中国古代数学中的极限思想[含论文、综述、开题-可编辑]
极限思想的产生与发展_学位论文
存档编号赣南师范学院科技学院学士学位论文极限思想的产生与发展系别数学与信息科学系届别 2014 届专业数学与应用数学学号 1020151216 姓名李芳指导老师陈海莲完成日期 2014 年5月 4日目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (2)1.极限思想的产生 (2)2.极限思想的发展 (4)3.极限思想的概念 (5)3.1极限的现代定义 (5)3.2函数极限的性质 (6)3.3数列极限存在的条件 (7)4 极限思想的应用 (8)4.1极限思想在割圆术中的应用 (8)4.2极限思想在开方方面中的应用 (8)4.3极限思想在微积分中的应用 (10)4.4极限思想在解题中的应用 (11)结论 (15)参考文献 (17)致谢 (18)内容摘要：本文主要论述极限思想的产生与发展、极限思想的概念、辩证与剖析及其应用。
极限思想是荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法时产生的，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明，而牛顿，莱布尼兹对极限思想的建立作出了创造性的贡献。
本文最后探讨了极限思想在割圆术、开方、微积分和求解某一点方面的应用。
关键词：极限思想产生发展概念辩证剖析应用Abstract: This paper mainly discusses the origin and development of the limit idea, limit thought concept, dialectical analysis and its application. Limit thought is produced by Holland mathematician Steven improved the method of exhaustion of the ancient Greeks, while investigating the center of gravity when he, with the aid of the geometry, bold use of thinking about the limit, give up reductio ad absurdum proof, and Newton, made creative contribution to establish the Leibniz limit thought. This paper finally discusses the application of limit thought in cyclotomy, prescribing, calculus and solution of a point of.Key words: Limit thought production development concept dialectical analysis application引言数学是对现实世界数与形简洁的、高效的、优美的描述, 是有其内部抽象性和外部有效性的一门学科。
浅谈刘徽的极限思想
Ａ
Ｄ Ｃ
设 Ｂ Ｃ为 圆 内接正 ｎ边 形 的一边 ，平 分 Ｂ Ｃ弧 于 Ａ，
＼Ｌ ／
图 １ 割 圆术 图 ．于是 余 径
则 Ｂ 、 ｃ均 为 圆 内接 正 ｎ ＡＡ
代的数学文化都具有重大 的现实意义． 刘 徽是 中国数学史上最伟大 的数学 家 ， 的杰作 《 他 九章 算术注》 海岛算经 》 中国最宝贵 的数学遗产 ， 和《 是 也是世 界
浅谈刘徽 的极 限思想
许 晶
（ 州学院 德 数 学 系， 山 东 德 州 ２３２） ５０３
摘
要 ： 高等数 学的教学中， 在 在传授数学知识和培养学生数学能力的同时， 要重视数学思想的教 学，
弘扬数 学文化 ， 高学生的数 学教养． 提 本文介绍 了我国著名数学家刘徽的极限思想和理论 ， 这对于学生掌握
以使学生 了解 数学产 生 的背景 和研究 问题 的思想 方法 ， 提 高学生 的数学文化修养和数学素质． 高等数学 中蕴涵着许多重要 的数学 思想 ，极 限思想就 是其 中的一个． 限是高等数 学的基本概念 ， 限理论在数 极 极 学 中 占据十分重 要的地位 ，而且极 限思想始 终贯穿于整个 高等数学 的知识 体系 中， 是解决复杂 问题 的有力武 器． 国 我
一
数学思想是数学 产生 、 发展的思想 依据和思想方法 ， 也
而外周率三也 ． 又按 图， 以六觚 之一面乘半径 ， 因而三之 ，
包括数学成果所蕴涵 的思想精髓． 的教学不能仅仅看成 数学 是 知识 的传授 ， 应该使学 生在 学习知识、 培养 能力 和提高素 质方 面都得 到教 益 ， 应该 注重数学思想的教学 ， 弘扬数学文 化 。 进学生 的数 学教养 ． 增 因此 ， 在讲 授高等数 学知识 的同
中国古代数学论文2500字_中国古代数学毕业论文范文模板
中国古代数学论文2500字_中国古代数学毕业论文范文模板中国古代数学论文2500字(一)：中国古代数学思想对初中数学教学的启示论文在古代数学中，包括古希腊在内的西方对数学做出了非常大的贡献，这些内容广为人知，而对中国古代数学除圆周率及勾股定理等之外所取得的伟大成就却知之甚少。
