则求极限归结原则]4[ 设f 在()00;'U x δ内有定义，()0lim x x f x →存在的充要条件是：对任何含于()00;'U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等．例 2.3.1 求极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭分析： 利用复合函数求极限，令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=求解． 解： 令 ()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=则有 ()lim x u x e →+∞=；()lim 1x v x →+∞=，由幂指函数求极限公式得()()211lim 1lim xv x x x u x e x x →+∞→+∞⎛⎫++== ⎪⎝⎭， 故由归结原则得221111lim 1lim 1n xn x e n n x x →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +→，0x x -→，x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()lim n n f x →∞不存在，或找到两个都以0x 为极限的数列{}'n x 与{}''n x ，使()'l i m n n f x →∞与()"lim n n f x →∞都存在而不相等，则()0lim x x f x →不存在．2.4 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x 的空心邻域()00Ux 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．例 2.4.1 求极限21cos limtan x xxπ→+解： 由于()2lim 1cos lim tan 0x x x x ππ→→+==，且有()1cos 'sin x x +=-，()22tan '2tan sec 0x x x =≠，由洛比达法则可得:21cos limtan x xxπ→+2sin lim 2tan sec x xx xπ→-=3cos lim 2x x π→⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 12=例 2.4.2 求极限3lim xx e x→+∞解： 由于3lim lim x x x e x →+∞→+∞==+∞，并有()'x x e e =，()32'30x x =≠，由洛比达法则可得：32lim lim 3x xx x e e x x→+∞→+∞=，由于函数()x f x e =，()23g x x =均满足洛比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则：32lim lim lim lim 366x x x x x x x x e e e e x x x →+∞→+∞→+∞→+∞====+∞ 注 1 如果()()0'lim'x x f x g x →仍是00型不定式极限或∞∞型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限()()'lim'x x f x g x →是否存在，这时()'f x 和()'g x 在0x 的某邻域内必须满足洛比达法则的条件．注 2 若()()'lim'x x f x g x →不存在，并不能说明()()0lim x x f x g x →不存在．注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件．比如这个简单的极限sin lim1x x xx→∞+=虽然是∞∞型，但若不顾条件随便使用洛比达法则sin 1cos lim lim 1x x x x xx →∞→∞++=，就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论．2.5 利用泰勒公式求极限对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛比达法则更为方便，下列为常用的展开式]4[：1、)(!!212n nxx o n x x x e +++++= 2、)()!12()1(!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-=--3、)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=n n n x o n x x x x4、)()1(2)1ln(12n nn x o nx x x x +-++-=+- 5、)(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--++-++=+ααααααα6、)(x x 1 112n n x o x x+++++=- 上述展开式中的符号)(n x o 都有:0)(lim 0=→n n x xx o 例 2.5.1 求极限420x 2cos lim 2x x ex -+→分析：当0→x 时，此函数为0型未定式，满足洛必达法则求极限.若直接用洛必达法则就会发现计算过程十分复杂，稍不注意就会出错.先用泰勒公式将分子展开，再求极限就会简洁的多.解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+++=)(!4!21cos )(82144244222x x x x x x x e x οο因此 )(62cos 4422x x x ex ο+=-+所以 61)(6lim 2cos lim4440422=+=-+→→x x x x x ex x x ο 2.6 用导数的定义求极限常用的导数定义式]7[：设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()000'limx x f x f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式． 例 2.6.1 求极限22limx x p p x q q→+-+- ()0,0p q >>分析 此题是0x →时00型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．