极限思想的产生与发展 毕业论文

河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：极限思想的产生与发展学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：学生姓名：学号：指导教师：职称：1、论文（设计）研究目标及主要任务[1] 进行文献检索与收集，填写任务书、撰写文献综述、开题报告，参加开题答辩并获得通过。

[2] 按照指导教师要求，撰写论文写作提纲、初稿、修改稿及定稿，达到本科生毕业论文撰写规范的写作要求；[3] 参加毕业论文答辩并获得通过。

2、论文（设计）的主要内容论文第一部分从历史的角度出发，讲述了极限思想的产生，发展，完善过程，在第一部分结束时给出极限的定义。

第二部分，开始讲述极限思想的应用，主要从极限思想在概念里的渗透，极限在导数中的应用和极限在积分中的应用三个方面来阐述极限思想的应用。

最后一个部分对全文做了简要的总结。

3、论文（设计）的基础条件及研究路线基础条件：图书馆借阅及网上查阅相关资料。

研究路线：首先，以历史为出发点，研究了极限思想在历史发展过程中是如何产生，发展，并且逐渐完善的。

从而得到极限的定义，并从定义出发，具体讨论了如何由极限的思想方法得到连续函数，导数及定积分的概念，由浅入深，进一步讨论如何由已知的运动规律求速度和如何由已知曲线求它的切线，进而得到极限思想在导数中的应用，不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是特殊形式，从而引出极限思想在积分中的应用。

4、主要参考文献[1]梁宗巨.世界数学通史[M].沈阳:辽宁教育出版社，1996.[2]华东师范大学数学系:数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社.2009.[3]华东师范大学数学系:数学分析[M].高等教育出版社.2007.[4] Finney Weir Giordano.Thomas’CALCULUS.高等教育出版社[M].2004.指导教师: 年月日教研室主任: 年月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书（附页）课题论证：高等数学的基础是微积分，在学习微积分时接触的第一个重要定义就是极限，极限思想是微积分的基本思想，在数学分析中，连续函数，导数，定积分等重要定义都是用极限来定义的，极限运算是微积分的运算基础。

因此要学好数学分析，学好微积分，掌握并且能合理的应用极限是十分重要的。

在历史发展的长河里，极限思想的产生和其他学科的产生是一样的，在极限产生，发展，完善的过程中，并不是一帆风顺的，是经过无数数学家长时间共同努力的结果。

极限思想的发展过程，充分的体现了人类认识自然，改造自然的过程，从有穷到无穷的过程是极限发展的基本过程，在其产生，发展，完善的过程中体现了一门科学在历史进程中的发展历程，具有一般性。

研究极限思想产生的历史过程，可以使我们更好的理解极限，用极限的思想方法解决现实生活中所遇到的各种问题。

在极限的ε-N定义提出后，极限的发展已经趋于完善，不再局限于特定的问题中，在定义的描述的上抛弃了直观性的几何描述法，使完善后的定义更具有严谨性，逻辑性，这对于数学的学习和创新具有指导性的作用。

本文第二部分通过极限在数学、物理等学科中的应用，说明极限的具体应用方向，如计算曲线的切线，曲面的面积，变力做功，和求运动物体的速度等问题。

通过这些应用使我们对极限在现实生活中的具体作用有了更明确的理解，使我们对极限思想体系有了更为立体的感受。

最后对全文进行了全面的总结。

从微积分的产生到极限理论的建立，这个历史过程生动地表明:任何科学的发展都不是一帆风顺的，要经过长时间不间断的探索，科学的发展是随着社会生产的发展一同进步，但科学的发展同时也制约着生产的发展，当科学的发展不再适应社会的进步，不能满足社会发展的需要，就必须进行创新，每一次创新都将为科学的发展以及社会的发展开创一个崭新的时代，科学的发展是建立在人认识改造自然的基础上的，随着时间的发展，科学技术已经越来越在社会进步的过程中起中流砥柱的作用，科学的发展一定要经过由定性认识转化为定量认识，形成概念和理论的系统，否则，就不可能成为严谨的科学体系，也不能满足生产发展的需要与社会进步的脚步。

河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章 Finney Weir Giordano.Thomas’CALCULUS .高等教育出版社[M].2004.1.函数极限设()f x 定义在0x 的一个可能不包括0x 的开区间上，我们说当x 趋于0x 时()f x 趋于极限L ，并且记为()lim →=o x x f x L如果，对于任何数0ε>，存在相应的数0δ>使得对所有满足00δ<-<x x 的x ，有()ε-<f x L2.切线为了定义与一般曲线相切的概念，我们需要一种动态的处理方法，这种方法考虑了过点P 和附近点Q ，当Q 沿着曲线（图2.65）向点P 移动时过PQ 的割线的形态。

该方法的大致步骤如下：（1） 从我们能计算的东西开始，即割线PQ 的斜率。

（2） 研究当点Q 沿着曲线趋于点P 时割线的极限。

（3） 如果这个极限存在，就把它取作曲线在点P 的斜率，并把过点P 具有这个斜率的直线定义为曲线在点P 的切线。

图2.65 动态的趋向切点，曲线在点P 的切线是过P 的直线其斜率是当曲线上的点Q 沿着曲线从P 点的两侧趋于点P 时割线PQ 的斜率的极限。

定义 斜率和切线曲线()=y f x 在点()()00,P x f x 的斜率是数()()000lim →+-=h f x h f x m h（如果这个极限存在） 曲线在点P 的切线是过点P 且以m 为斜率的直线。