事实上，中国数学起源于上古时期，隋代中叶到元代后期达到鼎盛，许多成就领先西方数百年甚至千年以上。
如十进位制计数法和零的采用早于第二发明者印度1000多年，二进位制思想领先第二发明者2000多年，二次内插法早于欧洲牛顿1000多年，凡此种种不胜枚举。
而其中的优秀代表——《九章算术》，共分九章（卷），总计201术246题，涉及算术、数与代数、几何等诸多领域，其中涉及初中数学的有负数、勾股定理和一元二次方程等。
该书成书后，特别是到魏晋时期著名数学家刘徽作注（《九章算术注》）之后，它在我国古代数学中有着不可动摇的地位，其数学内容和思想对中国古代的数学发展有着极其重要的作用，至今仍有重要的借鉴意义。
一、《九章算术》所体现的中国古代数学思想中西方数学的起源基本相同，即都是基于對人们生产生活中遇到的问题进行归纳和理性的处理。
而中西方古代数学差异在于西方通常采用抽象的方式来解释问题，而中国古代数学的核心是对实际问题的解释和再利用。
以《九章算术》为例，它以“方田”（土地测量）“粟米”（粮食交易）“衰分”（比例分配）等生活中的常见问题进行分类。
而从内容的编排看，它也以实用性为主。
因此可以说，该书处处体现“实用”的数学思想，这也是中国古代数学的一个鲜明特点。
当然，《九章算术》也有着非常明显的缺点，由于该书影响巨大，其“实用”的数学思想，导致中国数学很长时期一直处于实用主义的文化背景下，而忽视了对于基本数学概念、定理的探索，这种现象直到近代才有所改变。
然而，这不是说“实用”的数学思想是完全错误的。
实际上，直到如今，其“实用”的数学思想仍然对数学教学有一定的启示作用。
极限思想在实际生活中的应用【开题报告】
开题报告信息与计算科学极限思想在实际生活中的应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义极限的思想可以追溯到我国古代, 刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用; 古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想, 但由于希腊人“对无限的恐惧”, 他们避免明显地“取极限”, 而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明. 到了16世纪, 荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法, 他借助几何直观, 大胆地运用极限思想思考问题, 放弃了归缪法的证明. 如此, 他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的. 16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期, 生产力得到极大的发展, 生产和技术中大量的问题, 只用初等数学的方法已无法解决, 要求数学突破只研究常量的传统范围, 而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具, 这是促进极限发展、建立微积分的社会背景.起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分, 后来因遇到了逻辑困难, 所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想. 牛顿用路程的改变量与时间的改变量之S ∆t ∆比表示运动物体的平均速度, 让无限趋近于零, 得到物体的瞬时速度, 并由此引S t ∆∆t ∆出导数概念和微分学理论. 他意识到极限概念的重要性, 试图以极限概念作为微积分的基础, 他说:“两个量和量之比, 如果在有限时间内不断趋于相等, 且在这一时间终止前互相靠近, 使得其差小于任意给定的差, 则最终就成为相等.”但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的, 因而他无法得出极限的严格表述. 牛顿所运用的极限概念, 只是接近于下列直观性的语言描述, “如果当无限增大时, 无限地接近于常数, 那么就说以为极限” . n n a A n a A 这种描述性语言, 人们容易接受, 现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义. 但是, 这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系, 不能作为科学论证的逻辑基础. 正因为当时缺乏严格的极限定义, 微积分理论才受到人们的怀疑与攻击, 极限思想的完善与微积分的严格化密切联系. 在很长一段时间里, 微积分理论基础的问题, 许多人都曾尝试解决, 但都未能如愿以偿. 这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量, 而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚; 对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解; 对有限和无限的对立统一关系还不明确. 