解： 令()2f x x p =+，()2g x x q =+ 则220l i mx x p px q q→+-+-()()()()000lim 00x f x f x g x g x →--=--()()'0'0f g =qp=． 2.7 利用定积分求极限由定积分的定义]7[知，若()f x 在[],a b 上可积，则可对[],a b 用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是()f x 在[],a b 上的定积分．因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限．这是求和式极限的一种方法．例 2.7.1 求极限()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦解： 对所求极限作如下变形：()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦2221111lim 12111n n n n n n →∞⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⋯⋯+⋅⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2111lim1nn i n i n →∞==⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑． 不难看出，其中的和式是函数()()211f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和，所以有()()()222111lim 12n n n n n n →∞⎡⎤++⋯⋯+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()1211dx x =+⎰()()12111d x x =++⎰1011x=-|+12=2.8 利用级数收敛的必要性求极限给出一数列n u ，对应一个级数∑∞=1n n u ，若能判定此级数收敛，则必有0=∞→n x u lim .由于判别级数收敛的方法较多，因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较为方便.例 2.8.1 2!lim n n n n n→∞求解：设2!n n n n u n =，则级数∑∞=1n n u 为数项级数.由比值审敛法：1112(1)!lim lim(1)2!n nn n n n n n u n n u n n +++→∞→∞+=+ lim 2()1nn n n →∞=+1lim 21(1)n n n→∞=+ 12<=e所以 12!n n n n n∞=∑ 收敛，所以 2!lim 0n n n n n→∞=2.9 利用Stolz 公式求极限Stolz 公式和洛必达法则是求极限的有效方法，它们分别适用于数列和函数的情形.对于一些分子分母为求和式的比式极限题目用通常方法进行证明是非常麻烦的，但是用此定理就非常的简单了，而用此定理可使分子分母中的很多项消去从而简化计算，应用比较方便.首先介绍一下此定理：Stolz 定理1（∞∞）]4[：已知两个数列｛n x ｝、{n y },数列{n x }严格单调上升，而且n x →+∞，当n →+∞,+∞→n limnn n n x x y y --++11=l ,其中l 为有限数或为＋∞或－∞则lim n →+∞nn x y＝l ；Stolz 定理2（0）]4[：已知两数列{n x }、{n y }，n y →0当n →+∞；数列{n x }严格单调下降而且n x →0当n →+∞；+∞→n limnn nn x x y y --++11= l ，其中l 为有限数或为＋∞或－∞,则l x y nnn =+∞→lim Stolz 定理的函数形式： Stolz 定理3（∞∞型）]4[：若T>0为常数，1) ()x g <()T x g +,∀0>x ,2) ()x g →+∞,当x →+∞且()x f ,()x g 在[a, +∞]内闭有界，即∀b>a,()x f ，()x g 在[a ,b]上有界，3) +∞→x lim)()()()(x g T x g x f T x f -+-+＝l .则+∞→x lim)()(x g x f ＝l Stolz 定理4（0）]4[：若T>0为常数， 1)0<()T x g +<()x g ∀0>x ， 2)∞→+x lim ()x f =0, +∞→x lim ()x g =0，3) +∞→x lim)()()()(x g T x g x f T x f -+-+＝l .则+∞→x lim()()f x lg x =,其中l ＝∞+或有限数或∞- 例 2.9.1 设s s n n =∞→lim 求ns n s s nn ln 121lim21+++∞→证明： 因为{}n ln 单调递增且趋于∞+又 1111lim lim 1ln(1)ln ln(1)n n n n s s n sn n n +++==+-+→∞→∞故由Stolz 定理知:ns n s s n n ln lim12121+++∞→=s 例2.9.2 若()x f 在（a,∞+）内有定义，而且内闭有界，即任意[βα,]⊂（a,∞+）,()x f 在[βα,]上有界，则1）+∞→x limxx f )(＝+∞→x lim [()1+x f - ()x f ] 2) +∞→x lim (()x f )x1= +∞→x lim)()1(x f x f +,其中（()x f >c>0）. 证明：1）从题意知 令()x g =x ,则()x f ,()x g 都符合定理的条件，令T=1所以可以直接套用定理，+∞→x limxx f )(＝+∞→x lim x x x f x f －－11++)()(＝+∞→x lim [()1+x f - ()x f ], 2) 令y=(()x f )x1,则y ln =x1()x f ln , y ln =+∞→x limx 1()x f ln = +∞→x lim xx x f x f -+-+1)(ln )1(ln ＝+∞→x lim ln )()1(x f x f +，由=y x ln 的连续性，所以y x ∞→+lim =+∞→x lim)()1(x f x f + 得证.