3.黎曼和图5.8 一个典型的在闭区间],[b a 上的连续函数有限逼近理论极限是由德国数学家Bernhard Riemann 精确给出的，我们现在介绍一个黎曼和，在下一节定积分研究的基础的理论概念。

我们从定义在闭区间[,]a b 上的任意连续函数()f x 开始，与图5.8中的图像表示的函数一样，它既可以取正值，也可以取负值。

我们详细的划分这个闭区间的区间间隔，不一定是相等的宽度（或长度），并且以同样的方式，在第5.1节中的有限近似的形式总结，要做到这一点，我们选择了a 和b 之间1-n 个点{}1231,,,，-⋯n x x x x 并且121-<<<⋯<<n a x x x b为了使符号一致，我们选择这样一个b0121-=<<<⋯<<=n n a x x x x x b得到集合{}0121,,,,-=⋯n n P x x x x x被称为[,]a b 的一个分区。

P 把[,]a b 划分为n 个封闭的子区间01121[,],[,],[,]，-⋯n n x x x x x x典型的闭子区间1[,]-k k x x 称为P 的第k 个子区间第k 个子区间的长度是1-∆=-k k k x x x在每个子区间中，我们选择某个数，用k c 表示从第k 个子区间选择的数，然后，每个子区间上，我们竖起一个垂直的矩形，立于x 轴上，在()(),k k c f c 接触曲线FIGURE 2.65 The dynamic approach to tangency. The tangent to the curve at P is the linethrough P whose slope is the limit of the secant slopes as →Q P from either side.DEFINITIONS Slope, Tangent LineThe slope of the curve ()=y f x at the point ()()00,P x f x is the number()()000lim →+-=h f x h f x m h(provided the limit exists). The tangent line to the curve at P is the line through P with this slope. 3. Riemann SumsFIGURE 5.8 A typical continuous function ()=y f x over a closed interval [,]a bThe theory of limits of finite approximations was made precise by the Germanmathematician Bernhard Riemann. We now introduce the notion of a Riemann sum, which underlies the theory of the definite integral studied in the next section.We begin with an arbi trary function ƒ defined on a closed interval [,]a b . Like the function pictured in Figure 5.8, f may have negative as well as positive values. We subdivide the interval [,]a b into subintervals, not necessarily of equal widths (or lengths), and form sums in the same way as for the finite approximations in Section 5.1. To do so, we choose 1-n points {}1231,,,，-⋯n x x x x between a and b and satisfying121-<<<⋯<<n a x x x bTo make the notation consistent, we denote a by and b by so that0121-=<<<⋯<<=n n a x x x x x bThe set{}0121,,,,-=⋯n n P x x x x xis called a partition of [,]a b .The partition P divides [,]a b into n closed subintervals01121[,],[,],[,]，-⋯n n x x x x x xThe first of these subintervals is 01[,]x x ，the second is 12[,]x x ，and the kth subinterval of P is1[,]-k k x x , for k an integer between 1 and n .The width of the first subinterval 01[,]x x is denoted 1x ∆，the width of the second 12[,]x x is donoted 2∆x ,and the width of the k th subinterval is 1-∆=-k k k x x x .If all n subintervals haveequal width, then the common width is ∆x equal to ()-b a n .In each subinterval we select some point. The point chosen in the k th subinterval 1[,]-k k x x is called k c .Then on each subinterval we stand a vertical rectangle that stretches from the x -axisto touch the curve at ()(),k k c f c .These rectangles can be above or below the x -axis, dependingon whether ()k f c is positive or negative, or on it if ()0=k f c (Figure 5.9).On each subinterval we form the product ()∆k k f c x .This product is positive, negative or zero,depending on the sign of ()k f c .When ()0>k f c , the product ()∆k k f c x is the area of arectangle with height ()k f c and width ∆k x When ()0<k f c the product ()∆k k f c x is a negativenumber, the negative of the area of a rectangle of width ∆k x that drops from the x -axis to the negative number ()k f c .Finally we sum all these products to get()1==∆∑nn k k k S f c xThe sum n S is called a Riemann sum for f on the interval [,]a b .FIGURE 5.9The rectangles approximate the region between the graph of the function ()y f x and the x-axis.=本科生毕业论文设计极限思想的产生与发展作者姓名：指导教师：所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：届数学班年月日目录中文摘要、关键字 (2)1.引言 (3)2. 极限思想的产生与发展 (3)2.1极限思想的产生 (3)2.2极限思想的发展 (6)2.3极限思想的完善 (7)2.4极限的概念 (9)2.5极限思想的思维功能 (9)3. 极限的应用 (10)3.1极限在概念里的渗透 (10)3.2极限在导数中的应用 (12)3.3极限在积分中的应用 (14)4．总结 (18)参考文献 (19)英文摘要、关键字 (20)数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师朱玉峻作者张浩辉摘要：极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，合理应用极限思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究，并对其在数学分析中的应用展开探索。