这样, 人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法, 就不能适应变量数学的新需要, 仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系. 到了18世纪, 罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念, 并且都对极限作出过各自的定义. 其中达朗贝尔的定义是“一个量是另一个量的极限, 假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”, 它接近于极限的正确定义; 然而, 这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖. 事情也只能如此, 因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的. 首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺, 他把函数的导数定()f x 义为差商的极限, 他强调指出不是两个零的商. 波尔查诺的思想是有价y x ∆∆()f x '()f x '值的, 但关于极限的本质他仍未说清楚. 到了19世纪, 法国数学家柯西在前人工作的基础上, 比较完整地阐述了极限概念及其理论, 他在《分析教程》中指出:“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值, 最终使变量的值和该定值之差要多小就多小, 这个定值就叫做所有其他值的极限值, 特别地, 当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0, 就说这个变量成为无穷小. ” 柯西把无穷小视为以0为极限的变量, 这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识, 这就是说, 在变化过程中, 它的值可以是非零, 但它变化的趋向是“零”, 可以无限地接近于零. 柯西试图消除极限概念中的几何直观, 作出极限的明确定义, 然后去完成牛顿的愿望. 但柯西的叙述中还存在描述性的词语, 如“无限趋近”、“要多小就多小”等, 因此还保留着几何和物理的直观痕迹, 没有达到彻底严密化的程度. 为了排除极限概念中的直观痕迹, 维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义, 给微积分提供了严格的理论基础. 所谓就是指:“如果对任何, 总存在自然数, 使得当n a A =0ε>N 时, 不等式恒成立”.n N >n a A ε-<极限思想的应用无处不在, 理解掌握并合理应用极限思想, 可以让我们在解决实际问题的过程中, 能较快发现解决问题的方法, 用极限思想的方法去对待一件事情可以提高实际的效果.本文所做的工作就是本人对极限思想的认识, 通过极限思想去发现我们生活中出现的各种问题并用极限思想加以处理之; 在处理过程中学会对极限思想运用和分析, 从而使我们每个人都能从自身的角度去认识极限思想, 而不是去遗传别人对极限思想的认识.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容:研究极限思想在实际生活中的应用解决的主要问题: 1、简单分析极限思想的定义2、极限思想与其它思想之间的联系3、研究极限思想是如何应用在实际生活中的三、研究步骤、方法及措施一. 研究步骤:1. 查阅相关资料, 做好笔记;2. 仔细阅读研究文献资料;3. 在老师指导下确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4. 翻译英文资料;5. 开题报告通过后撰写毕业论文;6. 上交论文初稿;7. 反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8. 论文定稿.二.方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容, 在老师指导下, 归纳整理各类问题.四、参考文献[1] 王晓硕. 极限概念发展的几个历史阶段[M]. 辽宁: 辽宁师范大学数学系, 2001, 40-43.[2] 孟慧丽. 论瑜伽运动的美[J]. 广州: 华南师范大学体育科学学院, 2008: 64-65.[3] 杨军星. 极限思想的实际应用分析[J]. 黔南民族师范学院学报, 2009, (3): 81-84.[4] 汪晓梦. 极限思想的形成、发展极其哲学意义[J]. 中共合肥市委党校学报, 2004,(3): 22-24[5] 单清华等. 瑜伽文化足迹及现代健身价值研究[J]. 体育与科学, 2009, (180): 46-48.[6] Jobson, Oliver H. Expanding the Boundaries of Self Beyond the Limit of TraditionalThought [M]. Global Pub Assoc Inc, 2011.[7] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[8] Graham Priest. the limit of thought-and beyond [J]. oxford university, 1991: 361-370.[9] 于国涛. 超频, 让你的电脑飞跑起来[J]. 北京: 电脑迷, 2009, (2): 25.J. Jurgen. Limits and Continuity of Functions [M]. Springer Berlin Heidelberg, 2006.。