从上可以看出利用Stolz 定理求极限的形式是非常有规律的，我们要善于发现式子的规律，但应具体问题具体分析，关键是发现所要求极限式的特点.3总结本文比较全面地总结了求函数极限的方法，包括利用函数极限的定义、利用迫敛性、利用归结原则、利用洛比达法则、利用泰勒公式、利用导数的定义、利用定积分、利用级数收敛的必要性、利用Stolz公式，从而帮助我们解决求各类函数极限过程中所遇到的问题.对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，但需要注意的是，实际求函数极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用.参考文献:[1] 龚思德、刘序球、张广梵.微积分学习指导[M].天津:南开大学出版社.1997.[2] 丁家泰.微积分解题方法[M].北京:北京师范大学出版社.1981.[3] 朱匀华.微积分入门指导与思想方法[M].广州:中山大学出版社.1986.[4] 华东师范大学数学系.数学分析(上册、下册)[M].北京:高等教育出版社.1997.[5] 温启军．高等数学教学的几点思考[J].长春大学学报.2003：13（5），19～20.[6] 陈刚、米平治.关于高等数学中极限思想的研究[J].工科数学.2001：17（3），69～71.[7] 杜吉佩、李广全．高等数学[M].北京:高等教育出版社.2005.[8] 胡适耕.大学数学解题艺术[M].长沙:湖南大学出版社.1982.[9] 夏滨.利用洛比达法则求函数极限的方法与技巧探讨[J].现代企业教育杂志.2008.[10] 蒋志强.函数极限的几种特殊求法[J].牡丹江教育学院学报.2009：5，122～123.。
浅谈极限的求解方法毕业论文
共17页第1页浅谈函数极限求解方法学生：陈智年指导老师：赵守江三峡大学理学院摘要：极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述，都可以用极限来描述.如函数在某点处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分的定义,三重积分的定义,无穷级数的定义都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具.极限是贯穿数学分析的一条主线.学好极限要从以下两个方面着手: 1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限.本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述. 对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的,但是对于一个比较复杂的极限的计算,例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的,然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种,但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法,很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算Abstract：Limit is the basis of mathematical analysis , the basic concepts of mathematical analysis of expression , can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point , the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals , triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible, but for a more complicated limit calculations, such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however, Taylor shows the calculation is much simpler , which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen, but when calculating the limits specific to different characteristics , whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics , and thus simplify the calculation关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式；单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理共17页第2页Keywords ：Limit; ultimate limits of nature; Luo's Rule; Taylor formula; monotonous limited law; integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。
关于求函数极限方法的讨论
关于求函数极限方法的讨论求函数极限是微积分中的一大重要概念，它揭示了函数在其中一点或者无穷远处的趋势和特性。
随着微积分的不断深入发展，人们提出了多种方法来求函数的极限，其中最为常用的方法有极限定义法、夹逼准则、洛必达法则和泰勒展开等。
在本文中，我们将对这些方法进行讨论。
首先，我们来介绍极限定义法。
这是我们学习极限概念的第一个方法，它是基础也是最为直观的方法之一、极限定义法通过对函数在接近其中一点时的变化情况进行分析，可以求得函数在该点的极限值。
具体而言，根据定义，对于给定的函数f(x)和一个点a，我们可以说当自变量x足够接近点a时，函数f(x)的值也会趋近于其中一个常数L。
数学上可以表示为lim┬(x→a) f(x) = L。