概述数学文化极限概念
概述数学文化极限概念庞加莱说过：能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。
一切数学概念都来自于社会实践，来源于生活现实的思想的火花，被数学家们捕捉到以后，经过千锤百炼，被提炼成概念。
再经过使用，推敲、充实、拓展，不断完善形成经典的理论。
数学中的概念、定理等无一例外都会经历这个过程。
毫无疑问极限也是社会实践的产物。
一、中国古代极限思想“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这是战国时期庄子在他的《天下篇》记载的惠施的一段话。
也就是说一尺长的木棒，第一天取去一半，还剩二分之一尺，第二天再在这二分之一尺中取去一半，还剩下四分之一尺……。
按照这样的分法分下去，长度越来越小，但无论多小，永远分不完。
也就是说随着分割的次数增加，棰会越来越短，长度接近于零，但又永远不会等于零。
墨家观点与惠施不同，提出一个“非半”的命题，墨子说“非半弗，则不动，说在端” 。
意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。
墨家有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想，名家则有“无限分割”的思想。
名家的命题论述了有限长度“无限可分”性，墨家的命题指出了无限分割的变化和结果。
显然名家和墨家的讨论，对数学理论的发展具有巨大推动作用。
现在看来，先秦诸子中的名、墨两家，对宇宙的无限性与连续性认识已相当深刻，在那时这些认识是片断的、零散的，更多地属于哲学范畴，但已反映出极限思想的萌芽，这无疑成为极限概念产生的丰厚的沃土。
公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”. 他创造性地将极限思想应用到数学领域。
所谓割圆术，具体的方法是把圆周分割得越细，内接多边形的边数越多，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。
如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周几乎“吻合”，进而完全一致了。
数学毕业论文：极限思想在中学数学中的应用
数学毕业论文：极限思想在中学数学中的应用分类号O211.4编号毕业论文题目极限思想在中学数学中的应用学院数学与统计学院姓名x x x专业数学与应用数学学号291010133研究类型x x x x x x指导教师x x x提交日期2013-5-10原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名：年月日论文指导教师签名：目录摘要. (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)引言 (Ⅱ)2、极限思想的发展 (2)2.1最早的极限思想 (2)2.2 极限思想的早期应用 (2)3、极限思想在中学数学中的应用 (3)3.1 在运动变化过程中把握极限位置 (3)3.2利用函数图像把握极限位置 (4)3.3极限思想在函数中的渗透 (6)3.4用极限思想解决立体几何中的有关问题 (8)总结 (9)参考文献 (10)极限思想在中学数学中的应用x x（天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，）摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 关键字：极限思想中学数学教学Application of limit thought in mathematics teaching in high schoolWang Hui(School of mathematics and statistics, Tianshui NormalUniversity, Gansu, Tianshui, 741000,)Abstract: the limit is an important content in the middle school mathematics, has important significance to the middle school mathematics learning. According to the current state of the current middle school mathematics teaching practice, introduces the application of historical development and the ultimate limit thought in function, analytic geometry, function image etc, by contrast, highlight the importance of limit thought in middle school mathematics of, not only reduces the difficulty, but also on the development of students' thinking, creative ability also to have the very big help.Keywords: limit thought in mathematics teaching in middle school极限思想在中学数学中的应用引言极限是近代数学中一个重要的概念。
浅谈中国古代数学论文4100字_浅谈中国古代数学毕业论文范文模板
浅谈中国古代数学论文4100字_浅谈中国古代数学毕业论文范文模板浅谈中国古代数学论文4100字(一)：中国古代数学思想的重大突破及现代教育价值论文【内容摘要】《新课标》要求在数学教学中渗透数学思想方法，加强对中华优秀传统文化的学习教育。
中国古代数学思想博大精深，在长期的发展过程中出现了数与形的概念、算法化的计算思想、极限思想以及数形结合思想等重大思想突破。
这些数学思想在当代具有极高的教育价值，现代数学教学应该与古代优秀数学思想文化兼容并包。
【关键词】古代数学思想；极限思想；数形结合思想；现代教育价值数学思想是人类知识领域最富有理性魅力的科学，起着统帅和支撑数学科学发展的重要作用。
数学思想是数学的精髓，是创造的源泉，是发展的基础，是数学能力的集中体现。
中国古代数学发展自成体系，表现出了强烈的算法化倾向，提炼出的数学思想，几乎涵盖了义务教育阶段所需要学习的大部分数学思想，在当今时代有着很大的教育价值。
《新课标》中明确要求增加对“数学思想结构”和“数学思维能力”的培养，加强数学学科知识教育和中国优秀传统思想文化学习的有机结合，增强学生的民族文化自信。
在数学教学过程中要紧密联系生活实践，深刻理解数学精神，渗透重要数学思想方法，使学生增进对数学的理解和学好数学的信心，提高数学学习质量和数学能力。
一、中国古代重大数学思想突破中国古代数学思想博大精深，极大地推动了中国乃至世界的数学教育和实践应用发展。
数学思想的形成和发展不仅是新思想在数量上的不断积累发展，而且在某些条件下还产生了一些根本性的重大飞跃进展，即质的突破。
(一)形成数与形的概念是对人类原始“数觉”和“形觉”的突破。
中国远古人类在长期的生产实践中逐渐形成了数与形的概念，初步掌握了甲骨文数字、筹算数码、规、矩的使用以及一些简单的数的运算方法，并积累了一些数学知识。
它们的产生标志着人类从蒙昧时代原始的“数觉”、“形觉”认识迈出了具有决定性意义的一步，抽象的“数”“形”概念及多种记数方式是社会生产实践活动中必不可少的数学工具，在实际生活中有着广泛的应用。
极限发展史
2.1 最早的极限思想公元前770——前221年，在《庄子》“天下篇”中记录：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这句话的意思是:有一根一尺长的木棍，如果一个人每天取它剩下的一半，那么他永远也取不完。
庄子这句话充分体现出了古人对极限的一种思考，也形象的描述出了“无穷小量”的实际范例。
迄今为止，微积分中也常常用这个例子来进行教学的导入。
2.2极限的早期使用公元前3世纪，古希腊数学家安提丰（antiphon,约公元前430年）提出了“穷截法”，即在求解圆面积时提出用成倍扩大圆内接正多边形边数，通过求正多边形的面积来近似代替圆的面积。
但安提丰的做法却让许多的希腊数学家产生了“有关无限的困惑”，因为在当时谁也不能保证无限扩大的正多边形能与圆周重合。
通过多边形边数的加倍来产生无限接近的过程，从而出现“差”被“穷竭”的说法虽然不合适，但在现在看来，这个所谓的“差”却构造出了一个“无穷小量”，因此也被认为是人类最早使用极限思想解决数学问题的方法。
在中国公元3世纪，刘徽（约225——295）在《九章算术注》中创立了“割圆术”。
用现代的语言来描述他的方法即是:假设一个圆的半径为一尺，在圆中内接一个正六边形，在此后每次将正多边形的边数增加一倍，从而用勾股定理算出内接的正十二边、二十四边、四十八边等多边形的面积。
这样就会出现一个现象，当边数越多时，这个多边形的面积就越与圆面积接近。
刘徽运用这个相当于极限的思想求出了圆周率，并且由于与现在的极限理论的思想很接近，从而他也被誉为在中国史上第一个将极限思想用于数学计算的的人。
2.3极限定义的产生直到17世纪为止，安提丰制造的“极限恐慌论”都阻挡了极限的发展。
到了17世纪，牛顿（Newton,1642-1727）、莱布尼茨（Leibniz,1646-1716）利用极限的方法创立了微积分，但在那个时候，他们的极限理论还不是十分的严密清楚。
经过十八世纪到十九世纪初，微积分的理论和主要内容基本上已经建立起来了，但几乎它所有的概念都是建立在物理和几何原型上的，带有很大程度上的经验性和直观性。