在这个过程中，我们需要通过不断逼近x的过程来验证极限是否存在，具体步骤如下：1.对于任意给定的ε>0，我们需要找到一个相应的δ>0，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε成立。
2.如果能够满足上述条件，那么我们就可以说函数f(x)在点a处存在极限，并且该极限值为L。
极限定义法虽然直观，但是在实际计算中有时候较为繁琐。
因此，人们提出了夹逼准则。
夹逼准则是一种基于数列的概念来讨论函数极限的方法，它常用于解决一些复杂函数的极限问题。
具体而言，如果函数f(x)在[a,b]上的所有点上的值都位于两个函数g(x)和h(x)所包围的范围内，并且当x趋近于a或b时，g(x)和h(x)的值都趋近于同一个常数L，那么我们就可以说函数f(x)在点a处存在极限，并且该极限值为L。
夹逼准则的应用可以简化问题，使得我们可以更轻松地求出函数的极限。
另一个求极限的重要方法是洛必达法则。
洛必达法则是一种通过对函数的导数进行分析来求得函数的极限值的方法，它常常用于解决一些涉及到无穷大或无穷小量的极限问题。
具体而言，对于一个函数的极限lim┬(x→a) (f(x)/g(x))，如果分子和分母在x趋近于a时都收敛到0或者∞，且g'(x) ≠ 0，那么可以通过对函数的导数进行求解来求出该极限的值。
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本科学生毕业论文（设计）题目（中文）：求函数极限方法的探讨（英文）：Beg function limit method isdiscussed姓名：学号：院（系）：数学与计算机科学系专业、年级：数学与应用数学2007级指导教师：教授2011年 3月20目录目录 (2)1绪论 (6)2一元函数极限概念与求法 (7)2.1 一元函数极限的概念 (7)2.2 一元函数极限的求解方法 (7)2.2.1 利用一元函数的定义求解 (7)2.2.2 利用极限的四则运算求函数极限 (8)2.2.3 利用函数的性质求函数极限 (9)2.2.4 利用等价无穷小代换求函数极限 (10)2.2.5 利用无穷小量性质法 (11)2.2.6 利用无穷小量与无穷大量的关系 (11)2.2.7 利用数学公式，定理求函数极限 (12)2.2.8 利用变量替换求函数极限 (16)2.2.9 用左右极限与极限关系 (17)3二元函数极限的概念与求法 (18)3.1 二元函数极限的概念 (18)3.2 二元函数极限的求法 (18)3.2.1 利用二元函数的极限的定义求极限 (18)3.2.2 利用连续函数的定义及初等函数的连续性求解 (19)3.2.3 利用极限的四则运算求解 (19)3.2.4 利用有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量求解 (20)3.2.5 利用等价无穷小替换求解 (20)3.2.6 利用分子或分母有理化求解 (21)3.2.7 利用夹逼定理求解 (21)3.3 小结 (22)4结语 (22)5致谢 (24)6参考文献 (23)求函数极限的方法探讨摘要函数极限概念与函数极限求法是近代微积分学的基础，本文主要对一元函数、二元函数极限定义和它们的求解方法进行了归纳和总结，并在某些具体的求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明，以便于我们了解函数的各种极限以及对各类函数极限进行计算。
函数极限的求法有很多，每种方法都有其优缺点，对某个具体的求极限问题，我们应该选择最简单的方法。
【关键词】：函数定义，数学定理，公式，函数极限Beg function limit method is discussedAbstractFunction limit concept and function limit of modern calculus is introduced, this paper mainly based on a circular function, dual function limit definition and their solving methods, and summarizes some concrete, and the solving method of should pay attention to in the details and skills so that we understand that various extreme and the function of various function limit to calculate. We have many function limit, each method has its advantages and disadvantages, to a specific ask, we should choose the limit of the most simple method【key words 】: a function definition, mathematical theorems, formula, function limit1绪论极限研究的是函数的变化趋势, 在自变量的某个变化过程中, 对应的函数值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限了。
极限是高等数学中一个非常重要的概念, 是贯穿高等数学的一条主线, 它将高等数学的各个知识点连在了一起。
所以,求极限的方法显得尤为重要的。
我们知道,函数是高等数学研究的对象,而极限方法则是在高等数学中研究函数的重要方法, 因此怎样求极限就非常重要。
早在我国古代刘徽的《九章算术》中提到“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”就涉及了到了极限。
古希腊人的“穷竭法”也蕴含了极限思想。
到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。
在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。
在经过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯西获得了完善的结果，即柯西收敛原理。