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设计（20 届）中国古代数学中的极限思想所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要：“极限”是高等数学中最基础和最重要的概念之一，高等数学中许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓与深化。
其中，中国古代数学中的极限思想对整个数学的发展起到了非常重要的作用。
本文在中国古代数学中前人研究的基础上，结合国外古代极限思想，介绍极限思想的萌芽、发展到完善的整个过程，并对其相应的应用和影响做较为全面的探讨。
我们首先介绍中国古代的极限思想，接着从三个角度对中西方的极限思想进行比较，最后总结中国古代极限思想对后世数学的影响极其在文学、哲学和实际生活中的应用。
关键字：古代数学；极限思想；割圆术；圆周率；微积分The Ancient Chinese Mathematics Limit Thought Abstract：" Limit " is one of the most basic and most important concepts in the field of higher mathematics, many deep-level mathematics theories and their applications are extension and deepening of limit. Especially the ancient Chinese limit thought plays a very important role during the whole development of mathematics. Based on the ancient Chinese mathematics and previous studies, combined with the ancient limit of foreign ideas, in this paper we will introduce the whole process of limit thought from embryonic, development to perfect and make a comprehensive discussion about its corresponding applications and impact. First of all, we introduce the ancient Chinese limit thought. Then, we compare the Chinese and the west limit thought from three aspects. Last, we summarize the influence of the ancient Chinese mathematics limit thought on mathematics and the application in literature philosophy and actual life.Key words：Ancient mathematics; limit thought; the method of cutting circle; π; calculus .目录1 绪论 (1)1.1 问题的背景和意义 (1)1.2 极限相关概念 (2)1.2.1 数列极限 (2)1.2.2 函数极限 (2)2 中国古代的极限思想 (4)2.1 极限思想的萌芽 (4)2.2 关于数π (4)2.2.1 π的来历 (4)2.2.2 π的数值精确度的发展 (4)3 中西方极限思想的比较 (7)3.1 割圆术与穷竭法 (7)3.2 先秦极限观与古希腊极限观的比较 (8)3.2.1 对无穷大和无穷小认识的比较 (8)3.2.2 对无限可分性、连续性以及无穷数和的认识比较 (8)3.3 从中西方哲学传统看微积分的创立 (9)4 对后世数学的影响及其应用 (10)4.1 对后世数学的影响 (10)4.2 极限思想在文学和哲学方面的影响 (10)4.3 极限思想在古代的应用 (11)5 结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)1 绪论1.1 问题的背景和意义微积分是近代数学产生的标志之一，而其中极限概念与极限方法是近代微积分学的基础。
美国学者C.B.波斯湾耶在他的《微积分概念史》一书中，多处指出在古希腊数学中没有产生极限概念和使用过极限方法，但在古代东方的中国，早在春秋战国时期就有了极限思想的萌芽，对宇宙的无限性与连续性已有了相当深的认识；到三国魏晋时期，我国著名数学家刘徽受到秦汉的极限思想的启迪，继承并发展了极限思想，在为《九章算术》作注时，最先创造性地把极限思想引入数学，成为数学方法，这种方法在圆田术和阳马术得到了充分的发挥和广泛作用，可以说为微积分的产生准备了必要的条件。
（参见文献[1]）作为数学中最重要的思想和方法之一，极限思想就是人们认识无限运动变化的伟大结晶，是联系初等数学和高等数学的一条重要的纽带。
这种思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，产生了许多重要的结论和经典故事。
而极限又是高等数学中最重要的概念，高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓与深化。
作为研究函数最基本的方法——极限方法，早在古代就有比较清楚的描述，其在古代数学中的应用也有很多具体实例。
极限的应用及推广已涉及社会、科学及研究的很多方面，对其进行研究不仅在理论上也在实践中具有很大的意义。
微积分的形成与发展是数学界的重要话题。
但翻开有关微积分的教材和介绍其发展历史的著述，无论是外国人编写的，还是我国的作者，无论是过去，还是现在，大多数定理的前面都冠之以某某外国人的大名，却很少甚至根本没有反映中华民族对于微积分的形成与发展所作出的贡献。
大量历史事实无可辩驳地说明，我国是人类数学的故乡之一。
中华民族有着光辉灿烂的数学史，中国古代数学对微积分形成所做出的贡献，理应受到世人的承认与尊重。
众所周知，在牛顿与莱布尼兹发明微积分前经历了十分艰难曲折的一个世纪的酝酿阶段。
作为产生微积分的必要条件中，有些是在我国早已有之，而为希腊式数学所不及的。
学习和研究中国古代极限可以对学生进行爱国主义教育。
现行的中学教材讲的大都是外国的数学成就，对我国在数学史上的贡献提得很少, 其实中国数学有着光辉的传统，有刘徽、祖冲之、祖暅、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家，有中国剩余定理、祖暅公理、“割圆术”等具有世界影响的数学成就，对其中很多问题的研究也比国外早很多年。
然而，现阶段爱国主义教育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上。
从明代以后中国数学逐渐落后于西方，20世纪初，中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程。
在新时代的要求下，除了增强学生的民族自豪感之外，还应该培养学生的“国际意识”，让学生认识到爱国主义不是体现在“以己之长，说人之短”上，在科学发现上全人类应该相互学习、互相借鉴、共同提高，我们要尊重外国的数学成就，虚心的学习，“洋为中用”。
因此，结合国外的极限思想的应用实例，对中国古代极限思想的理论及实际应用进行研究十分必要。
1.2 极限相关概念极限是数学的一个重要概念。
在数学中，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那么该定值就叫做变化的量的极限。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科。
”1.2.1 数列极限若函数f的定义域为全体正整数集合，则称f：或，为数列。
定义 1 [2]设为数列，a为定数。
若对任给的正数，总存在正整数N，使得当时有,则称数列收敛于a，定数a称为数列的极限，并记作 .1.2.2 函数极限x趋于时函数的极限定义 2 [3]设f为定义在［a,）上的函数，A为定数。
若对任给的，存在正数M，使得当时有则称函数f当x趋于时以A为极限，记作.x趋于时函数的极限定义 3[3]设函数f在的某个空心邻域内有定义,A为定数。
若对任给的，存在正数，使得当时有,则称函数f当x趋于时以A为极限，记作.本次论文中，我们首先介绍极限思想的萌芽和数π与极限的关系。
接着对中西方的极限思想进行比较，分别从割圆术与穷竭法的角度考察古代东西方民族思维方式的异同；从先秦极限观与古希腊极限观方面比较论述；从中西方哲学传统看微积分的创立。
最后对极限思想对后世数学的影响，在文学和哲学方面的反映，以及其在古代中的应用进行总结。
2 中国古代的极限思想2.1 极限思想的萌芽极限思想是人们对有限、无限问题不断深化认识的过程中取得的。
从萌芽到完善，经过了近2000年时间，可以说是数学史上一次漫长的旅途。
早在春秋战国时期（公元前770——前221）道家的代表人物庄子就有了极限思想，据《庄子》“天下篇”中记载：“一尺之棰，日取其半，万事不竭。
” [4]意思是说，一尺长的木棒每天取下前一天所剩的一半，如此下去，永远也取不完。
这反映了古人对极限的一种思考，它不但表达了我们祖先的极限思想，也提供了一个“无穷小量”的实际例子。
这个经典论断，至今在微积分的教学中还经常使用。
我国古代的极限思想与方法主要寓于求积(面积、体积)理论。
刘徽继承和发扬了先秦诸子关于极限的思想用“割圆术”和“阳马术”等成功地解决了求积问题。
在《九章算术》的“圆田术”中给出了计算圆面积的法则:“半周半径相乘得积步。
”即圆的面积S与一个长为半周,宽为半径的长方形的面积相等:。
（参见文献[5]）刘徽注文首先指出古率“周三径一”（即π = 3）实际上既是圆内接正六边形的周长C与直径2R之比，以此说明古率之粗疏。
为推证圆面积公式，刘徽从圆内接正六边形开始，不断割圆，徽注曰：“又按为图，以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。
若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
”[6]2.2 关于数π2.2.1 π的来历如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。
我国古代数学家们对这个问题研究也很早。
在《周髀算经》和《九章算术》中就提出径一周三的古率，定圆周率为三，即圆周长是直径长的三倍。