到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法。
求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小代换、利用定积分求合公式、利用导数定义、利用泰勒公式、利用黎曼引理、利用柯西收敛原理、利用罗必达法则求极限等一些方法，而其中大部分是用于求解一元函数的极限。
二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,二者之间既有联系又有区别。
比如,极限的四则运算法则是相同的,但是随着变量个数的增加,二元函数的极限比一元函数极限变得要复杂得多。
因此本文除了对一元函数的求解方法进行概括总结外，还对二元函数的求极限方法进行了一些简单的归纳和说明，并与求一元函数的极限方法进行了比较，从而使阅读本文的人更快更好的掌握一元函数，二元函数极限的求解技巧和它们的异同点。
2 一元函数极限概念与求法2.1 一元函数极限的概念设f:(a,+∞)→R 是一个一元实值函数，a ∈R.如果对于任意给定的ε＞0，存在正数X ，使得对于适合不等式x ＞X 的一切x ，所对应的函数值 f(x)都满足不等式.│f(x)-A│<ε ,则称数A 为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作f(x)→A(x→+∞).2.2 一元函数极限的求解方法2.2.1 利用一元函数的定义求解设f:(a,+∞)→R 是一个一元实值函数，a ∈R.如果对于任意给定的ε＞0，存在正数X ，使得对于适合不等式x ＞X 的一切x ，所对应的函数值 f(x)都满足不等式.│f(x)-A│<ε ,则称数A 为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作f(x)→A(x→+∞).证明：1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x ()2222-=--=x x x 0>∀ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 小结：利用极限定义求函数极限的熟悉和掌握求极限方法的基础，是最直接也是较容易解决的求极限的方法。
2.2.2 利用极限的四则运算求函数极限若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 000 (III)若 B ≠0 则： BA x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000 （IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 00 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,我们来做一个运用极限的四则运算的习题：求 453lim 22+++→x x x x 的极限 解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+ 小结：函数极限的运算也一样符合四则运算的规律，因此对于一些和差函数的极限的求解不妨试试用加减乘除来解决。
2.2.3 利用函数的性质求函数极限2.2.3.1 利用函数的连续性求极限原理：)()](lim [))((lim )()(lim )]([)()()(lim )()(000000a f x f x f a u u f a x x f ii x f x f x x x f i x x x x x x x x ======→→→→ϕϕϕϕ处连续，则在且是复合函数，又若处连续，则在若例题：（1） 求)1ln(15cos lim 20x x x e x x -+++→ 的极限 （2） 求xx x )1ln(lim 0+→的极限 ()1ln ))1(lim ln()1ln(lim )1ln(lim )1()1ln()1ln()2(6)0()1ln(15cos lim )1ln(15cos )(0)1(1010011202==+=+=++=+=+==-+++-+++==→→→→e x x xx x x x xx f x x x e x x x e x f x x x x x x x xx x x 故有：令、由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。
属于初等函数、由于解：ϕ 2.2.3.2 利用函数极限的存在性定理定理: 设在0x 的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00 则极限 )(lim 0x f x x → 存在, 且有 A x f x x =→)(lim 0例题: 求 x nx ax +∞→lim 的极限 (a>1,n>0) 解: 当 x ≥1 时,存在唯一的正整数k,使得k ≤x ≤k+1于是当 n>0 的时候有:k nx n ak a x )1(+< 以及 aa k a k a x k n k n x n 11⋅=>+ 又因为当x +∞→时,k +∞→ 有 =++∞→k n k a k )1(lim 00)1(lim 1=⋅=⋅+++∞→a a a k k nk 及 =++∞→1lim k nk ak 0101lim =⋅=⋅+∞→aa a k k n k 则：x nx ax +∞→lim =0 小结：利用函数的基本性质来求解函数极限对一些特定的函数极限的求解有着十分重要的作用，熟悉和了解函数的基本性质是解决此类函数极限方法的重要前提。
2.2.4 利用等价无穷小代换求函数极限设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：''~,~ββαα， ''lim βα 存在， 则 βαlim 也存在，且有βαlim = ''lim βα 例题： 求极限2220sin cos 1lim x x x x -→ 解: ,~sin 22x x 2)(~cos 1222x x -∴2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=x x x 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”此外不仅无穷小量代换能求函数极限，还能运用无穷小量与无穷大量的关系，以及无穷小量的性质法来求解函数极限。